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专题08 计数原理与概率统计
8 大考点概览
考点01 统计
考点02 概率
考点03 排列组合
考点04 二项式定理
考点05 随机变量及其分布
考点06 正态分布
考点07 独立性检验
考点08 概率与其他知识交汇问题
1．（2026·三省三校·一模）样本数据
，，
，
，
的第
百分位数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·辽宁沈阳·一模）样本数据
的第70 百分位数次为（ ）
A．7
B．9
C．9.5
D．10
3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，
174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的
分位数为（ ）
A．177.5
B．178
C．178.5
D．179
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前
个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生
产的零件以
个为一箱，成箱出售（
）.每箱中的零件按照生产顺序，从1 到
连续编号.现从一箱中
随机抽取6 个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4 个选项中，作
为
的估计值，最合适的一项是（ ）
A．61
B．70
C．98
D．120
5．（2026·吉林白城·一模）（多选）有一组样本数据
，其平均数为4，方差为
，中位数为
m．在这组数中，去掉一个最大的数6 和一个最小的数2，余下6 个数据的中位数为n，方差为
，极差为
t，则（ ）
考点1
统计
A．
B．
C．
D．
6．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直
方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ）
A．76
B．77
C．78
D．79
7．（2026·辽宁辽阳·一模）（多选）某市10 公里慢跑自2020 年首次推出5 条路线实现“五龙汇聚”，参
与人数逐年增加.下图分别为该市2020 年10 公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025 年10 公里慢跑
参与人数的扇形统计图（图2），已知2025 年一号线的参与人数是2020 年一号线参与人数的1.5 倍，则（
）
A．2025 年该市10 公里慢跑总的参与人数是6 万
B．2025 年五号线的参与人数超过了2020 年二号线与三号线的参与人数总和
C．2020 年，五条路线对应的参与人数的极差是11 千
D．2025 年与2020 年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线
1．（2026·黑龙江研远联合·一模）从1，2，3，4 这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5 的概
率是（ ）
考点2
概率
A．
B．
C．
D．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以
“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落
地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，
能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，
能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A．0.9
B．0.91
C．0.92
D．0.93
3．（2026·辽宁沈阳·一模）（多选）已知事件
，
满足
，
，则下列结论正确的是
( ).
A．若
，则
B．若
与
互斥，则
C．若
，则
与
相互独立
D．若
与
相互独立，则
4．（2026·辽宁大连·一模）从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中
的值；
(2)估计月用电量样本数据的中位数；
(3)在该小区所有居民用户中随机抽取一用户
，已知
的月用电量落在区间
中，估计
的月
用电量恰好落在区间
中的概率.
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中
由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7 这七个数字分别填入这七个圆中，
且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、
体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1 名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配
方法种数为（ ）
A．81
B．72
C．36
D．12
考点3
排列组合
3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､
小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前
两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120
B．60
C．24
D．36
1．（2026·吉林白城联合体·一模）二项式
的展开式中常数项为_____.
2．（2026·辽宁沈阳·一模）已知
，二项式
的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的
常数项为__________.
3．（2026·三省三校·一模）（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2026·黑龙江·一模）（多选）
对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近1nm 工艺之后
面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品
检测，假设试产期共有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
生产线
次品率
产量（件／天）
甲
200
乙
500
丙
300
试产期检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由
考点4
二项式定理
考点5
随机变量及其分布列
计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4 次，把4 次的数字相加，若和小于3，则该天检测方式
和前一天相同，否则选择另一种检测方式．则下列选项中正确的是（ ）
A．若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为
B．若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自乙生产线的概率为
C．若计算机4 次生成的数字之和为
，则
D．设
表示事件第
天该企业产品检测选择的是智能检测，则
2．（2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm 的正方形
中，一点从
处出发沿着边移动.掷一枚骰子，
若向上的点数等于6，则该点沿平行于
的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该
点沿平行于
的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷
次骰子后，该点回到
，
，
处的概率
分别为
，
，
.
(1)求
.
(2)设掷4 次骰子，该点经过
处的次数为
，求
的分布列.
(3)若随机变量
服从两点分布，且
，
，则
，记掷
前
次骰子（即从第1 次到第
次掷骰子）的过程中，该点经过
处的次数为
，求
.
3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1 个红球和3 个白球，乙袋内有2
个红球和2 个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1 个球）：先随机选择一个袋子摸球．
若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3 次．当第1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数
的分布列及期望
；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2 次红球则停止摸球．求3 次之内（含3 次）停止摸球的概率．
4．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）
已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元.某地区随机调查了经常使用某
AI 工具的360 名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
人数
30
150
90
60
30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI 工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记
抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设
，求
的分布列；
(3)已知该
工具对某20 个问题能准确答对其中的（
，且
）个．若从这20 个问题中随机抽
取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率最大，求此时的取值．
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量
，
，则
______.
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分
层抽样的方式得到200 名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1 所示.若
认为成绩不低于120 分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2 所示，已知样本中高三年
级有15 位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占
.
(1)求a 的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方
列联表，依据小概率值
的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是
否有关.
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
附：
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
考点6
正态分布
考点7
独立性检验
2．（2026·三省三校·一模）截至2025 年底，我国新能源汽车保有量达到4397 万辆，占汽车总产量的
12%．某城市研究小组调查了300 名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成
如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的
，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120 人．
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
女性驾驶员
合计
300
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值
的独立性检验，分析对燃油汽车和新
能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.
(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8 人做进一步访谈，然后从这8
人中随机抽取3 人填写调查问卷，记抽取的3 人中偏好新能源汽车的人数为X，求X 的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
，
．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
3．（2026·吉林白城联合体·一模）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者
中随机抽取2000 名得到如下列联表：
效果明显
效果不明显
合计
甲方案
1000
200
1200
乙方案
600
200
800
合计
1600
400
2000
(1)根据小概率值
的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8 人，再从这8 名患者中随机
抽取4 人，设
表示4 名患者中效果不明显的人数，求
的分布列和数学期望．
附：
．
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
1．（2026·三省三校·一模）有
个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1 个盒子中有2 个白球1 个黑球，
其余盒子中均为1 个白球1 个黑球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，再从第2 个盒子中任取
一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到白球的概率是______，从第
个盒子中取到白球
的概率是______．
考点8
概率与其他知识交汇问题
2．（2026·辽宁大连·一模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为
），当向上
的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50 次，向上的结果没有出现“正面-反
面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为
，若
（
为正整数），则
的最小值为__________.
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，一动点
从点
出发，在正方形ABCD 的各顶点上移动.每次移动时，
动点
有
的概率沿水平方向向左或右移动一次，有
的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独
立.设动点
移动了
（
）步之后，停在点
的概率为
.
(1)求
，
；
(2)求
的通项公式；
(3)记点
的前
次移动中，到达过点
的次数为
，求证：
.
参考公式：若随机变量
服从两点分布且
，
，
，则
4．（2026·辽宁沈阳·一模）已知随机变量
的取值为非负整数，其分布列为：
0
1
2
其中
，且
.由
生成的函数为
.
(1)若
生成的函数为
，设事件
：当
为奇数时，求
的值；
(2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1 个红球，在盒二中有2 个蓝球和4 个绿球（球的颜色不同，
其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为
，设随机变量
生成的
函数为
，其中
分别对应取到红球蓝球绿球的概率
､
､
.
请判断
与
的大小关系；
(3)从方程
的自然数中等可能地随机选取一组解，用
表示一组解中最小的数，此时由
生成
的函数记为
，令
，求
的极小值点.
