文档内容
专题02勾股定理热点题型归纳（九大题型）
重难点题型归纳
【题型01 已知两边长求第三边长】
【题型02 已知两点坐标求两点距离】
【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【题型04 用勾股定理解三角形】
【题型05 勾股定理与无理数】
【题型06赵爽线图的证明及应用】
【题型07用勾股定理构造图形解决问题】
【题型08 直角三角形的判定】
【题型09勾股定理的逆定理应用】
【题型01 已知两边长求第三边长】
1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）直角三角形的两直角边长是6和8，则该直角三
角形的周长为（ ）
A．10 B．14 C．24 D．34
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理及三角形的周长，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先
用勾股定理计算斜边长，然后利用三角形的周长公式计算即可．
【详解】由勾股定理可知：直角三角形的斜边为：❑√62+82=10，
∴三角形的周长为：6+8+10=24
故选：C．
2．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若∠C=90°，
BC=4米，AB=5米，则边AC需要的篱笆长为（ ）A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定
理计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵BC=4米，AB=5米，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√52−42=3（米），
∴边AC需要的篱笆长为3米．
故选：D．
3．（24-25八年级上·福建三明·期末）若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别为6和
10，则另一条直角边的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2❑√34
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可
求解．
【详解】解：由题意得，另一条直角边的长是❑√102−62=8．
故选：C．
4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、
b满足❑√(a−3) 2+(b−4) 2=0，则此直角三角形的斜边为（ ）
A．5 B．5或❑√7 C．4 D．4或5
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性、非负数的性质、勾股定理等知识点，根
据非负数的性质求得求出a与b的值是解题的关键，由非负数的性质求出a和b的值，然后再分两种情况解答即可．
【详解】解：∵a、b满足❑√(a−3) 2+(b−4) 2=0，
∴a−3=0,b−4=0，即a=3,b=4，
①当4是直角边时，其斜边长为❑√32+42=5；
②当4是斜边时，其斜边长为4．
综上，斜边长为4或5．
故选D．
5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
若AB=5，AD=4，则△ABC的周长为（ ）
A．16 B．18 C．12 D．13
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的
关键；
根据勾股定理，求得CD=BD=3，进而求得BC的长度，进而求解即可；
【详解】解：∵AD⊥BC，AB=5，AD=4，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√52−42=3，
∵ AB=AC=5，AD⊥BC，
∴CD=BD=3，
∴BC=BD+DC=6，
△ABC的周长为AB+AC+BC=5+5+6=16；
故选：A
6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）把两块同样大小的含45°角的直角三角尺按如图所示
放置，其中一块的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AC=3❑√2，则CD的长是（ ）
A．5❑√3−3 B．5 C．3❑√3+3 D．8
【答案】C
【分析】过点A作BC的垂线AF，垂足为F，由题意可得出BC=AD=4，进而得出
CF=BF=2，利用勾股定理可得出DF的长，即可得出AB的长．此题主要考查了勾股
定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
【详解】解：如图，过点A作BC的垂线AF，垂足为F，
依题意，由AC=3❑√2得：AB=AE=ED=3❑√2，
由45°的直角三角形的性质得到BC=AD=❑√(3❑√2) 2+(3❑√2) 2=6，
∵AF⊥BC,∠ABF=∠ACF=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF=AF，
则BF2+AF2=AB2=18,
∴AF=BF=3，
同理得CF=AF=3；
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，
由勾股定理得：DF=❑√AD2−AF2=❑√62−32=3❑√3，
∴CD=DF+CF=3❑√3+3，
故选：C．
【题型02 已知两点坐标求两点距离】
7．（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，点P(−2,−5)到坐标原点O的距离为( )
A．2 B．5 C．❑√29 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，求得点P(−2,−5)到坐标原点
O的距离为OP=❑√22+52，即可求解．
【详解】解：根据题意，得OP=❑√22+52=❑√4+25 =❑√29．
故选：C．
8．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，从点M(0,3)发出一束光，经x轴反射，过点
N(6,5)，则这束光从点M到点N所经过的路径的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12.5
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理求两点坐标；根据题意作N关于x轴的
对称点P，则这束光从点M到点N所经过的路径的长为MP，进而勾股定理，即可求
解．
【详解】解：如图所示，作N关于x轴的对称点P，则P(6,−5)，∴这束光从点M到点N所经过的路径的长为MP
∵M(0,3)，P(6,−5)，
∴MP=❑√(3+5) 2+62=10，
故选：C．
9．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）两点之间的距离公式：若数轴上两点A ，A 分别
1 2
表示实数x ，x ，A ，A 两点间的距离记作|A A )，那么|A A )=|x −x )．
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
问题提出：对于平面上的任意两点A ，A 间的距离是否有类似的结论呢？我们作出了
1 2
如下猜想．
猜想：运用勾股定理，就可以推导出平面上任意两点之间的距离公式．根据这个思路，
让我们一起进行如下探究吧！
问题探究：
(1)①如图1，A ，A 两点之间的距离|A A )= _______；
1 2 1 2
②如图2，已知平面上两点A(1,1)，B(5,4)，求这两点之间的距离|AB)；
(2)一般地，已知平面上任意两点A(x ,y )，B(x ,y )，如图3，请计算A，B两点之
1 1 2 2
间的距离|AB)．
【答案】(1)①5；②|AB)=5
(2)|AB) =❑√(y −y ) 2+(x −x ) 2
2 1 2 1
【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离公式，正确理解题意是解题的关键．
（1）①根据数轴上两点之间的距离求解即可；②根据图形得出AC=4，BC=3，
∠ACB=90°，再由勾股定理求解即可；
（2）作A A′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足分别为点A′，B′，BB″⊥A A′交于点C，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①由数轴得：点A 表示的数为−1，A 表示的数为4，
1 2
∴|A A )=4−(−1)=5，
1 2
故答案为：5；
②由图可知AC=5−1=4，BC=4−1=3，∠ACB=90°，
∴|AB)=❑√AC2+BC2=5；
（2）解： 作A A′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足分别为点A′，B′，BB″⊥A A′交于点
C，．
∴|CA)= y −y ，|CB)=x −x ，
1 2 2 1
∴|AB) 2=|CB) 2+|CA) 2=(x −x ) 2+(y −y ) 2 ．
2 1 2 1
∴|AB)=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2．
2 1 2 1
10．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角标系中，A，B两村庄位置的坐标
分别为(2,2)，(7,4)，一辆汽车从原点O出发，沿x轴正方向行驶．
(1)如果汽车行驶到离A村最近的位置用点M表示，请你在图中画出点M，并写出点M
的坐标；
(2)汽车行驶到点P时，到A，B两村的距离相等，请你在图中找出点P的位置，并求
点P的坐标．（用尺规作图，不写作法和结论）【答案】(1)画图见解析，M(2,0)
(57 )
(2)画图见解析，P ,0
10
【分析】（1）过A作AM⊥x轴于M，则AM最短，再写出M的坐标即可；
（2）如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线交x轴于P，则AP=BP，P即为所求
作的点，再利用勾股定理求解p的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，过A作AM⊥x轴于M，则AM最短，
∵A(2,2)，
∴M(2,0)；
（2）如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线交x轴于P，
则AP=BP，P即为所求作的点，
设P(x,0)，而A(2,2)，B(7,4)，
∴(2−x) 2+(2−0) 2=(7−x) 2+(4−0) 2，
57
解得：x= ，
10
(57 )
∴P ,0 ．
10
【点睛】本题考查的是坐标与图形，垂线段最短的含义，作线段的垂直平分线，勾股
定理的应用，熟练的利用垂直平分线的性质求解P的坐标是解本题的关键．【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】
11．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个
正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．❑√6
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算，掌握以上知识及计算是解题的
关键．
根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，S +8=14，
A
∴S =6，
A
∴正方形A的边长为❑√6，
故选：D ．
12．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字
母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表
的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【详解】解：字母B所代表的正方形的面积=169−25=144，
故选：C．13．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，
在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，
再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶
茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边
长为c，那么a2+b2=c2．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正
方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，
由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴ “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴ “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴ “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025，
故选：A
14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以BC，
AC，AB为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积S ，S ，S 之间的关系为（
① ② ③）
A．S +S =S B．S +S =S
① ② ③ ① ③ ②
C．S2 +S2 =S2 D．S2 +S2 =S2
❑
① ② ② ① ③ ② ❑
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理解Rt△ABC可得AB2+BC2=AC2，进
1 (AB) 2 1 (BC) 2 1 (AC) 2
而推出 π⋅ + π⋅ = π⋅ ，即S +S =S ．
2 2 2 2 2 2 ① ③ ②
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∵分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，三个半圆的面积S ，S ，S ，
① ② ③
1 (AB) 2 1 (BC) 2 1 (AC) 2
∴ π⋅ + π⋅ = π⋅ ，
2 2 2 2 2 2
∴S +S =S ，
① ③ ②
故选：B．
15．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB，
AC，BC为边在AB同侧作正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN．设
△ABC的面积为S ，△BDF的面积为S ，△DHG的面积为S ，四边形CHET的面积
1 2 3
为S ，四边形ATMN的面积为S ，则下列结论正确的是（ ）
4 5
A．S +S =S +S +S B．S +S =S +S +S
1 4 2 3 5 2 5 1 3 4C．S +S =S +S +S D．S +S =S +S +S
1 5 2 3 4 4 5 1 2 3
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，根据图形列出面积的等量关系是解题的关键．设四边形
DBCH的面积为S ，△CTA的面积为S ，由AB2=AC2+BC2，列出等式即可求解．
6 7
【详解】解：设四边形DBCH的面积为S ，△CTA的面积为S ，
6 7
∵ ∠ACB=90° AB AC BC
，以 ， ， 为边作正
方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN，
根据勾股定理得：AB2=AC2+BC2，
∴ S +S +S +S =S +S +S +S +S ，
1 6 4 7 7 5 2 3 6
∴ S +S =S +S +S ．
1 4 2 3 5
故选：A．
16．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，
在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，
再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶
茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理以及正方形的性质，找出规律是解题的关键．根据题意
可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是1+1=2；“生长”2次后，所有的正方
形的面积和是2+1=3；可求出“生长”2024次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【详解】解：由勾股定理可知，“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和=原来正方形的面积，所有正方形面积
和为1+1=2；
“生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和=第一次“生长”出的两个正方形的面
积，所有正方形的面积之和为2+1=3；
……；
∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是n+1；
∴经过2024次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2025；
故选：C．
【题型04 用勾股定理解三角形】
17．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC的垂直
平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD，若△ABC的周长为12,BC=3，则
△BCD的周长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的周长及垂直平分线的性质及勾股定理，解题的关键是熟练
运用垂直平分线的性质．根据题意，由△ABC的周长及勾股定理得AC的长，再由垂直
平分线的性质得到CD=AD，则可得到AB=AD+DB=BD+DC=5，进而即可得到
△BCD的周长．
【详解】解：∵△ABC的周长为12，BC=3，
∴AB+AC=12−3=9．
∴AB=9−AC．
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2 ,即(9−AC) 2=AC2+32，
∴AC=4，
∴AB=9−4=5∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD．
∴AB=AD+DB=BD+DC=5．
∴△BDC的周长=BD+DC+BC=5+3=8．
故选：C．
18．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分
别交AB、AC于点D、E，若BC=❑√5，AE:EC=3:2，则AB的长为（ ）
A．❑√41 B．❑√30 C．❑√10 D．3
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，灵活运用勾股定理是解题的
关键．连接BE，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，连接BE，
∵DE AB
是 的垂直平分线，
∴AE=BE，
设AE=BE=3x，
∵AE:EC=3:2，
∴EC=2x，
在Rt△EBC中，BE2=BC2+EC2，即(3x) 2=(❑√5) 2+(2x) 2，
解得：x=1（负值舍去），
则AE=3x=3，EC=2x=2，∴AC=AE+EC=5，
∴AB=❑√BC2+AC2=❑√52+(❑√5) 2=❑√30，
故选：B．
19．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，高速公路上有A, B两点相距14km，
C, D为两村庄，已知DA=6km，CB=8km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，
现要在AB上建造一个服务站点E，使得C, D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是
（ ）
A．8km B．7km C．7.2km D．8.5km
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题的
关键．
设AE=xkm，根据勾股定理得62+x2=82+(14−x) 2，解方程即可得到答案．
【详解】解：设AE=xkm，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠DAE=∠CBE=90°，
∴DE2=DA2+AE2=62+x2，
CE2=CB2+BE2=82+(14−x) 2，
∵DE=CE，
∴62+x2=82+(14−x) 2，
解得：x=8，
故选：A ．
20．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠CDB=30°，BD=❑√3AD，且BC=❑√3，求AB的长度．【答案】AB=2❑√7
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用和在直角三角形中，30°角所对的直角边等
于斜边的一半的性质等知识点，由在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的
一半可求出BD的值，由BD=❑√3AD,可得AD的长，再利用勾股定理即可求出AB的
值．
【详解】解：∵∠C=90°,∠CDB=30°,
∴BD=2BC=2❑√3,
∴CD=❑√BD2−BC2=3,
∵BD=❑√3AD,
∴AD=2,
∴AC=AD+CD=5,
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√28=2❑√7．
【题型05 勾股定理与无理数】
21．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC
于点C，且BC=1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点
A表示的数是（ ）
A．❑√5 B．−❑√5 C．2−❑√5 D．❑√5−2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键第2025次得到
的结果为．
根据勾股定理求出OB，因为OA=OB，即可得到答案第2025次得到的结果为
【详解】解：∵ BC⊥OC，∴∠BCO=90°，
∴OB=❑√BC2+OC2=❑√12+22=❑√5，
∴OA=OB=❑√5，
∴点A表示的数是❑√5
故选：A ．
22．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为−1，Rt△ABC的直
角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆
心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．❑√10+1 B．❑√10−1 C．❑√5+1 D．❑√5−1
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得AC的长度，即AD的长
度即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理知：AC=❑√AB2+BC2=❑√32+12=❑√10，
所以AD=AC=❑√10．
所以点D表示的数为❑√10−1．
故选：B．
23．（24-25七年级上·浙江台州·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连
结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边
长为1，得到阴影正方形面积为2：
(1)发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是
_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；(2)如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的
对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为_______；
(3)如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成，画出面积是5的正方形，使它的
顶点在网格的格点上．
【答案】(1)❑√2
(2)1−❑√2
(3)图见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数等知识点，利用勾
股定理表示出无理数是解题的关键．
（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的
对角线长；
（2）由小正方形对角线长为❑√2可得，原点与M之间的距离为❑√2−1，从而可得到点
M表示的数；
（3）根据大正方形的面积为5，作边长为❑√5的正方形即可．
【详解】（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长等于❑√2，
故答案为：❑√2；
（2）解：如图，小正方形的对角线长为❑√2，
∴原点与M之间的距离为❑√2−1，
∴点M表示的数为1−❑√2，
故答案为：1−❑√2；
（3）解：∵大正方形的面积是5，
∴小长方形的对角线长为❑√5，
作图如下：
∴ 5
阴影部分即为面积是 的正方形．
24．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知OA=OB，BC=2，OC=3．(1)数轴上点A所表示的数为______；
(2)求出点A表示的数的倒数为______；
(3)在数轴上找出❑√10对应的点．（保留作图痕迹）
【答案】(1)−❑√13
❑√13
(2)−
13
(3)见解析
【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，二次根式的化简，体现了“数形结合”
的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形．
（1）根据勾股定理即可求得OB的长度，从而得出OA的长度，再考虑点A位于原点
的左侧，为负数，即可得解；
（2）根据倒数的定义得到点A表示的数的倒数，再将分母有理化即可解答；
（3）过表示数3的点D作数轴的垂线DF，取DE=1，以O为圆心，OE为半径画弧与
数轴相交于点，则点G就是表示❑√10的点．
【详解】（1）解：∵BC=2，OC=3，
∴在Rt△BOC中，BO=❑√BC2+OC2=❑√22+32=❑√13，
∴OA=OB=❑√13，
∴点A表示的数是−❑√13．
故答案为：−❑√13
1 ❑√13
（2）解：∵−❑√13的倒数是− =− ，
❑√13 13
❑√13
∴点A表示的数的倒数为− ．
13
❑√13
故答案为：−
13
（3）解：如图，点G表示的数为❑√10．【题型06赵爽线图的证明及应用】
25．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，
它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB=17,AH=8，则正方形EFGH的边长
是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦
图的结构是解题关键．
根据三角形全等性质得出AH=BG=CF=DE=8，AG=BF=CE=BH，再根据勾股
定理求出AG，然后线段的和差即可解答．
【详解】解：∵正方形ABCD为四个全等的直角三角形拼接而成，
∴AH=BG=CF=DE=8，AG=BF=CE=BH，
在Rt△ABG中，由勾股定理AG=❑√AB2−BG2=❑√172−82=15，
∴HG=AG−AH=15−8=7，即正方形EFGH的边长是7．
故选C．
26．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了
“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个
大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小
正方形（阴影部分）的周长为（ ）
A．29 B．14.5 C．14 D．12
【答案】D【分析】本题主要考查勾股定理，设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为
(x+2)，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为(x+2)，
根据题意得22+(x+2) 2=29，
解得x=3或x=−3（舍去），
∴小正方形的周长为3×4=12，
故选：D．
27．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点
BD
P．若GO=GP，则 的值是（ ）
BP
3 4
A． B． C．❑√2 D．❑√3
2 3
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
根据等腰直角三角形的性质可得出∠EGH=45°，∠FGH=90°，BC=CD，
∠BCD=90°，∠DBC=45°，根据等边对等角以及角的和差关系可求出
∠PBG=∠GBC=22.5°，根据ASA可证△BPG≌△BCG，得出BP=BC，根据勾股
定理求出BD=❑√2BP，即可求解．
【详解】解：∵四边形EFGH、ABCD为正方形，
∴EH=GH，∠FGH=∠EFG=90°，BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠EGH=∠HEG=45°，∠DBC=∠CDB=45°，
∵OG=GP，
∴∠GOP=∠OPG=67.5°，
∴∠PBG=22.5°，又∵∠DBC=45°，
∴∠GBC=22.5°，
∴∠PBG=∠GBC，
∵∠BGP=∠BGC=90°，BG=BG，
∴△BPG≌△BCG(ASA)，
∴BP=BC，
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴BD=❑√BC2+CD2=❑√2BC=❑√2BP，
BD
∴ =❑√2，
BP
故选：C．
28．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之
一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以
Rt△ABC(∠ACB=90°)的三条边为边长向外作正方形ABED、正方形ACHI、正方
形BCGF，连接CE．若S =25，S =16，则CE的长为（ ）
正方形ABED 正方形BCGF
A．3❑√7 B．8 C．❑√65 D．❑√66
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先求出BC=4，
AC=3，作EM⊥CB交CB的延长线于M，△ABC≌△BEM(AAS)得出BM=AC=3，
EM=BC=4，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：∵S =25，S =16，
正方形ABED 正方形BCGF
∴AB2=25，BC2=16，
∴BC=4（负值舍去，不符合题意），
∵∠ACB=90°，
∴AC2=AB2−BC2=9，∴AC=3（负值舍去，不符合题意），
如图：作EM⊥CB交CB的延长线于M，
则∠EMB=∠BCA=90°，
∵四边形ABED为正方形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠EBM=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠EBM=∠BAC，
∴△ABC≌△BEM(AAS)，
∴BM=AC=3，EM=BC=4，
∴CM=BC+BM=4+3=7，
∴CE=❑√CM2+BM2=❑√65，
故选：C．
29．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的
证明方法也十分丰富．下面图形能证明a2+b2=c2的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积
公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题
的关键．【详解】解：① (a+b) 2=a2+2ab+b2，不能证明a2+b2=c2，不符合题意；
1
② c2=(a+b) 2−4× ab=a2+b2 ，能证明a2+b2=c2，符合题意；
2
1
③ c2=(b−a) 2+4× ab=a2+b2 ，能证明a2+b2=c2，符合题意；
2
④不能证明a2+b2=c2，不符合题意；
综上可知：②③能证明a2+b2=c2，
故选：C．
30．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于
我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由
四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是2，直角三角形的直角边长
分别为a、b，且a2+b2=ab+10，那么大正方形的面积为（ ）．
A．8 B．10 C．14 D．18
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，
求出ab=8是解题的关键．
由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：设大正方形的边长为c，则大正方形的面积是c2，
∴ a2+b2=c2，
∵a2+b2=ab+10，
∴c2=ab+10，
∴ ab=c2−10，
∵小正方形的面积为：(b−a) 2=2，
即a2+b2−2ab=ab+10−2ab=2，
∴ab=8，
∵ab=c2−10，∴ c2=18，
故选D．
31．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方
形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，
y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x2+ y2=64；②x−y=3；
③2xy+9=64；④x+ y=11．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定
理可判断①；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断②；根据大正方形的面积
=4×直角三角形面积+小正方形的面积可判断③；根据①③结合完全平方公式特点即
可判断④．
【详解】解：①∵ x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），大正方形的面积为
64，
由勾股定理可知x2+ y2=64，
故①正确；
②∵小正方形的面积为9，
∴小正方形的边长为3，
∴ x−y=3，
故②正确；
③∵大正方形的面积=4×直角三角形面积+小正方形的面积，
1
∴ xy×4+9=2xy+9=64，
2
故③正确；
④∵ x2+ y2=64，2xy+9=64，
即2xy=55，∴ x2+2xy+ y2=64+55，
有(x+ y) 2=119，
∴ x+ y=❑√119或x+ y=−❑√119（不合题意，舍去），
故④错误．
综上所述，其中正确的是①②③，
故选：B．
32．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角
形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较
短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为
80，OC=5，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ，若S +S +S =27，求S ．
1 2 3 1 2 3 2
【答案】(1)见解析
(2)120
(3)9
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程．
（1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表
示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得；
（2）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即
可求解；
（3）设每个三角形的面积都为y，则S =S +4 y，S =S −4 y，即可得
1 2 3 2
S +S +S =3S ，根据S +S +S =27，即可得．
1 2 3 2 1 2 31
【详解】（1）解：根据题意得(a−b) 2+4× ab=c2 ，
2
a2−2ab+b2+2ab=c2，
则a2+b2=c2；
（2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80，
∴80÷4=20，
设AC=x，则AB=CD=20−x，
由勾股定理可得，(x+5) 2+52=(20−x) 2，
x2+10x+25+25=400−40x+x2，
50x=350，
解得：x=7，
∴OA=OC+AC=7+5=12，
1
∴该飞镖状图案的面积是 ×12×5×4=120；
2
（3）解：设每个三角形的面积都为y，
∴S =S +4 y，S =S −4 y，
1 2 3 2
∴S +S +S =3S ，
1 2 3 2
又∵S +S +S =27，
1 2 3
∴S =9．
2
33．（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家
赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形
中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：S = ______；
阴影
方法2：S = ______；
阴影
根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股
定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．
1
【答案】(1)(a−b) 2；c2−4× ab；c2=b2+a2
2
(2)见解析
(3)27
【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的
作用是解题的关键．
（1）方法1：求得小正方形的边长为(a−b)，方法2：大正方形的面积减4个直角三
角形的面积，据此计算即可；
（2）S =S +4S ，列式计算即可证明；
大正方形 阴影正方形 △
（3）先用勾股定理计算出c，再利用S =S −2S 计算面积即可．
空白 大正方形 △
【详解】（1）解：方法1：S =(a−b) 2；
阴影
1
方法2：S =c2−4× ab；
阴影 2
1 1
∵(a−b) 2=c2−4× ab，即c2=(a−b) 2+4× ab=b2+a2−2ab+2ab=b2+a2 ，
2 2
故c2=b2+a2；
根据以上信息，可以得到等式：c2=b2+a2；
1
故答案为：(a−b) 2；c2−4× ab；c2=b2+a2；
2
（2）解：∵S =S +4S ，
大正方形 阴影正方形 △
1
即(a+b) 2=c2+4⋅ ab，
2
整理得a2+2ab+b2=c2+2ab，
故a2+b2=c2；
（3）解：如图，S =S −2S ，
阴影 正方形ABCD △∵a=6，b=3，
∴c=❑√62+32=3❑√5，
则S =c2=45，
正方形ABCD
1
∴S =c2−2× ab=45−6×3=27，
阴影 2
故阴影部分的面积为27．
34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四
边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长
a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2=c2
.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
求证：a2+b2=c2
.
证明：由图可知S =4S +S ，
正方形ABED △ABC 正方形CFGH
∵S =c2 ，S = ______，
正方形ABED △ABC
正方形CFGH边长为______，
1
∴c2=4× ab+(a−b) 2=2ab+a2−2ab+b2 ，
2
即a2+b2=c2．【深入思考】
如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB为直角边在AB
的右侧作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，垂
足为点E
（2）求证：DE=a，BE=b；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3
所示的“数学风车”，若a=12，b=9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的
总长度为108，求这个风车图案的面积．
1
【答案】（1） ab，a−b （2）见解析 （3）见解析 （4）393
2
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
1
（1）依据题意得， S = ab,再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示
△ABC 2
图形,然后用两种方法表示正方形ABED的面积，即可解题；
（2）依据题意,通过证明△ABC≌△BDE,即可判断得解；
（3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形
1
ACED=S +S +S =ab+ c2 和
△ABC △ABD △BED 2
1 1
S = (AC+DE)(CB+BE)= (a+b) 2 ，再列式变形即可得解；
梯形ACED 2 2
（4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为108，
可得AD+BD=108÷4=27.又设 AD=x,故BD=27−x.又在 △BCD中,
BC²+CD²=BD²,则，求出x后可列式计算得解.
【详解】(1)证明：由图可知S =4S +S ，
正方形ABED △ABC 正方形CFGH
1
∵S =c2 ，S = ab，
正方形ABED △ABC 2
正方形CFGH边长为a−b，
1
∴c2=4× ab+(a−b) 2=2ab+a2−2ab+b2 ，
2
即a2+b2=c2．1
故答案为： ab，a−b；
2
（2）证明: ∵DE⊥BC,
∴∠DBE+∠BDE=90°，
∵∠ABD=90°,
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABC=∠BDE，
又∠C=∠BED=90°, AB=BD,
∴△ABC≌△BDE(AAS).
∴BC=DE=a,AC=BE=b；
(3)证明： 由题意，第一种方法：
1 1 1
S =S +S +S = ab+ c2+ ab
梯形ACED △ABC △ABD △BED 2 2 2
1
=ab+ c2 ，
2
第二种方法：
1
S = (AC+DE)(CB+BE)
梯形ACED 2
1
= (a+b)(a+b)
2
1
= (a+b) 2 ，
2
1 1
∴ (a+b) 2=ab++ c2 ，
2 2
∴a²+2ab+b2=2ab+c2，
∴a²+b²=c²；
(4)由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为108,∴AD+BD=108÷4=27，
设AD=x,则BD=27−x，
在△BCD中, BC²+CD²=BD²
∴a2+(b+x) 2=(27−x) 2，
将a=12,b=9代入可得，
(9+x) 2+144=(27−x) 2，
∴x=7，
∴小正方形的边长等于a−b=12−9=3
1 1
∴风车的面积为： BC×CD×4+3×3= ×12×16×4+3×3=393．
2 2
【题型07用勾股定理构造图形解决问题】
35．（24-25八年级上·上海·期末）如图，△ABC中，AB=11，BC=7，AC=12．求
△ABC的面积．
【答案】12❑√10
【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线
构造直角三角形是解题的关键．
过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x，则CD=12−x，在Rt△ABD和Rt△CBD中，
由勾股定理得出方程，解得x=9，则AD=9，再由勾股定理求出BD的长，然后由三
角形面积公式列式计算即可．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
则∠BDA=∠BDC=90°，
设AD=x，则CD=12−x，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，由勾股定理得：BD2=AB2−AD2=BC2−CD2，即112−x2=72−(12−x) 2，
解得：x=9，
∴AD=9，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√112−92=2❑√10，
1 1
∴S = AC·BD= ×12×2❑√10=12❑√10，
△ABC 2 2
即△ABC的面积为12❑√10．
36．（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．
为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市
集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试
飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过
程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．
已知A、B、C、D点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若
想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵
提出的问题．
【答案】(1)7.5米
(2)能成功，见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形
解决问题．
（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升9米，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF=15米，再根据题意，10+7.5=17.5>17即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，
则AE=BD=8米，AB=DE=1.5米，∠AEC=90°，
∴CE=❑√AC2−AE2=6（米），
∴CD=CE+DE=6+1.5=7.5（米）；
（2）能成功，理由如下：
假设能上升9米，如图所示，延长DC至点F，连接AF，
则CF=9米，
∴EF=CE+CF=6+9=15（米），
∴AF=❑√AE2+EF2=17（米），
∵AC=10米，余线仅剩7.5米，
∴10+7.5=17.5>17，
∴能上升9米，即能成功．
37．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3
米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，
宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．【答案】这辆货车不能通过这个大门，理由见解析
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意求出BE的长，进而求出BB′的长，即
可得出答案，根据题意求出BE的长是解题关键．
【详解】解：这辆货车不能通过这个大门，理由如下：
如图，设BB′与矩形的宽的交点为E，
1.6
∵AB=1m,AE= =0.8m,∠AEB=90°
2
，
∴BE=❑√AB2−AE2=❑√12+0.82=0.6m，
∴BB′=BE+EB′=2.3+0.6=2.9m<3.0m，
∴这辆货车不能通过这个大门．
38．（23-24八年级上·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾
股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”
意思是：如图所示，推开两扇门AD和BC，门边缘D、C两点到门槛的距离是1尺
（即C、D到线段AB的距离为1尺），两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB是多少寸
（1尺=10寸）．【答案】101寸
【分析】本题考查勾股定理，作DE⊥AB于点E，设OA=OB=AD=BC=r寸，根
据题意得出OE=1寸，AE=(r−1)寸，再结合勾股定理算出r，即可解题．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．
设OA=OB=AD=BC=r寸，
1
则DE=10寸，OE= CD=1寸，AE=(r−1)寸．
2
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即(r−1) 2+102=r2，
解得r=50.5寸，
∴AB=2r=101寸．
答：门宽AB是101寸．
39．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）小青家有一块如图的四边形土地要流转出去，
其中，∠D=∠B=90°，∠C=135°，用激光测距仪测得：BC=❑√2（千米），
DC=3❑√2（千米），求这块四边形土地的面积．
【答案】这块四边形土地的面积为(10+6❑√2)平方千米
【分析】延长DC和AB交于点O，可得OC=❑√2BC，OA=❑√2OD，OD=AD，
BC=BO，求出AD、DO、BO的长度，再分别求出△AOD和△BOC的面积，最后
作差即可，
本题主要考查了等腰直角三角形的性质和三角形的面积，勾股定理，二次根式的混合
运算，正确添加辅助线构建等腰直角三角形是解答本题的关键．【详解】解：延长DC和AB交于点O，
∵∠CBA=90°，∠BCD=135°，
∴∠OCB=45°，∠CBO=90°，
∴∠O=45°，
∵∠D=90°，
∴∠A=45°，
∴OC=❑√2BC，OA=❑√2OD，OD=AD，BC=BO，BC=❑√2，DC=3❑√2，
∴AD=OD=DC+OC=DC+❑√2BC=3❑√2+❑√2×❑√2=2+3❑√2，BC=BO=❑√2，
∴四边形ABCD的面积
1 1 1 1
=S −S = ×AD×OD− ×BC×BO= (2+3❑√2) 2 − (❑√2) 2=10+6❑√2，
△AOD △BOC 2 2 2 2
答：这块四边形土地的面积为(10+6❑√2)平方千米．
40．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC边上
一点，连接BD，已知BC=15，CD=9，BD=12．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由．
(2)求AD的长．
【答案】(1)△ABD是直角三角形，理由见解答
7
(2)
2
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．
（1）根据勾股定理的逆定理可证ΔBCD是直角三角形，从而可得∠BDC=90°，然
后利用平角定义可得∠ADB=90°，即可解答；（2）设AD=x，则AB=AC=x+9，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算即
可．
【详解】（1）解：△ABD是直角三角形，
理由：在△CBD中，BC=15．CD=9，BD=12，
∵CD2+BD2=92+122=225，BC2=152=225，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADB=180°−∠BDC=90°，
∴△ABD是直角三角形；
（2）解：设AD=x，则AC=x+9，
∵AB=AC，
∴AB=x+9，
在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，
∴122+x2=(x+9) 2，
7
∴x= ，
2
7
即AD= ．
2
【题型08 直角三角形的判定】
41．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（
）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，3，4 D．1，2，3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件；掌握勾股定理的逆定理
是关键；按照勾股定理的逆定理及构成三角形条件，逐项判断即可．
【详解】解：A、42+52=41≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=25=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、1+2=3，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
故选：C．42．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，
CD=13．
(1)求BC的长度；
(2)线段BC与线段BD的位置关系是什么？请说明理由．
【答案】(1)BC=5
(2)BC⊥BD；理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一
个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．如果一个三角
形的三条边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形为直角三角形．
（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理即可求出BC的长；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BCD为直角三角形，其中∠CBD=90°，即可
得证．
【详解】（1）解：∵AB⊥AC，
∴∠A=90°，
∵AB=3，AC=4，
∴BC=❑√32+42=5；
（2）解：BC⊥BD；理由如下：
∵BD=12，CD=13，
∴BC2+BD2=52+122=132=CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴∠CBD=90°，
∴BC⊥BD．
43．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接
AD,BD，且AD⊥BD．已知AD=4,BD=3,AC=13,BC=12．(1)求△ABC的周长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2)24
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一
个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．如果一个三角
形的三条边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形为直角三角形．
（1）根据勾股定理得出AB=❑√AD2+BD2=❑√42+32=5，再求出结果即可；
（2）先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，再根据
S =S −S 求出结果即可．
阴影 △ABC △ABD
【详解】（1）解：∵AD⊥BD,AD=4,BD=3，
∴AB=❑√AD2+BD2=❑√42+32=5，
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=13+12+5=30．
（2）解：由（1）知AB=5，
∵AB2=52=25,BC2=122=144,AC2=132=169，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴S =S −S
阴影 △ABC △ABD
1 1
= AB⋅BC− AD⋅BD
2 2
1 1
= ×5×12− ×4×3
2 2
=24．
【题型09勾股定理的逆定理应用】
44．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从P地航行
到距离P地16海里的B地，它先沿北偏西50°方向航行12海里到达A地接人，再从A地航行20海里到达B地，此时快艇位于P地的 方向上．
【答案】北偏东40°
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角的表示，先根据勾股定理的逆定理证明
△APB是直角三角形，再求出∠CPB的度数，用方位角表示出来即可．
【详解】解：由题意知BP=16，AP=12，AB=20，∠APC=50°，
∵ 162+122=202，
∴ BP2+AP2=AB2，
∴ △APB是直角三角形，
∴ ∠APB=90°，
∴ ∠CPB=∠APB−∠APC=90°−50°=40°，
∴此时快艇位于P地的北偏东40°方向上．
故答案为：北偏东40°．
45．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在
塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的
四边形ABCD空地改造为“劳动乐园”．经测量，AB=6米，BC=8米，CD=24米，
AD=26米，∠B=90°．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动．
【解析】
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的A、C两点连接起
来，求至少需要多少米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形ABC区域种植玫瑰，每平方米
种植5株，在三角形ACD区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少
株花卉．【答案】(1)10米
(2)480株
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
（1）连接AC，根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）先根据勾股定理逆定理得到△ACD是直角三角形，分别求出△ABC,△ACD的
面积，计算即可得到答案．
【详解】（1）解如图，连接AC
∴∠B=90°
，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√62+82=10（米）
∴至少需要10米装饰彩带；
（2）解：∵AC2=102=100，CD2=242=576，AD2=262=676，
∴AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形，
1 1
∴S = AC⋅CD= ×10×24=120（平方米），
△ACD 2 2
1 1
S = AB⋅BC= ×6×8=24（平方米），
△ABC 2 2
5×24+3×20=480（株），
∴共需要种植480株花卉．
46．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两
个取水点A、B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为
方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修
一条路CD，测得BD=240米，CD=320米，BC=400米．(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长．
【答案】(1)CD是最近的路，说明见解析
1000
(2)AC= 米
3
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判断△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，即可得到结论；
（2）设AD=x米，则AC=AB=(x+240)米，根据勾股定理得到(x+240) 2=x2+3202，
280 280
解得x= ，则AD= 米，即可求出原来的路线AC的长．
3 3
【详解】（1）由题知：BD=240米，CD=320米，BC=400米，
∵2402+3202=4002，
∴在△BCD中：BD2+CD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
则CD⊥AB，
即CD是最近的路．
（2）设AD=x米，则AC=AB=(x+240)米，
在△ACD中，根据勾股定理AC2=AD2+CD2，
即(x+240) 2=x2+3202，
280
解得x= ，
3
280 1000
则AD= 米，得：AC=AB=AD+BD= 米．
3 3
47．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居
民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，
将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形
ABCD中，∠B=90°，AB=24米，BC=7米，CD=15米，AD=20米．(1)求AC的长度；
(2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动
型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？
【答案】(1)25米
(2)46800元
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆
定理是解题的关键．
（1）在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的长度；
（2）由（1）得，AC=25米，利用勾股定理的逆定理证出∠D=90°，利用三角形的
面积公式计算出△ABC和△ACD的面积，得到四边形ABCD的面积，结合运动型塑
胶地板每平方米200元，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠B=90°，AB=24米，BC=7米，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√242+72=25（米），
∴AC的长度为25米．
（2）解：由（1）得，AC=25米，
又∵CD=15米，AD=20米，
∴CD2+AD2=AC2，
∴∠D=90°，
1 1
∴S = AD⋅AC= ×20×15=150（平方米），
△ACD 2 2
1 1
∵S = AB⋅BC= ×24×7=84（平方米），
△ABC 2 2
∴S =S +S =150+84=234（平方米），
四边形ABCD △ACD △ABC
∵运动型塑胶地板每平方米200元，
∴购买运动型塑胶地板的费用为：234×200=46800（元）．
答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元．
48．（23-24八年级上·福建漳州·期末）漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图）进行
绿化．经测量∠ABC=90°，AB=7m，BC=24m，CD=20m，AD=15m，求空地
的面积．
【答案】234m2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握
勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
由勾股定理得AC=25m，再由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形．且
∠D=90°,然后由三角形面积公式即可得出结论．
【详解】解：连接AC，
∵∠ABC=90° AB=7m BC=24m
， ， ，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√72+242=25(m)，
∵ CD=20m，AD=15m，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠D=90°，
∴S =S +S
四边形ABCD △ACD △ABC
1 1 1 1
= AD⋅CD+ AB⋅BC= ×20×15+ ×7×24=150+84=234(m2)
2 2 2 2
