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第五章 一元函数的导数及应用 章末题型大总结
题型01 导数的定义及应用
【典例1】（24-25 高二上·浙江金华·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】D
【分析】根据导数的定义可得
，求得
得解.
【详解】由
，可得
，
解题锦囊
1．函数在某点处的导数的定义
函数y=f(x)在x=
处的导数f'(
)=
.
2．导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=
处导数的过程可以看到，当x=
时，f'(
)是一个唯一确定的数.这样，当x 变化时，
y=f'(x)就是x 的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=
即
，又
，则
，
所以
.
故选：D.
【变式1】（（24-25 高二下·山东济宁·开学考试）已知函数
在
处可导，且
则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据导数的定义计算可得.
【详解】因为函数
在
处可导，且
，
所以
.
故选：A
【变式2】（24-25 高二下·浙江温州·开学考试）若函数
满足
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义及已知求值即可.
【详解】由题设
.
故选：C
【变式3】（24-25 高二上·江苏镇江·期末）若
，则
（ ）
A．
B．6
C．3
D．-3
【答案】C
【分析】由导数的定义可得；
【详解】
.
故选：C.
【变式4】（24-25 高二上·河北沧州·期末）已知函数
，则
（ ）
A．1
B．0
C．－1
D．
【答案】C
【分析】根据求导公式计算.
【详解】由题意得
，
故
．
故选：C.
【变式5】（24-25 高二·全国·课堂例题）物体运动方程为
（位移单位：m，时间单位：s），若
，则下列说法中正确的是（ ）
A．18m/s 是物体从开始到3s 这段时间内的平均速度
B．18m/s 是物体从3s 到
这段时间内的速度
C．18m/s 是物体在3s 这一时刻的瞬时速度
D．18m/s 是物体从3s 到
这段时间内的平均速度
【答案】C
【分析】由瞬时变化率的物理意义判断．
【详解】
是物体在
这一时刻的瞬时速度，是物体从
到
这段时间内的平
均速度的极限值，即是是物体在
这一时刻的瞬时速度.
故选：C
题型02 导数的运算
【典例1】（24-25 高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题锦囊
导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【答案】C
【分析】利用导数的运算法则逐项求导判断.
【详解】对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
故选：C
【变式1】（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．e
【答案】B
【分析】先求导函数，再根据导函数值结合对数运算计算求解.
【详解】
，
由
，得
，则
，解得
．
故选：B.
【变式2】（24-25 高二下·河南·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．0
B．
C．2025
D．4050
【答案】B
【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解.
【详解】因为
，
则
，
故
.
故选:B.
【变式3】（24-25 高二上·云南昭通·期中）下列函数求导正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算求解即可.
【详解】
，A 错误；
，B 正确；
，C 错误；
，D 错误.
故选：B.
【变式4】（24-25 高三下·湖北·开学考试）已知函数
的导函数为
，且满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由导数的四则运算及赋值即可求解.
【详解】解：
，
则
，
故选：A
题型03 导数的几何意义及应用
【典例3】24-25 高二上·江苏南京·期末）已知函数
，则
的图象在
处的切线方程为（ ）
解题锦囊
求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
（3） “过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区
别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对
求导，得
，
利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜率式，即可求解.
【详解】因为
，
则
，
所以
，
又
，所以
的图象在
处的切线方程为
，即
，
故选：A.
【变式1】（24-25 高二上·河北保定·期末）已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.
【详解】因为曲线
，所以
所以在点
处的切线斜率为
，
直线
的斜率为
，又因为两直线垂直，所以
，所以
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知点
是曲线
上的任意一点，曲线
在点
处的切线的倾斜角为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
，求出原函数的导函数，依题得到
，由二次函数的性质和正切
函数的图象性质即得
的取值范围.
【详解】设点
，由
求导得
，
依题意，
，
因
，故得
，又
，故得
.
故选：B.
【变式3】（24-25 高二上·山西·期末）经过点
所作曲线
的切线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：
的根的个数，结合根的判别式判定
即可.
【详解】因为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
.
将
代入，得
.
因为
，所以方程
有两个不同的根，且根不为0，
所以方程
共有3 个不同的根，
即经过点
所作曲线
的切线有3 条.
故选：C.
【变式4】（24-25 高二上·江苏盐城·期末）若直线
是曲线
的一条切线，则k 的值为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】设出切点坐标
，利用导数的几何意义求得切线方程，解方程可得
，可得结果.
【详解】设切点坐标为
，
易知
，因此
，
所以切线方程为
，即
，
可得
，即
，可得
，
所以
.
故选：D
【变式5】（24-25 高三上·辽宁·期末）已知函数
，
，若过点
的直线与曲
线
和
均相切，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线的方程，即可根据公切线得
，构造函数
，求导即可得解.
【详解】设直线与
图象相切的切点为
，
由
，则切线斜率为
，
切线方程为
，即
，
又
，且
，即
，
所以过点
与曲线
相切的直线方程为
，
联立
解得
，所以
，
设
,
当
单调递增，当
单调递减，所以
，故
，当且仅
当
时取等号，
故由
得
，所以
.
故选：C
【变式6】（24-25 高二下·全国·课后作业）直线
与曲线
相切于点
，则
．
【答案】
【分析】根据点
在直线
上求出
的值，对函数求导，根据切点斜率可求出
值，代入点
解方程，即得解
【详解】因为直线
与曲线
相切于点
，
将
代入
可得
，解
，
因为
，所以
由
，解得
，可得
，
因为点
在曲线
上，
所以
，解得
．
故答案为：
【变式7】（2024 高三·全国·专题练习）写出曲线
过坐标原点的切线方程： ，
.
【答案】
【分析】分
和
两种情况，当
时设切点为
，求出函数
的导函数，即可求出
切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出
，即可求出切线方程，当
时同理可
得；
【详解】因为
，
当
时，
，设切点为
，由
，得
，
所以切线方程为
.
又切线过坐标原点，所以
，解得
，
所以切线方程为
，即
；
当
时，
，设切点为
，由
，得
，
所以切线方程为
.
又切线过坐标原点，所以
，解得
，
所以切线方程为
，即
.
故答案为：
；
.
题型04 求函数的单调区间
【典例4】（24-25 高二·全国·课堂例题）已知函数
，讨论
的单调区间．
【答案】答案见解析
【分析】先求出
的导数，根据
求得的区间是单调增区间，
求得的区间是单调减区
间，因为在函数式中含字母系数a，要对a 的取值进行分类讨论．
【详解】
．
①当
时，
，所以
在
上单调递增．
②当
时，令
，得
．
当
或
时，
；
当
时，
，
因此
在
上单调递增，
在
上单调递减．
综上可知，当
时，
的增区间为
，没有减区间．
当
时，
的增区间为；减区间为
．
【变式1】（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
，则在下列区间上，
单调递增的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数
，令
，结合选项中角的范围求得x 的范围，即可得出单调递增
区间.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
，
解题锦囊
（1）确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是
不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
（2）①研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
②划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
根据四个选项，可知
则
，所以
，所以
，
所以
的单调递增区间为
，
因为
，所以
为函数
的一个单调递增区间.
故选：B.
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得
，结合
的解集，即可求得函数的递增区间.
【详解】由函数
，可得其定义域为
，
且
，
令
，解得
，所以函数
的单调增区间为
．
故选：C.
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为，求实数
的值；
(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)
或
(2)答案见解析
【分析】（1）由
可得；
（2）由题意
，对实数
分类
，
，
，进而可得.
【详解】（1）由于
，故
，
解得
或
．
（2）首先有
．
若
，则
在
上递减；
若
，则对
有
，
对
有
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，则对
有
，
对
有
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
【变式4】（24-25 高二上·河南许昌·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
，试讨论
的单调性．
【答案】(1)
(2)当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；当
时，函数
的单调递增区间为
；当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间
为
．
【分析】（1）根据在点
处的切线方程为
即可求解；
（2）由题意有
，根据
的范围分类讨论即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
，
，所以切点为
，
切线方程
即
．
（2）
的定义域为
，
，
当
时，由
可得
或
；由
可得
，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，
恒成立，
函数
的单调递增区间为
；
当
时，由
可得
或
；由
可得
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
题型05 已知函数的单调性求参数
【典例5】（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将题干问题转化为
在区间
上恒成立，参变分离得
，利用对勾函数单
调性求得
，即可得解.
【详解】由已知得
，
解题锦囊
（1）若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x (
∈a，b)时，f′(x)≥0 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，
则当x (
∈a，b)时，f′(x)≤0 恒成立．
（2） 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x (
∈a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数f(x)在(a，b)上存在
单调递减区间，则当x (
∈a，b)时，f′(x)<0 有解．
（3）已知函数在给定区间上不单调，等价于函数在所给区间上有极值点。
函数
在区间
上单调递增，
在区间
上恒成立．
对于
恒成立．
而由对勾函数的单调性可知
在区间
上单调递减，
．
的取值范围是
．
故选：D
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上存在单调递减区间，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可知
在
上有解，整理可得
，构建
，利用导数求最值即可得结果.
【详解】由题意可知：
，
因为函数
在
上存在单调递减区间，
则
在
上有解，可得
，
所以
．
令
，则
，
显然
，可知函数
单调递增，则
，
即
，所以实数
的取值范围是
.
故选：C．
【变式2】（24-25 高三下·山西·开学考试）函数
在
上单调递增的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
在
上恒成立，据此可得答案.
【详解】∵函数
在
单调递增，∴
，
即
在
上恒成立．令
，由
，得
，
∴
在
单调递增，在
单调递减，
∴
是函数
在
单调递增的充要条件．
故选：A
【变式3】（24-25 高三上·青海·期末）若函数
在
上单调递减，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为
在
上单调递减，所以
对
恒成立，
得到
，即
对
恒成立，
令
，则
对于
恒成立，
当
时，由反比例函数性质得
在
上单调递减，
得到
，即
，故D 正确.
故选：D
【变式4】（24-25 高三下·湖北·开学考试）函数
在
上不单调，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.
【详解】
，
因为函数
在
上不单调，
所以函数
有零点，
所以方程
有根，
所以函数
与
有交点（且交点非最值点），
因为函数
的值域为
，
所以
.
故选：D
【变式5】（24-25 高二上·山西·期末）已知函数
在定义域内单调递增，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求导函数，再应用单调递增导函数大于等于0，再构造函数求函数最小值，列不等式求参数范
围即可.
【详解】函数
定义域为
，
，
因为函数
在定义域内单调递增，所以
,
所以
在
恒成立，所以
设
，
所以
单调递减；
单调递增；
所以
，
所以
.
故选：A.
【变式6】（2025 高三下·全国·专题练习）若函数
在区间
内存在单调递增区间，
则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求
，根据
分离参数
，构造函数可得
的取值范围.
【详解】∵
，∴
，
∵
在区间
内存在单调递增区间，
∴
在
上有解，故
在
上有解，
令
，则
，
∵
，∴
，即
在
上为减函数，
∴
，故
．
故答案为：
.
【变式7】（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）函数
在
上单调，则
的取值范
围是 .
【答案】
【分析】根据
在
上单调递增得到
恒成立，然后分
和
分析得到
，最后再结
合端点处的函数值列不等式求解即可.
【详解】由题意可知
时，
时，
；
因为
在
上单调递增，
所以
时，
恒成立，即
，可得
，
当
，
时，
，
在
上单调递增，成立，
又
，可得
，综上可得，
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型06 求函数的极值
【典例5】（24-25 高二上·湖南怀化·期末）函数
的极值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】根据函数极值的定义求解即可.
【详解】由题知
的定义域为
，且
.
当
时，
；
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的极小值为
，无极大值，
故选：A
【变式1】（24-25 高二上·江苏连云港·期末）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．15
D．17
【答案】B
【分析】对函数求导，令导数等于0，求得
，分别研究导函数在
,
和
时的单调性，
从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值.
【详解】由函数
，求导得
,
令
,得
,
当
时,
,函数单调递增;
当
时,
,函数单调递减;
当
时,
,函数单调递增;
解题锦囊
(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0 的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右
的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极
小值．
所以
是极小值点,所以函数的极小值为
.
故选：B
【变式2】（24-25 高二上·湖南·期末）若
是函数
的极小值点，则
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先对函数
求导，因为
是极小值点，所以
，
求出a 的值，再由a 的取值和单调性即可求出
取得极大值，即可求的结果.
【详解】因为
，所以
.
又
是函数
的极小值点，所以
，解得
或
.
当
时，
恒成立，函数
单调递增，不符合题意，舍去.
当
时，
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
是
的极小值点，所以
，
.
由以上分析知，当
时，
取得极大值，且
.
故选：B.
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的极大值与极小值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对原函数求导
，再解出极小值和极大值，求和
即可.
【详解】由题意知：
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，所以
的极大值为
，
极小值为
，故
.
故选：D.
【变式4】（23-24 高二下·全国·课后作业）函数
有（ ）
A．极小值0，极大值2
B．极小值
，极大值4
C．极小值
，极大值3
D．极小值2，极大值3
【答案】D
【分析】求出导函数，令导函数为
并求根，判断根左右两侧的符号，根据极值定义求出极值即可．
【详解】易知
，
令
，则
或
，
当
时，
，即
在
内单调递增，
当
时，
，
在
内单调递减，
当
时，
，
在
内单调递增，
所以当
时，函数
有极大值
，
当
时，函数
有极小值
．
故选：D．
题型07 已知极值求参数
【典例7】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．6
B．12
C．24
D．12 或24
【答案】C
【分析】根据
在
处取得极值0 可得
，解出
即可.
【详解】由题意知，
，又
在
处取得极值0，
解题锦囊
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
则
，解得
或
，
当
时，
，
函数
在R 上单调递增，无极值，不符合题意；
当
时，
，
令
或
，
，
所以
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极小值，符合题意，
所以
，
，
则
.
故选：C.
【变式1】（24-25 高二下·全国·随堂练习）函数
在
处有极小值
，则
的值等于（ ）
A．0
B．6
C．3
D．2
【答案】A
【分析】对
求导，得到
，由题知
，解得
，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
由题知
，解得
，
此时
，
由
，得到
或
，由
，得到
，
所以
的增区间为
，
，减区间为
，
故
满足题意，所以
，
故选：A.
【变式2】（23-24 高二下·山东临沂·期中）已知函数
，当
时，
有极大值
．则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】B
【分析】根据题中条件列出方程组
，解出
，
，验证即可；
【详解】由题意得
，
因为
时，
有极大值
，
所以
，解得
，
，
经检验，当
，
时，
,
故当
在
上单调递减，
当
在
上单调递减，
故
在
时有极大值
，符合题意，所以
成立．
故选：B．
【变式3】（24-25 高二下·江苏南京·开学考试）若函数
在
内无极值，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出导数，再由导函数在
内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即
可求解.
【详解】由函数
在
内无极值，得
在
内无变号零点，
而函数
在
上单调递增，则
或
，解得
或
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：C
【变式4】（24-25 高二上·江苏泰州·期末）已知函数
既有极大值又有极小值，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对函数求导，问题化为
至少有两个变号零点，导数求
的极值并列不等式求
参数范围.
【详解】由题设
，令
，
则
，
当
或
时，
，则
在
和
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
，
且
时
趋向
，
时
趋向
，
要使函数
既有极大值又有极小值，
即
至少有两个变号零点，所以
至少有两个变号零点，
所以
.
故选：A
【变式5】（24-25 高二上·江苏无锡·期末）已知函数
，若
在开区间
内
存在极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导，分离参数得
，构造函数
，利用导数求解函数的单调性，即可结合
分类讨论以及极值的定义求解.
【详解】由题意可得
，
令
，则
，记
，则
，
当
时
，此时
在
上单调递增，
当
时
，此时
在
上单调递减，故
，
当
，且
，
若
，则
，此时存在
，
当
时，
，此时
，
，故
在
上单调
递减，
当
，
，此时
，
，故
在
上单调递
增，此时
只有极小值无极大值，不符合题意舍去，
当
，则
，存在
，使
，
故当
，
，此时
，
，故
在
上单调
递减，
当
，
，此时
，
，故
在
上单调
递增，
当
，
，此时
，
，故
在
上单调递
减，此时
是
的极大值点，符合要求，
当
，即
时，此时
，此时
，
，故
单调
递减，不符合题意，舍去，
综上可得
，
故选：C.
【变式6】（24-25 高二上·贵州黔西·期末）已知函数
在
处有极大值，则c 的值为
（ ）
A．2
B．6
C．2 或6
D．-2
【答案】B
【分析】求导，令
求出
或2，检验后得到
.
【详解】
，
且函数
在
处有极大值，
故
，即
，解得
或2．
当
时，
，令
得，
或
，
令
得，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故函数
在
处取得极小值，不符合题意，应舍去；
当
时，
，令
得
或
，
令
得，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
满足
在
处取得极大值，满足要求.
故
．
故选：B
题型08 求函数的最值
【典例8】（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数
在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数与三角函数的性质研究函数的单调性，可得答案.
【详解】由
，则
，
当
时，
，可得
，则
单调递增；
当
时，
，可得
，则
单调递减；
由
，
，
，则
的最小值为
.
故选：A.
【变式1】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数判断出函数的单调性即可得解.
解题锦囊
利用导数求给定区间上的最值的步骤
（1）求函数f（x）的导数f'（x）；
（2）利用f'（x）＝0 求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值；
（3）求f（x）在给定区间上的端点值；
（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值.
【详解】
的定义域为
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以
的最小值为
．
故选：D.
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
在区间
内的最大值和最小值分
别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出极值点及区间端点处的函数值，再比较大小即得函数的最大值和最小值.
【详解】
的定义域为
，
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
的最大值为
，
又
，
所以
的最大值为
，最小值为
．
故选：A.
【变式3】（24-25 高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数
，则函数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得
，再由导函数求出其单调性可得
最小值为
.
【详解】由
可知
，所以
，
又因为
是奇函数，所以
，
即可得
时，
，即
；
则
，令
可得
，
所以当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
即
在
处取得极小值，也是最小值为
.
故选：C.
【变式4】（24-25 高二上·上海闵行·期末）已知函数
，且
在区间
上的最大值为3，无最小值，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数研究函数
的单调性，求出函数的极值，结合题意可得
且
，
即可求解.
【详解】由题意知，
，
令
或
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
的极大值为
，极小值为
，且
，
又
在
上的最大值为3，无最小值，
所以
，解得
，所以
，
令
，解得
或
，所以
，
所以
.
故答案为：
【变式5】（24-25 高二上·江苏宿迁·期末）已知函数
，且满足
(1)求实数
的值；
(2)求函数
在区间
上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
【分析】（1）利用求导公式结合
求解即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
令
，即方程
，
解得
（2）由（1）知，
，所以
，
令
，即
，
解得
．
列表如下：
2
3
+
0
-
0
+
当
时，
单调递增：
当
时，
单调递减：
当
时，
单调递增．
所以
有极大值
；
有极小值
又
．
所以函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
．
【变式6】（24-25 高二下·广西南宁·开学考试）已知函数
．
(1)过原点作曲线
的切线，求该切线的方程；
(2)设
，求
在
的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为
，最大值
【分析】（1）求导，根据斜率
可求解
，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，根据导函数的正负即可求解.
【详解】（1）设切点为
，由
得
，
所以所求切线的斜率为
，即
，
所以
，即
，故切点为
，
所以所求切线的斜率为
，切线方程为
，即
，
故所求切线的方程为
．
（2）由条件知
，
．
所以
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
在
单调性为：
单调递减，
单调递增，
所以
．
又
，所以最大值为：
所以
在
的最小值为
，最大值为：
题型09 不等式恒（能）成立问题
【典例9】（24-25 高二下·浙江温州·开学考试）若不等式
对任意正实数x 恒成立，
则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将不等式化为
，构造
，利用导数研究函数的单调性得
，
进而问题化为
对任意正实数t 恒成立，构造
，导数求函数的最大值，即可
得参数范围.
【详解】由
，不等式
，即
，
即
，即
，
设
，则上式为
，
由
，则
在R 上单调递增，可得
，
由
，得
，令
，则
，
因此
对任意正实数x 恒成立，即
对任意正实数t 恒成立，
令
，则
，
当
时
，
在
上单调递减，
当
时
，
在
上单调递增，
所以
时，
取得最大值
，则
.
故选：D
【变式1】（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）已知
对
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将不等式
进行变形，然后构造函数
，根据其单调性得到
，进而转化为
恒成立问题，最后通过求函数
在
上的最大值来确定
的取值范围.
【详解】设
，对
求导，可得
.
因为
时，
，
，所以
，这表明
在
上单调递增.
已知
对
恒成立，当
时，
，则有
，
当
时，
可变形为
.
因为
在
上单调递增，且
，
（
），所以由
可得
，即
对
恒成立.
设
，对
求导，可得
.
当
时，
，所以
，
，则
.
这说明
在
上单调递减，那么
在
上的最大值为
.
因为
对
恒成立，所以
，即实数
的取值范围是
.
故选：A.
【变式2】（24-25 高二上·山西运城·期末）已知函数
，若
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式求出
，分离参数可求答案.
【详解】由
，得
，求导得
，
因为
，所以
恒成立.
令
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
所以
，所以
，即
最小值为1.
故选：C.
【变式3】（24-25 高三上·甘肃白银·期末）若存在
，使得
成立，则实数
的最小
值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【分析】
化简可得
，构造函数
，然后利用导数求出函数的最
小值即可.
【详解】不等式
等价于
，即
.
令
，由
可知
，
在
上为增函数，
，
，则
，
令
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以结合题意可知
，即实数
的最小值为1.
故选：B
【变式4】（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）函数
，
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，则实数a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数求
的取值范围，利用二次函数的性质求
的取值范围，依题意有
，解不等式得实数a 的范围.
【详解】函数
，因为
，
，所以
，
故
在
上单调递增，所以
.
又
，所以
在
上也是单调递增，所以
.
因为对任意的
，总存在
，使
成立，等价于
，
所以
，解得
，故实数a 的范围是
.
故选：D.
【变式5】（23-24 高二下·广东广州·阶段练习）已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数m 的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】D
【分析】分离参数，利用导函数求函数的最值即可.
【详解】由
能成立，
问题转化为
，
令
，
由
；由
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，则
，
故m 的最小值为4．
故选：D.
【变式6】（24-25 高三上·山东青岛·期末）已知函数
．
(1)求函数
在
上的最大值和最小值；
(2)若不等式
有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)最大值为
，最小值为
(2)
【分析】（1）先利用导数可得函数
在
上单调递增，在
上单调递减，从而可求函数
在
上的最大值和最小值；
（2）不等式
可化为
，记
，则原不等式有解可转化为
，再利用导数求函数的最大值，即可求实数
的取值范围.
【详解】（1）因为函数
，
所以
，
令
，则
或
(舍去).
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值，最大值为
，
又
，
，
所以
，所以当
时，
取得最小值，最小值为
，
故
在
上的最大值为
，最小值为
.
（2）易知
的定义域为
，
故不等式
可化为
.
记
，则原不等式有解可转化为
.
易得
，
时，
，
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，所以
，
解得
.
所以实数
的取值范围为
.
题型10 导数与函数的零点问题
【典例10】（24-25 高二下·江苏南京·开学考试）已知函数
有三个不同的零点，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为
与曲线
有三个不同的交点，利用导数研究函数
的性质，从
而结合图象即可求得实数
的范围；
【详解】令
，即得
，即
方程有三个零点，
即直线
与曲线
有三个不同的交点，
可得
，
所以当
或
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
有极小值为
，
当
时，
有极大值为
，
当
时，
，且当
时，
，
所以作出函数
的图象如图所示，
所以数形结合可知
，即实数
的取值范围为
,
故选：A
【变式1】（24-25 高二上·河北保定·期末）已知函数
，若方程
在
上
有且仅有一个实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将方程
有且仅有一个实数根转化为两个函数
和
只有一个交点的问题，
然后通过求
在
处的切线斜率，结合函数图象来确定
的取值范围.
【详解】已知
在
上有且仅有一个实数根，可化为
.
方程
有且仅有一个实数根，等价于函数
和
的图象在
上只有一
个交点.
.
将
代入到导数中，可得
，即
在
处的切线的斜率为
.
直线
恒过原点
.
为了使
和
在
上只有一个交点，结合函数图象可知，当直线
的斜率
满足
或
时满足条件.
解不等式
，可得
；解不等式
，可得
.
所以
的取值范围是
.
故选：A.
【变式2】（24-25 高二上·重庆渝中·期末）已知函数
的图象与x 轴有两个不同的交点，则
实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】问题化为
且
图象有两个交点，利用导数研究
的性质并
画出函数图象草图，数形结合求参数范围.
【详解】由题，方程
有两个实数根，即
，
所以
且
图象有两个交点，
设
，则
，令
，解得
，
当
在
上单调递减，
当
在
上单调递增，
所以
有极小值
，
当
时，
且
，当
时，
，
作出
函数的大致图象，
故
，解得
.
故选：C
【变式3】（24-25 高二上·重庆·期末）已知函数
有三个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】问题化为
与
有三个交点，导数研究
的性质并确定极值，列不等
式求参数范围.
【详解】由题意，
与
有三个交点，
由
，在
上
，
在
上单调递增，
在
上
，
在
上单调递减，
当
趋向
时
趋向于0，
趋向
时
趋向于
，且
，
，
所以，
，即
.
故选：C
【变式4】（24-25 高二上·云南昆明·期末）已知函数
在
处有极值1．
(1)求函数
的单调区间
(2)若函数
恰有3 个零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
；
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，由题意列出方程组，求出
的值，再结合导数与单调性的关系，即可求
得答案.
（2）结合（1）求出函数的极大值极小值，结合零点与函数图象交点的关系，即可求得答案.
【详解】（1）由
，得
，
故
，解得
，
故
，
令
，得
或
；令
，得
，
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）
，
由（1）可得
的极大值为
，极小值为
，
当x 趋向于正无穷大和负无穷大时，
也分别趋向于正无穷大和负无穷大，
故函数
恰有3 个零点，即
的图象有3 个交点，
故
.
【变式5】（24-25 高二上·湖南·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.
(2)
【分析】（1）求该函数的定义域，求导，根据导数判断函数的单调性；
（2）分离参数，并构造函数
，利用导数得出
的大致图像，进而由
与
的图象有两个交点结合图像得出所求范围.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
令
，即
，解得
.
当
时，
，则
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，则
，函数
在
上单调递减；
综上，函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（2）由题意
在
上有两个不同的根.
可化为
，
令
，则问题转化为
与
的图象有两个交点.
,
令
，则
，
.
当
时，
，则
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，则
，函数
在
上单调递减；
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
，
当
时，
，则
，
当
时，
的增长速度远慢于
的增长速度，所以
.
因为
与
的图象有两个交点，所以
.
综上，
的取值范围为
.
题型11 极值点偏移问题
【典例11】（24-25 高三上·河北·阶段练习）已知函数
.
(1)若该函数在
单调递增，求
的取值范围.
(2)当
时，若方程
有两个实数根
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数与单调性的关系讨论求解；
（2）构造函数
，利用导数讨论其单调性，并结合
即可证明.
【详解】（1）由题意
，
当
时，
，
在
上单调递增，满足题意；
当
时，当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
又该函数在
单调递增，故
，
综上可知，
的取值范围为
（2）当
时，
，
由（1）可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，令
，
则
，
所以
在
上单调递减，
，即
，
令
，则
，故
，
又
在
上单调递增，
，所以
，
故
【变式1】（23-24 高二下·重庆·期末）已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若函数
恰有两个极值点
，且
的最大值为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
在
上恒成立，构造函数
，借助导数求出其在
上的最小值即可得；
（2）由题意结合导数可得
，
，即可得
，
，通过
作差消去变量
，得到
，从而可得
，再通过换元法令
，
得到函数
，利用导数计算其单调性即可得解.
【详解】（1）由题意可得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，故
，即
；
（2）
，令
，
由函数
有两个极值点
，
则
有两个变号零点
，
，
当
时，
，不符，故舍去；
当
时，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
又当
时，
，则
，
故此时
此时至多存在一个零点，不符，故舍去；
当
时，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
有
，则
，故
，
则有
，
，
则
，即
，同理
，
则
，故
，
即
，
由
的最大值为
，令
，则有
，
即
，令
，
，
则
，
令
，
，
则
恒成立，
故
在
上单调递增，则
，
则
，故
在
上单调递增，
则
.
【变式2】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
.
(1)若
有唯一极值，求
的取值范围；
(2)当
时，若
，
，求证：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数
的导数，分析极值点情况即可得解.
（2）由（1）的信息可设
，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，若
，
，函数
在
上单调递增，无极值点，不符合题意；
若
，当
或
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，函数
有两个极值点，不符合题意；
若
，当
或
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，函数
有两个极值点，不符合题意；
当
时，当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，2 是函数
的极大值点，且是唯一极值点，
所以
的取值范围是
.
（2）当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，
，不妨令
，
要证
，只证
，即证
，就证
，
令
，求导得
，于是函数
在
上单调递减，
，
而
，则
，即
，又
，
因此
，显然
，又函数
在
上单调递增，则有
，
所以
.
【变式3】（23-24 高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数
．若函数
有两个不相
等的零点
．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
．
【答案】(1)
；
(2)证明见详解.
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可；
（2）构造函数
，利用导数研究其单调性与最值即可证明.
【详解】（1）由题意可知：
，
若
，则
恒成立，即
单调递增，不存在两个不等零点，
故
，
显然当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以若要符合题意，需
，
此时有
，且
，
令
，
而
，
即
在
上递减，故
，
所以
，
又
，
故在区间
和
上函数
存在各一个零点，符合题意，
综上
；
（2）结合（1），不妨令
，
构造函数
，
则
，
即
单调递减，所以
，
即
，
因为
，所以
，
由（1）知
在
上单调递增，所以由
，
故
.
