第15 讲 数学归纳法
目 录
思维导图....................................................................................................................................................2
高考分析....................................................................................................................................................2
学习目标....................................................................................................................................................3
知识要点....................................................................................................................................................3
解题策略....................................................................................................................................................4
题型归纳....................................................................................................................................................5
题型01：数学归纳法的证明步骤...............................................................................................................5
题型02：用数学归纳法证明恒等式..........................................................................................................16
题型03：用数学归纳法证明不等式..........................................................................................................27
题型04：用数学归纳法证明几何问题......................................................................................................32
题型05：用数学归纳法证明整除问题......................................................................................................38
题型06：用数学归纳法证明数列问题......................................................................................................44
题型07：用数学归纳法证明其他问题......................................................................................................67
巩固提升..................................................................................................................................................71
高考分析 (Exam Analysis)
1. 考情定位
• 工具性强，地位稳固： 数学归纳法是证明与正整数 n 有关的命题的重要工具。在高考中，它通常不
单独命制复杂的压轴题，而是作为解决“数列通项证明”、“不等式证明”或“整除性问题”的关键步
骤出现。
• 新旧高考差异：
◦ 传统高考（理）： 常出现在压轴题的第二问，要求考生先猜想通项公式，再用数学归纳法证明。
◦ 新高考： 更加注重逻辑推理素养。虽然纯归纳法的证明题频率略有下降，但在“结构不良试
题”或“探究性试题”中，归纳—猜想—证明的思想依然是核心考点。
2. 常见考查载体
1. 数列问题： 已知递推关系，求/证通项公式。
2. 不等式问题： 证明数列不等式（常结合放缩法）。
3. 整除与几何计数： 证明 f(n) 能被某数整除，或平面/空间几何中 n 个元素分割区域的个数。
3. 难度系数
• 基础题： 机械套用归纳法步骤（n=1 成立， 假设 n=k 成立， 证明 n=k+1 成立）。
• 难题： 关键在于“假设 n=k 成立”这一条件的使用技巧，以及从 k 到 k+1 的代数变形能力。
学习目标 (Learning Objectives)
1. 理解原理： 掌握数学归纳法的两个核心步骤（奠基、递推）及其逻辑必然性。
2. 规范表达： 能够用严谨的数学语言书写证明过程，不跳步。
3. 灵活运用： 能识别适用场景（即题目中出现 n \in \mathbb{N}^*），并能将其与数列、不等式等知
识综合运用。
4. 思想升华： 掌握“观察—归纳—猜想—证明”的科学思维方法。
1．归纳法
由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想、的一
种方法.、归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.
2．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步(归纳莫基)，证明当n 取第一个值
(
)时命题成立；
第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥
,k
)时命题成立为条件，推出当n=k+1 时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
开始的所有正整数n 都成立，上述证明方法称为数学归纳法.
3．数学归纳法的重要结论及适用范围
数学归纳法
的重要结论
适用范围
只适用于证明与正整数有关的数学命题
解题策略 (Solving Strategies)
1. 核心模板：三步走
口诀： 一验二设三递推。
• 第一步（奠基）： 验证 n 取第一个值 n_0（通常为 1 或 2）时，命题成立。
◦ 注意： 必须计算出具体结果，不能直接写“成立”。
• 第二步（递推）：
◦ 假设： 假设当 n=k 时命题成立。
◦ 证明： 利用上述假设，证明当 n=k+1 时命题也成立。
• 第三步（结论）： 综上所述，由(1)(2)可知，命题对一切 n 均成立。
2. 关键难点突破：如何利用假设？
从 n=k 推导 n=k+1 时，常用的变形技巧：
• “凑”假设： 在 n=k+1 的表达式中，通过加减项、提取公因式等手段，强行构造出 n=k 时的形式，以便
代入假设。
• “作差”或“作商”： 比较 n=k+1 与 n=k 时的式子差异。
◦ 数列中：ak +1与 ak 的递推关系。
◦ 不等式中： 证明 f(k+1) - f(k) > 0。
3. 典型题型与套路
• 题型A：数列通项证明
◦ 策略： 先算出前3 项，猜出 an，再用归纳法证明。
• 题型B：不等式证明
◦ 策略： 归纳法证明不等式难点在于“放缩”。有时直接归纳法证不出来，需要先将不等式右边的常数改
为关于 n 的式子（加强命题），再进行归纳。
• 题型C：整除性证明
◦ 策略： f(k+1) - f(k) 或 f(k+1)/f(k) 必能被整除（A 为构造系数）。
避坑指南 (Common Pitfalls)
1. 忽略初始值： 有些命题从 n=1 开始成立，有些从 n=3 开始。若第一步验证错误，全盘皆输。
2. 假设未使用： 在证明 n=k+1 时，必须明确写出“由假设可知...”或“将...代入”。如果证明过程中完全没
用上 n=k 的假设，那就是逻辑错误（实际上变成了直接证明）。
3. 跨度错误： 适用于所有正整数的命题，步长必须是 1。如果题目涉及 2n 等偶数项，步长可能是 2，需注意
归纳假设的写法。
4. 书写不规范： 缺少“综上所述”的结论句，或“假设”二字遗漏。
备考建议 (Preparation Tips)
1. 强化代数变形训练： 归纳法的本质是代数运算。学生应熟练掌握因式分解、分式通分、指数运算等基本功，
这是完成“递推”步骤的前提。
2. 归纳与放缩结合： 针对压轴题，专门训练“数学归纳法+放缩法”的组合拳。
3. 规范答题模版： 在平时练习中，强制要求学生写出标准的三段式结构，养成良好的书写习惯。
题型01：数学归纳法的证明步骤
【典型例题1】用数学归纳法证明“对任意的
，都有
，第一步应该验证的等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据数学归纳法的知识确定正确答案.
在等式
中，
当
时，
，
故等式的左边为
，右边为
.
所以第一步应该验证的等式是
.
故选：D
【典型例题2】某个与自然数有关的命题，如果当
时该命题成立，可推得
时该命题也成立，
那么，若已知
时该命题不成立，则可推得（ ）
A．当
时，该命题不成立
B．当
时，该命题成立
C．当
时，该命题不成立
D．当
时，该命题成立
【答案】C
【解析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论.
可得题干等价于其逆否命题：当
时该命题不成立，则可推得
时该命题也不成立．
所以，当
时该命题不成立，则当
时，该命题也不成立.
故选：C.
【典型例题3】用数学归纳法证明
（
，
为正整数）的过程中，从
递推到
时，不等式左边需添加的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】计算
和
时左边式子，再作差即可判断.
依题意当
时左边
，
当
时左边
，
所以
，
故从
递推到
时，不等式左边需添加的项为
.
故选：C
【典型例题4】用数学归纳法证明“对任意的
，
”，由
到
时，
等式左边应当增加的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【近些年】分别写出
和
时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.
由题意可得，当
时，等式左边等于
，共
项求和；
当
时，等式左边等于
，共
项求和；
所以由
的假设到证明
时,等式左边应添加的式子是
.
故选：B.
【变式训练1-1】用数学归纳法证明“对任意偶数
，
能被
整除时，其第二步论证应该是（ ）
A．假设
（
为正整数）时命题成立，再证
时命题也成立
B．假设
（
为正整数）时命题成立，再证
时命
题也成立
C．假设
（
为正整数）时命题成立，再证
时命题也成立
D．假设
（
为正整数）时命题成立，再证
时命题也成立
【答案】D
【解析】根据题意可得
为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.
因为
为正偶数，所以第二步的假设应写为：
假设
（
为正整数）时命题成立，再证
时命题也成立，
即当
（
为正整数）时，
能被
整除，
再证
时，
能被
整除.
故选：D
【变式训练1-2】利用数学归纳法证明不等式1+ 1
2 + 1
3 +…+
1
3
n−1
<f (n≥1,n∈N
∗)的过程中，由
n=k (k ≥1)变到n=k +1时，左边增加了（ ）
A．1 项
B．k项
C．3
k项
D．2×3
k项
【答案】见解析
【解析】根据题意，结合n=k变到n=k +1时，左边由(3
k−1)项增加到(3
k +1−1)项，即可求解.
由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1 开始到(3
n−1)，故共有3
n−1项，
又由n=k变到n=k +1时，左边由(3
k−1)项增加到(3
k +1−1)项，
从而左边增加了(3
k +1−1)−(3
k−1)=2×3
k项.
故选：D.
【变式训练1-3】用数学归纳法证明：f (n)=1+ 1
2 + 1
3 +⋯+ 1
2
n ≥n+2
2
（n∈N
*）的过程中，从n=k到
n=k +1时，f (k +1)比f (k )共增加了（ ）
A．1 项
B．2
k−1项
C．2
k +1项
D．2
k项
【答案】见解析
【解析】分别计算出f (k +1)和f (k )的项数，进而作差即得结论．
因为f (n)=1+ 1
2 + 1
3 +⋯+ 1
2
n，
所以f (k )=1+ 1
2 + 1
3 +⋯+ 1
2
k ，共2
k项，
则f (k +1)=1+ 1
2 + 1
3 +⋯+ 1
2
k +
1
2
k +1
+⋯+ 1
2
k +1共2
k +1项，
所以f (k +1)比f (k )共增加了2
k +1−2
k =2
k项，
故选：D.
【变式训练1-4】某同学用数学归纳法证明不等式❑√n
2+n<n+1(n∈N
∗)，过程如下：
（1）当n=1时，❑√1
2+1<1+1，不等式成立．
（2）假设当n=k ¿,且k ≥1)时，不等式成立，即❑√k
2+ k <k +1，则当n=k +1时，
❑√(k +1)
2+(k +1)=
❑√k
2+3k +2<
❑√k
2+3k +2+(k +2)=
❑√(k +2)
2=(k +1)+1，
∴当n=k +1时，不等式成立．
根据（1）和（2）可知对任何n∈N
∗,
❑√n
2+n<n+1都成立．则上述证法（ ）
A．全部过程均符合数学归纳法的原理
B．n=1的验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n=k到n=k +1的推理没有用到归纳假设
【答案】见解析
【解析】根据数学归纳法的定义与证明即可判断.
根据数学归纳法的证明可知当n=1的验证正确，归纳假设正确，故BC 错误；
从n=k到n=k +1的推理中，并没有用到n=k时的假设，故D 正确，A 错误，
故选：D.
【变式训练1-5】用数学归纳法证明不等式
的过程中，由
递推到
时，
不等式左边（ ）
A．增加了
B．增加了
C．增加了
D．增加了
【答案】D
【解析】直接利用数学归纳法和关系式的变换的应用求出结果.
用数学归纳法证明不等式
的过程中
由
时，
，①
当
时，左边
，
，②，
②
①得：左边
.
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，涉及到的知识点有应用数学归纳法证明问题时，将
向
推导过程中，式子的变化情况，属于易错题目.
【变式训练1-6】用数学归纳法证明“
”的过程中，从
到
时，左边增加的项数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据
和
时，对比左边的表达式，进行计算即可.
时，可得：
时，可得：
，
故增加了
项.
故选：A
【变式训练1-7】用数学归纳法证明“当
为正奇数时，
能被
整除”，第二步归纳假设应写成（
）
A．假设
正确，再推
正确
B．假设
正确，再推
正确
C．假设
正确，再推
正确
D．假设
正确，再推
正确
【答案】B
【解析】注意
为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意
为奇数，
所以第二步归纳假设应写成：假设
正确，再推
正确；
故选：B．
【变式训练1-8】设
，那么
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据
的表达式得
，即可相减求解.
由题意可得
,
所以
，
故选：D
【变式训练1-9】（多选题）以下四个命题，其中满足“假设当
时命题成立，则当
时命题也成立”，但不满足“当
（
是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n 边形的内角和为
D．凸n 边形的对角线条数
【答案】AB
【解析】A、 B、C 应用数学归纳法判断是否满足要求；D 在
成立的条件下判断
是否成
立即可判断.
A：假设当
时命题成立，即
，当
时有
，故当
时命题也成立，当
时有
，
故当n 为给定的初始值时命题不成立；
B：假设当
时命题成立，即
，当
时有
，故当
时命题
也成立，当
时，等号左边为2，右边为
，
，所以当
时命题不成立；
C：假设当
时命题成立，即
，当
时有
，故当
时命题也成立，当
时内角和为
命题成立；
D：假设当
时命题成立，即
，当
时有
，故当
时命题不成立.
综上可知，满足条件的选项为AB
故选：AB.
【变式训练1-10】利用数学归纳法证明“
”时，由
到
时，左
边应添加因式 .
【答案】
【解析】将
时左边的等式除以
时左边的等式即可得解.
解：当
时，左边
，
当
时，左边
，
所以左边应添加因式为
.
故答案为：
.
【变式训练1-11】已知
，则
中共有 项.
【答案】
【解析】根据
解析式的组成特点及各项分母的特征，即可得解.
因为
，我们观察
解析式的组成特点，是由
，
，
，
，
组成，
其中每一项的分母为
，
，
，
，
组成等差数列，且首项为
，公差为1，最后一项为
；
所以它的项数为
，即为
的项数为
．
故答案为：
．
【变式训练1-12】已知无穷数列A：
，
，…满足：①
，
，…
且
；②
，设
为
所能取到的最大值，并记数列
：
，
，….
(1)若数列A 为等差数列且
，求其公差d；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，
，求数列
的前100 项和.
【答案】(1)1 或2；
(2)3
(3)7500
【解析】（1）由等差数列写出
，再由数列
的性质确定
，注意验证得出的数列满足数列
的性质；
（2）由性质②确定
的取值，再分别确定
的取值，从而可得
；
（3）由数列
的性质先求得
得
，再求出
，归纳出数列
并用数学归纳法证明，然后求得其前100 项的
和．
（1）由已知
，
，
又
，所以
或
，
若
，则由
得
，
，
，满足
；
若
，则由
得
，
，
，也满足
．
所以
或2；
（2）因为
，所以
，
所以
或
，因此
，
当
时，
且
同时成立，此时
，
当
时，
且
同时成立，此时矛盾，
综上，
；
（3）因为
，所以
，所以
，显然
，
，
由
知
，事实上，当
时，
与
同时成立，所以
，从而
，
猜想数列
即数列
由不能被3 整除的正整数从小到大排列组成，且满足数列
的两条 性质，
下面用数学归纳法证明．
①当
时结论成立，
②假设
时结论成立，则当
时，
当
时，此时，
，
由于
，且
，所以
，
当
时，此时，
，
由于
，且
，所以
，
综上，数列
是由不能被3 整除的正整数从小到大排列组成，
数列
的前100 项和为：
．
【变式训练1-13】设数列
满足
，
．
(1)计算
，猜想
的通项公式；
(2)用数学归纳法证明上述猜想，并求
前
项和
．
【答案】(1)
，
，
(2)证明见解析，
【解析】（1）根据已知条件，结合递推关系求出
，从而可猜想出通项公式，
（2）利用数学归纳法的步骤证明即可，判断数列
为等差数列，然后根据等差数的求和公式可求得结果.
（1）因为数列
满足
，
，
所以
，
，
由此可猜想
（2）证明：①当
时，显然成立，
②假设当
时，成立，即
，则
当
时，
，
所以
时也成立，
综合①②可得
，
因为
，
所以数列
是以3 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
题型02：用数学归纳法证明恒等式
【典型例题1】用数学归纳法证明“
≥
(
N*）”时，由
到
时，不等
试左边应添加的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据数学归纳法的证明过程求解.
数学归纳法的证明过程如下：
当
时 ，左边
，原不等式成立；
设当
时，原不等式成立，即
…①成立，
则当
时，左边
，
即要证明左边
也成立，即证
，
由①知即证
；
故选：D.
【典型例题2】用数学归纳法证明：
的过程中，由
递推到
时等式左边增加的项数为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将
代入不等式左边，比较两式即可求解.
当
时，等式为
，
当
时，
，
增加的项数为
,
故选:B.
【典型例题3】用数学归纳法证明：
，当
时，左式
为
，当
时，左式为
，则
应该是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意表示出
和
，然后代入计算
即可.
由题意，
，
，所以
.
故选：B.
【典型例题4】观察下面三个等式：
第1 个：
，
第2 个：
，
第3 个：
(1)按照以上各式的规律，写出第4 个等式；
(2)按照以上各式的规律，猜想第
个等式（
为正整数）；
(3)用数学归纳法证明你的猜想成立．
【答案】(1)
(2)
，
(3)证明见解析
【解析】（1）（2）根据前个式子归纳出第
与第
个式子；
（3）利用数学归纳法证明，首先说明
时成立，再假设
时成立，通过计算说明
时也成
立，即可得证；
（1）解：由第1 个：
，
第2 个：
，
第3 个：
，
第4 个：
，
（2）解：由（1）可猜想，第
个等式：
，
；
（3）数学归纳法证明：
当
时，
，
，等式成立；
假设
时，
，
．
当
时，
，
可得
时，
，
也成立，
综上可得，对一切的
，
均成立．
【典型例题5】已知函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*）
（1）求f（n+1）﹣f（n）；
（2）用数学归纳法证明f（n）＝（﹣1）n•n．
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】（1）由函数f（n）得到f（n+1）求解；
（2）利用数学归纳法证明.
（1）因为函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*），
所以函数f（n+1）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1）+
（n∈N*），
所以f（n+1）﹣f（n）=
，
（2）当
时，左边=
，右边=-1，等式成立；
假设
时，结论成立，即
成立，
则
时，
，
，
，
所以
时，结论也成立，
f（n）＝（﹣1）n•n．得证.
【变式训练2-1】用数学归纳法证明
对任意
都成立，则
的最小值为 .
【答案】3
【解析】化简
可得
，再从正整数
开始逐个代入判断即可
由题得
，即
，当
时，
，不符合；当
时，
，不符合；当
时，
，不等式成立；当
时，
25，不等式成立，当
时根据指数函数与一次函数的性质
可得
.所以满足题意的
的最小值为3.
故答案为：3
【变式训练2-2】利用证明“
”时，从假设
推证
成立时，可以在
时左边的表达式上再乘一个因式，多乘的这个因式为 ．
【答案】
.
【解析】比较
和
时左边的表达式即得.
当
时，左边=
，
当
时，左边=
，
故从假设
推证
成立时，左边需增添的代数式为
.
故答案为：
.
【变式训练2-3】有下列命题：
；使用数学归纳法证明
【答案】证明见解析
【解析】验证
时等式成立，假设
时等式成立，进而证明当
时等式成立，综合即可得
到结论.
当
时，左边
，右边
，
等式成立；
假设当
时，
成立，
那么当
时，
成立；
综上所述：
对于任意
成立.
【变式训练2-4】观察下面等式：
写出由这些等式归纳的一般
规律，用数学归纳法证明．
【答案】一般规律：
；证明见解析．
【解析】总结规律后由数学归纳法证明
一般规律：
，
证明：（1）
时，左=右，等式成立；
（2）假设
时，等式成立，即
，
则当
时，
，
等式也成立，
由（1）（2）得当
时等式都成立．
【变式训练2-5】用数学归纳法证明：对任意的正整数n,2+6+10+⋯+(4 n−2)=2n
2．
【答案】见解析
【解析】应用数学归纳法证明即可.
当n=1时，左边=2=2×1
2=右边；
假设n=k (k ≥1,)时，原等式成立，则n=k +1时，
等式左边=[2+6+10+⋯+(4 k −2)]+(4 k +2)=2k
2+ 4 k +2=2(k +1)
2，因此n=k +1时原等式也成立．
综上，∀n∈N
*都有2+6+10+⋯+(4 n−2)=2n
2．
【变式训练2-6】用数学归纳法证明
.
【答案】见解析
【解析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
证明：①当
时，左边
，右边
，等式成立；
②假 设 当
时等式成立，
即
.
那么，
即当
时等式也成立.
由①②知，等式对任何
都成立.
【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.
【变式训练2-7】用数学归纳法证明
（
为正整数）．
【答案】证明见解析
【解析】根据数学归纳法的步骤证明即可.
当
时，左侧
，右侧
，显然成立，
假设
时，
当
时，
，
即当
时，等式也成立，综上可得，
．
【变式训练2-8】用数学归纳法证明
（
为正整数）．
【答案】证明见解析
【解析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当
时成立，进而假设
时等式成立，证明
时，
等式也成立；即可得证．
设
．
①当
时，左边
，右边
，等式成立；
②设当
时等式成立，即
，
则当
时，
．
由①②可知当
时等式都成立．
【变式训练2-9】用数学归纳法证明：
．
【答案】证明见解析
【解析】按数学归纳法的步骤证明即可，即验证
时等式成立，且假设
时等式成立，证明
时等式成立即可.
当
时，等式左边
，等式中间
，等式右边
，即等式左边=等式中间=等式右边，
等式成立；
假设
时等式成立，
即有
成立，
我们分两步来证明当
时，等式成立，即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可，
第一步：由假设
可知，当
时，
有
成立，
即当
时，等式左边=等式中间成立；
第二步：由假设
，所以此时有
成立，
从而可知，当
时，有
成立，
即当
时，等式中间=等式右边成立；
结合以上两步有：若当
时等式成立，则当
时等式成立；
综上所述：由数学归纳法可得
.
【变式训练2-10】用数学归纳法证明：
(1)1+3+5+⋯+(2n−1)=n
2(n∈N +)；
(2)1×4 +2×7+3×10+⋯+n(3n+1)=n(n+1)
2(n∈N +)．
【答案】见解析
【解析】（1）记Sn=1+3+5+⋯+(2n−1)=n
2，验证当n=1时，等式成立；假设当n=k (k ∈N +)时，等式
成立，然后证明出当n=k +1(k ∈N +)时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立；
（2）记T n=1×4 +2×7+3×10+⋯+n(3n+1)=n(n+1)
2(n∈N +)，验证当n=1时，等式成立；假设当
n=k (k ∈N +)时，等式成立，然后证明出当n=k +1(k ∈N +)时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立.
（1）证明：记Sn=1+3+5+⋯+(2n−1)=n
2，
当n=1时，则有S1=1=1
2，等式成立，
假设当n=k (k ∈N +)，等式成立，即Sk =1+3+5+⋯+(2k −1)=k
2，
则Sk +1= Sk +2(k +1)−1=k
2+2k +1=(k +1)
2，
这说明当n=k +1(k ∈N +)时，等式成立，
故对任意的n∈N +，1+3+5+⋯+(2n−1)=n
2.
（2）证明：设T n=1×4 +2×7+3×10+⋯+n(3n+1)=n(n+1)
2(n∈N +)，
当n=1时，T 1=1×4 =1×(1+1)
2，等式成立，
假设当n=k (k ∈N +)时，等式成立，
即T k =1×4 +2×7+3×10+⋯+k (3k +1)=k (k +1)
2，
所以，T k +1=T k +(k +1)[3(k +1)+1]=k (k +1)
2+(k +1)(3k + 4)=(k +1)[k (k +1)+3k + 4]
=(k +1)(k
2+ 4 k + 4)=(k +1)(k +2)
2，
这说明当n=k +1(k ∈N +)时，等式成立，
所以，对任意的n∈N +，1×4+2×7+3×10+⋯+n(3n+1)=n(n+1)
2(n∈N +).
【变式训练2-11】用数学归纳法证明以下恒等式(n∈N +)：
(1)−1+3−5+⋯+(−1)
n(2n−1)=(−1)
nn；
(2)(n+1)(n+2)⋯(n+n)=2
n×1×3×⋯×(2n−1).
【答案】见解析
【解析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可；
（2）按照数学归纳法的步骤证明即可；
（1）①当n=1时，左边=−1，右边=(−1)
1×1=−1，左边与右边相等，即n=1时等式成立；
②假设当n=k (k ∈N+)时，等式成立，
即−1+3−5+⋯+(−1)
k (2k −1)=(−1)
k k，
则当n=k +1时，左边=−1+3−5+⋯+(−1)
k (2k −1)+(−1)
k +1(2k +1)
=(−1)
k k +(−1)
k +1(2k +1)=(−1)
k[k −(2k +1)]=(−1)
k (k +1)×(−1)=(−1)
k +1(k +1)=右边，
即当n=k +1时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，−1+3−5+⋯+(−1)
n(2n−1)=(−1)
nn成立.
（2）①当n=1时，左边=1+1=2，右边=2
1=2，左边与右边相等，即n=1时等式成立；
②假设当n=k (k ∈N+)时，等式成立，
即(k +1)(k +2)⋯(k + k )=2
k×1×3×⋯×(2k −1)，
则当n=k +1时，左边=(k +1+1)(k +1+2)⋯(k +1+ k +1)=(k +2)(k +3)⋯(k + k +2)
= 2
k×1×3×⋯×(2k −1)
(k +1)
⋅(k + k +1)(k +k +2)=2
k +1×1×3×⋯×(2k −1)×(2k +1)=
右边，
即当n=k +1时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，(n+1)(n+2)⋯(n+n)=2
n×1×3×⋯×(2n−1)成立.
题型03：用数学归纳法证明不等式
【典型例题1】证明∶不等式3
2 × 5
4 × 7
6 ×⋅⋅⋅× 2n+1
2n
≥❑√n+1成立.
【答案】见解析
【解析】利用数学归纳法证明即可.
①当n=1时，左边= 3
2 >❑√2=右边，∴不等式成立.
②假设当n=k时不等式成立，即3
2 × 5
4 × 7
6 ×⋅⋅⋅× 2k +1
2k
>❑√k +1.
③当n=k +1时，
左边= 3
2 × 5
4 × 7
6 ×⋅⋅⋅× 2k +1
2k
× 2k +3
2k +2
>❑√k +1× 2k +3
2k +2 =
❑√
(2k +3)
2
4(k +1)
=
❑√
4 (k +1)
2+ 4 (k +1)+1
4 (k +1)
= ❑√
(k +1)+1+
1
4 (k +1) >❑√(k +1)+1，
∴当n=k +1时，不等式也成立.
综上可得，原不等式恒成立.
【典型例题2】用数学归纳法证明：
．
【答案】证明见解析.
【解析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系.
当
，则
成立，
若
且
时，
成立，
令
，则
，
所以
时不等式也成立，
综上，
恒成立.
【典型例题3】用数学归纳法证明：
.
【答案】证明见解析
【解析】构造函数
，利用导数分析该函数的单调性，推导出对任意的
，
，然后利用数学归纳法即可证明出原不等式成立.
先证明出
，
，即
，
构造函数
，
当
时，则
，
所以，函数
在(0,+ ∞)上单调递增，则
，
则
，即
，
即
，
对任意的
，当
时，
.
当
时，左边
，右边
，左边
右边；
假设当
时，不等式成立，即
.
则当
时，则
.
这说明，当
时，原不等式也成立.
综上所述，对任意的
，
.
【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列不等式，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力，属于中
等题.
【变式训练3-1】用数学归纳法证明：
【答案】证明见解析
【解析】由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知：第一步验证初值
时不等式成立；第二步进行归纳假设：
假设当
时所证不等式成立，在此基础上来证明当
时所证不等式也成立；特别注意证
时一定要用到
时的结论；第三步下结论：在第一步及第二步的基础上就可得出所证不等式
对一切
都成立.
证明：（1）当
时，
，命题成立.
（2）假设当
时，
成立，
当
时，
，
⸪
，
⸫
，
当
时命题成立.
所以对于任意
都成立.
【变式训练3-2】用数学归纳法证明：对任意的正整数n>4 ,2
n>n
2．
【答案】见解析
【解析】运用数学归纳法的步骤进行证明即可.
当n=5时，不等式2
5>5
2成立，
假设n=k (k >4)时原不等式成立，即2
k>k
2，
则n=k +1时，左边=2
k +1=2⋅2
k>2k
2，
当k >4时，2k
2−(k +1)
2=k
2−2k −1=(k −1)
2−2>0，
即2
k +1>(k +1)
2，
因此n=k +1时原不等式也成立．
综上，对任意的正整数n>4 ,2
n>n
2．
【变式训练3-3】观察下列不等式：5+3≥8，25+9≥32，125+27≥128，625+81≥512，……．
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n 的命题；
(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．
【答案】见解析
【解析】（1）不完全归纳得解；
（2）利用数学归纳法证明即可.
（1）解：不等式可写为：5+3≥2
3，5
2+3
2≥2
5，5
3+3
3≥2
7，5
4+3
4≥2
9，
所以归纳得到命题：5
n+3
n≥2
2n+1（n 为正整数）．
（2）证明：①当n＝1 时，易知命题成立；
②假设当n=k (k ≥1,k ∈N
∗)时，命题成立，即5
k +3
k ≥2
2k +1．
则当n=k +1时，
5
k +1+3
k +1=5×5
k +3×3
k
=(4 +1)×5
k +(4−1)×3
k
= 4×(5
k +3
k)+5
k−3
k
≥4×2
2k +1+5
k−3
k ≥22(k +1)+1，
即n=k +1时，命题也成立．
由①②可知，5
n+3
n≥2
2n+1．
【变式训练3-4】证明不等式1＋1
❑√2
＋1
❑√3
＋…＋1
❑√n
<2❑√n (n∈N*)．
【答案】见解析
当n＝1 时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1+ 1
❑√2 + 1
❑√3 +…+ 1
❑√k <2❑√k，
当n＝k＋1 时，
1+ 1
❑√2 + 1
❑√3 +…+ 1
❑√k +
1
❑√k +1
<2❑√k +
1
❑√k +1 = 2❑√k ❑√k +1+1
❑√k +1
< (❑√k )
2+(❑√k +1)
2+1
❑√k +1
= 2(k +1)
❑√k +1 =2❑√k +1，
所以当n＝k＋1 时，不等式成立．
综上，原不等式对任意n∈N*都成立．
题型04：用数学归纳法证明几何问题
【典型例题1】一个与自然数
有关的命题，如果：
①当
时，命题成立；
②在假设“当
时，命题成立”的前提下，能够推出“当
时，合题成立”．
那么，命题对于任何不小于
的自然数
成立．
上述方法，称为“数学归纳法”．
例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的
个圆将平面至多分为
个区域，其中
．
注意1 个圆将平面分为2 个区域．当
时，
．
所以，当
时，命题成立．
假设当
时，命题成立，即平面内的
个圆将平面至多分为
个区域．
在此基础上，增加1 个圆．
为使区域最多，应使增加的圆与前
个圆均相交，于是增加了
个交点，
个交点将增加的圆分为
段弧，
段弧分别将其经过的区域分为2 个区域，于是增加了
个区域．
从而，平面内的
个圆将平面至多分为
个区域．
当
时，
．
所以，当
时，合题成立．
综上，命题对于任何
成立．
利用“数学归纳法”证明：
(1)
，其中
．
(2)
，其中
，
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）根据数学归纳法证明的步骤进行证明；
（2）根据数学归纳法证明的步骤进行证明.
（1）①当
时，左边
，右边
，等式成立；
②假 设 当
时等式成立，
即
.
那么，
即当
时等式也成立.
由①②知，等式对任何
都成立.
（2）①当
时，左边
，右边
，不等式成立；
②假 设 当
时不等式成立，
即
，
由于
，
当
时，
单调递增，则
，所以
，
那么，
，
即当
时不等式也成立.
由①②知，不等式对任何
都成立.
【典型例题2】平面内有
条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归
纳法证明：交点的个数
．
【答案】证明见解析.
【解析】根据数学归纳法证明的一般步骤证明即可.
(1)当
时, 两条直线的交点只有一个,
又
,
所以当
时, 命题成立.
(2)假设当
时, 命题成立，
即平面内满足题设的任何
条直线的交点个数
,
当
时,
任取一条直线
, 除
以外其他
条直线的交点个数为
,
与其他
条直线交点个数为
,
从而
条直线共有
个交点,
即
,
所以当
时, 命题成立.
由(1)(2)可知, 对任意
命题都成立.
【变式训练4-1】在平面上画n 条直线，且任何2 条直线都相交，其中任何3 条直线不共点.问：这n 条直线将平
面分成多少个部分？
【答案】见解析
【解析】先通过n=1，2，3，4，5 的结果归纳出rn=1+1+2+3+ 4 +⋯+n，再用数学归纳法证明即可.
记n 条直线把平面分成rn个部分，我们通过n=1，2，3，4，5，画出图形观察rn的情况（如图）
从图中可以看出，
r1=2=1+1，
r2= 4 =r1+2=1+1+2，
r3=7 =r2+3=1+1+2+3，
r4=11=r3+ 4 =1+1+2+3+ 4，
r5=16=r4+5=1+1+2+3+ 4 +5.
由此猜想rn=1+1+2+3+ 4+⋯+n.
接下来用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=1，2 时，结论均成立.
（2）假设当n=k时结论成立，即rk =1+1+2+3+ 4 +⋯+ k.
那么，当n=k +1时，第k+1 条直线与前面的k 条直线都相交，有k 个交点，
这k 个交点将这条直线分成k+1 段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，
所以rk +1=rk +(k +1)=1+1+2+3+ 4+⋯+ k +(k +1)，结论也成立.
根据（1）和（2）可知，对n∈N
∗，都有rn=1+1+2+3+ 4 +⋯+n，
即rn=1+ n(n+1)
2
.
【变式训练4-2】用数学归纳法证明：凸n边形的内角和f (n)=(n−2)⋅180
∘(n≥3,n∈N
∗)．
【答案】见解析
【解析】验证当n=3时，结论成立；假设当n=k (k ∈N
∗)时，结论成立，分析可知凸k +1(k ≥3,k ∈N
∗)边
形A1 A2⋯Ak Ak +1边形可以在以A1 Ak为边的△A1 Ak Ak +1与凸k边形A1 A2⋯Ak拼接而成，即可得出
f (k +1)= f (k )+180
∘成立，这说明当n=k +1时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立.
证明：当n=3时，三角形的内角和为180
∘，即f (3)=180
∘=(3−2)⋅180
∘，结论成立；
假设当n=k (k ∈N
∗,k ≥3)时，结论成立，即f (k )=(k −2)⋅180
∘，
假设凸k +1(k ≥3,k ∈N
∗)边形A1 A2⋯Ak Ak +1，如下图所示：
则凸k +1(k ≥3,k ∈N
∗)边形A1 A2⋯Ak Ak +1边形可以在以A1 Ak为边的△A1 Ak Ak +1与凸k边形
A1 A2⋯Ak拼接而成，
所以，f (k +1)= f (k )+180
∘=(k −2)⋅180
∘+180
∘=(k −1)⋅180
∘，
这说明当n=k +1时，结论成立，
故凸n边形的内角和f (n)=(n−2)⋅180
∘(n≥3,n∈N
∗).
【变式训练4-3】已知n≥2，且平面内有n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线
的交点的个数为f (n)= n(n−1)
2
．
【答案】见解析
【解析】按照数学归纳法证明步骤证明即可.
证明：（1）当n=2时，两条直线的交点只有1 个，又f (2)= 2(2−1)
2
=1，
所以n=2时，命题成立；
（2）假设n=k ∈N
∗且k >2时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )= k(k −1)
2
，
那么，当n=k +1时，任取一条直线l，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )= k(k −1)
2
，
因为任意两条直线不平行，所以直线l 与其他k 条直线的交点个数为k，又任意三条不过同一点，
所以上面k 个交点两两不同，且与平面内其他的f (k )= k(k −1)
2
个交点也两两不同，从而k+1 条直线共有
f (k )+k个交点，
即f (k +1)= f (k )+k = k(k −1)
2
+ k = 1
2 k(k −1+2)= 1
2 k(k +1)= 1
2 (k +1)[(k +1)−1]，
所以当n=k +1时，命题成立.
综上，原命题成立.
【变式训练4-4】已知n(n≥2,n∈N
∗)个半径相等的半圆的圆心在同一直线l上，这n个半圆每两个都相交，且
都在直线l的同侧，试用数学归纳法求这n个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧．
【答案】见解析
【解析】设这n个半圆被所有的交点最多分成f (n)段圆弧，由f (2)= 4，f (3)=9，由此猜想
f (n)=n
2(n≥2,n∈N
∗)，再用数学归纳法证明即可
设这n个半圆被所有的交点最多分成f (n)段圆弧，
如图分别是n=2，n=3的情形．
由图可知，f (2)= 4，f (3)=9，由此猜想f (n)=n
2(n≥2,n∈N
∗)．
现用数学归纳法证明该猜想．
①当n=2时，猜想显然正确．
②假设n=k (n≥2,n∈N
∗)时，猜想正确，即f (k )=k
2，
则当n=k +1时，作出第k +1个半圆，它与前k个半圆均相交，最多新增k个交点，
第k +1个半圆自身被分成了k +1段弧，同时前k个半圆又各多分出1 段弧，
故有f (k +1)= f (k )+ k + k +1=k
2+2k +1=(k +1)
2，
即当n=k +1时，猜想正确．
综上，对于n≥2，n∈N
∗，f (n)=n
2都成立．
故这n个半圆被所有的交点最多分成n
2段圆弧．
题型05：用数学归纳法证明整除问题
【典型例题1】用数学归纳法证明“对任意偶数n，a
n−b
n能被a−b整除时，其第二步论证应该是（ ）
A．假设n=k（k为正整数）时命题成立，再证n=k +1时命题也成立
B．假设n=2k（k为正整数）时命题成立，再证n=2k +1时命n=2k题也成立
C．假设n=k（k为正整数）时命题成立，再证n=2k +1时命题也成立
D．假设n=2k（k为正整数）时命题成立，再证n=2(k +1)时命题也成立
【答案】D
【解析】根据题意可得n为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.
因为n为正偶数，所以第二步的假设应写为：
假设n=2k（k为正整数）时命题成立，再证n=2(k +1)时命题也成立，
即当n=2k（k为正整数）时，a
2k−b
2k能被a−b整除，
再证n=2(k +1)时，a
❑
2(k +1)
−b2(k +1)能被a−b整除.
故选：D.
【典型例题2】已知f (n)=(2n+7)⋅3
n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N
∗,都能使m整除f (n),则最大的m的
值为（ ）
A．30
B．9
C．36
D．6
【答案】C
【解析】依题意，可求得f (1)、f (2)、f (3)、f (4)的值，从而可猜得最大的m的值为36，再利用数学归纳法
证明即可.
由f (n)=(2n+7)⋅3
n+9，得f (1)=36，
f (2)=3×36，f (3)=10×36，
f (4)=34×36，由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n=1时，显然成立。
(2)假设n=k时，f (k ) 能被36 整除，即
f (k )=(2k +7)⋅3
k +9能被36 整除；
当n=k +1时,
[2(k +1)+7]⋅3
k +1+9
=3[(2k +7)⋅3
k +9]−18+2×3
k +1
=3[(2k +7)⋅3
k +9]+18(3
k −1−1)
∵3
k −1−1是2 的倍数，
∴18(3
k −1−1)能被36 整除，
∴当n=k +1时，f (n)也能被36 整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f (n)=(2n+7)⋅3
n+9能被36 整
除，
m的最大值为36.
故选：C.
【典型例题3】用数学归纳法证明：对任意正整数
能被9 整除．
【答案】见解析
【解析】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.
证明：（1）当
时，
，能被9 整除，
故当
时，
能被9 整除．
（2）假设当
时，命题成立，即
能被9 整除，
则当
时，
也能被9 整除.
综合(1)(2)可得, 对任意正整数
能被9 整除．
【点睛】本题考查了用数学归纳法证明整除问题，属于容易题.
【变式训练5-1】求证：对任何正整数n，数
都能被8 整除
【答案】证明见解析
【解析】用数学归纳法证明整除问题.
证明:
1°当n=1 时，
，命题成立．
2°假设n=k 时，
能被8 整除，
则当n=k+1 时，
,
因为
是8 的倍数，而
也是8 的倍数，所以Ak+1 也是8 的倍数，
即n=k+1 时，命题也成立
由以上1°、2°可知，对一切正整数n，
能被8 整除．
【变式训练5-2】用数学归纳法证明：
能被
整除（
）
【答案】答案见解析
【解析】按照数学归纳法的证明方法进行证明
当
时，
，
故
能被
整除，
假设当
时，结论成立，即
能被
整除，
则当
时，
，
由于
和
均能被
整除，
故
能被
整除，
综上：
能被
整除（
）.
【变式训练5-3】求证：
能被
整除．
【答案】证明见解析.
【解析】先检验当n=1 时，
能被
整除，再假设当
时
能被
整除，证明出当
时，
能被
整除，即可得证.
当n=1 时，
能被
整除，
假设当
, 时
能被
整除，
则当
时，
，
其中
能被
整除，所以
能被
整除，
所以
能被
整除，
即当
时，
能被
整除，
所以
能被
整除.
【点睛】此题考查利用数学归纳法证明整除问题，关键在于熟练掌握数学归纳法证明方法的基本步骤，根据步骤
对代数式变形处理.
【变式训练5-4】是否存在正整数
使得
对任意正整数
都能被
整除，若存在，求出最
大的
的值，并证明你的结论．若不存在说明理由．
【答案】存在，且
的最大值为
【解析】
求出
、
的最大公约数，可得出
的值，然后利用数学归纳法证明出
都能被
整除，即可得出结
论.
解：
，
，
所以，
、
的最大公约数为
，
猜想：对任意的
，
能被
整除，
当
时，猜想显然成立；
假设当
，猜想成立，即
能别
整除，
即存在
，使得
，
则当
时，
，
因为
为奇数，则
为偶数，则
能被
整除，
所以，
能被
整除，
这说明当
时，猜想也成立，
故对任意的
，
对任意正整数
都能被
整除，且
.
故
的最大值为
.
【变式训练5-5】用数学归纳法证明：n
3+(n+1)
3+(n+2)
3能被9整除(n∈N
∗).
【答案】见解析
【解析】先验证n=1时，n
3+(n+1)
3+(n+2)
3能被9整除；假设当n=k时，k
3+(k +1)
3+(k +2)
3能被9整除，
再证明(k +1)
3+(k +2)
3+(k +3)
3能被9整除，结合归纳原理可得出结论成立.
证明：（1）当n=1时，1
3+2
3+3
3=36能被9整除，所以结论成立；
（2）假设当n=k (k ∈N
∗)时结论成立，即k
3+(k +1)
3+(k +2)
3能被9整除．
则当n=k +1时，(k +1)
3+(k +2)
3+(k +3)
3=(k +1)
3+(k +2)
3+ k
3+9k
2+27 k +27 k
=k
3+(k +1)
3+(k +2)
3+9(k
2+3k +3)，
因为k
3+(k +1)
3+(k +2)
3能被9整除，9(k
2+3k
2+3)能被9整除，
所以，(k +1)
3+(k +2)
3+(k +3)
3能被9整除，即即n=k +1时结论也成立．
由（1）（2）知命题对一切n∈N
∗都成立．
【变式训练5-6】是否存在正整数m使得f (n)=(2n+7)⋅3
n+9对任意正整数n都能被m整除，若存在，求出最
大的m的值，并证明你的结论．若不存在说明理由．
【答案】见解析
【解析】
求出f (1)、f (2)的最大公约数，可得出m的值，然后利用数学归纳法证明出f (n)都能被36整除，即可得出结论.
解：f (1)=9×3+9=36，f (2)=11×9+9=108，
所以，f (1)、f (2)的最大公约数为36，
猜想：对任意的n∈N
∗，f (n)能被36整除，
当n=1时，猜想显然成立；
假设当n=k (k ∈N
∗)，猜想成立，即f (k )=(2k +7)⋅3
k +9能别36整除，
即存在t ∈N
∗，使得f (k )=(2k +7)⋅3
k +9=36t，
则当n=k +1(k ∈N
∗)时，
f (k +1)=[2(k +1)+7]⋅3
k +1+9=3(2k +7)⋅3
k +2⋅3
k +1+9=3(36t −9)+2⋅3
k +1+9
=108t +2⋅3
k +1−18=108t +18(3
k −1−1)，
因为3
k −1为奇数，则3
k −1−1为偶数，则18(3
k −1−1)能被36整除，
所以，f (k +1)能被36整除，
这说明当n=k +1时，猜想也成立，
故对任意的n∈N
∗，f (n)=(2n+7)⋅3
n+9对任意正整数n都能被m整除，且m=36.
故m的最大值为36.
题型06：用数学归纳法证明数列问题
【典型例题1】在正项数列
中，
，
，则
（ ）
A．为递减数列
B．为递增数列
C．先递减后递增
D．先递增后递减
【答案】A
【解析】先判断
大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论.
由
，且
，
显然
成立，
假设
，
成立，
当
时，则
，
所以
，故
为递减数列.
故选：A
【典型例题2】已知数列
满足
，
. 给出下列四个结论：
① 数列
每一项
都满足
；
② 数列
是递减数列；
③ 数列
的前
项和
；
④ 数列
每一项都满足
成立.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②④
【答案】D
【解析】确定
时，
，①正确，计算
，②正确，计算
，③错误，
利用数学归纳法证明④正确，得到答案.
对①：
，
，则
，当
时，
，
且
，故
，故
，正确；
对②：
，故数列是递减数列，正确；
对③：
，
，
，
，
，错误；
对④：当
时，
成立，
假设
时成立，即
，
当
时，函数
在
上单调递增，
则
，
故
时成立.
综上所述：数列
每一项都满足
成立，正确.
故选：D.
【典型例题3】已知
，存在自然数
，使得对任意
，都能使
整除
，则最
大的
的值为 ．
【答案】36
【解析】求出
，归纳出
，然后用数学归纳法证明．
，
，
，都能被
带除，猜想
能被36 带除，
（1）
时，
是36 的整数倍，
（2）假设
时，
是36 的整数倍，即
（
），
时，
，
由假设
是36 的整数倍，又
是偶数，
是36 的整数倍，
所以
是36 的整数倍，
综上，对一切正整数
，
是36 的整数倍，即
能被36 整除，而
，
所以
是最大的数，即
．故答案为：36．
【典型例题4】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1= an
2+2
2an
．
(1)求出数列{an}的前三项；
(2)根据数列{an}的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】见解析
【解析】（1）分别将n=1,n=2,n=3代入求解即可；
（2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及an= Sn−Sn−1证明即可.
（1）当n=1时，由已知条件可得a1+1= a1
2+2
2a1
，即a1
2+2a1−2=0，
解得a1= ❑√3−1(a1>0)；
当n=2时，由已知条件可得a1+a2+1= a2
2+2
2a2
，将a1= ❑√3−1代入得a2
2+2❑√3a2−2=0，
解得a2= ❑√5−❑√3(a2>0)；
当n=3时，由已知条件可得a1+a2+a3+1= a3
2+2
2a3
，同理解得a3= ❑√7−❑√5(a3>0)．
（2）由（1）可以猜想an= ❑√2n+1−❑√2n−1，n=1,2,3时，等式成立；
假设当n=k (k >3,k ∈N
*)时，等式也成立，即ak = ❑√2k +1−❑√2k −1，
又因为ak +1= Sk +1−Sk = ak +1
2 + 1
ak +1
−ak
2 −1
ak
，
将ak = ❑√2k +1−❑√2k −1代入上式解得ak +1= ❑√2k +3−❑√2k +1(an>0)，
所以n=k +1时命题成立．
综合可得，当n∈N
*时，an= ❑√2n+1−❑√2n−1(n∈N
*)．
【典型例题5】设数列{xn}各项均为正数，且满足x1
2+ x2
2+⋅⋅⋅+ xn
2=2n
2+2n（n 为正整数）.
(1)求数列{xn}的通项公式xn；
(2)试用数学归纳法证明：x1 x2+ x2 x3+⋅⋅⋅+ xn xn+1<2[(n+1)
2−1].
【答案】见解析
【解析】（1）先根据和项与通项关系求得xn
2，解得xn；
（2）先证明n=1成立，再根据n=k成立推导n=k +1成立即可.
（1）当n≥2时x1
2+ x2
2+⋯+ xn
2=2n
2+2n, x1
2+ x2
2+⋯+ xn−1
2
=2(n−1)
2+2(n−1),
所以xn
2=2n
2+2n−2(n−1)
2−2(n−1)= 4 n
当n=1时x1
2=2+2= 4 ,∴xn
2= 4 n,∵xn>0,∴xn=2❑√n；
（2）①当n=1时，x1 x2=2×2❑√2<2×3=2[(1+1)
2−1]，即n=1时，结论成立；
②假设当n=k ,(k ≥1,k ∈Z )时，结论成立，即x1 x2+ x2 x3+⋯+ xk xk +1<2[(k +1)
2−1]
当n=k +1时，x1 x2+ x2 x3+⋯+ xk xk +1+ xk +1 xk +2<2[(k +1)
2−1]+ xk +1 xk +2
因为2[(k +1)
2−1]+ xk +1 xk +2=2[(k +2)
2−1]+ 4 ❑√k +1❑√k +2−2(2k +3)
=2[(k +2)
2−1]+2(
❑√4 k
2+12k +8−
❑√4 k
2+12k +9)<2[(k +2)
2−1]
即当n=k +1时，结论成立；
由①②得，x1 x2+ x2 x3+⋯+ xn xn+1<2[(n+1)
2−1].
【变式训练6-1】下列命题正确的有（ ）个
（1）若数列
为等比数列，
为其前n 项和，则
，
，
也成等比数列；
（2）数列
的通项公式为
，则对任意的
，存在
，使得
；
（3）设
为不超过实数x 的最大整数，例如：
，
，
.设a 为正整数，数列
满足
，
，记
，则M 为有限集．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】（1）取特列
，分析判断；（2）根据实数的性质分析判断；（3）利用数学归纳法证明
，即可得结果.
对（1）：设等比数列
的公比为
，
若
，则
，可得
，
则
，故
，
，
不是等比数列，（1）错误；
对（2）：根据实数性质可得：对
，均存在
，使得
，
，
故对
，均存在
，使得
，则
，（2）正确；
对（3）：若
，则
，故
，且
.
下证对
，
，
当
时，
，即
；
假设当
时，
；
当
时，则
∵
，当且仅当
，即
时，等号成立，
则
；
故对
，
.
∵
，
，则
，可得
，
可得
，
∵
，
下证
，
当
时，则
成立；
假设当
时，则
成立；
当
时，则
，即
；
故
.
可得
，且
，即
的取值可能是有限的，
故
为有限集，（3）正确；
故选：C.
【变式训练6-2】意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，
13，21，34，55，
，即
，
，此数列在现代物理“准
晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2 整除后的余数构成一个新数列
，则数列
的前
2020 项的和为（ ）
A．1346
B．673
C．1347
D．1348
【答案】C
【解析】由已知条件写出数列
的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案.
由题意可得：若
，等价于
为偶数，若
，等价于
为奇数，
则
，
猜想：
，
当
时，
成立；
假设当
时，
成立，则
为奇数，
为偶数；
当
时，则
为奇数，
为奇数，
为偶数，
故
符合猜想；
得证
，
则连续三项之和为2，故数列
的前2020 项的和为
.
故选：C.
【变式训练6-3】（多选题）数列
满足
（
且
），则（ ）
A．若
，则数列
是等比数列
B．若
，则数列
是等差数列
C．若
，则数列
中存在最大项与最小项
D．若
，则
【答案】ABD
【解析】由等比数列和等差数列的概念可判断A，B，利用B 中结论求得
，利用函数单调性可判断C，利用数
学归纳法及作差法判断选项D．
选项A，因为若
，
，
所以
，
，…，
，
即
，
，
是等比数列，故A 正确；
选项B，令
，而
，
，
又
，
数列
是以1 为公差的等差数列，故B 正确；
选项C，由选项B 的结论及
可知：
，
，显然，数列
在
上单调递减，
故当
时，
有最大值2，没有最小值，故C 错误；
选项D，用数学归纳法证明
，
(1)当
时，
，
(2)假设当
，
时，不等式成立，即
，即
，
当
时，
，满足
，
故当
时，不等式也成立，
综合(1)(2)，对任意
，有
，
下面证明
，
，
，
上面不等式中的等号不成立，
，
，
故
，故D 正确．
故选：ABD．
【变式训练6-5】（多选题）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就
用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐
波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列
可以用递推的方法来定义：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
可得出
，利用累加法可判断A 选项；由
结合累加法可判
断B 选项；利用数学归纳法可判断C 选项；由
可得
，结合裂项法可判断
D 选项.
对于A，由
，可得
，
则
、
、
，
、
，
将上式累加得
，
又
，则有
，故A 正确；
对于B，由
，可得
、
、
、
，
将上式累加得
，
又
，则
，故B 错误；
对于C，有
成立，用数学归纳法证明如下：
①当
时，
，满足规律，
②假设当
时满足
成立，
当
时，则
成立，满足规律，
故
，令
，
则有
成立，故C 正确；
对于D，由
可得
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式训练6-6】（多选题）已知数列{
}的前n 项和为
，
，则下列选项
正确的是（ ）
A．
B．存在
，使得
C．
D．
是单调递增数列，{
}是单调递减数列
【答案】ACD
【解析】由
整理得
，令
，得到
，借助反比例函数和
的单调性得到
和
的增减性，即可判断D 选项；
根据
求
的范围即可判断C 选项；
利用数学归纳法证明
，
，即可得到
，
，即可判断A 选项，
根据
，
，可得
，即可判断B 选项.
由
可得
，令
，则
，
又
，则
，
，当
时，
，
，
，设
，
在
上单调递增，∵
，∴
，传递下去，可得
，同理可得
，∴
是
单调递增数列，
是单调递减数列，
又∵
，
在R 上单调递增，所以
是单调递增数列，
是单调递减数列，故D 正确；
由
，
得
，
，
得
，
∴
，即
，
∵
，∴
，
，显然
，故C 正确；
先证：
，
当
时，
成立，
假设当
时，
成立，
那么当
时，
成立，
综上，
成立，
同理可得
，
∴
，即
，故A 正确；
要使
，则
，而
，
，所以
，即
，故B 错.
故选：ACD.
【变式训练6-7】设数列
的各项均为正整数，且
．记
．如果对于所有的正整数
均
有
．
(1)求
，
，
，
，
；
(2)猜想
的通项公式，并加以证明．
【答案】(1)
，
，
，
，
(2)
，证明见解析
【解析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据
前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
（1）因为数列
的各项均为正整数，
所以数列
是递增数列，
因为
，
，
所以
舍去，
同理可得：
舍去，
舍去，
舍去，
所以
，
，
，
，
；
（2）猜想：
，证明过程如下：
当
时，
显然成立，
假设当
时成立，即
，
当
时，
，
解得：
，或
，
因为数列
的各项均为正整数，
所以数列
是递增数列，
显然
，
所以
，
舍去，
所以当
时，
成立，
综上所述：
【变式训练6-8】已知数列：
，
，
，…，
，…，设
为该数列的前
项和.计算
，
，
，
的值；根据计算的结果，猜想
（
为正整数）的表达式，并用数
学归纳法加以证明.
【答案】
，
，
，
，证明见解析
【解析】代入数值计算
，
，
，
的值；根据前4 项的规律可猜出
的表达式，再用数学归纳法证明.
，
，
，
，
猜想
（
为正整数），下面用数学归纳法证明：
①当
时，
，猜想成立；
②假设当
时，猜想成立，即
，
所以当
时，
，
所以当
时猜想成立.
由①②得，
得证.
【变式训练6-9】（1）依次计算下列各式的值：，
，
，
．
（2）根据第（1）题的计算结果，猜想
（
为正整数）的表达式，
并用数学归纳法证明相应的结论．
【答案】（1）；
；
；
；（2）
，证明见解析.
【解析】（1）直接计算各式的值即可；
（2）根据（1）的数字规律可猜想得到
；验证
成立后，假设
时猜想成立，利用该结论证得
时成立即可.
（1）
；
；
；
；
（2）由（1）可猜想：
；
证明如下：
当
时，左边
，右边
；等式成立；
假设当
时，
成立，
那么当
时，
，
即当
时，等式成立；
综上所述：当
时，
.
【变式训练6-10】设数列
满足
，
．
(1)计算
，猜想
的通项公式并加以证明；
(2)求数列
，求
的前
项和
．
【答案】(1)
，
，
，猜想
，证明见解析
(2)
【解析】（1）利用递推关系式可求得
，由此可猜想得到通项公式；利用数学归纳法可证得通项公式
成立；
（2）由（1）可得
，采用错位相减法可求得
.
（1）由
，
得：
；
；
；
由此可猜想
，证明如下：
当
时，
，即
成立；
假设当
时，
成立，
那么当
时，
，即
成立；
综上所述：当
时，
.
（2）由（1）得：
，
，
，
两式作差得：
，
.
【变式训练6-11】设数列
满足
，
，
(1)求
，
的值，并猜想数列
的通项公式；
(2)利用数学归纳法证明上述猜想．
【答案】(1) ，；
(2)证明见解析
【解析】（1）根据题意将
和
代入
即可得到
，
的值，再根据规律即可猜想数列
的通项公式.
（2）根据数学归纳法先证明当
时成立，再假设当
时成立，由此证明当
时成立即可.
（1）因为数列
满足
，
，
，
所以当
时，
，
当
时，
．
由此猜想数列
的通项公式为
．
（2）证明：用数学归纳法证明如下：
①当
时，
，成立；
②假设当
时，成立，即
，
则当
时，
，成立，
由①②，得：
．
【变式训练6-12】已知数列{an}中，a1=0且an+1=
1
2−an
.
(1)求数列{an}的第2，3，4 项；
(2)根据（1）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】见解析
【解析】（1）由题意逐个计算即可得；
（2）由（1）的计算结果可猜想出数列{an}的通项公式，利用数学归纳法证明即可得.
（1）由a1=0且an+1=
1
2−an
，则a2=
1
2−a1
= 1
2，
a3=
1
2−a2
=
1
2−1
2
= 2
3 ，a4=
1
2−a3
=
1
2−2
3
= 3
4 ；
（2）由（1）的计算结果可猜想an= n−1
n
，证明如下：
当n=1时，a1= 1−1
1
=0，等式成立；
假设当n=k时等式成立，即有ak = k −1
k
，
则当n=k +1时，有ak +1=
1
2−ak
=
1
2−k −1
k
=
k
k +1，
即当n=k +1时，等式成立；
故猜想an= n−1
n
成立.
【变式训练6-13】设数列{an}的各项均为正整数，且a1=1．记Sn=a1+a2+⋯+an．如果对于所有的正整数n
均有Sn+1+ Sn=(Sn+1−Sn)
2．
(1)求S1，S2，S3，S4，S5；
(2)猜想{Sn}的通项公式，并加以证明．
【答案】见解析
【解析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据{Sn}前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
（1）因为数列{an}的各项均为正整数，
所以数列{Sn}是递增数列，
因为Sn+1+ Sn=(Sn+1−Sn)
2，S1=a1=1，
所以S2+ S1=(S2−S1)
2⇒S2=3,S2=0舍去，
同理可得：S3=6,S3=1舍去，S4=10,S4=3舍去，S5=15,S5=6舍去，
所以S1=1，S2=3，S3=6，S4=10，S5=15；
（2）猜想：Sn= n(n+1)
2
，证明过程如下：
当n=1时，S1=1显然成立，
假设当n=k时成立，即Sk = k (k +1)
2
，
当n=k +1时，Sk +1+ Sk =(Sk +1−Sk)
2⇒Sk +1
2
−(k
2+k +1)Sk +1+ k (k −1)(k +1)(k +2)
4
=0，
⇒[Sk +1−(k +1)(k +2)
2
][Sk +1−k (k −1)
2 ]=0
解得：Sk +1= (k +1)(k +2)
2
，或Sk +1= k (k −1)
2
，
因为数列{an}的各项均为正整数，
所以数列{Sn}是递增数列，
显然(k +1)(k +2)
2
> k (k +1)
2
> k (k −1)
2
，
所以Sk +1= (k +1)(k +2)
2
，Sk +1= k (k −1)
2
舍去，
所以当n=k +1时，Sn= n(n+1)
2
成立，
综上所述：Sn= n(n+1)
2
.
【变式训练6-14】已知数列
满足
，
.
(1)求
，
，
；
(2)试猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【解析】（1）首先根据题意得到
，再求
，
，
即可.
（2）首先猜想数列
的通项公式为
，再利用数学归纳法证明即可.
（1）由
可知
，
当
时，代入
，解得
；
当
时，代入
，解得
；
当
时，代入
，解得
；
（2）猜想数列
的通项公式为
.
当
时，左边
，右边
，
成立.
（2）假设当
时，
成立.
则当
时，有
，
即当
时，
也成立.
所以
对任何
都成立.
【变式训练6-15】若
，且
.
（1）求
，
，
，
，
（2）归纳猜想通项公式
，用数学归纳法证明.
【答案】（1）
；（2）
，证明见解析．
【解析】（1）由递推公式依次计算
；
（2）猜想
．
（1）因为
，且
.
所以
，
，
，
；
（2）猜想
．
可用数学归纳法证明．
①
已成立；
②假设
时，
，则
，
时，命题也成立，综上对所有正整数
，都有
．
【点睛】本题考查数列的递推公式，考查数学归纳法．利用递推关系依次求出数列的前几项，然后归纳出通项公
式，并用数学归纳法证明，是解题决数列通项公式的一种方法．
【变式训练6-16】已知数列
的前
项和为
，
，且
.
（1）求
、
、
；
（2）由（1）猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）
，
，
；（2）
，证明见解析.
【解析】（1）由
，分别令
，
，
求解：
（2）由（1）猜想，数列
的通项公式为
，由
时成立，再假设
，
成立，然后论证
时成立即可.
（1）
，
当
时，
，解得
，即有
；
当
时，
，解得
，则
；
当
时，
，解得
，则
；
（2）由（1）猜想可得数列
的通项公式为
.
下面运用数学归纳法证明.
①当
时，由（1）可得
成立；
②假设
，
成立，
当
时，
，
即有
，
则
，
当
时，上式显然成立；
当
时，
，即
，
则当
时，结论也成立.
由①②可得对一切
，
成立.
【点睛】方法点睛：“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种
方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明
结论的正确性．
【变式训练6-17】已知等比数列
的公比
，且
，
是
，
的等差中项，数列
满足：数列
的前
项和为
.
（1）求数列
、
的通项公式；
（2）数列
满足：
，
，证明
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析.
【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列
的通项公式，再由数列
的前
项和为
，进而求得
的通项公式；
（2）把
的通项公式代入
，首先利用数学归纳法证得
，再利用放缩法及等差
数列的前
项和，即可证明.
（1）由
，
是
，
的等差中项，
可得
，即
，即
，解得
或
，
又因为
，所以
，
又由
，所以
，
因为数列
的前
项和为
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
满足上式，
所以
，所以
.
（2）先用数学归纳法证明当
，
，
①当
时，
，左式>右式，不等式成立；
②假设
时，不等式成立，即
，
当
时，
，因为
在
上单调递增，
由
，得
，即
，
可得
，不等式也成立.
由①②得证当
，
，
所以
.
【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的求法，利用数学归纳法与放缩法证明数列不等式，着重
考查了逻辑思维能力和推理论证能力，属于难题.
题型07：用数学归纳法证明其他问题
【典型例题1】给出下列不等式：
1> 1
2，
1+ 1
2 + 1
3 >1，
1+ 1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5 + 1
6 + 1
7 > 3
2，
1+ 1
2 + 1
3 +⋯⋯+ 1
15 >2，
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】见解析
【解析】（1）猜想不等式左边最后一个数分母2
n−1，对应各式右端为n
2，即得解；
（2）递推部分，利用n=k时结论，替换括号内部分
1+ 1
2 + 1
3 + 1
4 +⋯⋯+
1
2
k−1
+ 1
2
k +⋯⋯+
1
2
k +1−2
+
1
2
k +1−1
> k
2 +解：（1）观察不等式左边最后一个数分
母的特点：
1=2
1−1，3=2
2−1，7 =2
3−1，15=2
4−1，
猜想不等式左边最后一个数分母2
n−1，对应各式右端为n
2，
所以，不等式的一般结论为：1+ 1
2 + 1
3 + 1
4 +...+
1
2
n−1
> n
2 (n∈N
∗)
（2）证明：①当n=1时显然成立；
②假设n=k时结论成立，即：1+ 1
2 + 1
3 + 1
4 +...+
1
2
k−1
> k
2 成立，
当n=k +1时，
1+ 1
2 + 1
3 + 1
4 +⋯⋯+
1
2
k−1
+ 1
2
k +⋯⋯+
1
2
k +1−2
+
1
2
k +1−1
> k
2 +(
1
2
k +
1
2
k +1
+⋯+
1
2
k +1−2
+
1
2
k +1−1)
> k
2 +2
k× 1
2
k +1 = k
2 + 1
2 = k +1
2
即当n=k +1时结论也成立.
由①②可知对任意n∈N
∗，结论都成立.
【典型例题2】试证用面值为3 分和5 分的邮票可支付任何n(n>7，n∈N)分的邮资．
【答案】见解析
【解析】利用数学归纳法证明.
1°当n=8 时，结论显然成立．
2°假设当n=k (k >7，k ∈N)时命题成立．
若这k 分邮资全用3 分票支付，则至少有3 张，将3 张3 分票换成2 张5 分票就可支付k+1 分邮资；
若这k 分邮资中至少有一张5 分票，只要将一张5 分票换成2 张3 分票就仍可支付k+1 分邮资．
故当n=k+1 时命题也成立．
综上，对n>7的任何自然数命题都成立．
【变式训练7-1】已知M 是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x、y ∈M，则x−y ∈M；③
若x∈M且x≠0，则1
x ∈M.
(1)判断1
2 ∈M是否正确，说明理由；
(2)证明：“若x∈Z，则x∈M”是真命题；
(3)证明：若x，y ∈M，则xy ∈M.
【答案】见解析
【解析】（1）结合性质①②证明2∈M，然后利用性质③即可求解；
（2）结合（1）中结论，利用数学归纳法即可求解；
（3）结合已知条件，先证明x
2∈M，然后证明x + y ∈M，然后证明x
2 ∈M即可求解.
（1）1
2 ∈M正确，理由如下：
由①②可知，0−1=−1∈M，1−(−1)=2∈M，
由③可知，1
2 ∈M.
（2）由②可知，对于∀x∈M，0−x =−x∈M，故只需证明对于∀x∈N
*，x∈M，
由（1）中知，−1∈M，
可知0∈M，1∈M，
假设正整数k ∈M (k ≥1)，可得k −(−1)=k +1∈M，
故对于∀x∈N
*，x∈M都成立，
从而“若x∈Z，则x∈M”是真命题.
（3）若x∈M，x≠0且x≠1，由①②知，1∈M，x−1∈M，
由③知，1
x ∈M，
1
x−1 ∈M，
又由②③知，1
x −
1
x−1 =
1
x(1−x) ∈M，则x(1−x)∈M，
又由②知，x −x(1−x)= x
2∈M，
因为1
2=1∈M，0
2=0∈M，
故x∈M时，x
2∈M，
因为x，y ∈M，所以x
2∈M，y
2∈M，
所以由（2）知−x∈M，−y ∈M，−x
2∈M，−y
2∈M，
又由x + y = x−(−y)∈M，则( x + y )
2∈M，
又因为1
x ∈M，所以−1
x ∈M，从而1
x −(−1
x )= 2
x ∈M，故x
2 ∈M，
从而2 xy =( x + y )
2−x
2−y
2∈M，2 xy
2 = xy ∈M.
【变式训练7-2】如图，曲线C : xy =1(x>0)与直线l: y = x相交于A1，作A1B1⊥l交x轴于B1，作B1 A2//l
交曲线C于A2，……，以此类推.
（1）写出点A1, A2, A3和B1,B2,B3的坐标；
（2）猜想An(n∈N
∗)的坐标，并用数学归纳法加以证明.
【答案】见解析
【解析】（1）将直线y = x，曲线xy =1方程联立，由x>0即可求得A1，由垂直关系可得直线A1B1方程，令
y =0即可求得B1坐标，依次类推即可求得结果；
（2）由（1）可归纳出An(❑√n+ ❑√n−1,❑√n−❑√n−1)；设An(xn, yn)，An−1(xn−1, yn−1)，由直线An−1Bn−1
方程可求得Bn−1坐标，由直线An Bn−1斜率为1可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可
证得结论.
（1）由¿得：¿，即A1(1,1)；
∴直线A1B1方程为：y −1=−(x−1)，即x + y −2=0，
令y =0，解得：x =2，∴B1(2,0)；
∴直线A2B1方程为：y = x−2，由¿得：¿，即A2(❑√2+1,❑√2−1)；
∴直线A2B2方程为：y −❑√2+1=−(x−❑√2−1)，即x + y −2❑√2=0，
令y =0，解得：x =2❑√2，∴B2(2❑√2,0)；
∴直线A3 B2方程为：y = x−2❑√2，
由¿得：¿，即A3(❑√3+ ❑√2,❑√3−❑√2)；
∴直线A3 B3方程为y −❑√3+ ❑√2=−(x−❑√3−❑√2)，即x + y −2❑√3=0，
令y =0，解得：x =2❑√3，∴B3(2❑√3,0)；
（2）由（1）猜想An(n∈N
∗)的坐标为An(❑√n+ ❑√n−1,❑√n−❑√n−1)，
设An(xn, yn)，An−1(xn−1, yn−1)，则直线An−1Bn−1的方程为：y −yn−1=−(x−xn−1)，
令y =0，解得：x = xn−1+ yn−1，∴Bn−1(xn−1+ yn−1,0)，
∵直线An Bn−1的斜率为1，即
yn
xn−xn−1−yn−1
=1，即xn−xn−1= yn+ yn−1，
∴1
xn
+
1
xn−1
= xn−xn−1，
用数学归纳法证明An的坐标如下：
①当n=1时，A1(1,1)满足An(❑√n+ ❑√n−1,❑√n−❑√n−1)；
②假设当n=k时，Ak(❑√k + ❑√k −1,❑√k −❑√k −1)成立，
那么当n=k +1时，由1
xk +1
−1
xk
= xk +1−xk得：
1
xk +1
−
1
❑√k + ❑√k −1 = xk +1−(❑√k + ❑√k +1)，解得：xk +1= ❑√k + ❑√k +1，
即当n=k +1时，An(❑√n+ ❑√n−1,❑√n−❑√n−1)成立；
综上所述：An(❑√n+ ❑√n−1,❑√n−❑√n−1).
一、单选题
1．用数学归纳法证明：
，在验证
成立时，左边所得的代数式是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意结合数学归纳法分析判断.
当
时，
，所以左边为
.
故选：C.
2．用数学归纳法证明
的过程中，当
从
到
时，等式左边应增乘的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】观察从
到
时，等式左边的变化，通过比较可得出结果.
当
时，等式左边
，
当
时，等式左边
，
因此，当
从
到
时，等式左边应增乘的式子为
.
故选：C.
【点睛】本题考查数学归纳法的应用，解答的关键就是观察等式左右两边结构的变化，考查计算能力，属于基础
题.
3．对于不等式
，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当
时，左边
，右边
，不等式成立.
（2）假设当
（
且
）时，不等式成立，即
，
那么当
时，
，
所以当
时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．
验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从
到
的推理不正确
【答案】D
【解析】根据数学归纳法的概念进行判断即可.
在
时，没有应用
时的归纳假设，不是数学归纳法.
故选：D.
4．利用数学归纳法证明不等式
（
，且
）的过程，由
到
时，
左边增加了（ ）
A．
项
B．
项
C．
项
D．k 项
【答案】B
【解析】根据给定条件，探讨
从
变到
不等式左边增加的部分即可得解.
当
时，不等式左边为
，
当
时，不等式左边为
，
增加的项为
，共有
项.
故选：B
5．用数学归纳法证明
，由
到
时，不等式左边应添
加的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】只须求出当
时，左边的代数式，当
时，左边的代数式，相减可得结果．
当
时，左边的代数式为
，
当
时，左边的代数式为
，
故用
时左边的代数式减去
时左边的代数式的结果为：
故选：D．
6．用数学归纳法证明“
”，由
到
时，不等式左边应添加
的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求出当
和
时，不等式左边的式子，即可得出答案.
当
时，不等式左边为
当
时，不等式左边为
即由
到
时，不等式左边应添加的项是
故选：D
【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题.
7．用数学归纳法证明等式
（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k 时等式成立，则当
n=k+1 时应得到
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：由数学归纳法知第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1 时应得到
考点：推理与证明
二、多选题
8．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000 时，p(k)成立，且当n＝1001 时也成立，则下列
判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528 成立
B．p(k)对每一个自然数k 都成立
C．p(k)对每一个正偶数k 都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
【答案】AD
【解析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.
由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002 成立，当k 取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
故选：AD
9．已知数列
满足
，且
（n 为正整数），利用数列的递推公式猜想数列
的通项公式为
．下面是用数学归纳法的证明过程：
（1）当
时，
满足
，命题成立；
（2）假设
（k 为正整数）时命题成立，即
成立，则当
时，由
得
，即
是以
为首项，1 为公差的等差数列，所以
，即
，所以
，命题也成立．
由（1）（2）知
．
判断以下评述：（ ）
A．猜想正确，推理（1）正确
B．猜想不正确
C．猜想正确，推理（1）（2）都正确
D．猜想正确，推理（2）不正确
【答案】AD
【解析】根据数学归纳法的步骤判断即可.
由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A 正确；推理(2)不正确，
错在证明
时，没用假设
时的结论即
，
所以D 正确．
故选：AD
10．已知一个命题
，这里
，当
时，
成立，并且当
时它也成立，
下列命题中错误的是（ ）
A．
对于
成立
B．
对于每一个自然数k 成立
C．
对于每一个偶数k 成立
D．
对于某些偶数可能不成立
【答案】ABC
【解析】由已知中命题
，
，当
时，
成立，并且当
时它也成立，
可得
对于
内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可
由于命题
，这里
，
当
时，
成立，并且当
时它也成立，
可得
对于
内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，
故
对于
不一定成立，
对于每一个自然数k 不一定成立，
对于每一个偶数k 不一定成立，
对于某些偶数可能不成立．故选：ABC．
三、填空题
11．以下是一个证明的全部过程：假设当
时等式成立，即
，则当
时，
，即当
时，等式也成立．因此等式对于任何
都成立．则用数学归纳法证明“
”的过程中的错误为 ．
【答案】缺少当
时命题成立的证明
【解析】根据数学归纳法的使用步骤即可求解.
根据数学归纳法的一般步骤，知其缺少
时命题成立的说明.
故答案为：缺少当
时命题成立的证明
12．若
用数学归纳法证明
是31 的倍数
，在验证
成立时，原式为 ．
【答案】
【解析】将
代入
计算可得结果.
当
时，
.
故答案为：
13．利用数学归纳法证明“
，
，
”时，从“
”变
到“
”时，左边应增乘的因式是 ．
【答案】
【解析】分别写出
和
左边的式子，两对照可得答案.
当
时，左边式子为
，
当
时，左边式子为
，
故左边增乘的因式是
．
故答案为：
．
14．在运用数学归纳法证明
能被
整除时，则当
时，除了
时
必须有归纳假设的代数式
相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ．
【答案】
【解析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案.
设当
时，
能被
整除，
所以
时，
，
因此必须有代数式
．
故答案为：
四、解答题
15．设数列
的各项均为正整数，且
．记
．如果对于所有的正整数
均有
．
(1)求
，
，
，
，
；
(2)猜想
的通项公式，并加以证明．
【答案】(1)
，
，
，
，
(2)
，证明见解析
【解析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据
前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
（1）因为数列
的各项均为正整数，
所以数列
是递增数列，
因为
，
，
所以
舍去，
同理可得：
舍去，
舍去，
舍去，
所以
，
，
，
，
；
（2）猜想：
，证明过程如下：
当
时，
显然成立，
假设当
时成立，即
，
当
时，
，
解得：
，或
，
因为数列
的各项均为正整数，
所以数列
是递增数列，
显然
，
所以
，
舍去，
所以当
时，
成立，
综上所述：
16．设数列
的前
项和为
，且对任意的正整数
都满足
．
（1）求
，
，
的值，猜想
的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的
的表达式的正确性．
【答案】（1）
，
，
，
，
；（2）证明见解析．
【解析】（1）
时，可求出
，
时，利用
可得到关于
的递推关系，即可求出
，
的
值，进而猜想出
的表达式；
（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.
（1）当
时，
，∴
，
当
时，
，∴
，
∴
，
，
猜想
，
；
（2）下面用数学归纳法证明：
①当
时，
，
，猜想正确；
②假设
时，猜想正确，即
，
那么当
时，
可得
，
即
时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数
，
都成立．
【点睛】本题考查数学猜想和数学归纳法的应用，属于中档题.
17．用数学归纳法证明：
能被133 整除
．
【答案】见解析
【解析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明
时结论成立，再假设
时结论成立，利用假设证明
时结论也成立即可得出结论成立.
证明： ①当
时，
能被133 整除，所以
时结论成立，．
②假设当
时，
能被133 整除，那么当
时，
．
由归纳假设可知
能被133 整除，即
能被133 整除．所以
时
结论也成立
综上，由①②得，
能被133 整除
【点睛】本题考查数学归纳法的整除应用问题，关键在于证明
时采取添项与减项技巧，“凑”成归纳假
设的形式出来，然后再来证余下的项被除数整除，属于中档题．
18．试用数学归纳法证明
.
【答案】证明见解析
【解析】根据数学归纳法的步骤即可证明．
（1）当
时，左边＝
，右边＝
，不等式成立；
（2）假设当
时，原不等式成立，即
，
当
时，
∵
∴
．即
，
所以，当
时，不等式也成立．
根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．
【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明和正整数有关的命题，属于基础题．
19．已知正项数列
满足
，
.
(1)计算
,
，猜想
的通项公式并加以证明；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
,
,
,证明见解析;
(2)
.
【解析】
（1）分别
,
，即可求得
,
,由此可猜想
，用数学归纳法证明即可；
（2）结合（1）的结论可得
的表达式，分组求和即可求得答案.
（1）当
时，
；
当
时，
；
猜想
.
证明如下：
当
时，
成立；
假设
时，
成立；
那么
时，
,
即
时，
，
则对任意的
，都有
成立.
（2）由题意得
，
.
20．证明：不等式
，恒成立.
【答案】证明见解析.
【解析】用数学归纳法证明，由
时成立，再假设
时，不等式
成立，然后
论证
时成立即可.
当
时，
成立
假设
时，不等式
成立
那么
时
，
，
，
即
时，该不等式也成立
综上：不等式
，恒成立.
【点睛】方法点睛：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k 时命题成立证n＝k＋1 时命题也成立，在归纳假
设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技
巧，使问题得以简化．
21．设数列
满足
，
.
(1)计算
，
，猜想
的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
，证明详见解析
(2)证明详见解析
【解析】
（1）先求得
，
，然后猜想
并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得
，进而证得不等式成立.
（1）依题意，
，
，则
，
所以
，
猜想
.
当
时，
成立，
假设当
时，猜想成立，即
，
则当
时，
，猜想成立，
所以
.
（2）
，
所以
.
22．用数学归纳法证明:
.
【答案】见解析.
【解析】试题分析：利用数学归纳法，验证
时等式成立，假设
时成立，证得
时也成立，即可
证得等式成立.
（1）当
时，左边=
，右边=
，所以等式成立
（2）假设当
时命题成立，即
那么，当
时，
即
时，命题成立
由（1）（2）知等式对任意的
均成立
23．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：
能被哪些自然数整除？
【答案】
能被自然数6，1，2，3 整除;证明见解析
【解析】先分别用n 取1,2,3,4 时验证，则可猜想：
可以被6 整除，利用数学归纳法证明即可．
时，原式
，
时，原式
，
时，原式
，
时，原式
，这些数都可以被6 整除，
所以猜想：
可以被6 整除，那么也可被1，2,3 整除；
证明：（1）当
时，
，命题显然成立；
（2）假设当
时，
能被6 整除．
当
时，
，
其中两个连续自然数之积是偶数，它的3 倍能被6 整除，
由假设知
能被6 整除,
故
，
，6 分别能被6 整除，
所以当
时，命题也成立．
据（1）（2），可知
可以被6 整除．
故
能被自然数6,，1，2，3 整除.
24．用数学归纳法证明等式
.
【答案】证明见解析
【解析】先验证
时，等式成立，再假设当
时等式成立，可得出
，然后在等式两边同时加上
，验证当
时
等式也成立，由此可证明出结论成立.
①当
时，左边
，
右边
，左边
右边，原等式成立；
②假设当
时等式成立，
即有
，
那么，当
时，
，
所以当
时，等式也成立，
由①②知，对任意
，都有
.
【点睛】本题考查利用数学归纳法证明等式成立，在证明时要注意等式两边结构的变化，合理利用提公因式、通
分、因式分解等基本的运算技巧，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
25．求证：
.
【答案】证明见解析.
【解析】根据给定条件借助数学归纳法证明命题的一般步骤直接证明即可.
(1)当n=2 时，左边=
，右边=
，显然左边>右边，即原不等式成立，
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即
，
则当n=k+1 时，
左边=
=右边，
因此，当n=k+1 时，原不等式成立，
综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
26．用数学归纳法证明以下恒等式
：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可；
（2）按照数学归纳法的步骤证明即可；
（1）①当
时，左边
，右边
，左边与右边相等，即
时等式成立；
②假设当
时，等式成立，
即
，
则当
时，左边
右边，
即当
时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，
成立.
（2）①当
时，左边
，右边
，左边与右边相等，即
时等式成立；
②假设当
时，等式成立，
即
，
则当
时，左边
右边，
即当
时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，
成立.
