文档文本内容
专题01 一元函数的导数及其应用
题型1 导数定义中的极限运算
瞬时变化率的变形形式
lim
∆x→0
f (x0+ ∆x)- f ( x0)
∆x
= lim
∆x→0
f (x0-∆x)- f (x0)
-∆x
= lim
∆x→0
f (x0+n∆x)- f ( x0)
n∆x
= lim
∆x→0
f (x0+ ∆x)- f ( x0-
2∆x
．
1．（24-25 高三下·云南昭通·月考）已知
，
的值为（ ）
A．4
B．2
C．8
D．16
【答案】C
【解析】因为
，
则
.故选：C.
2．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）若函数
在区间
内可导，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故选：D.
3．（24-25 高三下·上海·月考）已知
，则
.
【答案】
【解析】由
，
因为
，所以
.
4．（24-25 高三上·广东深圳·开学考试）已知
，且
．
【答案】
【解析】
，
而
，
则
.
题型2 导数公式及四则运算法运用
（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导；
（2）抽象函数求导，恰当赋值时关键，然后活用方程思想求解；
（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
5．（24-25 高三上·上海·月考）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
.故选：D.
6．（24-25 高三上·湖南·月考）若函数
及其导函数
满足
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
，因为
，
所以
，解得
，
所以
，令
，可得
，解得
.故选：D.
7．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，且
，令
，得
.
对
两边同时求导，
得
，即
.
令
，得
.
令
，得
，故
.故选：C.
8．（2025·河北石家庄·一模）已知函数
的高阶导数为
，即对函数
连续求
阶导数．
例如
，则
，
，
，
，
，…，
若
，则
的展开式中
的系数是（ ）
A．360
B．280
C．255
D．210
【答案】D
【解析】因为
所以
，
继续求二阶导数得：
，
继续求三阶导数得：
，
……
所以
.
所以
的系数为
.故选：D
题型3 导数的几何意义及其应用
（1）处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：** 错误的表
达式 **切线处的导数是切线的斜率；** 错误的表达式 **切点在切线上；** 错误的表达式 **切点在
曲线上．
（2）注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．
9．（24-25 高三上·河南·月考）函数
的图象在点
处的切线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
因为
，所以
，
所求的切线方程为
，即
．故选：A.
10．（24-25 高三上·河北承德·开学考试）过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【解析】由
，
当点
是切点时，此时切线的斜率为
，此时有一条切线；
当点
不是切点时，设切点为
，则切线的斜率为
，
切线方程为：
，该切线过点
，
于是有
或
（舍去），
综上所述：过点
可作曲线
的切线条数为
，故选：B
11．（24-25 高三上·天津武清·月考）若直线
与曲线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】设直线
与曲线
相切于点
，
求导可得
，因此切线斜率
，
又切线过原点
，可得
，化简可得
，
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值，
，
因此可得
，即可得
.故选：
12．（24-25 高三上·甘肃白银·月考）已知
满足
，且
在
处的切
线方程为
，则
.
【答案】-2
【解析】函数
的定义域为R，
因为
，所以函数
是R 上的奇函数，
所以
，解得
，所以
，
又
，
故
符合要求，则
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，即
，解得
，所以
.
题型4 两曲线的公切线问题
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐
标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．
13．（24-25 高三上·河北邯郸·月考）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，
则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，设直线
与曲线
的切点为
，
与曲线
的切点为
，
而
的导数为
，
的导数为
，
所以两曲线的切线分别为
，
两条切线对应相同，可得
，解得
，
所以切线方程为
，即
，
则
.故选：C.
14．（24-25 高三上·江西南昌·模拟测试）可与曲线
和
的公切线垂直的直线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设与
和
分别相切于
，
，
而
，
，
，
，
，解得
，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为
，
所以所求直线方程可为
．故选：D．
15．（2025·河南南阳·三模）已知函数
与
存在公切线，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设公切线与函数
及函数
的切点分别为
，
，且
，
，
故两切线方程为
，
，
即
，
，
与
存在公切线，
所以
有解，消去
后得：
，
令
，
，
易得
在
上单调递增，且
时，
；
时，
，
故
在区间
上递减，在
上递增．
所以
，
的最小值为
，
即
的最小值为
，即实数
的最小值为
．故选：B．
16．（24-25 高三上·湖南岳阳·期末）曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】两个函数求导分别为
，
设
，
图象上的切点分别为
，
，
则过这两点处的切线方程分别为
，
，
则
，
，所以
，
设
，
，
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，且
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
.故选：B.
题型5 过曲线上一点的多切线问题
过曲线上一点的多切线问题的核心是“以切点为变量，通过切线过已知点建立方程，转化为方程解的个
数问题”．解题时需严格遵循“设切点→写方程→化简→分析解的个数”的步骤，结合函数单调性、极
值与定义域综合判断，同时规避混淆概念、计算错误等易错点，即可高效求解．
17．（24-25 高三下·上海·月考）从点
可向曲线
引三条不同切线，则的取值范围为
．
【答案】
【解析】切点设为
，其中
有三个不同的解
即
有三个不同的解
设
，该函数有三个不同零点,
，
令
，则
或
，
令
，则
或
，
令
，则
，
所以：函数在区间
单调递减，在区间
上单调递增，
所以函数在
和
处取得极值，
要想函数有三个不同零点，
则
，即
，所以
18．（24-25·山西太原·月考）若过点
可以作
的三条切线，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，设切点坐标为
，由
，求导得
，
则函数
的图象在点
处的切线方程为
，
由切线过点
，得
，
令
，依题意，直线
与函数
的图象有3 个公共点，
，当
或
时，
，当
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数
取得极小值
，而当
时，恒有
，
又
，因此当
时，直线
与函数
的图象有3 个公共点，
所以实数
的取值范围是
.故选：B
19．（24-25 高三下·海南儋州·模拟预测）若过点
可以作曲线
的两条切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在曲线
上任取一点
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令函数
，
则
.
当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
所以
.
设
，所以
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
的图象如图：
由题意可知，直线
与
的图象有两个交点，则
.故选：B
20．（24-25 高三下·广东·月考）已知过点
可以作曲线
的两条切线，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设切点为
，
∴切线的斜率
，
∴切线方程是
，
∵切线过点A（a，0），
∴
，即
，
∵过点A（a，0）可以作两条切线，
∴方程
有两个不同的根，
∴
＝（a+1）2
4
﹣＞0，解得a＞1 或a＜﹣3．故选：D.
题型6 不含参函数的单调性问题
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的
定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
21．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在区间
上的函数
，则
的单调递
增区间为（ ）
A．
B．
C．
，
D．
【答案】C
【解析】
，
，则
，
，
由
有
，由
，解得
或
，
所以
的单调递增区间为
和
.故选：C.
22．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数
，则
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
的定义域为
，
，
令
，解得
，
故
的单调递减区间为
，故选：B
23．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
的定义域为
，
在
上单调递增，在
上单调递增，不满足在
上单调递增，故A 错误.
对于B，
在
上单调递减，不满足在
上单调递增，故B 错误.
对于C，
，满足在
上单调递增，故C 正确.
对于D，
在
上单调递减，在
上单调递增，
不满足在
上单调递增，故D 错误.故选：C.
24．（24-25 高三上·湖北武汉·月考）已知函数
，写出函数
的单调递减区间
．
【答案】
【解析】
，
，
令
，即
，解得
或
.
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增.
综上可知，函数
的单调递减区间为
.
题型7 含参函数的单调性问题
（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
25．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
的单调增区间为
．
【答案】当
时，函数单调递增区间为
；
当
时，函数单调递增区间为
；当
时，函数单调递增区间为
【解析】函数
的导函数
，
①
，若
，
；若
，
，
所以函数在
上单调递增，在
上单调递减．
②
，
，此时函数
在
上单调递增．
③
，若
，
；若
，
，
此时函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上所述：当
时，函数单调递增区间为
；
当
时，函数单调递增区间为
；当
时，函数单调递增区间为
.
故答案为：当
时，函数单调递增区间为
；
当
时，函数单调递增区间为
；当
时，函数单调递增区间为
26．（24-25 高三下·宁夏石嘴山·月考）已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)试判断函数
的单调性.
【答案】(1)
；(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，则
，所以，
，
，
故当
时，函数
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
，
当
时，
，
的减区间为
，无增区间；
当
时，令
，
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
综上所述，当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的减区间为
，增区间为
.
27．（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
；(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，则
，
从而
，
，
故所求切线方程为
，即
（或
）.
（2）由题意可得
.
当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
恒成立，则
在
上单调递增；
当
，即
时，由
，得
或
，
由
，得
，则
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
28．（24-25 高三下·河南新乡·月考）已知函数
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)试讨论
的单调性．
【答案】(1)
；(2)见解析
【解析】（1）当
，
，
所以
，
所以
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）因为
，
所以
.
当
时，
，令
，得
，
令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，令
，解得
或
.
当
时，
，所以
在
上单调递增.
当
时，
，令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，
，令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
题型8 根据函数的单调性求参数
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）函数在区间
上单调，实际上就是在该区间上
（或
）恒成立．
（2）函数在区间
上存在单调区间，实际上就是
（或
）在该区间上存在解集．
29．（24-25 高三上·广东清远·月考）设函数
在区间
上单调递减，则正数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得
，
因为
，所以
，
，
由
解得
，
由
解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为函数
在区间
上单调递减，
故
，解得
.故选：A
30．（24-25 高三上·江苏镇江·月考）若
在
上是单调递增函数，则实数
的取
值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知
，
因为
恒成立，
所以
在
上是单调递增函数，即
在
上恒
成立，
因为
是一元二次函数，对称轴为
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
在
上恒成立，只需
，解得
，
即实数
的取值范围为
，
31．（24-25 高三上·上海·月考）若函数
存在单调递减区间，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】法一：
，
由题意可知
在
上有解，即
有正实数解，
当
时，显然满足要求，
当
时，只需满足
，即
，
综上：
的取值范围为
.
法二：
，
由题意可知
在
上有解，
即
在
上有解，即
在
上有解，
所以
，则
的取值范围为
.
32．（24-25 高三上·河北张家口·月考）已知函数
在区间
上不单
调，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题得
定义域为R，
，
所以
时，
；
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又函数
在区间
上不单调，
所以
，故m 的取值范围是
.
题型9 导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造：
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4 ）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符
号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
关系式为“减”型构造：
（6）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（7）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（8）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（9）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（10）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
33．（24-25 高三下·上海·月考）定义在
上的函数
为奇函数，其导数为
，且当
时，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，又因为函数
为定义在
上奇函数，
为定义在
上奇函数，所以
为定义在
上的奇函数，
则
在
上单调递减，即函数
在
上单调递减，
所以由
可得：
，
即
，所以
，故选：C.
34．（24-25 高三上·福建宁德·月考）已知定义在
上的奇函数
满足，
，当
时，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
由题可知，当
时，
，故
在
单调递减；
又
为奇函数，
也为奇函数，故
为偶函数，则
在
单调递增；
又
，则
，画出
的模拟草图如下所示：
当
时，
，则
，数形结合可知，此时
；
当
，因为
为
上的奇函数，故
，不满足题意；
当
，
，则
，数形结合可知，此时
；
综上所述：
的解集为
.故选：A.
35．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，
当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
由题意知当
时，
，故
在
上单调递增，
因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
所以
，
所以
是定义域为
的偶函数，
所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
，所以
，
所以当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
则不等式
的解集为
.故选：D.
36．（24-25 高三下·重庆南岸·月考）函数
的定义域为
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
.
对
求导，则
.
已知
，即
，而
恒成立，所以
恒成立.
这说明函数
在
上单调递增.
已知
，则
.
不等式
可变形为
，即
，也就是
.
因为
在
上单调递增，所以
.
不等式
的解集为
，.故选：B
题型10 与极值有关的函数图象问题
解决与极值有关的函数图象问题，需紧扣“导数→单调性→极值点→图像特征”的逻辑链．
极值点对应图象的“转折点”：在该点左侧图象上升（
）、右侧下降（
）→极大值
点；左侧下降、右侧上升→极小值点．
注意：图象连续但“尖点”处（如
的
）导数不存在，但仍是极值点；光滑处导数为0 且
趋势转折才是极值点．
37．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图是
的导函数
的图象，对于下列四个判断，其中正确的
判断是（ ）
A．当
时，
取得极大值
B．
在
上是增函数
C．当
时，
取得极大值
D．
在
上是增函数，在
上是减函数
【答案】D
【解析】根据导函数
的图象可知，
当
时，
，当
时，
，
可知
在
内单调递减，在
单调递增，
所以当
时，
取得极小值，当
时，
取得极大值，当
时，
取得极小
值，
故ABC 错误，D 正确.故选：D.
38．（25-26 高三上·湖南常德·开学考试）函数
的导函数
的图象如图所示，则
（ ）
A．
是函数
的一个零点
B．
是函数
的极小值点
C．
是函数
的极大值点
D．函数
在区间
上单调递增
【答案】D
【解析】根据导函数的图像可知，当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
可知
是函数
的极值点，不足以说明
是函数
零点.
因为函数
在
上单调递增，
可知
不是函数
的极小值点，
也不是函数
的极大值点，
所以ABC 不正确，故D 正确.故选：D.
39．（24-25 高三下·上海·月考）设
，若函数
的部分图象如图所示，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
由图可知当
时
，当
时
，所以
，
，
又
，
由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点小于极小值点，
所以
有两个零点，不妨设为
，则
，
，且
，
所以导函数的图象如下图所示：
所以
，
，则
，所以
，
，
，
.故选：A
40．（2024·贵州黔南·一模）三次函数
的图象如图所示.下列说法正确的是
（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】D
【解析】函数
，求导得
，
观察函数图象，得函数
有异号两个极值点
，且
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，排除A；
由
，得则
，
，得
，排除C；
由不等式
的解集为
，得
，即
，排除B；
又
是方程
的二根，
，则
，选项D 符合题意.故选：D
题型11 利用导数求解函数的极值
根据函数的极值（点）求参数的两个要领：
（1）列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
41．（2025·河南新乡·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【解析】由已知得
，令
，得
，
当
时，
单调递减，
当
或
时，
单调递增，
所以
的极小值为
，解得
.故选：A.
42．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，由
，可得
函数
有两个极值点，即方程
在
内有两个不等实根，
即函数
与
在
上有两个交点，
因
，
，
，
所以
，解得
.故选：A.
43．（24-25 高二下·江西·月考）若函数
存在极值点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，可得
，
因为函数
存在极值点，则满足
，
即
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
.故选：B.
44．（2025·四川成都·模拟预测）若函数
存在唯一极值点，则实数a 的取值范围为
.
【答案】
【解析】
，因为
存在唯一极值点，
所以
存在唯一变号根.
即
存在唯一变号根，设
，
，
函数
在
上单减；在
上单增，在
上单减；
当
时，
；当
时，
；
则实数a 的取值范围为
.
题型12 利用导数求解函数的最值
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，
从而得到函数
的最值．
45．（24-25 高三上·河北唐山·月考）已知函数
，则
的最大值是 .
【答案】
【解析】
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
则
时，
有最大值，
最大值为
.
46．（2024·重庆·模拟预测）若函数
，在区间
的最大值为8，无最小值，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
，则
，
所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
因为
在区间
的最大值为8，无最小值，
所以
且
，解得
，
则
.
47．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若函数
在区间
的值域为
，则
的取值范
围为 .
【答案】
【解析】因为
，则
，
所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
因为
在区间
的值域为
，所以
，解得
，
此时
，
，
又
，∴
，则
.
48．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数
的最小值为1，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【解析】
，
令
，原式可化为
，
当
单调递增，当
单调递减，
当且仅当
时，
取得最小值1，
所以
有解，即
有解.
记
，
当
在
单调递增，当
在
单调递减，
故
，且当
，
所以
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
