文档内容
专题 10 数列不等式的放缩问题
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................10
考点一：先求和后放缩..............................................................................................................................................10
考点二：裂项放缩.....................................................................................................................................................13
考点三：等比放缩.....................................................................................................................................................16
考点四： 型不等式的证明..............................................................................................................18
考点五： 型不等式的证明................................................................................................................22
考点六： 型不等式的证明......................................................................................................................25
考点七： 型不等式的证明.....................................................................................................................29数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，
将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩
时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠
拢．
考点要求 考题统计 考情分析
【命题预测】
预测2024年高考，多以解答
2023年II卷第18题，12分 题形式出现，具体估计为：
2022年I卷第17题，10分 （1）导数压轴题第二问，利
数列不等式 2021年乙卷第19题，12分 用导数证明数列不等式，难
2021年II卷第17题，10分 度较大．
2021年浙江卷第20题，15分 （2）数列解答题第二问，难
度中等偏上，属综合性问
题．常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）
；
（11）
；（12） ；
（13） ．
（14） ．
（15）二项式定理
①由于 ，
于是
② ，
；
，
（16）糖水不等式
若 ，则 ；若 ，则 ．
1．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，，
当 为偶数时， ，
，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
2．（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【解析】（1）已知 ， 是公差为 的等差数列，
所以 ，整理得 ，①，
故当 时， ，②，
① ②得： ，
故 ，
化简得： ， ， ， ， ；
所以 ，
故 （首项符合通项）．
所以 ．证明：（2）由于 ，
所以 ，
所以 ．
3．（2021•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
【解析】（1） ， ， 成等差数列， ，
是首项为1的等比数列，设其公比为 ，
则 ， ，
，
．
（2）证明：由（1）知 ， ，
，
，①
，②
① ②得， ，
，
，
．
4．（2021•天津）已知数列 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列 是公比大于0的等比数列， ， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 ， ．
证明： 是等比数列；
证明： ．
【解析】证明：（1）由数列 是公差 为2的等差数列，其前8项的和为64，
可得 ，解得 ，
所以 ， ；
由数列 是公比 大于0的等比数列， ， ，
可得 ，解得 舍去），
所以 ， ；
（2） 证明：因为 ， ，
所以 ，
则
，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以8为首项，4为公比的等比数列；
证明：设 ，
考虑 ，则 ，
所以 ，
则 ，两式相减可得， ，
所以 ，
则 ，
故 ．
5．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列 是公差 不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
根据等差数列的性质， ，故 ，
根据 可得 ，
整理得 ，可得 不合题意），
故 ．
（Ⅱ） ， ，
，
，即 ，
整理可得 ，
当 或 时， 成立，
由于 为正整数，
故 的最小正值为7．
6．（2021•浙江）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，记 的前 项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 可得 ，
两式作差，可得： ，，
很明显， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
其通项公式为： ．
（Ⅱ）由 ，得 ，
，
，
两式作差可得：
，
则 ．
据此可得 恒成立，即 恒成立．
时不等式成立；
时， ，由于 时 ，故 ；
时， ，而 ，故： ；
综上可得， ．
考点一：先求和后放缩例1．（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)证明：当 时，数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）证明：因为 ， ， 为数列 的前 项和，
当 时， ，
当 时，由 ①，可得 ②，
① ②可得 ，即 ，所以， ，
又因为 ，则当 时，数列 是等比数列，其公比为 ，
即当 时， ，则 ，
不满足 ，所以， .
（2）证明： ，
则
.
综上，对任意的 ， .
例2．（2023·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）由 成等比数列，
得 ，
所以 ．
整理，得 ，则 ．
又 ，所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以 ，即 ．
当 时， ，
所以 ．
当 时， 不符合上式．
故 .
（2）由（1）可知， ，
所以
，
所以 ，
故 ．
例3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【解析】（1）由 得 ，则当 时，有 ，
两式相减得 ，
整理得 ，即 ，
因此数列 是以 为公比的等比数列．
（2）由（1）及 可得 ，因此 ．
于是 ，
所以
，
由于 ，所以 ，
故 ．
例4．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知 为数列 的前 项和， ， ，记
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）由 ，得 ， ，
则 ， ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，
，
.
（2） ，
，，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，由 ，可知 是递增数列，
，
综上， .
考点二：裂项放缩
例5．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知数列 满足 ，数
列 的首项为2，且满足
(1)求 和 的通项公式
(2)记集合 ，若集合 的元素个数为2，求实数 的取值范围．
(3)设 ，证明： ．
【解析】（1）由 可得：
时， ，
相减可得 ，故 ，
当 时， 也符合上式，故 ，
由 可得 ，所以数列 为公差为0的等差数列，且首项为2，
所以 ，则 .
（2）由 和 可得 ，记 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，此时 单调递减，
而 ,
由于集合M的元素个数为2，所以 ，故 .
（3）由 得 ， ，
由于 ，
因此
.
例6．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知数列 满足 ， ，且 ．
(1)令 ，求 ；
(2)记 的前n和为 ，求证： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 时，
，
也适合，
所以 ．
（2）因为 ，故 ，
又因为 ，则 ，可知 ，
所以 ，
而 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列 中， ，前 项和为 ，且
__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：① ，② .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【解析】（1）若选①: 由 ，得 ，
即 ，
因为 为正项数列，所以 ， 是公差为2的等差数列，
由 ，得 ；
若选②： ，当 时， ，
两式作差得： ，则 ，
两式作差得 ，
即 ，所以数列 为等差数列，
时， ，可得 ，
公差 ，则 ；
（2）由（1）知， ，
又 ，
考点三：等比放缩
例8．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）数列 是等差数列，数列 是等比数列，
满足： ， ．(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 和 的公共项组成的数列记为 ，求 的通项公式；
(3)记数列 的前 项和为 ，证明：
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 可得 ，易知 ，所以 ，解得 ；
又 可得 ，可得 ；
由 可得 ，即 ；
因此可得 ， ；
所以数列 和 的通项公式为 .
（2）数列 和 的公共项需满足 ，
可得 ，即 是4的整数倍，
可知 ，由二项式定理可知 若是4的倍数，则 为正数，即
；
所以可得 ，
即 的通项公式为
（3）易知 ，显然 对于 都成立，
所以 对于 都成立，
即
，
即可得 .
例9．（2023·河南·高三校联考期中）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 ；(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，求证： ．
【解析】（1）当 时， ，解得 ；
当 时， ， ，则 ，
因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ；
（2）由（1）知，
依题意 ，
因为 ， ，则 ，即 ；
因为 ，
所以 ，
而 ，
故 ，即 ．
综上所述， ．
例10．（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列 的首项 ， 是 与 的等差中项．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)证明： ．
【解析】（1）由题设 ，又 ，所以 是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知： ，则 ，显然 时 成立，
当 有 ，此时 ，
综上， ，得证.
考点四： 型不等式的证明
例11．（2023·北京通州·高三统考期中）已知数列 的各项均为正数，且满足 （ ，
且 ）.
(1)若 ；
（i）请写出一个满足条件的数列 的前四项；
（ii）求证：存在 ，使得 成立；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）（i）∵ 即 ，
又 ，则 ，
∴满足条件的数列 的前四项可以为： .
（ii）∵ （ ，且 ），
∴ ，
，
，
，
累加得 ，则 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
不妨令 ，
故存在 ，使得 成立；
（2）由（1）知： ，
同理∵ 即 ，
∴ ，
，
，
∴ ，则
则 ，
，
，
，
，
累加得： ，
故： .
例12．（2023·江苏盐城·高三统考期中）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”
来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列” 的前几项分别是：0，2，
4，8，12，18，24，…，且 满足 其中 .
(1)求 （用 表示）；
(2)设数列 满足： 其中 ， 是 的前 项的积，求证： ，
.
【解析】（1） ，
∴ .（2）由（1）知 ， ， ，
而 也满足上式，故 ，
∴ 且 ，故 且 ，即 ，
∴ ，则 ，
令 且 ，则 ，即 在 上递减，
所以 ，即 在 上恒成立，故 （当且仅当 时取等号），
所以 ， ，即 ， ，证毕.
例13．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列 的前n项之积为 ，满足
（ ）.
(1)设 ，求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 的前n项之和为 ，证明： .
【解析】（1）∵数列 的前n项之积为 ，满足 （ ），
时， ，解得 .
∴ 时， ，化为 ， 变形为 ，
又 ，∴ ， ，
数列 是首项为4公比为2的等比数列，∴ .
（2）先证明左边：即证明 ，
由（1）可得： ，解得 ，
又由 ，解得 ，
又 ，所以 ，
再证明右边： .
∴ ，
下面证明 ，
即证明 ，
设 ， ，
则 ，即证明 ， .
设 ， ， ，
则函数 在 上单调递增，∴ ，
即 ， ，
∴ .
∴ .
例14．（2023·山西太原·高三统考期中）已知 为单调递增的等比数列， ，记 ，
分别是数列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）由题意设 的公比为q（ ），
则 ，
∴ ，由 ，解得 ，∴ ；
（2）由（1）得 ，
①当 （ ）时，
；
②当 （ ）时，
；
综上，当 时， ．
考点五： 型不等式的证明
例15．（2023·广东佛山·高一佛山一中校考期中）已知数列 满足 ，且 ，
（1）求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）记 ，求 ；
（3）是否存在实数k，使得 对任意 都成立？若存在，求实数
k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以
是等差数列，公差为2， ，
，所以 ．
（2）由（1） ，所以 ．
（3）假设存在实数k，使得 对任意 都成立，
因为 ，
所以 ，
不等式 化为 ，
，
设 ，
设 ，则 ， ，
，所以 ，所以 是递增数列，
，
所以 ．
所以存在实数k，使得 对任意 都成立，且 ．
例16．（2023·福建厦门·高一厦门外国语学校阶段练习）已知数列 的满足 ，且
,记 .
(1)求证： 为等差数列，并求 的通项公式 ；
(2)设 ，求 的值；
(3)是否存在正实数 ，使得 对任意 都成立？若存在，求实数 的
取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1) ,所以 是以 为首项，2为公差的等差数列,
.
（2） ,
,
.
(3) 左边
,
由题意可知, 对任意 恒成立,
令 ,则由对钩函数的性质可知
在 上单调递增，故 ，
综上可以 ，即正实数 的取值范围为 .
例17．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）设数列 满足 ， ，
令 .
(1)试证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)是否存在常数 ，使得数列 是等比数列？请说明理由.
(3)令 ，是否存在实数 ，使得 对一切 都成立？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 ，得 ，
即 ,故 ，而 ，
∴ ，即 ，
∴数列 是以首项为 ，公差为1的等差数列，故 ．（2）由（1） ，设 ，
若存在常数c，使 是等比数列，则 ，
即 ，解得 .
经检验，c=0复合题意，
所以，存在唯一的常数 ，使 是等比数列.
（3）设 ，
则 .
∵
∴ ，即数列 是递减数列，故 ．
要使不等式 对一切 都成立，
只要 ，即 ， ， 解得 .
因此， 存在大于 实数 ，使不等式 对一切 都成立．
考点六： 型不等式的证明
例18．（2023·福建·高二福建师大附中校考期中）已知函数 的最小值为0，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，有 成立，求实数 的最小值；
(3)证明： ．
【解析】（1）由函数 ，则其定义域为 ，且 .
由 ，得: ，又由 ，得: ，
在 单调递减，在 单调递增，
；
（2）设 ，则 在 恒成立等价于 ，
注意到 ，又 ，
①当 时，由 得 .
在 单减， 单增，这与 式矛盾；
②当 时， 在 恒成立， 符合 ，
的最小值为 ；
（3）由（2）知：令 得： ，
令 得：
当 时， (1)；
当 时， ，
，
，
将(1)(2)(3),......,(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以 .
例19．（2023·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）已知数列 是公比大于0的等比数列， ，.数列 满足： （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： 是等比数列；
(3)证明： .
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，
则 ，所以 ，
又 .
（2）所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是首项为8，公比为 的等比数列；
（3）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， 为数列 的前 项和，且满足 ，．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）对任意的 ，
当 时， ，两式相减 ．
整理得 ，
当 时， ，
也满足 ，从而 ．
（2）证明：证法一：因为 ，
所以，
．
从而 ；
证法二：因为 ，
所以，
，证毕.
考点七： 型不等式的证明
例21．（2023·吉林·统考三模）已知函数 ．
（1）求 的最大值；
（2）设 ， 是曲线 的一条切线，证明：曲线 上的任意一点都不可能在直线 的上方；
（3）求证： （其中 为自然对数的底数， ）．
【解析】（Ⅰ） 的定义域为 ， ，令 ，得 ．
当 时， ，∴ 在 上是增函数，
当 时， ，∴ 在 上是减函数，
故 在 处取得最大值 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
设 是曲线 上的一点，
则 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
令
则 ，
∵ ， 在 上是减函数，
∴ 在 处取得最大值 ，即 恒成立，
故曲线 上的任意一点不可能在直线 的上方．
（3）由（1）知 在 上恒成立，当且仅当 时，等号成立，
故当 且 时，有 ，
又因为 ，所以所以
例22．（2023·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
(3)求证： （ ， 是自然对数的底
数）．
【解析】（1）当 时， ，
，
由 解得 ，由 解得 ，
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）因当 时，不等式 恒成立，即 恒成立，
设 ，只需 即可，
由 ，
（i）当 时， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
故 成立；
（ii）当 时，由 ，因 ，所以 ， ，
①若 ，即 时，在区间 上， ，则函数 在 上单调递增， 在
上无最大值，不满足条件；
②若 ，即 时，函数 在 上单调递减，在区间 上单调递增，同
样 在 上无最大值，不满足条件；
（iii）当 时，由 ， ， ，，故函数 在 上单调递减，故 成立，
综上所述，实数 的取值范围是 ；
（3）据（2）知当 时， 在 上恒成立，
令 ，
则 ，
当 时，
，
.
例23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的值；
(2)证明： （ 且 ）.
【解析】（1）函数 ，求导得 ，
由于函数 在R上单调递增，则 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，不满足条件；
当 时， ， 在R上单调递增，
又 ，即 ，不满足条件；
当 时，令 ，得 ，
则当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
于是当 时， 取得最小值 ，
于是 ，即 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
则 ，由于 恒成立，因此 ，则有 ，
所以 单调递增时， 的值为1.
（2）由（1）知，当 时， ，即有 ，当且仅当 时取等号，即当 时，
，
因此当 且 时，
，
而当 时， ，
所以 ，
则 ，所以， .
