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第一章 几何与常用逻辑用语、不等式~第三章一元函数的导数
及其应用（综合训练）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求解集合 ，再由集合的并集求解即可.
【详解】因为 ， 或 ，所以 或 .
2． “ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可.
【详解】解不等式 ，得 ；解不等式 ，得 ，
而集合 真包含于集合 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
3．（2026·宁夏·一模）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可．
【详解】由不等式 ，即 ，
则 ，解得 ，即 ，
所以不等式 的解集为 ．
4．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】 .
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义判断出函数 为偶函数，排除B选项，再通过对 变形设 ，求导得出
单调性，进而分析 时 的情况，排除C，D选项.
【详解】∵ ，且定义域为 ，
∴ 为偶函数，故排除B选项，又因为 ，
，则 恒成立，
∴ 在 上单调递增，当 时， ，
∴当 时， ，且 单调递增，故排除选项C、D.6．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的最小值
是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性定义可得函数 为奇函数，结合其单调性可得 ，再利用基本不等式计
算即可得解.
【详解】由 恒成立，故 定义域为 ，
，
由 在 上单调递增，
且 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
有 ，
则 ，
故函数 为奇函数，则 在 上单调递减，
则由 可得 ，
即 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为 .
【创新题】7．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算 ，则函数 的值域
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时， ， ，
因为 在 上是单调递增函数，所以 ，即 ；
当 时， ， ，因为 在 上是单调递减函数，所以 ，即 ；
综上可知， 的值域为 .故选项C正确.
8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 且 ，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 图像如图．
设 则 ．
所以 ， ， ，
设 ，则 ．所以 在 上单调递增． ， ．
所以 时， ．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【新设问】9．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合 ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B． ，
C．当且仅当 时， D． ，使得
【答案】AB
【分析】求直线交点坐标判断A；利用直线方程分析判断B；利用空集的定义，结合直线平行求解判断
C；利用两条直线重合分析求解D.
【详解】对于A，当 时，则 ， ，由 ，解得 ，因此 ，A正确；
对于B，直线 过定点 ，
表示直线 上所有的点，因此 ，B正确；
对于C， ，若 ，则 ；若 ，则直线
与直线 平行，且 ，于是 ，解得 ，
因此当 或 时， ，C错误；
对于D，若 ，由选项C知 ，且 ，无解，D错误.
10．（2026·重庆·三模）已知 均为正实数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式,对数的运算性质以及和角的正切公式,结合正切函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于A,因 ， ，即 ,当且仅当 时等号成立,
则 ,故A错误；
对于B, ，当且仅当 时等号成立，故B正确；
对于C,由A项得 ,则 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
对于D,由 ，得 ，即 ，
当 时，可得 ，即 ，
整理得 ，故D错误．
11．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数 ， .则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 在 处取得最小值
C．方程 有且仅有一个实根D．对任意 ，都有
【答案】ABC【详解】函数 ，则 . 由于 ，所以
.
因此 . 故 是偶函数，A正确；
求导得 .当 时， ；当 时， . 所以 在 处取得
最小值，B正确；
方程 . 令 ，则 ，所以 ，即 .
由于 ，唯一解为 . 因此对应唯一实根 ，C正确；
当 时， ，而 . 因此当 足够大时， ，D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
【新设问】12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合 ，集合 ，则函数
共有____个；若函数 满足： ，使得 ，则符合该条件的函数
共有____个.
【答案】 1024 570
【分析】空一：函数 ，每个自变量有4种取值，由乘法原理得总数；
空二：差值 在值域中唯一对应 ，故值域必须同时含有 和 ，用容斥原理得满足条件
的个数.
【详解】空一：函数 ，集合 有5个元素，集合 有4个元素，
则每个自变量 都有4种取值可能，因此总个数为
空二：条件 ，使得 .
由于 ，差为3的唯一可能是 ，
因此必须有某个自变量取值为9，另一个自变量取值为6，即函数值域中必须同时包含6和9.
计算满足“值域同时包含6和9”的函数个数，函数总个数为 ，用容斥原理：
函数值域中不含6：每个自变量只能取 ，共 个；
函数值域中不含9：每个自变量只能取 ，共 个；函数值域中既不含6也不含9：只能取 ，共 个.
由容斥原理，函数值域中同时含有6和9的函数个数为
.
因此符合该条件的函数 共有 个.
13．（2026·山东聊城·二模）已知函数 ，若 为偶函数，则 在 处的切线方程
为_________.
【答案】
【分析】根据偶函数的定义求得 ，再根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由题得 ，解得 ，
可得 的定义域为 .
又因为 为偶函数，其定义域关于原点对称，
所以 ，则 ，
此时 ，满足 为偶函数.
当 时， ，则 ，
所以 ，
则 在 处的切线方程为 .
14．（2026·重庆·模拟预测）已知 ， 且 ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则 的最小值为_______.
【答案】4
【分析】由题设可得 ，随后讨论 的取值可得 ， ，最后由基本不等式可得
答案.
【详解】由 得 ，
故当 时， ，
当 时， ，故 ，
故当 时， ，
即 ，故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为4.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）
已知 ， ．
(1)比较 与 的大小；
(2)若 ，求 的最小值；
(3)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)49
(3)
【分析】（1）利用作差比较法求解判断；
（2）由基本不等式结合一元二次不等式运算求解；
（3）先证明函数 ， 的单调性，利用单调性求解 的范围.
【详解】（1） ，
，
.（3分）
（2） ，
由 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为49.（8分）
（3）设函数 ， ，
任取 ，且 ，
则 ，
，且 ，
， ，
，即 ，
所以函数 是 上的增函数.，
由 ， ，
.
所以 的取值范围为 .（13分）
16．（15分）
（2026·广西·模拟预测）已知 ， ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 满足在 上存在极大值，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果；
（2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，
分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可.
【详解】（1）若 ，则 ，
所以 ，
要求 ，
只需求 ，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，
故不等式 的解集为 .（6分）
（2）由 ，
则 ，
记 ，令 ，则得两根为 ，
若 满足在 上存在极大值，
则 在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等，（8分）
若 ，即 ， 只有零点 ，
所以 时， ，
当 时， ，
此时函数 只有极小值，无极大值，舍去.（10分）
若 ，即 ，
则 ，
此时函数 单调递增，无极值，舍去.
若 ，即 ，
则当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
此时， 是极大值点，满足题意.
若 ，即 ，
则当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
此时 是极大值点，满足题意.
综上， 的取值范围为 .（15分）17．（15分）
（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 .
(1)设 ，求 的单调区间；
(2)设 是 的极小值点，求证： .
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2) 略
【分析】（1）求出 ，利用导数研究函数单调性的即可；
（2）由题可得 ，由（1）结合零点存在定理可得 ，令 ，结合二
次函数的单调性即可证明结论.
【详解】（1）由题可得 ，
所以 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（6分）
（2）因为 是 的极小值点，
则 ，
即 ，即 ，
所以 （8分）
由于 ， ，由于 在 上单调递增，
所以 ，
令 ，所以 在 上单调递减，
则 ，
即 （15分）
18．（17分）
（2026·山东聊城·二模）已知函数 .(1)当 时，求 的最小值；
(2)若当 时， 恒成立，求 的取值范围；
(3)若关于 的方程 有两个不等实根 ，证明： .
【答案】(1)
(2)
(3)略
【分析】(1)代入 后通过单调性求解.
(2)通过单调性一步步对 范围进行排除，最后确定 的范围.
(3)通过实根的性质构造新的关于 的函数求证.
【详解】（1）当 时， ，
.
令 ，得 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
故 在 处取得最小值，
.（4分）
（2）当 时， 恒成立，
即 ，
即 .
令 ，即求 在 时恒成立，
.（6分）
①当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，
则当 时， 恒成立；（8分）
②当 时， 在 上单调递减，且 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
则 成立，与题干矛盾，舍掉；（10分）
③当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
则 恒成立，与题干矛盾，舍掉.
综上所述， 满足要求.（12分）
（3）将 代入，原方程化为 ，
即 ，
则有 ，
两式相减，得 ，
即 ，
故原不等式变形为 .
不妨令 ，不等式两端同时除以 ，则不等式可变形为 .
令 ，则不等式可继续变形为 ，
即证 在 时恒成立，
故令 ，
则 恒成立，
故 在 时单调递增，则 恒成立，
故命题得证.（17分）
【创新题】19．（17分）
（2026·福建福州·三模）设 为不小于3的正整数，记有限集 ，若存在U的两个非空真子
集A，B，满足：① ；② ；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B
为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集
不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为 ．
(1)当 时，从集合 的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率；
(2)设 ，记 ，求证： ；
(3)设 ，从集合 的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)略
(3)略
【分析】（1）计算 的总元素和，确定平衡子集的元素和为14；统计 中所有和等于14的
非空真子集的数量，确定平衡互补子集的对数，以及平衡子集的总个数；计算 的非空真子集总数，结合
古典概型概率公式求解概率；
（2）当 时， 的总元素和为 ；通过分类讨论 ， 和 平衡互补子集的总
对数，得到 ，通过不等式的缩放证得 ；
（3）根据题意求出单次抽取到平衡子集的概率 ，再
利用对立事件概率公式得到 ；构造函数 ，通过函数的单调性证明
.
【详解】（1）当 时，则集合 ，其非空真子集个数为 个；
，要使 ， 为平衡互补子集，则 ， 中元素和都为14.
由 ，得平衡互补子集有 与 ， 与 ， 与 ，
与 ，共4对，即平衡子集有8个.
子集是平衡子集概率为 .（6分）
（2）当 时，集合 ，其元素和为 ，为偶数，故存在平
衡子集.
当 时， ，集合 ，其平衡子集为 与 ，故 ；
当 时，平衡互补子集总对数为 ，集合 ；
当 时，集合 可看作在集合 的基础上，新
增加了4个元素： ， ， ， ；
对于 中的每一对平衡互补子集 与 ，可构造 中的4对平衡互补子集：
① 与 ；② 与 ；
③不妨设 ， 剔除元素1得到 ，则 与 ；
④不妨设 ， 剔除元素2得到 ，则 与 ；
由于以上四对平衡互补子集互不重复，且均为 中的平衡互补子集，
因此可得： ，即 ，
，即不等式成立.（12分）
（3） 时，集合U的非空真子集总数为 .
平衡子集个数为 （每对平衡互补子集对应2个平衡子集），
因此单次抽取到平衡子集的概率 ，
由（2）可知 ，代入可得 ，
令 ， ， ，则 ；
在 严格递减，则 ；
.
；
.（17分）
