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2026 高考数学·百分卷（六）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】A
【解析】已知 ，则 是 的公共元素，且 中元素不能重复.
因为 ， ，因此 或 ，解得 或 .
验证：若 ， ，集合 出现重复元素，舍去；
若 ， ， ，此时 ，符合条件.
2.若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ．
3．若函数 的零点为1，2，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 的零点为1，2，所以 ， .
所以不等式 可化为 .所以所求不等式的解集为 .所以选项D正确.
4.等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则此数列的公比为（ ）
A． B．2 C．1 D．1或
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 .
代入已知条件 ， ，得 ，整理得 ，即 ，解得 或
，此数列的公比为 或 .
5.一个圆台的母线长为 ，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取上下底面的圆心，则 即为圆台的高 ，如图所示，在 中 ，
根据勾股定理可得 .所以圆台的体积为
.
6．设双曲线 的焦距为 ，若 成等差数列，则该双曲线的渐近线方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 成等差数列，所以 ，又 ，所以 ，即
，所以 .该双曲线的渐近线方程为 .
7．我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量
，接收端参考信号抽象为向量 ，定义信号匹配度函数 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得 ，
令 ， ，得 ， ， ，
令 ，得 ，令 ，得 或 ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ， ，
所以 的最大值为 ，即 的最大值为 ．
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入
（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 ，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入 服从正
态分布 ，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布 ， ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】依题可知， ，所以 ，
故 ，C正确，D错误；
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
而 ，B正确，A错误，
故选：BC．
9. 已知 是定义在 上的函数，且 ， ，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. 的图象关于直线 对称 D. 是 的周期
【答案】ACD
【解析】在 中,令 ，可得 ，所以 ，故A正确；
由 ，可得 的图象关于直线 对称，故C正确；
在 中，令 ，可得 ，又由选项A知 ，故 ，
若 是定义在 上的奇函数，则 与 矛盾，故 不是奇函数，故B错误；
由 ，可得 的图象关于点 对称，又因为 的图象关于直线 对称，故 ，故D正确．
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．若直线 是曲线 的一条切线，则 ________．
【答案】
【解析】设切点为 ，由于 ，则 ，解得 ，
于是切点为 ，则 ，解得 ．
11．如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大
球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为________．
【答案】
【解析】作几何体的轴截面图如图， 分别是大球和小球的球心，
是圆台的轴截面等腰梯形 两腰 和 的延长线的交点.
分别是球 和球 与圆台侧面的切点， 分别是与圆台上下底面的切点．
则 ，且 ， ， ．
过 点作 交 于 ，显然 ，可知四边形 为矩形，
且 ，
在直角三角形 中， ，且 为锐角，则 ，
由 可得 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，得 ，所以 ．
在直角三角形 中， ．
在直角三角形 中， , ．
即圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ．
可得圆台的体积 ，
所以水的体积为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知函数 在 处取得极值 .
（1）求 ， ；
（2）证明： 时， .
【解析】（1） ，故 且 ，
解得 ，故 ， ，
令 得 ，令 得 ，所以 在 处取得极值 ，满足要求；
（2） 时， ，令 ， ，
则 ，故 在 上单调递减，则 ，所以 ， ，证毕.
13．已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 ，且 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由 ，化简得 ，
令 ，∵ ，则 ，
因为 ， 的单调递减区间是 ，
由 ，解得 ，∴函数 单调递增区间为 ；
（2）∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，即 ，
由已知条件 可知 ，则角C为钝角， 是钝角三角形，
∴ ，
则 ，
∴ ，∴ ，∴ 的取值范围为 ．
14. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有 个，其中不合格的零件
占总数的 ，从中随机抽取 个零件，设抽到的不合格的零件数为 .
（1）求 的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的 ，所以 ，故
.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，
请写出正确的解答过程；
（2）若抽到的 个零件中至少有 个为不合格零件，求恰好有 个为不合格零件的概率；
（3）对抽取的 个零件进行检测，每个零件的检测费用为 元，每发现 个不合格品，需额外支出
元的处理费用.设本次检测的总费用为 元，求随机变量 的分布列与数学期望.
【解析】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下：
根据题意，这 个零件中是有 个不合格零件， 个合格零件，
则从这 个零件中抽到 个不合格零件， 个合格零件的组合数是 种，
因此 .
（2）设事件 为“抽到的 个零件中至少有 个为不合格零件”，事件 为“抽到的 个零件中恰好有 个
为不合格零件”，
由于事件 是事件 的子事件，所以 ，
而 ， ，根据条件概率公式 ，即恰好有 个为不合格零件的概率为 .
（3）由于随机变量 表示抽到的不合格的零件数，可能取值为 ，而对于每个 的值，总费用
，
因此随机变量 的可能取值为 ， ， ，
由于 ， ，
，
因此 ， ， ，
所以随机变量 的分布列为：
数学期望为 ，即随机变量 的数学期望为 .
