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培优点05 隐零点
题型方法
题型一 不含参函数的隐零点问题
题型二 含参数的隐零点问题
隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及
隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策略是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理．
【题型一】不含参函数的隐零点问题
【例1】）已知函数
.若对任意
，都有
（e 为自然对数的底数），求证：
.
解题技巧
题型梳理
知识清单
题型方法
已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0 的根存在，却无法求出，利用函数零点存在定理，判断零点
存在，设方程f′(x)＝0 的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0 成立，②注意确定x0的合适范围．
【举一反三】【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，求证：
.
【变式2】已知函数
（
）．
(1)若
在区间
上单调递减，求
的取值范围；
(2)当
时，求证：
．
【变式3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，判定函数
零点的个数，并说明理由.
【题型二】含参数的隐零点问题
【例2】（2025·重庆·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)已知函数
．
①若
，求证： 当
时，
；
②若
，函数
在区间
上存在唯一零点，求
的取值范围．
解题技巧
已知含参函数f(x，a)，其中a 为参数，导函数方程f′(x，a)＝0 的根存在，却无法求出，设方程f′(x)
＝0 的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0 成立，该关系式给出了x0，a 的关系；②注意确定x0的合适范
围，往往和a 的范围有关．
【举一反三】【变式1】（2025·山东济南·一模）已知
，函数
，
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
存在零点.
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
.
【变式2】已知函数
．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若
，
恒成立，求整数
的最大值．
【变式3】（2023·内蒙古包头·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；
(2)证明：当
时，
没有零点．
一、解答题
1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)若
，证明
；
(2)讨论
的极值点的个数．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在唯一的极值点
，证明：
．
好题必刷
3．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
的图象与直线
相切，求实数
的值；
(2)若函数
有且只有一个零点，求实数
的取值范围．
4．（2022·陕西宝鸡·三模）已知函数
(1)函数
为
的导函数，讨论当
时
的单调性；
(2)当
时，证明：
存在唯一的极大值点.
5．（2024·广西·模拟预测）设函数
，
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)证明：
．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若
的最小值为0，
(1)求
的值;
(2)若
，证明:
存在唯一的极大值点
，且
.
7．（2023·四川成都·一模）已知函数
.
(1)若
，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
8．（2023·辽宁·二模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
有两个极值点
，
，证明：
．
