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专题一 函数与导数
第2 讲 基本初等函数、函数与方程
【真题再现●明考向】
1．在选择、填空题中基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数
性质比较大小是常见题型．
2．函数的零点有关的题目，常结合函数的性质综合考查，注意该知识点易命制
成多选题，也可以函数实际应用呈现．
【考情分析●明方向】
1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)若实数x，y，z 满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，
则x，y，z 的大小关系不可能是( )
A．x>y>z
B．x>z>y
C．y>x>z
D．y>z>x
2．(2025·天津高考)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是( )
A．(0，0.3)
B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1)
D．(1，2)
3．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(
)
A．c<b<a
B．b<a<c
C．a<c<b
D．a<b<c
4．(2021·天津高考)设a＝log20.3，b＝log\f(1,20.4，c＝0.40.3，则a、b、c 的大小
关系为( )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．a<c<b
5．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝( )
A．25
B．5
C．
D．
6．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表
测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和
小数记录法的数据V 满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为
4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6
7．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a>0>b
B． a>b>0
C． b>a>0
D． b>0>a
8．(多选)(2023·新课标全国Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度
量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为
p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2
B． p2>10p3
C．p3＝100p0
D． p1≤100p2
【考点突破●提能力】
考点一 基本初等函数的图象与性质
【核心知识】
1．一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)．
(2)当α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别
地，当α>1 时，幂函数的图象下凸；当0<α<1 时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x 对称．
(5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺
序，幂指数按从小到大的顺序排列．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其
图象关于y＝x 对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1 两种情况，着重关注两
函数图象的异同．
3．常见的几个结论
(1)已知a>0 且a≠1，则ab>1⇔(a－1)b>0，0<ab<1⇔(a－1)b<0，
(2)已知a>0 且a≠1，b>0，
则logab>0⇔(a－1)(b－1)>0，logab<0⇔(a－1)(b－1)<0，
(3)指数型函数y＝k·amx＋n＋p(a>0 且a≠1)的图象经过定点.
(4)对数型函数y＝k·loga(mx＋n)＋p(a>0 且a≠1)的图象经过定点.
【方法技巧】
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定
时，要注意分a>1 和0<a<1 两种情况讨论：当a>1 时，两函数在定义域内都为
增函数；当0<a<1 时，两函数在定义域内都为减函数．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
【典例研析】
幂函数、指数函数、对数函数的图象
1．(1)(2025·南充模拟)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
(2)(2025·福州模拟)若函数f(x)＝xa，x∈(0，＋∞)的图象如图所示，则函数g(x)
＝loga x＋loga(2－x)的图象大致为( )
A B C D
(3)(2025·长沙校级模拟)函数y＝(2x＋2－x)·ln|x|的图象大致为( )
A B C D
幂函数、指数函数、对数函数的性质
2．(1)(2025·青海西宁二模)已知函数f(x)＝ex2－ax在区间(－2，－1)上单调递减，
则实数a 的取值范围是( )
A．[0，＋∞)
B．[－2，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，－2]
(2)(2025·辽宁模拟预测)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1 的解集为( )
A．[0，2]
B．[0，1]
C．(－∞，2]
D．(－∞，1]
(3)(2025·武功县校级二模)下列不等式成立的是( )
A．0.40.3＜0.40.9
B．log2.33＜log2.32
C．log0.50.2＞0.50.2
D．log52＞0.50.2
【跟踪训练】
1．(1)(2025·天河区模拟)函数f(x)＝的图象大致为( )
A B C D
(2)(2025·河南模拟预测)已知a＝log0.30.07，b＝20.7，c＝60.2，则( )
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．a>c>b
(3)(2025·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)>0 的解集是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－3)
D．(－3，＋∞)
考点二 函数的零点和方程
【核心知识】
函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有公共
点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y ＝f(x) 在区间[a ，b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，
b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解．
(4)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)与y＝g(x)
的图象的交点的横坐标．
【方法技巧】
1．判断函数零点个数的方法
(1)利用零点存在性定理判断法．
(2)代数法：求方程f(x)＝0 的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函
数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用
求导的方法判断函数的单调性．
2．利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
【典例研析】
3．(1)(2025·滁州模拟)函数f(x)＝所有零点之和为( )
A．－4
B．－3
C．0
D．1
(2)(2025·房县校级模拟)已知函数f(x)＝若关于x 的方程m－f(x)＝0 有两个不同的
实数根，则实数m 的取值范围为( )
A．
B．∪
C．
D．
(3)(多选)(2025·新疆校级一模)已知函数f(x)＝g(x)＝[f(x)]2＋af(x)－1，则( )
A．f(x)的零点个数为2
B．当a＝0 时，g(x)有2 个不同的零点
C．当a＜0 时，g(x)有4 个不同的零点
D．a＞0 是g(x)有1 个零点的充要条件
【跟踪训练】
2．(多选)(2025·山海关区模拟)已知函数f(x)＝ln x－＋4，函数g(x)＝|f(x)|－m(0
＜m＜3)有两个零点x1，x2(x1＜x2)，则( )
A．f(x)有1 个零点
B．x1x2＞1
C．＞e2m
D．x2＜
考点三 函数的实际应用
【方法技巧】
求解函数应用问题的一般程序及关键
(1)一般程序：
⇒⇒⇒
(2)解题关键：解答这类题的关键是准确地建立相关函数关系，然后应用函数、
方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
【典例研析】
4．(1)(2025·昆明模拟)已知某种水果的保鲜时间y(单位：小时)与温度x(单位：
℃)近似满足函数关系y＝eax＋b(a，b 为常数，e 为自然对数底数)，若该品种水果
在4 ℃时的保鲜时间为192 小时，在17 ℃时的保鲜时间为96 小时，则在30
℃时，该种水果的保鲜时间约为( )
A．12 小时
B．24 小时
C．36 小时
D．48 小时
(2)(2025·凉州区校级模拟)某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种
污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置．现污水中该种污染物含
量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的
含量W 如表：
l
0
1
2
3
W
W0
0.5W0
0.25W0
0.125W0
研究小组的同学根据表格数据建立了W 关于l 的函数模型．则与表格中数据吻
合的函数模型是( )
A．W＝W0＋0.5l
B．W＝W0·log0.5(l＋1)
C．W＝0.5W0l
D．W＝W0·(0.5)l
(3)(2025·无锡模拟)某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙
体，建造一间高3 米，底面积为20 平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发
室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了
如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500 元每平方米，屋子左右侧面新
建墙体的报价为200 元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7 500 元，设屋子
的左右侧面长均为x(1≤x≤10)米．
①当屋子的左右侧面长x 为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？
②现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为300 元，若无论左右侧面的长
为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求a 的最大整数．
【跟踪训练】
3．(2025·南阳模拟)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，
“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在
前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过( )天，甲的“日能力值”是乙
的20 倍．(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)( )
A．23
B．100
C．150
D．232
4．(2025·广东校级模拟)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空
气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空
气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1%.
经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化
碳的浓度为y%，且y 随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λe
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据：
ln 3≈1.1)( )
A．11 分钟
B．13 分钟
C．15 分钟
D．17 分钟
【限时训练】（限时：120 分钟）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·新乡二模) ＝( )
A．16
B．8
C．32
D．16
2．(2025·海淀区一模)已知四个数a＝，b＝，c＝lg 2，d＝lg 5，其中最小的是(
)
A．a
B．b
C．c
D．d
3．(2025·宝鸡模拟)若2a＝3＝logb3，c＝e，则实数a，b，c 的大小顺序为( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
4．(2025·安化县校级三模)二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折
旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年
开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7 万元入手一辆3～5 年的二手
车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m∈N)
万，则m＝( )
A．14
B．15
C．16
D．17
5．(2025·泰安模拟)已知f(x)是定义域为R 的单调递增函数，且存在函数g(x)，
使f(g(x))＝2x－1，若x1，x2分别为方程f(x)＋2x＝7 和g(x)＋x＝4 的根，则x1＋
x2＝( )
A．8
B．4
C．－4
D．－8
6．(2025·鹰潭二模)在2019 年中共中央政治局第十八次集体学习中，习近平总
书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技
术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技
术中，若密码的长度为128 比特，则密码一共有2128种可能性，因此为了破译此
密码，最多需要进行2128次运算．现在有一台机器，每秒能进行×1010次运算，
假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128 比特的密码所需要的
最长时间约为(参考数据：lg 2≈0.301，100.13≈1.349)( )
A．1027×1.349 秒
B．1028×1.349 秒
C．1029×1.349 秒
D．1030×1.349 秒
7．在某次数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：
甲：ln 3<ln 2；
乙：ln π<；
丙：2<12；
丁：3eln 2>4.
所写为真命题的是( )
A．甲和乙
B．甲和丙
C．丙和丁
D．甲和丁
8．(2025·陕西模拟)已知函数f(x)定义为：f(x)＝若函数f(x)恰好有3 个零点，则
实数a 的取值范围是( )
A．
B．(－1，2]
C．(－3，－2)
D．
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每个小题给出的选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选
错的得0 分．
9．(2025·廊坊校级模拟)下列不等式成立的有( )
A．log0.30.2＞log0.20.3
B．0.30.2＞0.20.3
C．log30.2＜log20.2
D．30.2＜20.3
10．(2025·景德镇模拟)若实数log2a，log3b 都是一次函数f(x)＝cx－1 的零点，
则下列不等关系中可能成立的是( )
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
11．(2025·内乡县校级二模)Cobb－Douglas 生产函数是宏观经济学和微观经济
学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为Y＝AKαLβ(A＞0，K＞0，L＞
0，0＜α＜1，0＜β＜1)．其中Y 是总产出，K 是资本存量，L 是劳动力，A 是技
术参数，α，β 是资本和劳动的产出弹性．当A 不变时，下列说法正确的是(
)
A．若K 与L 均变为原来的m(m＞0)倍，且α＋β＝1，则Y 变为原来的m 倍
B．若K 与L 均变为原来的m(m＞0)倍，且αβ＝，则Y 最少可变为原来的m 倍
C．若K 与L 均变为原来的m(m＞0)倍，且α2＋β2＝，则Y 最少可变为原来的m
倍
D．若α，β，L 均不变，则函数Y＝AKαLβ的增长速度越来越慢
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．(2025·宝山区二模)已知函数y＝ax＋1－loga(x＋2)＋1(a＞0 且a≠1)的图象经
过定点A，则点A 的坐标为________.
13．(2025·四川校级三模)设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x∈R，都有
f(2－x)＝f(x＋2)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝x－1，若关于x 的方程f(x)－loga(x
＋2)＝0(a＞1)在区间(－2，6)内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是
_______________________．
14．(2025·武汉模拟)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太
阳能板，该地区未来第x 年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y
＝，其中N 为饱和度，y0为初始值，p 为年增长率．若该地区2024 年底的光伏
太阳能板保有量约为20 万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱
和度为1 020 万块，那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约________万
块．
(结果四舍五入保留到整数，参考数据：e－0.5≈0.61，e－0.6≈0.55，e－0.7≈0.49)
四、解答题：每小题15 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(2025·湖北一模)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过
市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3 万元，每生产x 万件，
需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8 万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．
在年产量不小于8 万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5 元．通过
市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销
售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是
多少？
16．(2025·慈溪市校级模拟)已知函数f(x)＝
(1)当a＝2 时，求f(x)的单调递减区间；
(2)当a＝0 时，函数g(x)＝f(x)－k|x2－2x|(k∈R)恰有3 个不同的零点，求实数k
的取值范围．
