第九章 解三角形 章末题型大总结
题型01 正弦定理解三角形
【典例1】（24-25 高一下·山西·阶段练习）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题锦囊
(1)正弦定理的表示
在△ABC 中，若角A,B,C 对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即
=
=
.
(2)正弦定理的常见变形
在△ABC 中，由正弦定理得
=
=
=k(k>0)，则a=k
，b=k
，c=k
，由此可
得正弦定理的下列变形：
①
=
，
=
，
=
，a
=b
，a
=c
，b
=c
；
②
=
=
=
=
=
=
；
③a:b:c=
:
:
；
【变式1】（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）在
中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式2】（多选）（2025 高三下·全国·专题练习）（多选）在
中，
，则角A
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
c cos B =(2a−b)cosC，则角C =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5 π
6
【变式4】（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若
a=2, A =30
∘，则
b+2c
sin B+2sinC = .
题型02 余弦定理解三角形
【典例2】（24-25 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，且
，则
.
【变式1】（24-25 高一下·天津·阶段练习）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
，则
.
【变式2】（23-24 高一下·贵州·期中）如图，在△ABC中，已知∠BAC =π
3 , AB = AD =2BD =2，则
sinC为（ ）
解题锦囊
(1)余弦定理及其推论的表示
a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.
(2)对余弦定理的理解
①余弦定理对任意的三角形都成立.
②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.
③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦
定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.
④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC.
A．
❑√15−❑√3
8
B．
❑√15+ ❑√3
8
C．3−❑√3
8
D．3+ ❑√3
8
【变式3】（23-24 高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，若(a
2+c
2−b
2)tan B =ac，则角B 的大小为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．5π
6
D．2π
3
【变式4】（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为
a,b,c ,a=2,b=3,B =π
3 ，则cos A = ．
题型03 解的个数判断
【典例3】（24-25 高一下·天津武清·阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则下
列对三角形解的个数的判断正确的是（ ）．
A．
，
，
，无解
B．
，
，
，有一解
C．
，
，
，有两解
D．
，
，
，有两解
【变式1】（24-25 高一下·浙江宁波·阶段练习）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
解题锦囊
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已
知
a,b 和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若
=
>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若
=
=1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若
=
<1，则满足条件的三角形的个数为1 或2.
显然由0<
=
<1 可得B 有两个值，一个大于
，一个小于
，考虑到“大边对大角”、
“三
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【变式2】（多选）（24-25 高一下·广东茂名·阶段练习）已知
的内角
的对边分别为
，则
下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
有一解
B．若
，则
无解
C．若
，则
有一解
D．若
，则
有两解
【变式3】（23-24 高一下·福建宁德·阶段练习）在△ABC中，B =π
4 ，a= x，b=1，若满足条件的△ABC
有2 个，则x的取值范围是（ ）
A．(0,1]∪{❑√2) B．(0,1)∪{❑√2)
C．(0,❑√2)
D．(1,❑√2)
【变式4】（24-25 高二下·江西宜春·阶段练习）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且
(2c−❑√3a)cosB = ❑√3bcos A.
(1)求角B的大小；
(2)已知c =b+1，且角A有两解，求b的范围.
题型04 判断三角形的形状
【典例4】（24-25 高一下·河北·阶段练习）在
中，内角
的对边分别为
，若
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形或等腰三角形
【变式1】（24-25 高一下·上海·期中）在
中，
，记
的面积为，若
，
判断
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
解题锦囊
判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意
挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【变式2】（24-25 高一下·江苏常州·期中）设
中的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【变式3】（多选）（24-25 高一下·江苏连云港·期中）在
中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
为直角三角形
B．若
，则
为等腰三角形
C．若
，则
D．若
是锐角三角形，则
【变式4】（多选）（24-25 高一下·江苏苏州·期中）在
中，（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为等腰三角形
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
是锐角，
，则
为锐角三角形
【变式5】（24-25 高一下·重庆江津·阶段练习）
的三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形
B．直角非等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
题型05 边角互化的应用
【典例5】（24-25 高一下·广西南宁·阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
，则
的值为 ．
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）已知
的三个内角
、
、
满足
，
则当
的值最大时，
的值为 ．
【变式2】（24-25 高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知△ABC 的三个角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
．
【变式3】（2025·河南·二模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
.
题型06 三角形面积公式
【典例6】（24-25 高一下·湖南永州·阶段练习）在
中，
，
，其面积为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·山东临沂·阶段练习）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
为锐角三角形，
，且
，求
面积的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（24-25 高一下·河南郑州·阶段练习）在
中，若
，
，
，
则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
，则
的面积
.
【变式4】（24-25 高一下·甘肃天水·阶段练习）在平行四边形
中，
，
与
交
于点
，
，则该平行四边形
的面积为 ．
题型07 测量问题
解题锦囊
(1)常用的三角形的面积计算公式
①
(
分别为边a,b,c 上的高).
②将
，
，
代入上式可得
=
ab
=
bc
=
ac
，即
三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.
(2)三角形的其他面积公式
①
=
r(a+b+c)=
rl，其中r,l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.
②
=
，
=
，
=
.
【典例7】（24-25 高一下·福建福州·阶段练习）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨
学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设
，
分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线
，使得
，
，
三点在同一直线上，在
，
两点用测角仪测得
的仰角分别是
和
，测角仪器
的高度是，
，由此可计算出建筑物的高度
.若
，
，则此建筑物的高度是
（答案用
，表示）
【变式1】（24-25 高一下·江苏南京·期中）如图，
，
，
为某山脚两侧共线的三点，在山顶
处测得
三点的俯角分别为
，
，
，现需要沿直线
开通穿山隧道
，已知
，
，
，则隧道
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·浙江衢州·期中）灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如
图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面
处测得塔在南偏东
的方向上，向正南方向行走
后到
达D 处，测得塔在南偏东
的方向上，
处测得塔尖
的仰角为
，则可得龙洲塔高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·浙江宁波·期中）如图，测量河对岸的塔高
，可以选取与塔底
在同一水平
面内的两个测量基点
与
，现测得
，
，
，在
点测得塔顶A 的仰角为
，则塔的总高度为 米．
【变式4】（24-25 高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站
在目标
的南偏西
方向，经过
处有
一条南偏东
走向的公路，在
处观测到与
相距31km 的
处有一人正沿此公路向
处行走，走20km
到达
处，此时测得
，
相距21km.
(1)求
；
(2)求
，
之间的距离.
【变式5】（24-25 高一下·广东东莞·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高
时，可以选取与塔底
在同
一水平面内的两个测量基点
与
.现测得
，
，
，并在点
处测得塔顶
的仰角
.
(1)求
与
两点间的距离；
(2)求塔高
.
题型08 三角形周长的计算
【典例8】（24-25 高一下·江苏苏州·期中）在
中，角
的对边分别为
.三个内角满足
.
(1)求角
的值；
(2)如果
，并且
，求
的周长.
【变式1】（2025·青海海南·模拟预测）已知
中，
所对的边分别为
，且满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为等腰三角形
B．
C．
的面积是
D．
的周长是
【变式2】（2025·陕西安康·二模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
．求
的周长．
【变式3】（24-25 高一下·重庆·阶段练习）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
的面积为
，
，求
的周长和外接圆的面积．
【变式4】（24-25 高三下·上海·阶段练习）在
中，角
的对边分别是
，
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积是
，求
的周长．
题型09 中线与角分线问题
【典例9】（23-24 高一下·四川成都·期中）已知
的内角
的对边为
，且
(1)求
;
(2)若
的面积为
①已知
为
的中点，且
，求
底边
上中线
的长;
②求内角
的角平分线
长的最大值.
【变式1】（多选）（23-24 高一下·湖北襄阳·期中）
中,
,点
在线段
上,下列
结论正确的是（）
A．若
是中线,则
B．若
是高,则
C．若
是角平分线,则
D．若
,则
是线段
的三等分点
【变式2】（23-24 高一下·安徽合肥·期中）在
中,内角
所对的边分别是
且
.
(1)求角
;
(2)若
,求边
上的角平分线
长;
(3)求边
上的中线
的取值范围．
【变式3】（23-24 高一下·广东广州·期中）在
中，内角
的对边分别是
，
，
．
(1)求角
；
(2)若
，求边
上的角平分线
长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围．
题型10 最值与范围问题
【典例10】（24-25 高一下·山东青岛·阶段练习）已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B 的大小；
(2)若
，
，求
外接圆的半径；
(3)若点M 在线段AC 上，
，
，求
的最小值．
【变式1】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，则（ ）
A．
B．
外接圆的面积为
解题锦囊
(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运
用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究
其最值（范围）．
(2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊
边
角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结
合三角函数、基本不等式等知识求其最值．
C．
面积的最大值为
D．
周长的最大值为
【变式2】（24-25 高一下·湖北孝感·期中）在
中，内角
所对的边分别为
，若D 是
边
上的一点，
且
,
则
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·云南昆明·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，若
．
(1)求
；
(2)若
，证明：
是直角三角形．
(3)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围．
【变式4】（24-25 高一下·河南南阳·期中）在
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，已知
是
锐角，向量
，
，且
．
(1)若
，求实数的值．
(2)已知
．
（i）求
面积的最大值；
（ii）在（i）的条件下，判断
的形状．
