【培优点02：奔驰定理与三角形的四心】
【知识拓展】
1.奔驰定理
如图, 已知
为
内一点, 有
; 其中
分别为
的面积.
证明
设
,
,
,
,
.
根据三角形正弦定理面积公式得:
把①式两边与向量
作数量积得:
同理,①式两边与向量
作数量积均为0.
由于
不可能同时与
垂直, 且
不全为
, 故
.
该结论对应的图形形似奔驰汽车标志,因此称为奔驰定理,对推导三角形四心的向量结论有直接作用.
2.三角形四心的向量表示及结论（利用奔驰定理可自行证明）
(1)点
是
的重心
;
(2)点
是
的垂心
;
（注：
为三角形的三个内角）.
(3)点
是
的内心
;
（其中
是
的三边,分别对应角
）.
(4)点
是
的外心
.
【热点题型1：奔驰定理与三角形面积之比的问题】
（24-25 高一下·上海浦东新·月考）设点O在△ABC的内部，且3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC =⃗0，
则S△AOB:S△ABC = .
【答案】5:12/ 5
12
【分析】作⃗OD =3⃗OA，⃗OE = 4⃗OB，⃗OF =5⃗OC，可知O为△≝¿的重心，推导出S△ODE= S△ODF = S△OEF，
再结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】作⃗OD =3⃗OA，⃗OE = 4⃗OB，⃗OF =5⃗OC，如下图所示：
由3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC =⃗0可得⃗OD +⃗OE +⃗OF =⃗0，则O为△≝¿的重心，
延长EO交线段DF于点G，则G为DF的中点，则S△ODG= S△OFG，
因为O为△≝¿的重心，所以⃗BO =2⃗OG，故S△ODE=2S△ODG= S△ODF，
同理可得S△OEF = S△ODF，故S△ODE= S△ODF = S△OEF，设S△ODE= S△ODF = S△OEF = S，
S△OAB
S△ODE
=
1
2|⃗OA|⋅|⃗OB|sin ∠AOB
1
2|⃗OD|⋅|⃗OE|sin ∠AOB
=|⃗OA|⋅|⃗OB|
|⃗OD|⋅|⃗OE|
= 1
3 × 1
4 = 1
12，故S△AOB= 1
12 S，
同理可得S△OBC = 1
20 S，S△OAC = 1
15 S，
所以S△ABC = S△OAB+ S△OBC+ S△OAC = 1
12 S+ 1
20 S+ 1
15 S = S
5 ，
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
因此，
S△AOB
S△ABC
=
1
12 S
1
5 S
= 5
12.
故答案为：5:12.
【规律方法总结】
方法技巧：
1.核心公式：若点
为
内一点，满足
（
且
），则
的面积比为
.
2.拓展应用：若点
在
外部，需结合向量系数的正负判断面积比的对应关系（系数符号反映点与三
角形的位置关系）.
3.面积与整体的比例：
与
的面积比为
，同理可得
与
的面积比.
【多选题】（24-25 高一·江苏·假期作业）下列说法中正确的说法为（ ）
A．若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
B．若⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC:S△ABC =1:3
C．两个非零向量⃗a，⃗b，若|⃗a-⃗b|=|⃗a|+|⃗b|，则⃗a与⃗b共线且反向
D．若⃗a//⃗b，则存在唯一实数λ使得⃗a= λ⃗b
【答案】BC
【分析】直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判
断A、B、C、D的结论．
【详解】对于A，若⃗b为零向量，则⃗a//⃗b，⃗b//⃗c成立，但⃗a,⃗c可以不共线，故A 错误；
对于B，若⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，则点O为三角形ABC的重心，
即S△AOC:S△ABC =1:3，故B 正确；
对于C：两个非零向量⃗a，⃗b，若|⃗a-⃗b|=|⃗a|+|⃗b|，则⃗a与⃗b共线且反向，故C 正确；
对于D：若b
→
= 0
→
，⃗a≠⃗0，则⃗a//⃗b，此时不存在λ使得⃗a= λ⃗b成立，故D 错误；
故选：BC．
（23-24 高三上·安徽安庆·月考）设O 点在△ABC内部，且有3⃗OA +2⃗OB+⃗OC =⃗0，
则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为（ ）
A．2
B．❑√3
C．❑√2
D．3
【答案】A
【分析】先设⃗O A1=3⃗OA ,⃗O B1=2⃗OB ,⃗OC1=⃗OC，于是得到点O 是△A1B1C1的重心，则
小试牛刀1
小试牛刀2
S△O A1B1= S△O A1C1= S△O B1C1=k，再结合三角形面积公式即可求出△AOC的面积与△AOB的面积，进而得
到答案.
【详解】不妨设⃗O A1=3⃗OA ,⃗O B1=2⃗OB ,⃗OC1=⃗OC，如图所示，
根据题意则⃗O A1+⃗O B1+⃗OC1=⃗0，即点O 是△A1B1C1的重心，
取B1C1的中点E，连接OE，则A1,O , E三点共线，且OE = 1
3 A1 E，
所以△A1B1C1边B1C1上的高是△O B1C1边B1C1上的高的3倍，
∴S△A1B1C1=3 S△O B1C1，即S△O B1C1= 1
3 S△A1B1C1，
同理可得：S△O A1B❑❑1= 1
3 S△A1B1C1，S△O A1C1= 1
3 S△A1B1C1，
所以有S△O A1B1= S△O A1C1= S△O B1C1=k，
又因为
S△AOB
S△A1O B1
=
OA ⋅OB
3OA ⋅2OB = 1
6 ，S△AOC
S△A1OC1
= OA ⋅OC
3OA ⋅OC = 1
3，
那么S△AOB= 1
6 k ，S△AOC = 1
3 k，
故△AOC的面积与△AOB的面积的比值为
1
3 k
1
6 k
=2.
故选：A.
（24-25 高一下·重庆渝中·期中）某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O 是
△ABC内的一点，且存在x , y , z∈R，使得x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC =⃗0，则S△AOB:S△AOC:S△COB= z: y : x．
请以此结论回答：已知在△ABC中，∠A =π
4 ，∠B =π
3 ，O 是△ABC的外心，且⃗
AO = λ⃗AB+ μ⃗AC (λ , μ∈R)，则λ+ μ= ．
小试牛刀3
【答案】
❑√3
3
/1
3
❑√3
【分析】由结论可得S△BOC⋅⃗OA + S△AOC⋅⃗OB+ S△BOA⋅⃗OC =⃗0，从而可得⃗OA +
❑√3
2⃗OB+ 1
2⃗OC =⃗0，再根
据⃗AO = λ⃗AB+ μ⃗AC = λ(⃗OB -⃗OA )+ μ(⃗OC -⃗OA )可得(1- λ - μ)⃗OA + λ⃗OB+ μ⃗OC =⃗0，从而有¿，求解
即可.
【详解】
如图，因为O 是△ABC的外心，
所以∠BOC =2∠BAC =π
2 ,∠AOC =2∠ABC = 2π
3 ,∠BOA =2∠BCA = 5π
6 ，
由结论可得S△BOC⋅⃗OA + S△AOC⋅⃗OB+ S△BOA⋅⃗OC =⃗0，
即1
2 R
2sin ∠BOC ⋅⃗OA + 1
2 R
2sin ∠AOC ⋅⃗OB+ 1
2 R
2sin ∠BOA ⋅⃗OC =⃗0 ，
可得sinπ
2 ⋅⃗OA +sin 2π
3 ⋅⃗OB+sin 5π
6 ⋅⃗OC =⃗0，即⃗OA +
❑√3
2⃗OB+ 1
2⃗OC =⃗0.
因为⃗AO = λ⃗AB+ μ⃗AC = λ(⃗OB -⃗OA )+ μ(⃗OC -⃗OA )，
所以(1- λ - μ)⃗OA + λ⃗OB+ μ⃗OC =⃗0，
所以¿，即λ+ μ
1- λ - μ =
❑√3+1
2
，即1-( λ+ μ)
λ+ μ
= ❑√3-1，
解得λ+ μ=
❑√3
3
.
故答案为：
❑√3
3
.
【点睛】关键点睛：
这道题的关键是能由结论得到S△BOC⋅⃗OA + S△AOC⋅⃗OB+ S△BOA⋅⃗OC =⃗0，从而得到⃗
OA +
❑√3
2⃗OB+ 1
2⃗OC =⃗0，再进行向量分解求解.
【热点题型2：奔驰定理与三角形重心】
（2025 高一·全国·专题练习）已知G是△ABC的重心，a⃗GA +b⃗GB+
❑√3
3 c⃗GC =⃗0，
其中内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，则∠A = ．
【答案】π
6 /30
°
【分析】三角形重心的性质以及向量的线性运算，将已知向量等式转化为边的关系，再利用余弦定理求出
角A.
【详解】解法1：因为G为△ABC的重心，所以⃗GA +⃗GB+⃗GC =⃗0，
从而⃗GC =-⃗GA -⃗GB，将其代入已知条件中，
可得(a-
❑√3
3 c)⃗GA + (b-
❑√3
3 c)⃗GB =⃗0．
又因为⃗GA与⃗GB不共线，
所以a-
❑√3
3 c =b-
❑√3
3 c =0，
即a=b=
❑√3
3 c，所以cos A =
❑√3
2 ，即∠A =π
6 ．
解法2：（以⃗AB，⃗AC为基底）
因为⃗GA = 1
3 (-⃗AB -⃗AC)，⃗
GB = 1
3 (⃗AB+⃗CB)= 1
3 (2⃗AB -⃗AC)，⃗
GC = 1
3 (⃗AC +⃗BC)= 1
3 (-⃗AB+2⃗AC)，
所以a⃗GA +b⃗GB+
❑√3
3 c⃗GC =⃗0可化为a
3 (-⃗AB -⃗AC)+ b
3 (2⃗AB -⃗AC)+
❑√3
9 c(-⃗AB+2⃗AC)=⃗0，
即(
a
3 - 2b
3 +
❑√3
9 c)⃗AB+(
a
3 + b
3 - 2❑√3
9
c)⃗AC =⃗0．
因为⃗AB与⃗AC不共线，
所以¿解得¿
所以cos A =
❑√3
2 ，即∠A =π
6 ．
经典例题
故答案为：π
6 或30
°
【规律方法总结】
方法技巧：
1. 重心的奔驰定理特征：若
为
的重心，则
，对应奔驰定理中系数
.
2.面积关系：重心将三角形分成面积相等的三个小三角形，即
.
3.应用技巧：遇三角形重心相关向量问题，直接利用奔驰定理的等系数特征，快速转化为面积或向量运算.
（2025 高一·全国·专题练习）已知△ABC，O为平面内任意一点，动点P满足
5⃗OP =[(2+ λ)⃗OA +(2+ λ)⃗OB+(1-2 λ)⃗OC]，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心
B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心
D．△ABC的外心
【答案】C
【分析】取AB中点为D，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断.
【详解】先设AB的中点为D，则2⃗OD =⃗OA +⃗OB，
又因为5⃗OP =[(2+ λ)⃗OA +(2+ λ)⃗OB+(1-2 λ)⃗OC]=[(4+2 λ)⃗OD +(1-2 λ)⃗OC]，
而(4+2 λ)+(1-2 λ)=5，
由三点共线的充要条件知P ,C , D三点共线，
则点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
故选：C．
（24-25 高三下·陕西西安·月考）在△ABC中，若动点P 满足向量⃗AP平行于向量⃗
AB
|⃗AB|sin B
+⃗
AC
|⃗AC|sinC
，则P 的轨迹过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】C
【分析】将|⃗AB|sin B =|⃗AC|sinC提取出来, 转化成λ 1
t (⃗AB+⃗AC)表示与⃗AD共线的向量, 点D是BC的
中点, 故P的轨迹一定通过三角形的重心.
小试牛刀1
小试牛刀2
【详解】由正弦定理得|⃗AB|sin B =|⃗AC|sinC，
设|⃗AB|sin B =|⃗AC|sinC = 1
t
∴⃗AP = λ⋅1
t (⃗AB+⃗AC)
而⃗AB+⃗AC =2⃗AD
λ⋅1
t (⃗AB+⃗AC)表示与⃗AD共线的向量⃗AP
而点D是BC的中点, 所以P的轨迹一定通过三角形的重心.
故选：C
（24-25 高一下·江苏扬州·期中）在非钝角△ABC中，角A，B，C 的对边分别为
a，b，c，点P 是△ABC的重心且4 -cos2 A =3 ❑√3sin (B+C)，则角A = ；若b= 4，AP = 2❑√7
3
，
则c = .
【答案】 π
3 2
【分析】根据题意结合三角恒等变换可得sin A =
❑√3
2 ，即可得角A；根据重心可得⃗AP = 1
3 (⃗AB+⃗AC)，根
据数量积运算律运算求解即可.
【详解】因为4 -cos2 A =3 ❑√3sin (B+C)，则4 -(1-2sin
2 A)=3 ❑√3sin A，
整理可得(sin A - ❑√3)(2sin A - ❑√3)=0，
显然sin A - ❑√3≠0，则2sin A - ❑√3=0，即sin A =
❑√3
2 ，
又因为A ∈(0,π
2 ]，可得A =π
3 ；
因为点P 是△ABC的重心，则⃗AP = 1
3 (⃗AB+⃗AC)，
可得⃗AP
2= 1
9 (⃗AB+⃗AC)
2= 1
9 (⃗AB
2+⃗AC
2+2⃗AB⋅⃗AC)，
即28
9 = 1
9(c
2+16+2c×4× 1
2)，整理可得c
2+ 4 c -12=0，解得c =2或c =-6（舍去）.
故答案为：π
3 ；2.
【热点题型3：奔驰定理与三角形外心】
【多选题】（24-25 高三上·山东·期中）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，
小试牛刀3
经典例题
c，已知c = 4，b=2，若O为△ABC的外心，则（ ）
A．|⃗OA |=|⃗OB|=|⃗OC |
B．⃗OA ⋅⃗BC +6=0
C．(⃗OA +⃗OB)⋅⃗AB =0
D．a⃗OA +b⃗OB+c⃗OC =⃗0
【答案】AC
【分析】△ABC的外心即为△ABC外接圆的圆心，即△ABC三边中垂线的交点，即可判断A，根据数量
积的运算律判断B、C，利用奔驰定理判断D.
【详解】△ABC的外心即为△ABC外接圆的圆心，即△ABC三边中垂线的交点，
所以|⃗OA |=|⃗OB|=|⃗OC |，故A 正确；
取AB的中点D，连接OD，所以(⃗OA +⃗OB)⋅⃗AB =2⃗OD⋅⃗AB =0，故C 正确；
因为⃗OA ⋅⃗BC =⃗OA ⋅(⃗AC -⃗AB)=⃗OA ⋅⃗AC -⃗OA ⋅⃗AB
=- 1
2 |⃗AC |
2+ 1
2 |⃗AB|
2=- 1
2 ×2
2+ 1
2 ×4
2=6，故B 错误；
因为O为△ABC的外心，
则可设△ABC的外接圆半径为R，∠BOC =2∠BAC，∠AOC =2∠ABC，
∠AOB =2∠ACB，故S△BOC = 1
2 R
2sin 2∠BAC，
同理S△AOC = 1
2 R
2sin2∠ABC，S△AOB= 1
2 R
2sin2∠ACB，
又S△BOC⃗OA + S△AOC⃗OB+ S△AOB⃗OC =⃗0，
即1
2 R
2⋅sin 2∠BAC ⋅⃗OA + 1
2 R
2sin 2∠ABC ⋅⃗OB+ 1
2 R
2sin 2∠ACB⋅⃗OC =⃗0.
所以sin 2∠BAC ⋅⃗OA +sin 2∠ABC ⋅⃗OB+sin 2∠ACB⋅⃗OC =⃗0，
即sin 2 A ⋅⃗OA +sin 2B⋅⃗OB+sin 2C ⋅⃗OC =⃗0，故D 错误；
其中S△BOC⃗OA + S△AOC⃗OB+ S△AOB⃗OC =⃗0（奔驰定理）的证明如下：
如图延长OA与BC边相交于点D则
所以BD
DC = S△ABD
S△ACD
= S△BOD
S△COD
= S△ABD- S△BOD
S△ACD- S△COD
= S△AOB
S△AOC
，
又⃗OD = DC
BC⃗OB+ BD
BC⃗OC =
S△AOC
S△AOC + S△AOB⃗
OB+
S△AOB
S△AOC + S△AOB⃗
OC，
又OD
OA = S△BOD
S△BOA
= S△COD
S△COA
= S△BOD+ S△COD
S△BOA+ S△COA
=
S△BOC
S△BOA+ S△COA
，
所以⃗OD =-
S△COB
S△AOC + S△AOB⃗
OA，
所以
S△AOC
S△AOC + S△AOB⃗
OB+
S△AOB
S△AOC + S△AOB⃗
OC =-
S△COB
S△AOC + S△AOB⃗
OA，
所以S△BOC⃗OA + S△AOC⃗OB+ S△AOB⃗OC =⃗0.
故选：AC.
【规律方法总结】
方法技巧：
1.外心的向量特征：若
为
的外心，则
（外心为三边垂直平分线的交点，到各
顶点距离相等）.
2.奔驰定理对应关系：外心对应的三角形面积比为
（A、B、
C 为
的内角）.
3. 向量式表达：结合奔驰定理，外心满足
（因
，可简化运算）.
【多选题】（23-24 高一下·四川成都·期末）△ABC的内心为P，外心为O，重心
为G，若|AB|=|AC|=5，|BC|=6，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC的内切圆半径为r = 3
2
B．6⃗PA +5⃗PB+5⃗PC =⃗0
C．6⃗OA +5⃗OB+5⃗OC =⃗0
D．|OG|= 11
24
【答案】ABD
【分析】取BC边的中点E，得内心P、外心O、重心G 都在中线AE上，且AE⊥BC，由三角形面积相等
求出r可判断A；求出⃗PE =- 3
5⃗PA可判断B；由余弦定理得cos A，平方关系求出sin A，得△ABC的外接
小试牛刀1
圆半径|AO|，利用⃗OE =- 7
25⃗OA可判断C；利用|OG|=|AO|-|AG|可判断D.
【详解】取BC边的中点E，连接AE，
因为|AB|=|AC|=5，所以内心P、外心O、重心G 都在中线AE上，
且AE⊥BC，|AE|=
❑√|AB|
2-|BE|
2= 4，内切圆半径r，
对于A，由S△ABC = 1
2|AE|×|BC|= 1
2 r (|AB|+|AC|+|BC|)得
1
2 ×4×6= 1
2 r (5+5+6)，解得r = 3
2，故A 正确；
对于B，因为|PE|= 3
2 ,|AP|= 4 - 3
2 = 5
2，所以⃗PE =- 3
5⃗PA，
6⃗PA +5⃗PB+5⃗PC =6⃗PA +5⋅(⃗PB+⃗PC)=6⃗PA +10⃗PE
=6⃗PA -10× 3
5 ×⃗PA =⃗0，故B 正确；
对于C，由余弦定理得cos A =|AB|
2+|AC|
2-|BC|
2
2|AB|⋅|AC|
= 25+25-36
2×25
= 7
25，
0< A <π，所以sin A =
❑√1-cos
2 A = 24
25 ，
所以△ABC的外接圆半径|AO|= |BC|
2sin A =
6
2× 24
25
= 25
8 ，
|OE|= 4 -|AO|= 4 - 25
8 = 7
8，所以⃗OE =- 7
25⃗OA，
所以6⃗OA +5⃗OB+5⃗OC =6⃗OA +5(⃗OB+⃗OC)=6⃗OA +10⃗OE，
=6⃗OA -10× 7
25⃗OA =- 16
5⃗OA ≠⃗0，故C 错误；
对于D，△ABC的外接圆半径|AO|= 25
8 ，
|AG|= 2
3|AE|= 8
3，所以|OG|=|AO|-|AG|= 25
8 - 8
3 = 11
24 ，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出内心P、外心O、重心G 都在中线AE上.
（23-24 高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC 中，O 为BC 的中点，若⃗MO⋅⃗BC =0，
则动点M 的轨迹必通过△ABC 的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【分析】本题根据O 是BC 的中点，结合给定的向量条件式，即可判断动点M 的轨迹.
【详解】因为⃗MO⋅⃗BC =0，所以⃗MO⊥⃗BC，
又因为O 是BC 的中点，所以直线MO 是BC 的中垂线，
故动点M 的轨迹必通过△ABC的外心.
故选：B.
（2025·广东江门·模拟预测）已知点O ,G分别是△ABC的外心，重心，
AB =3, AC =2，则⃗AO⋅⃗AG的值为 .
【答案】13
6 /2 1
6
【分析】设BC的中点为D，连接AD，OD，由G为△ABC的重心可得⃗AG = 1
3 (⃗AB+⃗AC)，由于O为
△ABC的外心，过点O作OH ⊥AB，垂足为H，可得⃗AB⋅⃗AO = 1
2|⃗AB|
2= 9
2，同理可得⃗
AC ⋅⃗AO = 1
2|⃗AC|
2=2，进而求解即可.
【详解】设BC的中点为D，连接AD，OD，
由于G为△ABC的重心，则G一定在线段AD上，且AG =2GD，
所以⃗AG = 2
3⃗AD = 2
3 × 1
2 (⃗AB+⃗AC)= 1
3 (⃗AB+⃗AC)，
由于O为△ABC的外心，过点O作OH ⊥AB，垂足为H，则H为AB中点，
则⃗AB⋅⃗AO =|⃗AB|⋅|⃗AO|⋅cos∠BAO=|⃗AB|⋅|⃗AH|= 1
2|⃗AB|
2= 9
2，
同理可得⃗AC ⋅⃗AO = 1
2|⃗AC|
2=2，
则⃗AO⋅⃗AG =⃗AO⋅1
3 (⃗AB+⃗AC)= 1
3⃗AB⋅⃗AO+ 1
3⃗AC ⋅⃗AO = 1
3 × 9
2 + 1
3 ×2= 13
6 .
故答案为：13
6 .
小试牛刀2
小试牛刀3
【热点题型4：奔驰定理与三角形内心】
（2025 高三·全国·专题练习）设G为△ABC的内心，AB =2，AC = 4，CB =3，⃗
AG = x⃗AB+ y⃗BC，则x = ，y = ．
【答案】 2
3； 2
9
【分析】根据三角形内心向量表示式，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】⃗AG = x⃗AB+ y⃗BC = x⃗AG+ x⃗GB+ y⃗BG+ y⃗GC，
即(1- x)⃗GA +(x - y)⃗GB+ y⃗GC =⃗0．
又因为G是三角形的内心，
所以3⃗GA + 4⃗GB+2⃗GC =⃗0，
则有1- x
3
= x - y
4
= y
2 ，解得x = 2
3，y = 2
9．
故答案为：2
3；2
9
【规律方法总结】
方法技巧：
1.内心的奔驰定理特征：若
为
的内心，a、b、c 分别为
中角A、B、C 对边的边长，则
.
2.面积关系：内心对应的三角形面积比为
（内心为角平分线交点，到各边距
离相等，面积比等于边长比）.
3.应用技巧：遇角平分线或内切圆相关问题，优先利用内心的奔驰定理向量式，将边长与向量系数关联.
（2025 高三·全国·专题练习）在△ABC中，I 为△ABC的内心，若
3⃗IA + 4⃗IB+5⃗IC =⃗0，则C = .
【答案】90°
【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为
直角三角形，从而得出C的值.
【详解】根据题意，画出图形为：
经典例题
小试牛刀1
因为I是△ABC的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知，
若m IA
→
+n IB
→
+ p IC
→
= 0
→
，则m:n: p=a:b:c，a,b,c分别为三角形三边BC , AC , AB的长度.
因为3 IA
→
+ 4 IB
→
+5 IC
→
= 0
→
，所以a:b:c =3:4:5，
根据勾股定理的逆定理，则C =90°.
故答案为：90°.
（24-25 高一下·福建福州·期中）点O在△ABC所在的平面内，若⃗
OA = λ(⃗
AC
|⃗AC|
+⃗AB
|⃗AB|)(λ≠0),则直线OA一定经过△ABC的 .（填:重心、内心、外心或垂心）
【答案】内心
【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得⃗AC
|⃗AC|
+⃗AB
|⃗AB|平分∠BAC，从而得结论.
【详解】⃗AC
|⃗AC|
,⃗AB
|⃗AB|分别表示⃗AC ,⃗AB同方向的单位向量，
故⃗AC
|⃗AC|
+⃗AB
|⃗AB|平分∠BAC，即⃗OA平分∠BAC，
所以直线OA一定经过△ABC的内心.
故答案为:内心.
（2025 高一·全国·专题练习）设I为△ABC的内心，且2⃗IA +3⃗IB+ ❑√7⃗IC =⃗0，则
角C为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
【答案】B
【分析】由内心的向量表示可得a:b:c，结合余弦定理的推论计算即可得.
【详解】∵I为△ABC的内心，
∴a⃗IA +b⃗IB+c⃗IC =⃗0，
小试牛刀2
小试牛刀3
∴a:b:c =2:3:❑√7，
设c = ❑√7 k ,b=3k ,a=2k，（k >0），
则cosC = 9k
2+ 4 k
2-7 k
2
2×2k ×3k
= 1
2，
又C ∈(0,π)，所以C =π
3 .
故选：B.
【热点题型5：奔驰定理与三角形垂心】
（2025 高三·全国·专题练习）已知点H在△ABC内，且是△ABC的垂心，若⃗
HA +2⃗HB+3⃗HC =⃗0，则A = ．
【答案】π
4
【分析】利用五心的向量表达式可求tan A :tan B:tanC =1:2:3，利用两角和的正切公式得
tan A +tan B+tanC =tan A tan BtanC，进而得6tan A =6tan
3 A，即可求解.
【详解】依题意，取AC的中点D，取BC的中点E，连接HD , HE，
则⃗HA +⃗HC =2⃗HD ,⃗HB+⃗HC =2⃗HE，
因为⃗HA +2⃗HB+3⃗HC =⃗0，所以(⃗HA +⃗HC)=-2(⃗HB+⃗HC)，所以⃗HD =-2⃗HE.
所以H , D , E三点共线，且HD: HE =2，连接DE，则DE // AB，且DE = 1
2 AB，
所以tan ∠CAB
tan ∠CBA = tan ∠CDH
tan ∠CEH =
CH
HD
CH
HE
= 1
2，
如图，延长AH ,BH ,CH分别交BC , AC , AB于点P ,T ,S，
在线段HA上取O，使得⃗HO = 1
5⃗HA.连接OB ,OC，
取OB的中点P，取OC的中点Q，连接HP, HQ，
则1
5⃗HA +⃗HC =⃗HO+⃗HC =2⃗HQ , 1
5⃗HA +⃗HB =⃗HO+⃗HB =2⃗HP，
经典例题
因为⃗HA +2⃗HB+3⃗HC =⃗0，所以2(
1
5⃗HA +⃗HB)=-3(
1
5⃗HA +⃗HC)⇒⃗HP =- 3
2⃗HQ，
所以H , P ,Q三点共线，且HP: HQ =3:2，
因为P ,Q为OB ,OC的中点，所以PQ // BC，且BC =2 PQ，所以BR =2 HP,CR =2 HQ，
所以tan ∠ABC
tan ∠ACB =
AR
BR
AR
RC
= RC
RB = 2
3，
综上可得tan A :tan B:tanC =1:2:3，
设tan A =k ,k >0⇒tan B =2k ,tanC =3k，
因为tan A = tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-tan B+tanC
1-tan BtanC ，
整理得tan A +tan B+tanC =tan A tan BtanC，可得6tan A =6tan
3 A，因为tan A ≠0，
所以tan A =±1．又tan A <tan B<tanC，所以tan A =1，所以A =π
4 ．
故答案为：π
4 .
【规律方法总结】
方法技巧：
1.垂心的向量特征：若
为
的垂心，则
（垂心为高的交点，邻边向
量数量积相等）.
2.奔驰定理对应关系：垂心对应的三角形面积比为
（A、B、C
为
的内角，需注意三角形为锐角三角形时
值为正）.
3.向量式表达：结合奔驰定理，垂心满足
.
（2025 高三·全国·专题练习）已知O是平面上一定点，A ,B ,C是平面上不共线的
三点，动点P满足⃗OP =⃗OA + λ(⃗
AB
|⃗AB|cosB
+⃗
AC
|⃗AC|cosC)，λ∈[0,+∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
【答案】B
【分析】根据数量积的运算可得⃗AP⋅⃗BC =0，进而根据可得AP⊥BC，结合垂线的定义即可求解.
【详解】由⃗OP⋅⃗BC =⃗OA ⋅⃗BC + λ¿
=⃗OA ⋅⃗BC + λ(-|⃗BC|+|⃗BC|)=⃗OA ⋅⃗BC，
则⃗OP⋅⃗BC -⃗OA ⋅⃗BC =0，即⃗AP⋅⃗BC =0，
故AP⊥BC，即点P的轨迹经过△ABC的垂心.
故选：B
小试牛刀1
（2025 高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有△ABC和一点O，且满足关系
式：⃗OA
2+⃗BC
2=⃗OB
2+⃗CA
2=⃗OC
2+⃗AB
2，则O为△ABC的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】D
【分析】根据⃗OA
2+⃗BC
2=⃗OB
2+⃗CA
2可得OC ⊥AB，同理根据⃗OB
2+⃗CA
2=⃗OC
2+⃗AB
2可得：OA ⊥BC，
所以O为△ABC的垂心.
【详解】由⃗OA
2+⃗BC
2=⃗OB
2+⃗CA
2 ⇒ ⃗OA
2-⃗OB
2=⃗CA
2-⃗BC
2，
⇒ (⃗OA -⃗OB)⋅(⃗OA +⃗OB)=(⃗CA -⃗BC)⋅(⃗CA +⃗BC)
⇒ ⃗BA ⋅(⃗OA +⃗OB)=(⃗CA -⃗BC)⋅⃗BA
⇒ ⃗BA ⋅(⃗OA +⃗OB)=(⃗OA -⃗OC -⃗OC +⃗OB)⋅⃗BA
⇒ ⃗OC ⋅⃗BA =0，所以OC ⊥AB.
同理由⃗OB
2+⃗CA
2=⃗OC
2+⃗AB
2可得：OA ⊥BC.
所以O为△ABC的垂心.
故选：D
（2025 高一·全国·专题练习）已知H为△ABC的垂心，AB = AC =5，BC =6，若⃗
AH =m⃗AB+n⃗BC，则m+n= ．
【答案】21
32
【分析】设⃗AH =m⃗AB+n⃗BC，根据向量线性运算得到⃗BH =(m-1)⃗AB+n⃗BC，并结合余弦定理求出⃗
AB⋅⃗AC =7，⃗AB⋅⃗BC =-18，⃗AC ⋅⃗BC =18，根据⃗BH ⋅⃗AC =⃗AH ⋅⃗BC =0得到方程组，求出m= 7
16 ，
n= 7
32，从而得到答案.
【详解】因为⃗AH =⃗AB+⃗BH，设⃗AH =m⃗AB+n⃗BC，
所以⃗AB+⃗BH =m⃗AB+n⃗BC，故⃗BH =(m-1)⃗AB+n⃗BC．
其中cos∠BAC = A B
2+ A C
2- BC
2
2 AB⋅AC
= 25+25-36
50
= 7
25，
故⃗AB⋅⃗AC =|⃗AB|⋅|⃗AC|cos∠BAC =7，
又cos∠ABC = A B
2+ BC
2- A C
2
2 AB⋅BC
= 25+36-25
60
= 9
15，
故⃗AB⋅⃗BC =|⃗AB|⋅|⃗BC|cos(π-∠BAC)=-18，同理可得⃗AC ⋅⃗BC =18，
而⃗BH ⋅⃗AC =(m-1)⃗AB⋅⃗AC +n⃗BC ⋅⃗AC =7(m-1)+18n=0，
小试牛刀2
小试牛刀3
⃗
AH ⋅⃗BC =m⃗AB⋅⃗BC +n⃗BC
2=-18m+36n=0，
联立方程解得m= 7
16，n= 7
32，所以m+n= 21
32．
故答案为：21
32
一、单选题
1．（24-25 高一下·广东深圳·期中）若G是△ABC的重心，且⃗AG = λ⃗AB+ μ⃗AC（λ , μ为实数），则
λ+ μ=（ ）
A．1
3
B．2
3
C．1
D．4
3
【答案】B
【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得.
【详解】
如图，延长AG交BC于点M，因G是△ABC的重心，则点M为BC的中点，
则⃗AG = 2
3⃗AM，代入⃗AG = λ⃗AB+ μ⃗AC整理得⃗AM = 3 λ
2⃗AB+ 3 μ
2⃗AC，
因点M在BC上，故得3 λ
2 + 3 μ
2 =1，则λ+ μ= 2
3.
故选：B
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，若
sin2 A ×⃗OA +sin2B×⃗OB+sin2C ×⃗OC =⃗0，则点O是△ABC的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】A
【分析】先转化为共起点的向量，再利用三角恒等变换化简有序数对，最后等式两边点乘对边向量，由数
量积的值进行判定．
【详解】 原式变形为：⃗
AO =sin2B
sin2 A +sin2B+sin2C⃗AB +sin2C
sin2 A +sin2B+sin2C⃗AC．
因为sin2 A +sin2B+sin2C
=sin[( A + B)+( A - B)]+sin[( A + B)-( A - B)]+sin2C
课后针对训练
=2sin( A + B)cos( A - B)+sin2[π-( A + B)]
=2sin( A + B)[cos( A - B)-cos( A + B)]
= 4sin A sin BsinC，
所以sin2B
sin2 A +sin2B+sin2C =
2sin BcosB
4sin A sin BsinC = cosB
2sin A sinC = 1
2 -cos A cosC
2sin A sinC ，
同理，sin2C
sin2 A +sin2B+sin2C = 1
2 -cos A cosB
2sin A sin B ，
所以⃗AB+⃗AC
2
-⃗AO =cos A cosC
2sin A sinC⃗AB+cos A cosB
2sin A sin B ×⃗AC =⃗OE（其中E为BC的中点，内角
A ,B ,C的对边分别为a,b,c）．⃗
OE⋅⃗BC =cos A cosC
2sin A sinC (⃗AB⋅⃗BC)+cos A cosB
2sin A sin B (⃗AC ⋅⃗BC)
=cos A cosC (-cosB)
2sin A sinC
ac +cos A cosBcosC
2sin A sin B
ab
= acos A cosBcosC
2sin A
(-
c
sinC +
b
sin B)=0（由三角形的高得到csin B =bsinC，即
-
c
sinC +
b
sin B =0），
即OE⊥BC．
同理，OF ⊥AB，其中F为AB的中点．
所以O是△ABC的外心，
故选：A．
3．（2025 高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，若
tan A ×⃗OA +tan B×⃗OB+tanC ×⃗OC =⃗0，则点O是△ABC的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】D
【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定．
【详解】原式变形为⃗AO =tan B
tan A +tan B+tanC⃗AB+tanC
tan A +tan B+tanC⃗AC，⃗
AO⋅⃗BC =tan B
tan A +tan B+tanC⃗AB⋅⃗BC +tanC
tan A +tan B+tanC⃗AC ⋅⃗BC
=tan B (-cosB)
tan A +tan B+tanC ac +tanC cosC
tan A +tan B+tanC ab
=
a
tan A +tan B+tanC
(-sin B×c +sinC ×b)=-sin B×ac+sinC ×ab
tan A +tan B+tanC
=0，
所以AO⊥BC，同理，BO⊥AC．
所以O是△ABC的垂心，
故选：D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）在△ABC中，P为线段AB上的一点，满足|⃗CA|-|⃗CB|=2，|⃗AB|=2❑√5，⃗
CA ⋅⃗CP
|⃗CA|
=⃗CB⋅⃗CP
|⃗CB|
，I为CP上一点，且⃗BI =⃗BA + λ(⃗
AC
|⃗AC|
+⃗AP
|⃗AP|)，则⃗BI ⋅⃗BA
|⃗BA|
=（ ）
A．❑√5+1
B．❑√5-1
C．❑√5
D．2❑√5-1
【答案】B
【分析】利用数量积公式和向量的四则运算可得I是△ABC的内心，根据内切圆的性质解出|⃗BD|，再利用
数量积公式和几何性质化简⃗BI ⋅⃗BA
|⃗BA|
即可求解.
【详解】由⃗CA ⋅⃗CP
|⃗CA|
=⃗CB⋅⃗CP
|⃗CB|
可得|CA⃗||CP⃗|cos∠ACP
|CA⃗|
=|CB⃗||CP⃗|cos∠BCP
|CB⃗|
，
所以∠ACP =∠BCP，
又⃗BI =⃗BA + λ(⃗
AC
|⃗AC|
+⃗AP
|⃗AP|)，即⃗AI = λ(⃗
AC
|⃗AC|
+⃗AP
|⃗AP|)，
所以I在∠CAP的平分线上，所以I是△ABC的内心，
如图所示，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D , E , F，
由题意可得¿，解得|⃗BD|= ❑√5-1，
所以⃗BI ⋅⃗BA
|⃗BA|
=|⃗BI||⃗BA|cos∠ABI
|⃗BA|
=|⃗BI|cos∠ABI =|⃗BD|= ❑√5-1，
故选：B
5．（23-24 高一下·贵州遵义·月考）已知G ,O , H在△ABC所在平面内，满足⃗
GA +⃗GB+⃗GC =⃗0,|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，⃗HA ⋅⃗HB =⃗HB⋅⃗HC =⃗HC ⋅⃗HA，则点G ,O , H依次是△ABC的
（ ）
A．重心，内心，外心
B．重心，外心，垂心
C．垂心，内心，重心
D．外心，重心，内心
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断.
【详解】因为⃗GA +⃗GB+⃗GC =⃗0，所以⃗GA +⃗GB =-⃗GC，
设AB中点为D，则⃗GA +⃗GB =2⃗GD，所以-⃗GC =2⃗GD，
所以C ,G , D三点共线，即G为△ABC的中线CD上的点，且|GC|=2|GD|，
所以G为△ABC的重心；
因为|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，所以|OA|=|OB|=|OC|，所以O是△ABC的外心；
因为⃗HA ⋅⃗HB =⃗HB⋅⃗HC =⃗HC ⋅⃗HA，所以⃗HB⋅(⃗HA -⃗HC)=0，即⃗HB⋅⃗CA =0，
所以⃗HB⊥⃗AC，同理可得⃗HA ⊥⃗BC，⃗HC ⊥⃗AB，所以H是△ABC的垂心.
故选：B
6．（24-25 高一下·四川·期中）已知N , P ,O在△ABC所在平面内，满足⃗NA +⃗NB+⃗NC =⃗0，且⃗
PA ⋅⃗PB =⃗PB⋅⃗PC =⃗PC ⋅⃗PA，⃗
OA ⋅(⃗
AB
|⃗AB|
+⃗
CA
|⃗CA |)=⃗OB⋅(⃗
BA
|⃗BA |
+⃗
CB
|⃗CB|)=⃗OC ⋅(⃗
BC
|⃗BC |
+⃗
CA
|⃗CA |)=0，则点N , P ,O依次是
△ABC的（ ）
A．垂心，外心，内心
B．重心，外心，内心
C．重心，垂心，外心
D．重心，垂心，内心
【答案】D
【分析】根据中线的性质，可得N为重心；根据向量垂直，即得到P是垂心. 利用数量积的定义可判断O为
内心.
【详解】
由⃗NA +⃗NB+⃗NC =0，则⃗NA +⃗NB =-⃗NC，
取AB的中点E，则⃗NA +⃗NB =-2⃗NE =⃗CN，
所以2|⃗NE|=|⃗CN|，所以N是△ABC的重心；
由⃗PA ⋅⃗PB =⃗PB⋅⃗PC =⃗PC ⋅⃗PA，得(⃗PA -⃗PC )⋅⃗PB =0，即⃗AC ⋅⃗PB =0，
所以AC ⊥PB，同理AB⊥PC，所以点P为△ABC的垂心.
由⃗OA ⋅(⃗
AB
|⃗AB|
+⃗
CA
|⃗CA |
)=0，得⃗OA ⋅⃗AB
|⃗AB|
=⃗OA ⋅⃗AC
|⃗CA |
，则cos∠OAB =cos∠OAC，
而点O在△ABC内，则∠OAB ,∠OAC ∈(0,π)，即∠OAB =∠OAC，因此OA平分角∠BAC，
同理OB ,OC分别平分∠ABC ,∠ACB，从而点O是△ABC的内心，
故选：D
7．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB
的面积分别记为S1、S2、S3，则S1⋅⃗OA + S2⋅⃗OB+ S3⋅⃗OC =⃗0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美
的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O
是△ABC的垂心，且2⃗OA +3⃗OB+ 4⃗OC =⃗0，则tan A =（ ）
A．
❑√6
4
B．
❑√6
2
C．3 ❑√6
4
D．❑√6
【答案】B
【分析】延长CO交AB与点P，结合三角形面积公式得S1:S2:S3= tan A :tan B:tanC，再由已知有
tan A :tan B:tanC =2:3:4，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值.
【详解】∵O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P，
S1:S2=(
1
2 ⋅OC ⋅BP):(
1
2 ⋅OC ⋅AP)= BP: AP = tan A :tan B，同理
S1:S3= tan A :tanC，
∴S1:S2:S3= tan A :tan B:tanC，又S1⋅⃗OA + S2⋅⃗OB+ S3⋅⃗OC =⃗0，
∴tan A ⋅⃗OA + tan B⋅⃗OB+ tanC ⋅⃗OC =⃗0，又2⃗OA +3⃗OB+ 4⃗OC =⃗0，
∴tan A :tan B:tanC =2:3:4，
不妨设tan A =2k，tan B =3k，tanC = 4 k，其中k ≠0，
tan A = tan[π-(B+C)]=- tan (B+C)=- tan B+ tanC
1- tan B tanC ，
∴2k =- 3k + 4 k
1-12k
2，化简整理得k
2= 3
8，解得k =
❑√6
4 （负值舍），
所以tan A =2k =
❑√6
2
.
故选：B
二、多选题
8．（22-23 高一下·福建福州·月考）已知P为△ABC所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若⃗AP = λ(⃗AB+⃗AC)，λ∈[0,+ ∞)，则动点P的轨迹经过△ABC的内心
B．若O 为平面内任意一点，⃗OP = 1
3 （⃗OA +⃗OB+⃗OC ），则点P为△ABC的重心
C．若P为△ABC的垂心，⃗AB⋅⃗AC =2，则⃗AP⋅⃗AB =2
D．若P为锐角△ABC的外心，⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC且x +2 y =1，则AB = BC
【答案】BCD
【分析】根据三角形中中线的向量表示可判断A；根据向量的线性运算得到⃗AP =2⃗PM可判断B；根据⃗
AB⋅⃗PC =0，⃗AC =⃗AP+⃗PC计算可判断C；设D为AC中点，则根据题意得B , P , D三点共线，且
PD⊥AC，进而得判断D.
【详解】对于A 选项，设BC中点为M，如图，
则⃗AP = λ(⃗AB+⃗AC)= λ⃗AM，λ∈[0,+ ∞)，
所以P 点轨迹经过三角形的重心，故A 不正确；
对于B 选项，⃗OP = 1
3 (⃗OA +⃗OB+⃗OC)⇒3⃗OP =⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗OA +2⃗OM，
可得 ⃗OP -⃗OA =2⃗OM -2⃗OP，即⃗AP =2⃗PM，所以点P为△ABC的重心,故B 正确；
对于C 选项，因为⃗AC =⃗AP+⃗PC，⃗AB⋅⃗AC =2，又因为P为△ABC的垂心，
所以⃗AB⋅⃗PC =0，所以⃗AB⋅⃗AC =⃗AB⋅(⃗AP+⃗PC)=⃗AB⋅⃗AP+⃗AB⋅⃗PC =⃗AB⋅⃗AP =2，故正确；
对于D 选项，因为⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC且x +2 y =1，
所以⃗AP =(1-2 y)⃗AB+ y⃗AC，整理得：⃗AP -⃗AB = y(⃗AC -2⃗AB)，即⃗BP = y(⃗BC +⃗BA )，
设D为AC中点，则⃗BP =2 y⃗BD，所以B , P , D三点共线，如图，
又因为PD⊥AC，所以BD垂直平分AC，故AB = BC，正确.
故选：BCD
9．（24-25 高一下·山东泰安·期中）已知a,b,c分别是△ABC三个内角A ,B ,C的对边，点O是△ABC内
部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若⃗AB⋅⃗BC <0，则△ABC为锐角三角形
B．若O是△ABC的重心，则⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0
C．若O为△ABC的垂心，⃗AB⋅⃗AC =2，则⃗AO⋅⃗AB =2
D．若2⃗OA +⃗OB+3⃗OC =⃗0,S△AOC ,S△ABC分别表示△AOC ,△ABC的面积，则S△AOC:S△ABC =1:6
【答案】BCD
【分析】对于A，由数量积的定义，可得夹角余弦值小于零，可得其正误；对于B，由重心的性质，根据
平面向量的加法，可得其正误；由垂心的定义，根据数量积定义式以及锐角三角函数，可得其正误；对于
D，由平面向量的加法与数乘，可得点的位置，根据三角形的等积变换，可得其正误.
【详解】对于A，由⃗AB⋅⃗BC =|⃗AB||⃗BC|cos(π-∠ABC )<0，则cos(π-∠ABC)<0，即
0<∠ABC <π
2 ，
所以△ABC仅仅只可得一个角为锐角，故A 错误；
对于B，由题意可作图如下：
则D为BC的中点，且AO =2OD，所以⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗OA +2⃗OD =⃗0，故B 正确；
对于C，由题意可作图如下：
则CE⊥AB，所以⃗AB⋅⃗AC =|⃗AB||⃗AC|cos∠BAC =|⃗AB||⃗AE|=|⃗AB||⃗AO|cos∠BAO =⃗AB⋅⃗AO =2，
故C 正确；
对于D，由题意可作图如下：
则F ,G分别为AC , AB的中点，2⃗OA +⃗OB+3⃗OC =2(⃗OA +⃗OC)+⃗OB+⃗OC = 4⃗OF +2⃗OG =⃗0，
可得O为FG上靠近F的三等分点，易知S△AOC = 1
3 S△AGC = 1
3 × 1
2 S△ABC，即S△AOC:S△ABC =1:6，故D 正确.
故选：BCD.
10．（24-25 高一下·山东·月考）点O，H 分别是△ABC的外心、垂心，则下列选项正确的是（ ）．
A．若⃗BD = λ(⃗
BA
|⃗BA|
+⃗BC
|⃗BC|)且⃗BD = μ⃗BA +(1- μ)⃗BC，则⃗AD =⃗DC
B．若2⃗BO =⃗BA +⃗BC，且AB =2，则⃗AC ⋅⃗AB = 4
C．若∠B =π
3 ，⃗OB =m⃗OA +n⃗OC，则m+n的取值范围为(-2,1]
D．若2⃗HA +3⃗HB+ 4⃗HC =⃗0，则cos∠BHC =-
❑√10
5
【答案】BD
【分析】根据向量的运算以及基本定理的推理，确定D的位置可判断A；根据条件可得∠ABC =90
∘，结
合数量积的运算可判断B；建立坐标系，将m+n用三角函数表示出来，根据三角函数的性质可判断C；根
据垂心的性质，得⃗HA ⋅⃗HC =⃗HA ⋅⃗HB =⃗HB⋅⃗HC，再结合数量积公式求解可判断D.
【详解】对于A：由⃗BD = μ⃗BA +(1- μ)⃗BC可知，点A , D ,C共线，
由⃗BD = λ(⃗
BA
|⃗BA|
+⃗BC
|⃗BC|)可知，点D在∠CBA的平分线上，
所以BD为△ABC的角平分线，所以AD与DC不一定相等，故A错误；
对于B：若2⃗BO =⃗BA +⃗BC，则O为AC的中点，
又O为△ABC的外心，所以∠ABC =90
∘，
所以⃗AC ⋅⃗AB =|⃗AC||⃗AB|cos A =|⃗AC|×2×
2
|⃗AC|
= 4，故B错误；
对于C：因为∠B =π
3 ，所以∠AOC =2π
3 ，
如图，建立平面直角坐标系，
设C (r ,0)，A(- 1
2 r ,
❑√3
2 r)，B (r cosθ ,r sinθ),θ∈(
2π
3 ,π)，
因为⃗OB =m⃗OA +n⃗OC，所以¿，
得m= 2
❑√3 sinθ ,n=cosθ+ 1
❑√3 sinθ，
所以m+n=cosθ+ ❑√3sinθ =2sin(θ+π
6 ),θ∈(
2π
3 ,π)，
θ+π
6 ∈(
5π
6 ,13π
6 )，sin(θ+π
6 )∈[-1, 1
2 )，
所以m+n∈[-2,1)，故C错误；
对于D：因为⃗AH ⊥⃗BC，所以⃗AH ⋅⃗BC =0，
即⃗AH ⋅(⃗HC -⃗HB)=⃗AH ⋅⃗HC -⃗AH ⋅⃗HB =0，则⃗HA ⋅⃗HC =⃗HA ⋅⃗HB，
同理可得⃗HA ⋅⃗HC =⃗HB⋅⃗HC，
所以⃗HA ⋅⃗HC =⃗HA ⋅⃗HB =⃗HB⋅⃗HC，
设⃗HA ⋅⃗HC =⃗HA ⋅⃗HB =⃗HB⋅⃗HC = x，
因为2⃗HA +3⃗HB+ 4⃗HC =⃗0，所以3⃗HB =-2⃗HA - 4⃗HC，
即3⃗HB
2=-2⃗HA ⋅⃗HB- 4⃗HC ⋅⃗HB=-6 x，则|⃗HB|= ❑√-2 x，
4⃗HC =-2⃗HA -3⃗HB，
即4⃗HC
2=-2⃗HA ⋅⃗HC -3⃗HB⋅⃗HC =-5 x，则|⃗HC|= ❑√- 5
4 x，
所以cos∠BHC =cos⟨⃗HB ,⃗HC⟩=⃗HB⋅⃗HC
|⃗HB||⃗HC|
=
x
❑√
5
2 x
2.
因为x<0，所以cos∠BHC =
x
❑√
5
2 x
2
=
x
|x|❑√
5
2
=-
❑√10
5
，故D正确.
故选：BD.
11．（24-25 高一下·安徽合肥·月考）已知P 为△ABC所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若P 为△ABC的垂心，⃗AB⋅⃗AC =2，则⃗AP⋅⃗AB =2
B．若P 为锐角△ABC的外心，⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC且x +2 y =1，则AB = BC
C．若P 为△ABC的重心，则⃗AP = 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
D．若⃗AP =(
1
|⃗AB|cos B
+ 1
2)AB⃑+(
1
|⃗AC |cosC
+ 1
2)⃗AC，则点P 的轨迹经过△ABC的内心
【答案】AB
【分析】根据⃗AB⋅⃗PC =0,⃗AC =⃗AP+⃗PC计算可判断A；设D为AC中点，则根据题意得B , P , D三点共
线，且PD⊥AC，进而得AB = BC判断B；由重心的性质可知⃗
AP = 2
3⃗AE = 2
3 × 1
2 (⃗AB+⃗AC )= 1
3⃗AB+ 1
3⃗AC可判断C；设BC中点为E，根据题意计算⃗AP⋅⃗BC得⃗
AP⋅⃗BC -⃗AE⋅⃗BC =0，进而得⃗EP⋅⃗BC =0可判断D．
【详解】对于A 选项，因为⃗AC =⃗AP+⃗PC ,⃗AB⋅⃗AC =2，又因为P为△ABC的垂心，所以⃗AB⋅⃗PC =0，
所以⃗AB⋅⃗AC =⃗AB⋅(⃗AP+⃗PC )=⃗AB⋅⃗AP+⃗AB⋅⃗PC =⃗AB⋅⃗AP =2，故A 正确；
对于B 选项，因为⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC且x +2 y =1，
所以⃗AP =(1-2 y)⃗AB+ y⃗AC，整理得：⃗AP -⃗AB = y(⃗AC -2⃗AB)，即⃗BP = y(⃗BC +⃗BA )，
如图所示，设D为AC中点，则BP⃗= y(BC⃗+ BA⃗)=2 y BD⃗，所以B , P , D三点共线，
又因为P为锐角△ABC的外心，则PD⊥AC，所以BD垂直平分AC，故AB = BC，故B 正确；
对于C 选项，如图所示，设BC中点为E，则⃗AB+⃗AC =2⃗AE，由重心的性质可知
⃗
AP = 2
3⃗AE = 2
3 × 1
2 (⃗AB+⃗AC )= 1
3⃗AB+ 1
3⃗AC，故C 错误；
对于D 选项，因为
AP
→
=(
1
| AB⃗|cos B
+ 1
2)
AB
→
+(
1
| AC⃗|cosC
+ 1
2)
AC
→
=
1
| AB⃗|cos B
AB
→
+
1
| AC⃗|cosC
AC⃗+ 1
2 ( AB
→
+ AC⃗)，
如图所示，设BC中点为E，则⃗AB+⃗AC =2⃗AE，所以⃗AP =
1
|⃗AB|cos B⃗
AB+
1
|⃗AC |cosC⃗
AC +⃗AE，
所以
AP
→
⋅BC⃗=
1
| AB⃗|cos B
AB⃗⋅BC⃗+
1
| AC⃗|cosC
AC⃗⋅BC⃗+ AE⃗⋅BC⃗=-|BC⃗|+|BC⃗|+ AE⃗⋅BC⃗= AE⃗⋅BC⃗
，
所以⃗AP⋅⃗BC -⃗AE⋅⃗BC =0，即(⃗AP -⃗AE)⋅⃗BC =0，
所以⃗EP⋅⃗BC =0，故P在BC中垂线上，故点P的轨迹经过△ABC的外心，故D 错误．
故选：ABC.
12．（24-25 高一下·福建厦门·月考）已知点P在△ABC所在的平面内，λ∈R，则下列命题正确的是
（ ）
A．若⃗PA ⋅⃗PB =⃗PB⋅⃗PC =⃗PC ⋅⃗PA，则点P是△ABC的垂心
B．若(⃗PA +⃗PB)⋅⃗AB =(⃗PB+⃗PC)⋅⃗BC =0，则|⃗PA|=|⃗PB|=|⃗PC|
C．若⃗AP = λ(⃗
AB
|⃗AB|sin B
+⃗
AC
|⃗AC|sinC)，则动点P的轨迹经过△ABC的内心
D．若⃗AP =(
λ
|⃗AB|cosB
+ 1
2)⋅⃗AB+(
λ
|⃗AC|cosC
+ 1
2)⋅⃗AC，则动点P的轨迹经过△ABC的外心
【答案】ABD
【分析】根据向量数量积的运算，结合三角形内心，外心，垂心和重心的性质，即可判断选项.
【详解】A.由⃗PA ⋅⃗PB =⃗PB⋅⃗PC =⃗PB⋅(⃗PA -⃗PC)=⃗PB⋅⃗CA =0，
即PB⊥AC，同理PC ⊥AB，PA ⊥BC，则点P是△ABC的垂心，故A 正确；
B. 若(⃗PA +⃗PB)⋅⃗AB =(⃗PB+⃗PC)⋅⃗BC =0，则点P是△ABC垂直平分线的交点，则|⃗PA|=|⃗PB|=|⃗PC|，
故B 正确；
C.由正弦定理得|⃗AB|
sinC = |⃗AC|
sin B
，故|⃗AB|sin B =|⃗AC|sinC，
故⃗AP = λ(⃗
AB
|⃗AB|sin B
+⃗
AC
|⃗AC|sinC)=
λ
|⃗AB|sin B
(⃗AB+⃗AC)，
取BC的中点N，则⃗AP =
2 λ
|⃗AB|sin B⃗
AN，
故点P在△ABC的中线上，则动点P的轨迹经过△ABC的重心，故C 错误；
D. ⃗AP =(
λ
|⃗AB|cosB
+ 1
2)⋅⃗AB+(
λ
|⃗AC|cosC
+ 1
2)⋅⃗AC
=
λ⃗AB
|⃗AB|cos B
+
λ⃗AC
|⃗AC|cosC
+ 1
2 (⃗AB+⃗AC)
设BC的中点为N，1
2 (⃗AB+⃗AC)=⃗AN，
所以⃗AP =
λ⃗AB
|⃗AB|cos B
+
λ⃗AC
|⃗AC|cosC
+⃗AN，⃗
AP⋅⃗BC = λ⃗AB⋅⃗BC
|⃗AB|cos B
+ λ⃗AC ⋅⃗BC
|⃗AC|cosC
+⃗AN ⋅⃗BC =- λ|⃗BC|+ λ|⃗BC|+⃗AN ⋅⃗BC，
=⃗AN ⋅⃗BC，
所以⃗AP⋅⃗BC -⃗AN ⋅⃗BC =(⃗AP -⃗AN )⋅⃗BC =⃗NP⋅⃗BC =0，
故点P在BC的中垂线上，故动点P的轨迹经过△ABC的外心，故D 正确.
故选：ABD
13．（25-26 高一·全国·假期作业）以下命题中，正确的有（ ）
A．若P是△ABC的重心，则有⃗PA +⃗PB+⃗PC =⃗0
B．若a⋅⃗PA +b⋅⃗PB+c⋅⃗PC =⃗0，则P是△ABC的内心
C．若⃗AP = 1
5⃗AB+ 2
5⃗AC，则S△PBC:S△PAC:S△PAB=2:2:1
D．若P是△ABC的外心，且A =π
4 ，则⃗PA +sin∠APC ⋅⃗PB+sin(
3π
2 -∠APC)⋅⃗PC =⃗0
【答案】ABD
【分析】根据三角形重心的性质可得S△PBC = S△PAC = S△PAB，结合奔驰定理可判断A; 设点P 到边
BC , AC , AB的距离分别为h1,h2,h3，结合三角形面积公式可得ah1⋅⃗PA +bh2⋅⃗PB+c h3⋅⃗PC =⃗0，与条
件比较，可判断B;由⃗AP = 1
5⃗AB+ 2
5⃗AC化简得2⃗PA +⃗PB+2⃗PC =⃗0，和奔驰定理比较可判断C;由三角形
外心性质结合三角形面积公式可判断D.
【详解】对于A：P是△ABC的重心，则S△PBC = S△PAC = S△PAB,
代入S△PBC⋅⃗PA + S△PAC⋅⃗PB+ S△PAB⋅⃗PC =⃗0就得到⃗PA +⃗PB+⃗PC =⃗0，故A 正确；
对于B：设点P 到边BC , AC , AB的距离分别为h1,h2,h3，
由S△PBC⋅⃗PA + S△PAC⋅⃗PB+ S△PAB⋅⃗PC =⃗0得，1
2 ah1⋅⃗PA + 1
2 bh2⋅⃗PB+ 1
2 c h3⋅⃗PC =⃗0，
即ah1⋅⃗PA +bh2⋅⃗PB+c h3⋅⃗PC =⃗0，
与已知条件a⋅⃗PA +b⋅⃗PB+c⋅⃗PC =⃗0比较知，h1=h2=h3，则P是△ABC的内心，故B 正确；
对于C：⃗AP = 1
5⃗AB+ 2
5⃗AC = 1
5 (⃗PB -⃗PA)+ 2
5 (⃗PC -⃗PA)，即2⃗PA +⃗PB+2⃗PC =⃗0，
与S△PBC⋅⃗PA + S△PAC⋅⃗PB+ S△PAB⋅⃗PC =⃗0比较得到，S△PBC:S△PAC:S△PABC =2:1:2，故C 错误；
对于D：P是△ABC的外心，且∠A =π
4 ，则∠BPC =π
2 ，设三角形外接圆半径为R，
所以S△PBC = 1
2 R
2,S△PAC = 1
2 R
2sin∠APC ,S△PAB= 1
2 R
2sin(
3π
2 -∠APC)，
代入奔驰定理即可得到⃗PA +sin∠APC ⋅⃗PB+sin(
3π
2 -∠APC)⋅⃗PC =⃗0，故D 正确，
故选：ABD.
如图，P为△ABC内任意一点，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，
则总有优美等式S△PBC⋅⃗PA + S△PAC⋅⃗PB+ S△PAB⋅⃗PC =⃗0成立，此结论称为三角形中的奔驰定理.
14．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，
△AOB的面积分别为S A ,SB,SC，则S A⋅⃗OA + SB⋅⃗OB+ SC⋅⃗OC =⃗0．如图，设O是△ABC内一点，
△ABC的三个内角分别为A ,B ,C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S A ,SB,SC，若
3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC =⃗0，则以下命题正确的有（ ）
A．S A:SB:SC =3:4:5
B．O有可能是△ABC的重心
C．若O为△ABC的外心，则sin A :sin B:sinC =3:4:5
D．若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形
【答案】AD
【分析】根据奔驰定理即可求解A，根据重心的性质即可求解B，根据外心的性质，结合三角形面积公式
可求解C，利用面积公式，结合内心的性质求解D.
【详解】对于A，由奔驰定理可得，3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC = S A⋅⃗OA + SB⋅⃗OB+ SC⋅⃗OC =⃗0，
因为⃗OA ,⃗OB ,⃗OC不共线，所以S A:SB:SC =3:4:5，故A 正确；
对于B，若O是△ABC的重心，则⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，因为3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC =⃗0，
消去OA
→
，可得⃗OB =2⃗CO，即O ,B ,C三点共线，与题意不符，故B 错误；
对于C，当O为△ABC的外心时，|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，所以S A = 1
2 O B
2sin∠BOC，
故由A 项结论，S A:SB:SC =sin∠BOC :sin∠AOC :sin∠AOB =3:4:5，
即sin2 A :sin2B:sin2C =3:4:5，故C 错误；
对于D，当O为△ABC的内心时，S A:SB:SC = 1
2 ar : 1
2 br : 1
2 cr =a:b:c，
因S A:SB:SC =3:4:5，（r为内切圆半径，a,b,c分别为角A ,B ,C的对边），
则a:b:c =3:4:5，所以a
2+b
2=c
2，即C =π
2 ，故D 正确．
故选：AD
15．（25-26 高三上·山东青岛·月考）在△ABC 中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（ ）
A．若点O 为△ABC 的重心，则⃗AO =⃗OB+⃗OC
B．若点O 为△ABC 的外心，则⃗AO⋅⃗AB =6
C．若点O 为△ABC 的垂心，则⃗AO⋅⃗AB = 5
2
D．若点O 为△ABC 的内心，且⃗AO = x⃗AB+ y⃗AC，则x + y = 3
5
【答案】ACD
【分析】A 选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B 选项，根据外心性质和向量的数量积
运算法则求解即可；C 选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D 选项，根据三角形内心
的性质及向量三点共线求系数和即可.
【详解】A 选项，如图1，设BC 中点为D，则⃗OB+⃗OC =2⃗OD，由于点O 为△ABC 的重心，则⃗
AO =2⃗OD，所以⃗AO =⃗OB+⃗OC，A 选项正确；
B 选项，如图2，设AB 中点为E，由于点O 为△ABC 的外心,则OE垂直AB，⃗
AO⋅⃗AB =(⃗AE -⃗OE)⋅⃗AB =⃗AE⋅⃗AB -⃗OE⋅⃗AB = 1
2|⃗AB|
2-0=8，B 选项错误；
C 选项，如图3，作CF ⊥AB，垂足为F，则O在CF上，在△ABC 中由余弦定理可得
cos∠A = A B
2+ A C
2- BC
2
2 AB⋅AC
= 1
8，在直角△ACF 中，AF = AC ⋅cos A = 5
8，
所以⃗AO⋅⃗AB =(⃗AF -⃗OF )⋅⃗AB =⃗AF ⋅⃗AB -⃗OF ⋅⃗AB =|⃗AF|⋅|⃗AB|-0= 5
2，C 选项正确；
D 选项，如图4，设△ABC 的内切圆半径为r，由cos A = 1
8可得sin A = 3 ❑√7
8
，
则S△ABC = 1
2 AB⋅AC ⋅sin A = 1
2 ( AB+ AC + BC )⋅r，r =
❑√7
2 ，
由cos A = 1
8 =1-2sin
2 A
2 =2cos
2 A
2 -1，且A为三角形内角，可得sin A
2 =
❑√7
4 ，cos A
2 = 3
4 ，
则AO =
r
sin A
2
=2
，
延长AO交BC于点G，
则S△ABC = S△ABG+ S△ACG即1
2 AB⋅AC ⋅sin A = 1
2 AB⋅AG⋅sin A
2 + 1
2 AC ⋅AG⋅sin A
2 ，
则AG=
2 AB⋅AC ⋅cos A
2
AB+ AC
= 10
3
，则⃗AG =5
3⃗AO =5
3 x⃗AB+5
3 y⃗AC，
由于B、C、G 三点共线，则5
3 x +5
3 y =1，x + y = 3
5，D 选项正确；
故选：ACD.
16．（2026 高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非
常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已
知M 是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为S A，SB，SC，且
S A⋅⃗MA + SB⋅⃗MB+ Sc⋅⃗MC =⃗0.以下命题正确的有（ ）
A．若S A:SB:SC =1:1:1，则M 为△ABC的重心
B．若M 为△ABC的内心，则BC ⋅⃗MA + AC ⋅⃗MB+ AB⋅⃗MC =⃗0
C．若M 为△ABC的垂心，3⃗MA + 4⃗MB+5⃗MC =⃗0，则
tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠BCA =3:4:5
D．若∠BAC = 45°，∠ABC =60°，M 为△ABC的外心，则S A:SB:SC = ❑√3:2:1
【答案】ABC
【分析】对于A，取BC中点D，连接MD , AM，由题意可得2⃗MD =-⃗MA，即有⃗AM = 2
3⃗AD，同理可得⃗
CM = 2
3⃗CE，⃗BM = 2
3⃗BF，即可判断；对于B，设内切圆的半径为r，由三角形的面积公式可得
1
2 BC ⋅r ⋅⃗MA + 1
2 AC ⋅r ⋅⃗MB+ 1
2 AB⋅r ⋅⃗MC =0，整理即可判断；对于C，由题意可得
S A:SB:SC =3:4:5，再由三角形的面积公式可得 AD
MD = 4，BF
MF =3，设MD = x , MF = y，可得
3 x
2=2 y
2，进而可得tan ∠ABC = 4
❑√5，tan ∠BAC = 3
❑√5，tan ∠BCA = 5
❑√5 ，即可判断；对于D，设
△ABC的外接圆半径为R，根据题意及三角形的面积公式可得S A = 1
2 R
2，SB=
❑√3
4 R
2，SC = 1
4 R
2，即可判
断.
【详解】A 选项，因为S A:SB:SC =1:1:1，所以⃗MA +⃗MB+⃗MC =⃗0，
取BC的中点D，则⃗MB+⃗MC =2⃗MD，所以2⃗MD =-⃗MA，
故A , M , D三点共线，且MA =2 MD，
同理，取AB中点E，AC中点F，可得B , M , F三点共线，C , M , E三点共线，
所以M 为△ABC的重心，A 正确；
B 选项，若M 为△ABC的内心，可设内切圆半径为r，
则S A = 1
2 BC ⋅r，SB= 1
2 AC ⋅r，SC = 1
2 AB⋅r，
所以1
2 BC ⋅r ⋅⃗MA + 1
2 AC ⋅r ⋅⃗MB+ 1
2 AB⋅r ⋅⃗MC =⃗0，
即BC ⋅⃗MA + AC ⋅⃗MB+ AB⋅⃗MC =⃗0，B 正确；
C 选项，若M 为△ABC的垂心，3⃗MA + 4⃗MB+5⃗MC =⃗0，
则S A:SB:SC =3:4:5，
如图，AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，相交于点M，
又S△ABC = S A+ SB+ SC，
S A
S△ABC
= 3
12 = 1
4 ，即AM : MD =3:1，
SB
S△ABC
= 4
12 = 1
3，即MF :BM =1:2，
SC
S△ABC
= 5
12，即ME: MC =5:7，
设MD =m，MF =n，ME =5t，则AM =3m，BM =2n，MC =7t，
因为∠CAD =∠CBF，sin∠CAD = n
3m ,sin∠CBF = m
2n，
所以n
3m = m
2n，即m=
❑√6
3 n，
同理可得m
7t = 5t
3m，即m=
❑√105
3
t，故n=
❑√70
2
t，
cos∠BMD = m
2n =
❑√6
3 n
2n =
❑√6
6
，则sin∠BMD =
❑√
1-(
❑√6
6 )
2
=
❑√30
6
，
故BD = BM sin ∠BMD =2n⋅
❑√30
6
=
❑√30
3
n，
cos∠CMD = m
7t =
❑√105
3
t
7t
=
❑√105
21
，则sin∠CMD =
❑√
1-(
❑√105
21 )
2
= 4 ❑√21
21
，
故CD = MC sin ∠CMD =7t ⋅4 ❑√21
21
= 4 ❑√21
3
t，
tan ∠ABC = AD
BD ,tan ∠BCA = AD
CD ，
故tan ∠ABC :tan ∠BCA = AD
BD ⋅CD
AD = CD
BD =
4 ❑√21
3
t
❑√30
3
n
= 4 ❑√21t
❑√30n =
4 ❑√21t
❑√30⋅
❑√70
2
t
= 4
5 ，
同理可得tan ∠BAC :tan ∠ABC = 3
4 ，
故tan∠BAC :tan∠ABC :tan∠BCA =3:4:5，C 正确；
D 选项，若∠BAC = 45°，∠ABC =60°，M 为△ABC的外心，
则∠ACB =75°，
设△ABC的外接圆半径为R，故∠BMC =2∠BAC =90° ,∠AMC =2∠ABC =120°，
∠AMB =2∠ACB =150°，
故S A = 1
2 R
2sin 90° = 1
2 R
2，SB= 1
2 R
2sin120° =
❑√3
4 R
2，SC = 1
2 R
2sin150° = 1
4 R
2，
所以S A:SB:SC =2:❑√3:1，D 错误.
故选：ABC
17．（25-26 高三上·安徽·月考）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，点P为△ABC内部一动点，
则下列命题正确的是（ ）
A．若点M为BC的中点，则⃗AB⋅⃗AC =⃗AM
2-(⃗
BC
2 )
2
B．若点P为△ABC的内心，则a PA⃗+b PB⃗+c PC⃗=0⃗
C．若⃗AP = λ(b⋅⃗AB+c⋅⃗AC)( λ>0)，则点P过△ABC的外心
D．若△ABC为锐角三角形，点P为△ABC的垂心，则tan A ⋅PA⃗+tan B⋅PB⃗+tanC ⋅PC⃗=0⃗
【答案】ABD
【分析】利用平面向量的加减运算判断A，利用内心的性质判断B，结合角平分线的性质判断C，利用锐
角三角形结合垂心的性质判断D 即可.
【详解】对于A，∵点M为BC的中点，⃗MB =-⃗BC
2 ，⃗MC =⃗BC
2 ，⃗MB+⃗MC =⃗0，
∴⃗AB⋅⃗AC =(⃗AM +⃗MB)(⃗AM +⃗MC)，⃗MB⋅⃗MC =-(⃗
BC
2 )
2
，
=⃗AM
2+(⃗MB+⃗MC)⃗AM +⃗MB⋅⃗MC =⃗AM
2-(⃗
BC
2 )
2
，故A 正确；
对于B，若点P为△ABC内部一动点，且x PA⃗+ y PB⃗+ z PC⃗=0⃗，
设⃗P A
' = x⃗PA，⃗P B
' = y⃗PB，⃗PC
' = z⃗PC，
∴点P为△A
' B
'C
'的重心，可得S△P B
'C
'= S△P A
'C
'= S△P A
' B
'，
分析可得S△P B
'C
'= yz S△PBC，S△P A
'C
'= xz S△PAC，S△P A
' B
'= xy S△PAB，
∴yz S△PBC = xz S△PAC = xy S△PAB，可得S△PBC
x
= S△PAC
y
= S△PAB
z
，
∴S△PBC:S△PAC:S△PAB= x: y : z，又∵点P为△ABC的内心，
∴S△PBC ,S△PAC ,S△PAB的高相等，都为△ABC内切圆的半径，
∴S△PBC:S△PAC:S△PAB=a:b:c，可得x: y : z =a:b:c，
可得a PA⃗+b PB⃗+c PC⃗=0⃗，故B 正确；
对于C，由题意得⃗AP = λ(b⋅⃗AB+c⋅⃗AC)= λbc(⃗
AB
c +⃗AC
b )= λbc(⃗
AB
|⃗AB|
+⃗AC
|⃗AC|)，
其中⃗AB
|⃗AB|
+⃗AC
|⃗AC|表示角A的平分线所在直线上的向量，∴P过△ABC的内心，故C 错误；
对于D，由B 可得，x PA⃗+ y PB⃗+ z PC⃗=0⃗，S△PBC:S△PAC:S△PAB= x: y : z，
而点P为△ABC的垂心，如图，连接AP与BC相交于点H，
则AH ⊥BC，而S△PAC = 1
2 ×CH × AP，S△PAB= 1
2 ×BH × AP，
∴S△PAC:S△PAB=CH :BH，
又∵tan B = AH
BH ，tanC = AH
CH ，
∴ CH
BH =tan B
tanC ，∴S△PAC:S△PAB=tan B:tanC，
同理可得S△PBC:S△PAB= tan A :tanC，S△PBC:S△PAC =tan A :tan B，
∴S△PBC:S△PAC:S△PAB=tan A :tan B:tanC，
∴tan A ⋅PA⃗+tan B⋅PB⃗+tanC ⋅PC⃗=0⃗，故D 正确．
故选：ABD
三、填空题
18．（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）若O 为△ABC的外心，且2⃗BO =⃗BA +⃗BC，则⃗AB⋅⃗BC = ．
【答案】0
【分析】根据已知条件判断三角形的形状，进而计算向量的数量积.
【详解】由2BO
→
= BA
→
+ BC
→
得2BO
→
= BO
→
+OA
→
+ BO
→
+OC
→
即OA
→
+OC
→
= 0
→
，
∴点O是AC的中点，
故△ABC是直角三角形，且∠B =90°，
∴AB
→
·BC
→
=0,
故答案为：0.
19．（24-25 高一下·安徽马鞍山·月考）G 是△ABC的重心，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若
a⃗GA +b⃗GB+
❑√3
3 c⃗GC =⃗0，则角A = .
【答案】30°
【分析】根据三角形的重心求得a:b:
❑√3
3 c，再利用余弦定理来求得正确答案．
【详解】因为G 是△ABC的重心，所以有⃗GA +⃗GB+⃗GC =⃗0.
又a⃗GA +b⃗GB+
❑√3
3 c⃗GC =⃗0，所以a:b:
❑√3
3 c =1:1:1.
设c = ❑√3，则有a=b=1.由余弦定理，可得cos A = 1+3-1
2❑√3
=
❑√3
2 ，0°< A <180°，
所以A =30°.
故答案为：30° .
20．（2025 高一·全国·专题练习）在△ABC中，已知AB =2，AC = 4，G ,O分别是△ABC的重心和外心，
则⃗GO⋅⃗BC = ．
【答案】2
【分析】记BC的中点为D，根据重心和外心的性质得到⃗GD = 1
6 (⃗AB+⃗AC)，⃗OD⋅⃗BC =0，从而利用向
量数量积公式得到答案.
【详解】因为G是△ABC的重心，所以⃗AG = 1
3 (⃗AB+⃗AC)．
记BC的中点为D，则⃗GD = 1
6 (⃗AB+⃗AC)．
因为O是△ABC的外心，所以OD⊥BC，即⃗OD⋅⃗BC =0．
于是⃗GO⋅⃗BC =(⃗GD+⃗DO)⋅⃗BC =⃗GD⋅⃗BC = 1
6 (⃗AB+⃗AC)⋅(⃗AC -⃗AB)
= 1
6 ( A C
2- A B
2)=2.
故答案为：2
