文档文本内容
专题08 计数原理与概率统计
9 大考点概览
考点01 排列与组合
考点02 二项式定理
考点03 统计
考点04 线性回归方程与独立性检验
考点05 古典型概率与条件概率
考点06 二项分布与超几何的均值与方差
考点07 离散型随机变量的均值与方差
考点08 正态分布
考点09 概率统计综合题型
一、单选题
1．（2026·湖南邵阳·一模）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4 名青年志愿者到3 个社区
参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则
不同的分配方案共有（ ）
A．24 种
B．36 种
C．64 种
D．72 种
二、填空题
2．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从
张不同地图中选择3 张，按顺序用于场比赛，且每张地图最
多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种．
3．（2026·湖南湘潭·一模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入一个
的方格中，每个格子填1 个
数字，且不重复，要求第一行数字满足
，第三行数字满足
，第三列数字满足
，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）
4．（2026·湖南永州·一模）现有4 名男生和2 名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因
考点1
排列与组合
不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法．
一、多选题
1．（2025·湖南永州·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）
的展开式中
的系数为___________.
3．（2026·湖南常德·一模）
的展开式中含
的项的系数是80，则实数
的值为________.
4．（2026·湖南岳阳·一模）
的展开式中
的系数为__________.
5．（2026·湖南邵阳·一模）已知多项式
，若
，则
___________．
6．（2026·湖南株洲·一模）
展开式中，含
项的系数为___________
考点2
二项式定理
一、单选题
1．（2026·湖南湘潭·一模）现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第
百分位数与中
位数分别是（ ）
A．4，6
B．5，4
C．6，4
D．6，5
2．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模
型对某节点连续8 个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的
折线图（两条折线）：
观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（ ）
A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5 小时左右）达到峰值
B．这8 小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10 元/MWh 左右
C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6 小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变
化）
D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值
二、多选题
3．（2026·湖南邵阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据2，3，4，5，6，7，8，9 的第25 百分位数为3
B．若随机变量
，
，则
C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10 名男生的数学成绩，其平均数为105，
方差为24，随机抽取5 名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15 名学生的数学成绩的
方差为25
D．一箱12 罐的饮料中4 罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2 罐，则这2 罐中有奖券的
考点3
统计
概率为
4．（2026·湖南永州·一模）已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：
），
则（ ）
A．这组数据的极差为7
B．这组数据的第40 百分位数为8.5
C．这组数据的众数为11
D．这组数据的方差为
5．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23 的第70 百分位数为23
B．若一组样本数据
的方差
，则这组样本数据
的总和为60
C．若随机变量
服从二项分布
，则
D．若随机变量
服从正态分布
，且
，则
6．（2026·湖南怀化·一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据
的众数是2
B．数据
的第25 百分位数是1
C．若随机变量
，则
D．根据分类变量
与
的成对样本数据，计算得到
.依据
的独立性检验
，可判断变量
与
不独立
7．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检验，得到
相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，则
三、解答题
8．（2026·湖南株洲·一模）从某社区1 万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时长数
据，整理得到如下频率分布直方图．
(1)求
的值；
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时长；
(3)若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4 人，用
表示每日运动时长在50 分钟
以上的居民人数，求随机变量
的数学期望
．
一、多选题
1．（2026·湖南怀化·一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据
的众数是2
B．数据
的第25 百分位数是1
考点4
线性回归方程与独立性检验
C．若随机变量
，则
D．根据分类变量
与
的成对样本数据，计算得到
.依据
的独立性检验
，可判断变量
与
不独立
2．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
，
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
，
两个变量进行相关性检验，
得到相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，
，
，则
3．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检验，得到
相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，则
二、解答题
4．（2026·湖南怀化·一模）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公
司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5 年的年广告费
（单位：百万元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示：
令
，数据经过初步处理得：
.现有①
和②
两种模型作为年销售
量
关于年广告费
的回归分析模型，其中
均为常数.
(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)为刺激消费，
省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000 元.若甲乙两人近期在
､
省
购买一辆该新能源汽车的概率分别为
，其中
，每人最多购买一辆.求该省对甲乙两人补
､
贴总金额的期望值的取值范围.
参考数据：
.
相关系数
.
5．（2026·湖南邵阳·一模）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两
所学校共抽取120 名学生.通过测验得到如下数据：甲校50 名学生中有10 名学生的数学成绩优秀；乙校70
名学生中有10 名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所
示.
单位：人
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
10
50
乙校
10
70
合计
表（一）
(1)完成表（一）列联表，依据小概率值
的
独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀
率有差异？
(2)已知甲、乙两所学校利用AI 自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校
数学不优秀学生成绩有效转化的概率为
，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为
.若从甲、乙两所
学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1 名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学
生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
一、多选题
1．（2026·湖南常德·一模）设
，
为两个相互独立的随机事件，且
，
，则下列命
题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南株洲·一模）某电脑程序每次等概率随机输出
中的一个数，
和
分别表示输出
的前
个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检验，得到
相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，则
4．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
，
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
，
两个变量进行相关性检验，
考点5
古典型概率与条件概率
得到相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，
，
，则
一、多选题
1．（2026·湖北宜昌·模拟预测）某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为
，且投篮结果互不影响，如果
出现连续
次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（ ）
A．当
时，投篮2 次游戏结束的概率为
B．当
时，投篮3 次游戏结束的概率大于投篮4 次游戏结束的概率
C．当
时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为
D．设游戏结束时投篮总次数的数学期望为
，则
（
）
二、解答题
2．（2026·湖南·模拟预测）某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究
团队选定
人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为
，该值越高
表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中
（
，且
）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为
，且是否被影响是相互独立的，
从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即
人中还未被
成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播．
(1)求第一天结束时，被影响的人数的数学期望；
(2)求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率；
(3)对于任意一位“非感染者”，若某天有
位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为
，当
时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含
的式子表示）；基于此模型，
简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播．
考点6
二项分布与超几何分布的均值与方差
3．（2026·湖南岳阳·一模）甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率
为
，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响.
(1)若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；
(2)若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了
局，求
的分布列与数学期望.
一、多选题
1．（2026·湖南邵阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据2，3，4，5，6，7，8，9 的第25 百分位数为3
B．若随机变量
，
，则
C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10 名男生的数学成绩，其平均数为105，
方差为24，随机抽取5 名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15 名学生的数学成绩的
方差为25
D．一箱12 罐的饮料中4 罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2 罐，则这2 罐中有奖券的
概率为
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23 的第70 百分位数为23
考点7
离散型随机变量的均值与方差
B．若一组样本数据
的方差
，则这组样本数据
的总和为60
C．若随机变量
服从二项分布
，则
D．若随机变量
服从正态分布
，且
，则
3．（2026·湖北宜昌·模拟预测）某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为
，且投篮结果互不影响，如果
出现连续
次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（ ）
A．当
时，投篮2 次游戏结束的概率为
B．当
时，投篮3 次游戏结束的概率大于投篮4 次游戏结束的概率
C．当
时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为
D．设游戏结束时投篮总次数的数学期望为
，则
（
）
二、解答题
4．（2026·河南南阳·模拟预测）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1 局甲、乙比，
甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．
假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为
，每局比赛没有平局且结果相互独立.
(1)若
.
（i）求前3 局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；
（ii）求第2 局和第4 局参与的同学完全相同的概率；
(2)若前4 局中甲参与的平均次数不小于
，求
的取值范围.
5．（2026·湖南岳阳·一模）甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率
为
，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响.
(1)若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；
(2)若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了
局，求
的分布列与数学期望.
6．（2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2 道难度相当的题目，甲答对
每道题目的概率都是
，乙答对每道题目的概率都是
，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的
题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2 次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两
人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，
(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为
，求
的分布列与期望.
7．（2026·湖南邵阳·一模）国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台
了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新
能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，
获胜方记1 分，另一方记0 分，无平局；当两团队累积得分的分差为3 分时，比赛结束，累积得分高的团
队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为
，且每轮比赛的结果相互独立．
(1)求比赛结束时恰好进行了3 轮比赛，且甲班团队获得冠军的概率；
(2)（i）若比赛最多进行5 轮，求比赛结束时比赛轮数
的分布列及数学期望
；
（ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率．
8．（2026·湖南株洲·一模）从某社区1 万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时长数
据，整理得到如下频率分布直方图．
(1)求
的值；
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时长；
(3)若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4 人，用
表示每日运动时长在50 分钟
以上的居民人数，求随机变量
的数学期望
．
一、单选题
考点8
正态分布
1．（2026·湖南邵阳·一模）已知随机变量
，正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、多选题
2．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检验，得到
相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，则
3．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23 的第70 百分位数为23
B．若一组样本数据
的方差
，则这组样本数据
的总和为60
C．若随机变量
服从二项分布
，则
D．若随机变量
服从正态分布
，且
，则
4．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
，
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
，
两个变量进行相关性检验，
得到相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，
，
，则
1．（2026·湖南邵阳·一模）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两
所学校共抽取120 名学生.通过测验得到如下数据：甲校50 名学生中有10 名学生的数学成绩优秀；乙校70
名学生中有10 名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所
示.
单位：人
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
10
50
乙校
10
70
合计
表（一）
(1)完成表（一）列联表，依据小概率值
的
独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀
率有差异？
(2)已知甲、乙两所学校利用AI 自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校
数学不优秀学生成绩有效转化的概率为
，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为
.若从甲、乙两所
学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1 名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学
生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
考点9
概率统计综合题型
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2．（2026·湖南怀化·一模）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公
司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5 年的年广告费
（单位：百万元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示：
令
，数据经过初步处理得：
.现有①
和②
两种模型作为年销售
量
关于年广告费
的回归分析模型，其中
均为常数.
(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)为刺激消费，
省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000 元.若甲乙两人近期在
､
省
购买一辆该新能源汽车的概率分别为
，其中
，每人最多购买一辆.求该省对甲乙两人补
､
贴总金额的期望值的取值范围.
参考数据：
.
相关系数
.
3．（2026·湖南·模拟预测）某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究
团队选定
人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为
，该值越高
表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中
（
，且
）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为
，且是否被影响是相互独立的，
从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即
人中还未被
成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播．
(1)求第一天结束时，被影响的人数的数学期望；
(2)求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率；
(3)对于任意一位“非感染者”，若某天有
位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为
，当
时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含
的式子表示）；基于此模型，
简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播．
4．（2026·湖南永州·一模）甲同学通过掷骰子的方式在边长为1 个单位长度的正方形
的场地上玩游
戏，从起点
出发，沿着正方形四边
的顺序行走．若第
，
次抛掷得
到的点数
，记作
，则甲从当前位置按顺序走
个单位长度，下一次继续按照以上规
则行走．记数列
的前
项和为
次游戏之后甲的位置记为
，并规定：当甲在
处时
，甲
在
处时
，甲在
处时
，甲在
处时
．
(1)当
时，求
的概率
和
的概率
；
(2)当
时，求随机变量
的概率分布列和期望；
(3)若
，设
，试确定该展开式中各项系数与事件
的联系，并求
的概率．
5．（2026·河南南阳·模拟预测）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1 局甲、乙比，
甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．
假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为
，每局比赛没有平局且结果相互独立.
(1)若
.
（i）求前3 局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；
（ii）求第2 局和第4 局参与的同学完全相同的概率；
(2)若前4 局中甲参与的平均次数不小于
，求
的取值范围.
6．（2026·湖南湘潭·一模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进
行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率
为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判
定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3 次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”
的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件
中合格品占80%，不合格品占20%．
(1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．
(2)若随机抽取1 个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．
(3)已知生产一个零件的成本为50 元，每个零件被连续检测3 次的总费用为10 元．若某零件最终被判定为
合格品，则以每件120 元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户
全额退款，并赔偿客户40 元．设一个零件的利润为
元，若
的均值小于25，则该工厂将停止生产该零
件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．
