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第8 章：向量的数量积与三角恒等变换
【题型一：平面向量数量积的计算】
例1．（23-24 高一下·河北沧州·月考）已知
，则
等于（ ）
A．10
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】由向量
，可得
，
所以
.故选：B.
变式1-1．（23-24 高一下·重庆渝中·月考）如图：在平行四边形
中，
为对角线
与
的交点，
为直线
与
的交点，
为直线
与
的交点，若
，
，且
，则
．
【答案】
【解析】在
中，由
，得
，即
，则
，
由
分别为
的中点，得
为
的重心，
则
，而
，
所以
.
变式1-2．（23-24 高一下·重庆万州·月考）下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对
：由
可得
，而
，故A 说法正确；
对B：取
，则
成立，但
不一定成立，故B 说法错误；
对C：
表示与
共线的向量，而
表示与
共线的向量，
所以
不一定成立，故C 说法错误；
对D：因为
，
故
，故D 说法正确.故选：AD.
变式1-3．（23-24 高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，
是等边三角形，边长为
是平面上任意一点．
则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】在边长为2 的在
中，取
的中点
，
连接
并取其中点
，连接
，则
，
于是
，
当且仅当点
与点
重合时取等号，
所以
的最小值为
.
变式1-4．（23-24 高一下·湖南·开学考试）（多选）如图，在
中，
为
线段
的中点，
为线段
的中点，
为线段
上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．若
为线段
的中点，则
B．
的最大值为
C．
的最小值为0 D．
的最小值为4
【答案】AB
【解析】对于A，因为
为线段
的中点，
为线段
的中点，所以
，
，
，两式相加化简得
，正确；
如图，以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意
，设
，设
，
由
知
，因为
，
所以
，解得
，所以
，
所以
，所以
，又
，所以
，
因为
，所以
，
所以
的最大值为
，
的最小值为
，故选项B 正确，C 错误；
因为
，
，
所以
，
因为
，所以当
时，
有最小值为
，故选项D 错误.故选：AB
【题型二：平面向量的投影问题】
例2．（23-24 高一下·广东深圳·月考）设
为单位向量，
，当
的夹角为
时，
在
上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由设
为单位向量，
，当
的夹角为
时，
所以
在
上的投影向量为
.故选：A．
变式2-1．（23-24 高一下·安徽芜湖·月考）已知向量
满足
，且
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且
，所以
，
即
，所以
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
.故选：A.
变式2-2．（23-24 高三下·上海闵行·月考）已知向量
，则
在
方向上的投影向量为
.
【答案】
【解析】
在
方向上的投影向量为
变式2-3．（23-24 高一下·山东烟台·月考）已知
，
，且
，则
在
上的投影向
量为
【答案】
【解析】设
，由
可知
①，
而
，所以
由
可得
②，
由①②可得
，解得
，则
，
所以
或者
，
又
，则向量
在
上的投影向量是
.
变式2-4．（23-24 高一下·山西临汾·月考）（多选）已知
，与
同向的单位向量为
，与
同向的单位向量为
，下列有关投影向量叙述正确的是（ ）
A．
在
方向上的投影向量为
B．
在
方向上的投影向量为
C．
在
方向上的投影向量为
D．
在
方向上的投影向量为
【答案】AC
【解析】
在
方向上的投影向量为
，故A 正确，B 错误
在
方向上的投影向量为
，故C 正确，D 错误.故选：AC
【题型三：平面向量的夹角问题】
例3．（23-24 高一下·江苏无锡·月考）已知
，向量
在
上的投影向量为
，则向量
与
的夹角为 ．
【答案】
【解析】向量
在
上的投影向量为
，则由题可知
，
又
，则
，
∵
．
变式3-1．（23-24 高三上·辽宁·期中）已知向量
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
．故选：A.
变式3-2．（23-24 高一下·重庆·月考）设
是两个单位向量，且
，那么它们的夹角等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
是两个单位向量，且
，
所以
，解得
，
由
，所以
.故选：C.
变式3-3．（22-23 高一下·山东临沂·月考）若两个非零向量
，
满足
，则向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
非零向量
与
满足
，
平方得
，即
，则
，
由
，平方得
，得
，即
，
则
，
，
设向量
与
夹角为
，
则向量
与
夹角的余弦值
，
，
，故选：
．
变式3-4．（22-23 高三上·江苏南通·月考）已知
且
与
的夹角为锐角，则
的取值
范围是 .
【答案】
【解析】因为
，
，所以
，
因为
与
的夹角为锐角，所以
，且
与
不同向共线，
所以
且
，
解得
且
，所以
的取值范围为
.
【题型四：平面向量的模长问题】
例4．（23-24 高一下·浙江·月考）已知向量
与
的夹角为
，
，
，则
．
【答案】
【解析】∵
，
∴
.
变式4-1．（23-24 高三·全国·练习）已知向量
满足，
，则
．
【答案】
【解析】由
，得
，有
，
则
．
变式4-2．（23-24 高一下·河北廊坊·月考）已知平面向量
的夹角为
，且
，在
中，
，D 为BC 的中点，则
等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【解析】因为
，
所以
；
因此
.故选：A
变式4-3．（23-24 高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知|
，
，若
，则
.
【答案】3
【解析】方法一：∵
，所以
是以
为直角顶点的直角三角形.
∴
.
方法二：
，
所以
，
所以
.
变式4-4．（22-23 高一下·重庆·月考）已知向量
满足
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】向量
满足
，
由
，得
，即
，
则
，
当且仅当
同向共线时等号成立，整理得
，解得
，
因此
，
所以
的取值范围是
.
【题型五：平面向量垂直问题】
例5．（23-24 高一下·云南红河·开学考试）（多选）已知向量
，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为
，
对于AB，
，则
，故A 正确，B 错误；
对于C，
，
，
则
，则
，故C 正确；
对于D，
，显然
，
则
，故
不成立，故D 错误.故选：AC.
变式5-1．（23-24 高一下·浙江·月考）已知向量
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】A
【解析】根据题意，
，
又
，所以
，
即
，解得
.故选：A
变式5-2．（23-24 高三上·浙江金华·期末）（多选）设平面向量
，
，（
）
A．若
，则
B．若
，则
C．
，
D．
，使
【答案】ABC
【解析】A：当
时，
，故A 正确；
B：若
，
，
，
所以
，所以
，故B 正确；
C：
，故C 正确；
D：若
，则
，等式不成立，故D 错误.故选：ABC
变式5-3．（22-23 高一下·河南洛阳·月考）已知向量
．
（1）求证：
；
（2）若存在不为0 的实数
和，使
，满足
，试求此时
的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】（1）
．
，故
.
（2）显然
，
，
故可得
，
即
，
，
，
所以当
时，
取得最小值
．
【题型六：两角和与差的三角公式】
例6．（23-24 高一下·江苏连云港·月考）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,故选：B
变式6-1．（22-23 高一上·广东云浮·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D.
变式6-2．（23-24 高一下·江苏常州·月考）
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
所以
.故选：B
变式6-3．（23-24 高一下·上海闵行·月考）若
，则
.
【答案】
【解析】
.
变式6-4．（22-23 高一下·江苏徐州·月考）已知
，则
的值为
．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
即
，
两式相加得
，
所以
.
【题型七：倍角公式与半角公式】
例7．（23-24 高一下·云南昆明·月考）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
．
故选：A．
变式7-1．（23-24 高一下·山东济宁·月考）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，
因
，故
，故
.故选：B
变式7-2．（23-24 高一下·安徽安庆·开学考试）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，解得
或
，
又
，
当
时
；
当
时
；
综上可得
.故选：D
变式7-3．（22-23 高一下·山东聊城·月考）已知
，则
．
【答案】
【解析】依题意，
．
变式7-4．（2024·湖南邵阳·二模）已知
为锐角，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知
为锐角，若
，则
，
所以
.故选：A.
【题型八：和差化积与积化和差】
例8．（23-24 高三上·江西萍乡·期中）求值：
.
【答案】
【解析】
，
，
代入原式得
.
变式8-1．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知角
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】由
得
，
进而
，
则
所以
，
则
.故选：A.
变式8-2．（22-23 高二上·贵州·开学考试）设
，
，则
．
【答案】
【解析】
，
．
变式8-3．（22-23 高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知
．
（1）利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）
；（2）
或3
【解析】（1）
，
可得
；
（2）因为
，
所以
，
则
，解得
或3．
变式8-4．（2023 高二·安徽·竞赛）
．
【答案】1
【解析】方法一：
，
，同理得
，
，
令
，以上三式相乘有：
．
方法二：令
．
令
，
，
，
令
，
．
【题型九：三角恒等变换给角求值问题】
例9．（23-24 高一下·江苏扬州·月考）
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，故选：D.
变式9-1．（22-23 高二上·贵州六盘水·月考）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原式
.故选：A
变式9-2．（22-23 高一下·山西朔州·月考）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】原式
.故选：D.
变式9-3．（22-23 高一下·云南楚雄·期末）若
，则
.
【答案】
【解析】
【题型十：三角恒等变换给值求值问题】
例10．（23-24 高一下·全国·单元测试）已知
是第一象限角，且
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是第一象限角，所以
，所以
，
所以
.故选：B.
变式10-1．（23-24 高一上·山西吕梁·期末）已知
，
，则
.
【答案】
【解析】
.
变式10-2．（22-23 高一下·江苏南京·期中）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
所以
.故选：C
变式10-3．（22-23 高一下·湖北宜昌·期中）已知
为锐角，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
．
（2）因为
，
所以
，
所以
．
变式10-4．（22-23 高一下·江苏镇江·期中）已知
都是锐角，
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
与
都是锐角，所以
，
，
又
，所以
，
，
所以
，
，
所以
；
（2）因为
，
，
，
所以
，解得：
(负值舍去).
【题型十一：三角恒等变换给值求角问题】
例11．（23-24 高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】角
，由
得
，
则
，又因为
在
上单调递增，则
，
而
，
同理有
，
所以
，
且
，得
.故选：A.
变式11-1．（2023·江苏无锡·三模）已知
，
，若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
又因为
，
，
所以
，
所以
因为
，所以
，所以
，
所以当
为奇数时，
，
，
当
为偶数时，
，
，
因为
，所以
，
因为
，所以
.故选：C.
变式11-2．（22-23 高三上·宁夏银川·月考）已知
，
，
，
，
则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，故
，故
；
，
，
，
，
故
，
；
，
，故
.故选：C
变式11-3．（23-24 高三下·山东泰安·月考）设
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
且
，所以
，则
故选：A．
变式11-4．（22-23 高一下·吉林长春·开学考试）已知
，
.
（1）求
的值；
（2）若
，且
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，解得
，
所以
.
（2）因为
，则
，
则
，可得
，
所以
则
，
又因为
，则
，所以
.
【题型十二：三角恒等变换化简证明】
例12．（2024 高一上·全国·专题练习）已知
，化简
．
【答案】0
【解析】由
，得
，
，
所以
．
变式12-1．（22-23 高一下·甘肃兰州·期末）化简：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意，由两角和的正弦公式逆用可得
.
（2）由题意，由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系可得
.
变式12-2．（22-23 高一下·四川眉山·期中）化简求值：
（1）
；
（2）化简证明：
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】（1）因为
，
所以
，
所以
.
（2）证明：因为
，
所以
变式12-3．（23-24 高一下·全国·课时练习）化简：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）
.
（2）
.
变式12-4．（22-23 高一下·上海奉贤·月考）（1）证明恒等式：
（2）化简：
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】（1）
得证.
（2）
【题型十三：三角形中的三角恒等变换】
例13．（22-23 高一下·甘肃兰州·期中）在
中，若
，则此三角形为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，
，又
所以
，即
.故选：A.
变式13-1．（22-23 高一下·江西吉安·期末）在△ABC 中，若
，则△ABC 是（
）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
因为
，则
又
，所以
,
所以
所以
.
又
为△ABC 的内角，所以
.
所以
，故△ABC 为等腰三角形.故选：C.
变式13-2．（22-23 高一下·河南郑州·期中）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
．则△ABC 的形状为( )
A．正三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
【答案】C
【解析】由
知，
，
∴
＝
，
，
，
，∴
，
∵在△ABC 中，
，∴
，
∵
，∴
，即△ABC 为直角三角形．故选：C．
变式13-3．（2023 高一·全国·专题练习）在
中，若
，则此三角形为（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由三角恒等变换得
，又
，则
，
即
，
所以
，
，
所以
，则
为等腰三角形.故选：B
【题型十四：三角恒等变换的实际应用】
例14．（22-23 高三上·湖北襄阳·期中）某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开
展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1 所示，从其轴截面中抽象出来
的平面图形如图2 所示，若圆O 的半径为10cm，
，
，
甲在奖
杯的设计与制作的过程中发现，当OB 越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，
（ ）
A．10cm
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】过O 点作
，分别交BC，AD 于E，F 两点，如图所示
设
，则
，
，
由
，
，得
，
则
，
，
，
当
，即
时，OB 取得最大值，
此时
故选：B.
变式14-1．（22-23 高一上·河北唐山·期末）如图，长方形ABCD，
，
，
的直角
顶点P 为AD 中点，点M、N 分别在边AB，CD 上，令
．
（1）当
时，求梯形BCNM 的面积S；
（2）求
的周长l 的最小值，并求此时角
的值．
【答案】（1）
；（2）当
时，
.
【解析】（1）
，
，
（2）由（1）可知，
，
，
令
，则
，即
当
，即
时，
.
变式14-2．（22-23 高一下·山东济宁·月考）在校园美化、改造活动中，要在半径为
、圆心角为
的
扇形空地
的内部修建一矩形观赛场地
，如图所示．取
的中点M，记
．
（1）写出矩形
的面积S 与角
的函数关系式；
（2）求当角
为何值时，矩形
的面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1）
，
（2）当
时，矩形
的面积最大，最大值为
【解析】（1）由题可知，
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
．
（2）
，
，
当
，即
时，
，
故当
时，矩形
的面积最大，最大值为
．
变式14-3．（22-23 高一上·广东东莞·期末）如图，已知一块足球场地的球门
宽米，底线
上有一
点
，且
长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路
向底线
直线运球，假设球员射门时足球运
动线路均为直线．
（1）当球员运动到距离点
为
米的点
时，求该球员射门角度
的正切值；
（2）若该球员将球直接带到点
，然后选择沿其左后
方向（即
）的线路
将球回传给点
处的队友．已知
长
米，若该队友沿着线路
向点
直线运球，并计划在线路
上选择某个位
置
进行射门，求
的长度多大时，射门角度
最大．
【答案】（1）
；（2）
米
【解析】（1）由题知
，
，
，则
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
．
（2）如图，作
，垂足为
，
设
，则
，
，
因为
，所以
，
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
，
当且仅当
即
时，
最大，
所以当
米时，射门角度
最大．
