文档文本内容
培优点04 函数与方程的综合应用
目录
01 重点解读....................................................................................................................2
02 思维升华....................................................................................................................3
03 典型例题....................................................................................................................4
题型一：对勾函数.........................................................................................................4
题型二：反函数.............................................................................................................6
题型三：倍值函数.........................................................................................................9
题型四：等值函数.......................................................................................................12
题型五：最值函数.......................................................................................................14
题型六：绝对值函数...................................................................................................18
题型七：新定义函数...................................................................................................26
04 课时精练..................................................................................................................30
函数与方程的综合应用堪称历年高考的热门考点，常以客观题形式呈现。这类题目往往将函数性质与
方程求解巧妙融合，要求考生深入剖析函数的单调性、奇偶性、最值等关键性质，并结合函数图象直观研
究函数的零点情况，或是方程根的分布范围、具体个数等问题。由于涉及知识点多、思维跨度大，题目难
度普遍较高，通常被安排在压轴题位置，旨在全面考查考生对函数与方程知识的综合运用能力以及逻辑推
理、数形结合等数学素养。
1、对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x 轴的交点个数；
(4)区间端点值.
2、
于复合函数
对
的零点个数
，求解思路如下：
问题
(1)确定内
函数
层
和外
函数
层
；
(2)确定外
函数
层
的零点
；
(3)确定直线
与内
函数
层
象的交点个数分
图
别为
函数
则
的零点个数为
.
题型一：对勾函数
【例1】已知正实数
，y 满足
，若
恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，可得
且不等式等价于
，即求
的最小值，令
，则有
，
等价于
，求
的最小值即可.因为
，y 为正实数，
且满足
，所以
，
，等价于
，因为
，所以
，
即
在
上恒成立；
设
，令
，则
，
，则
等价于
，
化简可得：
，因为
，所以
，所以
，即
.
故选：A.
【变式1-1】（2025·贵州·模拟预测）若函数
有零点，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由函数
，
令
，则
，
所以
，即
，
当
时，由
，当且仅当
时，等号成立，即
；
当
时，由
，
当且仅当
时，等号成立，即
，所以
，
要使得
有零点，即
在
有实数根，
令
，即
在
上有零点，
则满足
或
，即
或
，
作出不等式
或
所表示的平面区域，如图所示，
又由
，
即
可看出坐标原点到平面区域的最短距离的平方，
设原点
到直线
或
的距离分别为
，
则
，所以
的最小值为
.
故选：B.
【变式1-2】设实数
且满足
，则使不等式
恒成立的
的最大值为
【答案】
【解析】不妨设
，令
，
则原不等式化为
恒成立，
整理得
，
故
即
，
即
，故
，
，
故答案为：
题型二：反函数
【例2】（2025·北京顺义·一模）已知直线
分别与函数
和
的图象交于
，
，给出下列三个结论：①
；②
；③
.其中正确结论的个
数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题意直线
与
垂直，函数
和
的图象关于
对称，
所以
关于
对称，
又由
得交点坐标为
，则
，
对于①：因为
，且
，所以
，①错误；
对于②：由
，因为
，则
；②正确；
对于③：直线
与
联立，可得
，即
，
设函数
，
是增函数，
又由
，
，可得
，
所以函数
在区间
上存在唯一零点，即
，
因为
，所以
，
构造函数
，则
，
当
时，可得
，
所以函数
在
单调递增；
当
时，可得
，
所以函数
在
单调递减；
，
，
所以
，③正确；
故选：C
【变式2-1】已知函数
，若存在
使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
的反函数为
，由
可得
，
所以题干等价为
与
的图象在区间
有交点，
因为
与
的图象关于直线
对称，
所以两函数图象交点必在
上，
故
图象与直线
在区间
有交点，
则
在区间
有解，则
，
令
，则
，
则
在区间
单调递增，又
，
则
的取值范围为
．
故选：D
【变式2-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
的零点分别
为
，
，，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】A
【解析】由题设，
，
，
，
所以问题可转化为
与
、
、
的交点问题，函数图象如下：
因为
与
关于
对称，而
与
互相垂直，
所以
，
，则
.
故选：A
【变式2-3】已知函数
的零点分别为
，则
的值
是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】由题意，
，
令
，
因为
与
互为反函数，两个函数的图象关于直线
对称，
且
的图象也关于直线
对称，
设
，
则
关于直线
对称，
所以
且
由
可得
，
所以
．
由
可得
，
所以
，
又
代入上式可得
，
则
．
故选：A．
题型三：倍值函数
【例3】已知函数
．
(1)若
，求函数
在区间
上的最大值与最小值；
(2)若存在实数
满足
，使得
在区间
上的值域也为
，求
的取值范围．
【解析】（1）若
，则
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
．
（2）由二次函数的单调性可知：
在
上单调递增，所以有
，
即
．
若存在这样的
，则方程
有两个大于的实根，
设
，所以有
，即
，
解得
或
【变式3-1】已知函数
．
（1）若
时，
，求
的值；
（2）若
时，函数
的定义域与值域均为
，求所有
值．
【解析】（1）因为
，所以
所以
，
所以
或
，
因为
，所以
．
（2）
当
时，
在
上单调递减，
因为函数
的定义域与值域均为
，
所以
，两式相减得
不合，舍去．
·当
时，
在
上单调递增，
因为函数
的定义域与值域均为
，
所以
，无实数解.
·当
时，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
因为函数
的定义域与值域均为
，
所以
，
．综合所述，
，
．
【变式3-2】对于区间
，若函数
同时满足：①在
上是单调函数，②函数
在
的值域是
，则称区间
为函数的“保值”区间.
(1)求函数
的所有“保值”区间；
(2)判断函数
是否存在“保值”区间，并说明理由；
(3)已知函数
有“保值”区间
，当
取得最大值时求
的值.
【解析】（1）函数
在R 上的值域为
，令
在
的值域为
，
则
，函数
在
上单调递增，因此
，而
，解得
，
所以函数
的所有“保值”区间为
.
（2）函数
在
上单调递增，
若
是
在
的保值区间，则
，
是方程
同号的两个不等实根，
由
，得
，
，则方程
无实根，
所以函数
不存在“保值”区间.
（3）函数
在
上单调递增，
依题意，
，
是方程
同号的两个不等实根，
即
是关于
的方程
同号的两个不等实根，
，解得
或
，于是
，
，
当且仅当
时取等号，
所以当
取得最大值时，
的值为3.
【变式3-3】已知函数
，若存在区间
，使得函数
在区间
上的值
域为
，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据函数的单调性可知，
，
即可得到
，
即可知
是方程
的两个不同非负实根，
所以
，解得
．
故选：B．
题型四：等值函数
【例4】（多选题）已知函数
，则下列结论正确的是（····）
A．函数
在
上单调递减
B．函数
的值域是
C．若方程
有5 个解，则
的取值范围为
D．若函数
有3 个不同的零点
，则
的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
，
画出
的图象，如下：
A 选项，函数
在
和
上单调递减，不能说在
上单调递减，A 错误；
B 选项，函数
在
处取得最小值为
，故值域是
，B 正确；
C 选项，若方程
有5 个解，则要满足
与
有5 个交点，
故
，所以
的取值范围为
，C 正确；
D 选项，若函数
有3 个不同的零点
，则
，
令
，解得：
，
又
，因为
在
上单调递增，
解得：
，即
，
，
故
的取值范围为
.
故选：BCD
【变式4-1】（2025·河北·模拟预测）已知函数
，方程
有4 个不同的根
，且
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数
和
的图象如下图所示：
依题意得：
，且
，则
.
设
，则
，
，
，
所以
，令
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式4-2】设函数
若存在
，且
，使得
成立，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，对称轴为
，
当
，即
时，此时存在
，使得
，满足题意；
当
，即
时，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，
要想存在
，且
，使得
，
则
，解得：
，
与
取交集得：
综上：
的取值范圃为
.
故选：A．
题型五：最值函数
【例5】已知函数
，
，设
，
．
其中
表示p，q 中的较大值，
表示p，q 中的较小值．记
的最小值为Q，记
的最大值为T，则
为（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】B
【解析】函数
，
的图像，如下图所示：
则函数
的图像如下图所示：
函数
的图像如下图所示：
由图可知，
的最小值为
，
的最大值为
，
则
.
故选：B
【变式5-1】（2019山东济南一模）已知函数
，若对任意的正实数
，
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
的最大值为
，令
，
当
时，函数
单调递减，所以
，
因为
，所以
，
又由
，解得
，
（1）由
，当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
（2）由
时，
；
（3）由
时，
；
综上可得：
，所以实数
的取值范围是
．
【变式5-2】设
为
中最大的数.已知正实数
，记
，则
的最小
值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】C
【解析】由
，得
，
，
，
所以
，即
，因为
，所以
；
由基本不等式可得
，所以
，
所以
，
，
当
，即
时，
取得最小值2.
故选：C
【变式5-3】已知函数
，若对任意的实数a，b，总存在
，使得
成
立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由存在
，使得
成立，故
，
又对任意的实数a，b，
，则
，
可看作横坐标相同时，函数
与函数
图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又
，作示意图如图所示：
设
，则直线
的方程
，设
与
相切，
则
，得
，有
，
得
或
，由图知，切点
，则
，
当直线
与，
平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数
与
图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时
，
，故
.
故选：B
【变式5-4】已知函数
，当
时，
的最大值为
，若
的最小值为4，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当绝对值内两式同号时，
，
当绝对值内两式异号时，
，
令
，
，
所以
，
.
根据绝对值的性质，当
时，
（
时取得），当
时，
时取得最大值），所以
的最小值是4，即
，
（也可从几何意义考虑：当
的最小值为4 时，
最大值的最小值为4，几何意义是
图象上的点到直线
距离最大值的最小值为4，此时恰好有
）；
的最大值不超过4，即
图象上的点到直线
的距离不超过
4，故
，则
.
故选：D．
题型六：绝对值函数
【例6】已知方程
恰有4 个不同的实数解，则正实数
的取值范
围是 ．
【答案】
【解析】令
，
，
图象关于
对称，
其中，
.
如图作出函数
的图象.
图象关于直线
对称，
其中
.
当
时，
，
又当
时，由
可知，
在
单调递增，
由
关于直线
对称，则
在
单调递减，
故
.
当
时，令
，
解得
，
故函数
的图象必与直线
有
个交点，
当
时，
，令
，
解得
，
.
，
.
由
及
，均解得
.
①当
时，
，
故此时函数
的图象在
上与
的图象有两个交点；
再令
，
得方程
，由
，
由
时，
，方程无解；
且
，
故此时函数
的图象在
上与
的图象无交点；
因此，当
时，方程有2 个不同的实数解，不满足题意；
②当
时，
，又
，
故此时函数
的图象在
上与
的图象只有一个交点；
要使方程
恰有4 个不同的实数解，
则需函数
的图象在
上与
的图象恰有个交点，
又
在
上单调递减，
令
，
方程
在
上至多个交点，
所以方程
在
上至少有
个交点，
则
，解得
，不满足条件
，
故当
时，不满足题意；
③当
时，
，
分别作出
图象可知，两函数图象此时有两个交点，不满足题意；
④当
时，
，
此时
在
上单调递增，且在
上也单调递增，
故
在
上单调递增；
由对称性可知
在
上单调递减；
又
，
结合
图象可知，两函数图象有
个交点，不满足题意；
若
，则
，
故
在
上单调递减；在
上单调递增；
在
上单调递减；
在
上单调递增；在
上单调递减，
在
上单调递增.
当
时，
；
由
关于直线
对称可知，
则当
时，
，
其中
，
，
由
解得
.
由
解得
.
⑤当
时，
，
，
当
时，即
；
由
关于直线
对称可知，
则当
时，
；
结合
的单调性，由
的图象可知，
此时
与
的图象有
个交点，不满足题意；
⑥当
时，此时
，
当
时，令
得
，解得
，且
，
故
在
内无解；
又
，
结合函数单调性作出
与
图象，可两图象有个交点，不合题意；
⑦当
时，当
时，由
，
，且
，
故
的图象在
内有
个交点，
当
时，
令
，化简得
，
解得
，又由
，
，
故
，
在
内无交点；
结合函数
单调性与图象，
可知
在
与
内各有个交点；
综上可知
与
的图象有
个交点，满足题意；
⑧当
时，
，
且
，
又
，
且
，
，
分别作出
函数图象，
与
图象有个交点，不合题意；
⑨当
时，
，
，
令
，可得
，
，
由上同理可知，
故
与
的图象在
与
内各有一个交点；
又
，
故结合
单调性与图象可知，
故
与
的图象在
与
内都没有交点，
故当
时，
的图象有
个交点，不合题意；
综上所述，正实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式6-1】（2025·天津·二模）若函数
的图象关于直线
对
称，且
恰有6 个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】因
关于直线
对称，则
，且
，
则
且
，解得
，
则
，
经检验：
对任意
恒成立，
即
的图象关于直线
对称，
则
符合题意；
因
恰有6 个零点，
则
与
的函数图象有6 个交点，
现研究函数
的单调性：
因
，
则
得
；
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
又因
，
则根据图象变换以及对称性可画出函数
的图象：
由图象可知，
，则的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式6-2】已知
，函数
的最小值为
，则由满足条件的
的值组成
的集合是 .
【答案】
【解析】分以下三种情况讨论：
①若
时，即当
时，
，
所以，函数
在
上单调递减，且
，
当
时，
，
所以
，解得
，
②若
时，即当
时，
，
当
时，
，
当
时，
.
，所以
，整理可得
，
，解得
（舍去）；
③当
时，即当
时，
，
当
时，
，
当
时，
.
因为
，所以
，整理可得
，
，解得
或
（舍去）.
综上所述，实数
的取值集合为
.
故答案为：
.
题型七：新定义函数
【例7】已知函数
，若在其定义域内存在实数
满足
，则称函数
为“局部奇函
数”，若函数
是定义在
上的“局部奇函数”，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，方程
有解即可，
即
，所以
，
化为
有解，令
，
由基本不等式可知
，当且仅当
时取等，故
，
则有
在
上有解，设
，对称轴为
．
①若
，则
，满足方程在
上有解；
②若
，要使
在
时有解，则需
，
解得
．
综上可得，实数
的取值范围为
．
故选：B.
【变式7-1】定义在R 上且图像连续不断的函数
，若存在实数
使得
任意
实数x 都成立，我们称
是R 上“m 相依函数”．下列关于“m 相依函数”的描述正确的是（ ）
A．存在唯一的常值函数是“m 相依函数”
B．
是“m 相依函数”
C．“2025 相依函数”至少有一个零点
D．“
相依函数”至少有一个零点
【答案】C
【解析】对于A，设
，则
，
当
，满足
，则
是“
相依函数”，不唯一，故A 错误；
对于B，当
时，
对任意
都成立，
化为
，
则有
，无解，则
不是“
相依函数”，故B 错误；
对于C，若
，
令
，则
，
当
时，
有实根
，
当
时，
，
根据零点存在性定理知，
在区间
上必有实根，
所以“2025 相依函数”至少有一个零点，故C 正确；
对于D，
，
当
，
，
若
，则
，
不能判定方程在
内有根，
根据实数
的任意性，不能确定
在
上有无零点，故D 错误，
故选：C.
【变式7-2】定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，如
是
上的平均值函数，0 就是它的均值点，现有函数
是
上的平均值函数，则实数的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵函数
是区间
上的平均值函数，
故有
即
在
内有实数根，则
有根，
所以x＝1 或
.
又
∴方程
在
上有根，
因为
，而当
时，
，
于是
.
故选：A．
【变式7-3】定义，不超过
的最大整数称为
的整数部分，记作
，
为
的小数部分，记作
，
这一规定最早为数学家高斯所用，因此
称为高斯函数，
称为小数函数，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数
所有零点和为0
C．
的值域为
D．
是
的充要条件
【答案】C
【解析】对于A，
，A 错误；
对于B，由
，得
，在同一坐标系内作出函数
与
的图象，
函数
的图象关于点
成中心对称，令
，
令
，则
，
，
，
于是
，即函数
图象关于点
成中心对称，
则函数
与
的图象，除交点
外，其他交点都关于点
成中心对称，
这些交点的横坐标和为0，所以函数
所有零点和为
，B 错误；
对于C，
，而
，则
，
，
，函数
的值域为
，C 正确；
对于D，当
时，取
，而
，D 错误.
故选：C
1．设函数
·若存在
且
，使得
成立，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知：
，设
，此时
为减函数.
当
时，设
，此时
为减函数，
若存在
且
，使得
成立，
只需满足
，即
，解得
.
当
时，此时恒有
且
，使得
成立.
综上：
或
.
故选：D
2．已知函数
，若存在
，且
，使得
成立，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
，若存在
，且
，使得
成立，
当
，即
时，根据二次函数的图像与性质可知存在
，且
，使得
成
立，
当
时，即
时，若存在
，且
，使得
成立，则
，解得
，所以
，
综上所述，
的取值范围为
，
故选：C.
3．设函数
Ⅰ求
的单调区间；
Ⅱ若存在区间
，使
在
上的值域是
，求
的取值范围．
【解析】Ⅰ令g(x)=
·,
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
则
的最小值为
．
所以
，
所以
的单调递增区间为
·.
Ⅱ由Ⅰ得
在区间
递增，
在
上的值域是
所以
．
则
在
上至少有两个不同的正根，
，令
求导，得
，
令
则
．
所以
在
递增，
．
当
时，G(x)
，
当
时，G(x)
所以
在
上递减，在
上递增，
故
．
4．设函数
.
(1)证明函数
在
上是增函数；
(2)若
，是否存在常数
，
，
，使函数
在
上的值
域为
，若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：任取
，且
，
则
，
因为
，则
，因为
，则
，
所以
，即
，
所以函数
在
上是增函数；
（2）由（1）知：
在
上是增函数，又
，
由复合函数的单调性知
在
上是增函数，
假设存在常数
，
，
，使函数
在
上的值域为
，
所以
，即
，
则m，n 是方程
的两个不同的正根，
则m，n 是方程
的两个不同的正根，
设
，则
有两个大于1 的不等根，
设
，
因为
，
，
所以方程
有一个大于0，一个小于0 的根，
所以
不存在两个大于1 的不等根，
则不存在常数
，
，满足条件.
5．（2025·山东济宁·一模）曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处
的切线斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
和
互为反函数，其图象关于直线
对称，
且反比例函数
的图象也关于直线
对称，
可知点
关于直线
对称，设
，则
，
设
，则
，
由题意可得：
，解得
或
（舍去），
可得
，则
，所以
.
故选：A.
6．已知函数
与
的图象上存在关于直线
对称的点，则当
取得最大值时，函数
的图象在
轴上的截距为（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】易知函数
与函数
是一对反函数，它们的图象关于直线
对称；
所以函数
与
的图象上存在关于直线
对称的点等价于函数
与函数
有交点，
即方程
在
上有解，整理可得
,
令函数
，则
，
当
时，解得
；
所以当
时，
，当
时，
；
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
在
时取得最大值，此时
；
可得
，令
，即得
，
所以函数
的图象在
轴上的截距为
.
故选：B
7．1614 年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637 年笛卡尔开始使用指数运算；
1770 年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上
的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数
（
，且
）的反函数为
（
，且
）．已知函数
，
，若对任意
，有
恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，则
，
当
时，不等式
，令
，
于是对任意
，
恒成立，即函数
在
上单调递增，
则
，
，
而当
，当且仅当
时取等号，则
，
所以实数k 的取值范围为
.
故选：D
8．已知
分别是函数
的零点，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意可得函数
的零点
为函数
与直线
的交点的横坐标，
则两函数图象的交点坐标为
，
，
函数
的零点
为函数
与直线
的交点的横坐标，
则两函数图象的交点坐标为
，
，
因为
与
互为反函数，其图象关于直线
对称，直线
也关于直线
对称，
所以点
和
关于直线
对称，
所以
，
所以
.
故选：C
9．记
表示
中最大的数，已知正实数
，记
，则M 的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
，
，
所以
，即
，因为
，所以
；
由基本不等式可得
，所以
，
所以
，
，
当
，即
时，
取得最小值
.
故选：A
10．已知函数
的定义域为
，若
时，
取得最小值，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知：
，令
，解得
，故函数
在
递减，
在
递增，又
时，
取得最小值，故
，即
.
，令
，
则
，
令
，由对勾函数易知
在
上单调递增，
故
，当且仅当
，即
时取等，
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
11．已知函数
，若关于x 的方程
恰有四个不同的实数根，则正实数a
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】不妨令
，则
由
的解析式可判断其在
上是确定的（对勾函数单调性），
在
上单调递增，
在
上是否单调，取决于a 和2 的大小关系，故分为两类，
当
时，如图1，当
时，如图2．
方程
的根的个数可转换成函数
的图象与直线
交点的个数，
由图易得，当
时有四个不同的交点，故
．
故答案为：
12．已知函数
，当
时，
的最大值为
，则
的最小值为 .
【答案】5
【解析】设
，则由
得
，
，
则
，
所以
，
所以
，当且仅当
且
时取等号，
取
，
，
是减函数，
，
是减函数，
，
是增函数，
，
∴
，
综上所述，
的最小值是5．
故答案为：5．
13．记
表示
中最大的数，已知
为正实数，记
．若
，则
的最小值为 ，若
，则
的最小值为 ．
【答案】 2 2
【解析】当
时，
，则
，
，当且仅当
，即
时取等号，
，
所以当
时，
取得最小值2；
由
，
，得
，
则
，当且仅当
，即
时取等号，
则
，所以当
时，
取得最小值2.
故答案为：2；2
14．设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的
轴上方部分向右平移
所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的
轴上方部分向左平移
所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
15．（2025·天津河西·二模）已知函数
有四个不同的零点，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知
，由
可得
，
可得
，
所以，直线
与函数
的图象有四个交点，如下图所示：
由
可得
或
，
结合图象可知，
、
为方程
的两根，即方程
的两根，
，由韦达定理可得
，
，
因为
，则
，
、
为方程
的两根，即方程
的两根，
，可得
，故
，
由韦达定理可得
，
，
因为
，所以
，
所以
，
令
，
，
所以
，
对任意的
，
，则
，
即
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上单调递减，且
，
，
故当
时，
，
因此，
的取值范围是
.
故答案为：
.
16．（2025·天津·二模）设
，函数
.若
在区间
上恰有2 个不同
的零点，则
的取值范围是 ；若
在定义域内恰有2 个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由于
在区间
上恰有2 个零点，故
在
有两个实数根，
故
在
有两个实数根，
记
，
则
，解得
或
，
接下来求解
在定义域内恰有2 个零点时
的范围.
①当
时，
，此时
在
无零点，故需要
在区间
上有2 个零点，
故
，
②当
时，
，此时
没有零点，不符合题意，
③当
时，
，
若
时，此时
在
有两个零点，故只需要
在
无零点，
令
，
即
，记
由于
，
且
而
，故
，
，
因此
在
有两个零点，不符合题意，
若
时，
，
，
此时
有两个根，
有一个实数根， 不满足题意，舍去，
接下来只需要考虑
的情况，
此时对于
来说，
，
故
在
没有零点，
因此需要
在
有两个零点，
故
，即
，
即
，
故当
在
单调递增，当
在
单调递减，
，
因此对任意的
，均有
，故
且
综上可得
在定义域内恰有2 个零点，则
，
故答案为：
，
17．（2025·上海黄浦·二模）设
、
为常数，
，若对任意的
，函数
在区间
上恰有4 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由
，则
，又
，
当
，
，此时
无零点，
当
，
，此时
无零点，
当
，
如下图，此时
，而
，
要使
在区间
上恰有4 个根，则
，则
.
故答案为：
18．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，
函数
的边际函数
定义为
．某公司每月最多生产75 台报警系统装置，生
产
台
的收入函数
（单位：元），其成本函数
（单位：
元），利润是收入与成本之差，设利润函数为
，则以下说法正确的有
①
取得最大值时每月产量为
台；
②边际利润函数的表达式为
③利润函数
与边际利润函数
不具有相同的最大值
④边际利润函数
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.
【答案】②③④
【解析】对于①，
，
二次函数
的图象开口向下，对称轴为直线
，
因为
，所以，
取得最大值时每月产量为
台或
台，①错；
对于②，
，②对；
对于③，
，
因为函数
为减函数，则
，③对；
对于④选项，因为函数
为减函数，
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，④对.
故答案为：②③④.
19．定义：如果集合
存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集
，且
，那么称无序子集组
构成集合
的一个
划分.若使函数
在
有且仅有一个零点的
的取值集合为
，则集合
的所
有划分的个数为 .
【答案】14
【解析】函数
在
有且仅有一个零点，则
，
，
集合
有4 个元素，集合
的2 划分个数为
，
集合
的3 划分个数为
，集合
的4 划分个数为1，
故集合
的所有划分的个数为14.
故答案为：14
20．已知函数
，
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）设
，
，记
的最小值
，
的最大值为
，
求
．（
表示
，
中的较大值，
表示
，
中的较小值．）
【解析】（1）当
时，
，
当
时，由
得
，解得
，不符合题意，舍去
当
时，由
得
，所以
，
当
时，由
得
，解得
，不合题意，舍去，
所以不等式
的解集为
；
（2）如图，作出函数
的图像，则图像实线部分为
的图像，虚线部分为
的图像，
当
时，令
，则
，
整理得
，
因为
，所以
，
所以
，
当
时，令
，则
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
综上
，
，
所以
21．已知函数
，
．
(1)当
时，求不等式
的解集．
(2)
表示
中的较大值，
表示
中的较小值．设
，
，记
的最小值为
，
的最大值为
，求
．
【解析】（1）当
时，
，
当
时，由
，得
，解得
，不符合题意，舍去；
当
时，由
，得
，符合；
当
时，由
，得
，解得
，不合题意，舍去．
综上所述，不等式
的解集为
．
（2）由题意可得，
，
注意到
，
，
接下来对函数单调性和函数大小展开讨论：
①
，此时
不严格单调递增，
严格单调递减，
；
②
，此时
严格单调递减，
严格单调递增，
；
③
，此时
不严格单调递减，
严格单调递减．
若
，则
；
若
，则
．
故
．
综上，
在
上不严格单调递减，在
上严格单调递增；
在
上不严格单调递增，在
上严格单调递减，
故
，
，
故
．
22．已知函数
（
）．
（1）若
，
，求
的值域；
（2）若
，当
时，
的最大值为
，求
的值；
（3）当
时，记
最大值为
，求证：当
时，
．
【解析】（1）函数的定义域为
，
若
，
，
，
当
，
，此时
；
当
时，
，
综上，
．
（2）若
，
，
当
时，
在
单调递增，
则
的最大值为
，无解，舍；
当
，
，
故
的最大值为
得
．
当
，
，则
，得
，舍；
综上，
．
（3）
，
此时
．
又因为
，
，得出
，
所以
，
因为
，所以
所以
．
