文档文本内容
2025二轮复习大题规范练（三）
一、基础保分练
1．（2024·江苏南京·二模）已知函数 ，f'(x)为 的导函
数.
(1)若 ，求证： ；
(2)若对任意 ， ，求 的取值范围.
2．（2024·四川攀枝花·三模）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校举行“阅读经典名著，
传承优秀文化”闯关活动．参赛者需要回答三个问题，其中前2个问题回答正确各得5分，
回答不正确得0分；第三个问题回答正确得10分，回答不正确得-5分，得分不少于15分
即为过关．如果甲同学回答前两个问题正确的概率都是 ，回答第三个问题正确的概率为
(1)求甲同学过关的概率；
(2)求甲同学回答这三个问题的总得分X的分布列及数学期望．
3．（2024·云南大理·模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上的一点， ，且______，求 的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
① 是 的平分线；
② 为线段 的中点
4．（22-23高三上·浙江丽水·期中）如图所示，已知双曲线 与抛物线 有相同
的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.(1)写出抛物线 的焦点坐标和准线方程；
(2)若双曲线 的焦距为其实轴长的2倍，求点M到双曲线 两个焦点的距离之和.
5．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 满足： ， ，数列 为
单调递增等比数列， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
6．（23-24高三下·广西·阶段练习）在 中， ， ，D为边
上一点， ，E为 上一点， ，将 沿 翻折，使A到 处，
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若射线 上存在点M，使 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求λ.
二、能力增分练
7．（2024·四川成都·模拟预测）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解
学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为 ，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为
“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不
喜欢食堂就餐”的男生只有10人．
女
男生 合计
生
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就
10
餐
合计 100
(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生喜欢食堂
就餐是否与性别有关：
(2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．
事件“ ”的概率为 ，求随机变量X的期望和方差．
参考公式： ，其中 ．
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
8．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为抛物线上
一点， ，若 的最小值为2．
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 过点 且交抛物线 于 ， 两点，求 的最小值．
9．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ，
.(1)证明： 平面 ；
(2)若 是棱 上一点且 ，求二面角 的大小.
10．（2024·江西新余·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，其中 ，且 .
(1)求 的通项公式.
(2)设 ，求 的前 项和 .
11．（2024·湖北黄冈·一模）函数 ，函数 的最小
正周期为 .
(1)求函数 的单调递增区间以及对称中心；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数 的图象，
在函数 图象上从左到右依次取点 ，该点列的横坐标依次为 ，
其中 ， ，求 .
12．（2024·四川成都·模拟预测）定义运算： ，已知函数
．(1)若函数 的最大值为0，求实数a的值；
(2)证明： ．
(3)若函数 存在两个极值点 ，证明： ．
三、拓展培优练
13．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的单调区间与极值；
(2)若函数 有2个不同的零点 ， ，满足 ，求a的取值范围.
14．（2024·山西·模拟预测）在 中，点 是边 上一点，且 ，
(1)若 ， ，且 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 面积的最小值；
(3)若 ， ，且 的面积为12，求 的值.
15．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列 ，若存在一正实数 ，使
得 且 ，有 ，我们就称 是 -有限数列.
(1)若数列 满足 ， ， ，证明：数列 为1-有限数列；
(2)若数列 是 -有限数列， ，使得 且 ， ，证明：
.
16．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，的中点分别为 ，点 在 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
(3)求二面角 的大小.
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点 ， ，点P在以AB为直径的圆C上
运动， 轴，垂足为D，点M满足 ，点M的轨迹为W，过点 的
直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为 ，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为 ， ，证明 为定值，并求出该定值.
18．（2024·辽宁·模拟预测）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的
生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频
率分布直方图.
(1)求a的值以及这批零件内径的平均值 和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间 内的零件个
数为 ，求 的分布列以及数学期望；
(3)已知这批零件的内径 （单位：mm）服从正态分布 ，现以频率分布直方图中
的平均数 作为 的估计值，频率分布直方图中的标准差 作为 的估计值，则在这批零
件中随机抽取200个，记内径在区间 上的零件个数为 ，求 的方差.
参考数据： ，若 ，则 ，
， .
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 可求得 ，再根据基本不等式即可得出证明；
（2）对函数求导并对参数 进行分类讨论得出 在 上的单调性，得出其在 上
的最小值，解不等式即可求得 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
此时 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立；
即
（2）易知 ,①因为 ，若 或 ，则 ， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 或 ；
②若 ，则由 ，得 ，列表：
f'(x)
0
所以 ，所以 ；
③若 ，则 ， ，所以 在 上递减，
所以 ，此时无解；
综上， 的取值范围为 .
2．(1)
(2)分布列见解析，12.5
【分析】（1）甲同学过关有两种情况：①前两个问题一对一错，第三个问题答对，②三个
问题均答对，再结合独立事件的概率乘法公式求解；
（2）由题意可知，X的所有可能取值为﹣5，0，5，10，15，20，利用独立事件的概率乘
法公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解．
【详解】（1）甲同学过关有两种情况，分别为事件A：前两个问题一对一错，事件B：三
个问题均答对，
其概率分别为 ，
所以甲同学过关的概率为 ；
（2）由题意可知，X的所有可能取值为 ，则 ， ，
， ， ，
，
所以X的分布列为：
X ﹣5 0 5 10 15 20
1
P
8
所以 ．
3．(1)
(2)选①和②，答案均为
【分析】（1）根据三角函数恒等变换得到 ，从而求出 ；
（2）选①，由三角形面积公式得到 ，由余弦定理得到 ，求
出 ，得到周长；
选②， 两边平方得 ，由余弦定理得 ，联立
求出 ，得到周长.
【详解】（1）因为 ，可得 ，
故 ，故 ，
可得 ，因为 ， ，所以 ，可得 .
（2）若选①：由 平分 得： ，
即 ，即 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，两式联立可得 ，
所以 的周长为 ；
若选②： 为线段 的中点，故 ，
，
因为 ， ，故 ，
整理可得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
两式联立可得 ，所以 ，
从而 的周长为 .
4．(1)焦点坐标为 ，准线方程为 ；
(2)12.
【分析】（1）根据抛物线的标准方程即得；
（2）由题可得双曲线方程 ，进而可得 ，然后根据抛物线及双曲线的
定义即得.【详解】（1）因为抛物线 ，
所以抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ；
（2）设双曲线的方程为 ，
则 ， ，
∴ ， ，
∴双曲线 的方程为 ；
由 ，可得 或 (舍去)
所以 ，
由抛物线的定义可知 ，
由双曲线的定义可知，点M到左焦点的距离为7，
∴点M到双曲线 两个焦点的距离之和为 .
5．(1) ， ；
(2)
【分析】（1）根据 得到 为公差为2的等差数列，利用等差数列求
通项公式求出 ，再设 的公比为 ，列出方程，求出 ，得到通项公式；
（2）化简得到 ，故 为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答
案.【详解】（1）因为 ，
故 为公差为2的等差数列，
所以 ，
又 ， ， 成等差数列，故 ，
设 的公比为 ，其中 ，
则 ，解得 或 ，
当 时， ，此时 ，为递增数列，满足要求，
当 时， ，此时 ，为递减数列，舍去，
综上， ， ；
（2） ，则 ，
故 为公差为3的等差数列，
故 .
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）题意先证明 平面 ，得到 ，根据线面垂直判定定理得证；
（2）作 ，垂直为Q，由（1）得 ，证得 平面 ，以B为原点，
， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得 和平面的一个法向量 ，根据 与平面 所成角正弦值为 ，解得参数的
值；
【详解】（1）证明：由题意知 ， ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面
（2）作 ，垂直为Q，由（1）知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面
故以B为原点， ， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
，
又 ，
所以 ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则设 与平面 所成角为θ，
则 ，
解得 或 ，
由题意知 ，故 .
7．(1)表格见解析，有关
(2)期望6，方差
【分析】（1）根据题意，补充完善列联表，进行独立性检验即可.
（2）根据题意， ，利用二项分布的均值方差公式求解.
【详解】（1）列联表见图，
女
男生 合计
生
喜欢食堂就餐 40 20 60
不喜欢食堂就
10 30 40
餐
合计 50 50 100
零假设 ：假设食堂就餐与性别无关，
由列联表可得 ，
根据小概率 的独立性检验推断 不成立，
即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 .
（2）由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数 服从二项分布，且喜欢饭堂就餐的频率为 ，则 ，
故其期望 ，方差 .
8．(1)
(2)
【分析】（1）设 ，根据 可求 的值，得到抛物线方程.
（2）设直线 的点斜式方程（注意讨论），与抛物线方程联立，设M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由一元二次方程根与系数的关系，得到 ， ，再根据抛物线的概念，用 ，
表示出 ，利用二次函数求它的范围.
【详解】（1）设 ，则 ，等
号成立当且仅当 ，
所以 ，
所以抛物线 的方程为 ．
（2）设M(x ,y )，N(x ,y )，当直线的斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
1 1 2 2
设直线 的方程为 （ ），与抛物线 的方程联立
消去 得 ，
由 在抛物线内部，故 ，所以 ， ．
由（1）知，F(1,0)为抛物线 的焦点，由抛物线定义得，
，
所以当 ， 时， 的最小值为 ；
当直线的斜率不存在时， ．
由抛物线定义知 ．
综上， 的最小值为 ．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，证得 和 ，利用线面垂直的判定定理，即可证
得 平面 .
（2）由（1），得到 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
分别求得平面 和 的一个法向量为 和 ，结合向量的夹角
公式，即可求解.
【详解】（1）证明：连接 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
（2）解：由题设 ，又因为 为 的中点，所以 ，
由（1），可得 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设 ，因为 ，由题意易得 ，
所以 为正三角形，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
又由平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，且 为锐角，
所以 ，可得
即二面角 的大小为 .
【点睛】10．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 时， ，再由 ，结合等比数列的通
项公式，即可求解；
（2）由（1）得到 ，结合乘公比错位法求和，即可求解.
【详解】（1）由 ，可得 ，则 ，
两式相减，可得 ，即 ，
又由 ，易知 ，
所以当 时， ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为 ，可得 ，
则 ，
所以 ，
两式相减得，
所以 .
11．(1)增区间为 ，对称中心为为 .
(2)
【分析】（1）利用三角变换可得 ，结合周期可求 ，再利
用整体法可求单调增区间和对称中心.
（2）根据图象变换可得 ，根据其周期性和特殊角的三角函数值可求
的值.
【详解】（1） ，
因为 的最小正周期为 ，故 ，即 ，
所以 ，
令 ，故 ，
故 的增区间为 .
令 ，则 ，故 图象的对称中心为 .
（2）由题设有 ，
则 的周期为 ，而 ，故 ，
而 ，
，
故
12．(1)1
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用定义的运算得到 的解析式，结合导数求最大值的方法，建立关于
的方程，解方程得解.
（2）借助（1）问中的结论， ，得到
，然后利用不等式性质，即裂项相消求和法，
从而得证.
（3）将极值点个数问题转化为到导函数零点个数问题，从而得出
，将所证转化为 ，通过消元，然后构造函数，借助导数证明 即可.
【详解】（1）由题意知： ， ，
①当 时，f'(x)<0， 在 单调递减，不存在最大值．
②当 时，由 得 ，
当 ，f'(x)>0； ，f'(x)<0，
函数y=f (x)的增区间为 ，减区间为 ．
，令 ，求导得 ，
当 时， ，函数 递减，当 时， ，函数 递增，
因此 ， ．
（2）由（1）知， ，即 ，
当 时， ．
．
．
（3）
“函数h(x)存在两个极值点 ”等价于
“方程 有两个不相等的正实数根”故 ，解得 ，
要证 ，即证 ，
，不妨令 ，故
由 得 ，令
在 恒成立，
所以函数φ(x)在 上单调递减，故 ．
成立．
【点睛】关键点点睛：第（1）小问关键在于读懂新定义运算，得到 解析式，然后借
助导数求最大值，第（2）小问关键，借助（1）中得到的结论， ，得到
，其中 的放缩很关键；第（3）问的关键是将极值
点个数问题等价为导函数零点个数问题，从而得出 的结论，
最后双元变单元，再一次构造函数从而得解.13．(1) 单调递减区间为 ； 单调递増区间为 ； 有极小值 ，无极
大值.
(2)
【分析】（1）将 代入 ，然后求导利用导函数的正负判断原函
数的单调性，计算极值即可；
（2）先将 化为 ，然后令 ，将问题转变为 有两
个解为 ，设 ，利用零点存在性定理证明其有两个零点时的情况，
分离得 ，再设新函数 ，利用导数求出其值域，最后求出 的取值范围即
可.
【详解】（1）当 时， ，其定义域为(0,+∞)，
，
所以显然当x∈(0,1)时，f'(x)<0，此时 单调递减；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，此时 单调递増；
所以 有极小值f (1)=0，无极大值；
综上所述， 单调递减区间为(0,1)； 单调递増区间为(1,+∞)； 有极小值 ，
无极大值.
（2） ，令 ，
因为 ，所以 在 单调递增，则 ，
令 ，即 在 有2个零点 ，且 ，因为 ，
当 时， 在 单调递增，不存在2个零点，
所以 ，
当 时， :当 时， .
所以 在 单调递减，在 单调递增，
则 ，
令 ，
当 时， 单调递减：当 时， 单调递增，
则 ，所以 恒成立.即 恒成立.
因此 ，
，
因为 时， ;且 .
，
因为 时， ;且 .
所以当 ，即 时，函数 有2个不同的零点.
又 ，即 等价于 ，
设 .
当 时， ;当 时， .
则 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，由题意得: .
（i）当 ，即 时， 恒成立;
（ii）当 ，即 时，有 .
令 ，
由 ，即 可得 ，所以 ，
综上， ，因此 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用同构思想得 ，再结合分离参
数即可得到答案.
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）借助三角函数基本关系可得 ，再利用余弦定理可得 ，最后借
助正弦定理计算即可得解；
（2）设 ， ，借助等面积法计算可得 ，再利用基本
不等式即可得 ，最后利用面积公式计算即可得解；
（3）设 ， ，则可用 表示出其余量，借助正弦定理
计算可得 ，结合题目所给条件可得 ，即可解出
、 ，最后利用面积公式与余弦定理计算即可得解.【详解】（1）由题意知 ，所以 ，
又 ，
故 ，由正弦定理 ，得 ，
所以 ，
所以 ；
（2）设 ， ，因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的面积 ，
即 面积的最小值为 ；
（3）设 ， ，
则 ， ， ，
在 中，由正弦定理 ，得 ，所以 ，
在 中， ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，解得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理 ，
得 ，
解得 或 ，又 ，所以 .
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用累加法可得 ，结合数列的单调性及1-有限数
列的定义可知 为1-有限数列；（2）利用放缩法和裂项相消法可证不等式成立.
【详解】（1）因为 且 为正项数列，故 ，
而 ， ，故当 时， ，
因为 ，故 ，
由累加法可得 ，
故 ，
故数列 为1-有限数列；
（2）
因为 且 ， ，
故
.
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；(3) .
【分析】（1）连接 、 ，设 ，根据 ，则 即可求出 ，
从而证明四边形 为平行四边形，即可得到 ，从而得证；
（2）利用勾股定理逆定理得到 ，再由 ，即可得到 平面 ，即
可得证；
（3）过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，所以由
求出 点坐标，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接 、 ，设 ，
则 ， ，
因为 ， ，则 ，
，解得 ，则 为 的中点，
由 分别为 的中点，
所以 且 ， 且 ，即 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由（1）可知 ，则 ， ，
所以 ，因此 ，则 ，
有 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
（3）因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
设 ，所以由 ，可得 ，
解得 ，所以 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
又平面 的一个法向量为 ，
设二面角 为 ，显然 为钝角，
所以 ，所以二面角 的大小为 .
17．(1)
(2)
(3)证明见解析，2
【分析】（1）由已知可得圆的方程，设M(x,y)，P(x ,y )， ，根据
0 0
，可得 ， ，代入圆的方程即可求解；
（2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可知直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，
联立直线和椭圆构成的方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意，点 在圆 上运动，设M(x,y)，P(x ,y )， ，
0 0
由 得 ， ，
又 ，所以 ，所以 的方程为 ；
（2）直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 被圆C截得的弦长为 ；
（3）
由题意，直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
所以 ， ，
故 ，
.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．(1) ， ，
(2) 的分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，及频率分布直方图中均
值和方差的计算公式，求出相应的值即可；
（2）确定 的可能取值，求出不同 的值对应的概率，得到 的分布列，再根据离散型随
机变量数学期望的计算公式求出 的数学期望即可；
（3）由根据正态分布的概率求法，求出 的概率，再根据二项分布的定义判定
，最后根据二项分布方差的计算公式求出 的方差.
【详解】（1）由 ，则 ，
这批零件内径的平均值：
，
，
这批零件内径的方差：
，（2）由题意知， 的可能取值为0，1，2，3，4，
则 ，
，
，
，
，
因此可得 的分布列：
0 1 2 3 4
0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
则 的数学期望 .
（3）由题意知， ， ，
又 ， ，
则
，
由二项分布的定义知 ,
由二项分布的方差公式知， .
