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第 24 讲 统计与概率 答案解析（教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点1：全面调查与抽样调查
1．全面调查与抽样调查的概念
①全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查（也称为普查）．
②抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查．
2．调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查．
3．抽样调查样本的选取：1）抽样调查的样本要有代表性；2）抽样调查的样本数目要足够大．
4.调查的有关概念：
总体：所要考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．
样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本． 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量(不带单位).
知识点2：几种常见的统计图表
1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．
特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别．
2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．
特点：易于显示数据的变化趋势．
3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分
在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．
百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的
比．扇形的圆心角=360°×百分比．
4．频数分布直方图
1）每个对象出现的次数叫频数．
2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频
繁程度．
3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分
点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用
横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
知识点3：数据分析（常见统计量：平均数、中位数、众数、方差）
1.平均数：一般地，如果有n个数 ， ，…， ，那么， 叫做这n个数的平
均数， 读作“x拔”。
2.加权平均数：如果n个数中， 出现f 次，x 出现f 次，…，x 出现f 次（ ），那
1 2 2 k k
么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为 ，这样求得的
平均数 叫做加权平均数，其中f，f，…，f 叫做权。
1 2 k
3．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
叫做这组数据的中位数．
4．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
5.方差：在一组数据 ， ，…， 中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据
的方差。通常用“ ”表示，即 .
第 1 页 共 55 页知识点4：事件类型
事件类型 定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些
P(必然事件)=1
定 事件 事情称为必然事件。
事 不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，
P(不可能事件)=0
件 事件 这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这
0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
知识点5：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，
记为P(A)。
2.概率的意义：它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，一个事件发生的概率是一个确定的数。
3.概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，共有n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的m种结
果，那么事件A 发生的概率P(A) = .
4.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出
来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
（2）列表法：当一次试验要涉及 2 个因素 （例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，应不
重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率。
（3）画树状图法：当一次试验要涉及 2 个或更多 的因素时（例如从口袋中一次取3个球），通常采用画
树状图来求事件发生的概率。
知识点6：频率与概率
1.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率 稳定在某个 常数 P 附近，因此，
用一个事件发生的频率 来估计这一事件发生的概率，即P（A）=P.
2.适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统
计频率来估计概率。
3.注意：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确。
第 2 页 共 55 页第二部分：考点突破
考点1与调查统计有关的概念
1．（2025·重庆·中考真题）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
【答案】D
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特
征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样
调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，
但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故
本选项不合题意；
B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据更稳定
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．
根据相关知识点进行判断即可．
【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；
B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；
C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意；
D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
3．（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
第 3 页 共 55 页C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．
全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法
全面调查的情况．
【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，
适合全面调查，符合题意；
选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符
合题意；
选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意；
选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合
题意；
故选：A．
4．（2024·江苏镇江·中考真题）下列各项调查适合普查的是（ ）
A．长江中现有鱼的种类 B．某班每位同学视力情况
C．某市家庭年收支情况 D．某品牌灯泡使用寿命
【答案】B
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征
灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调
查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所
费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解．
【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意；
B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意；
C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意；
D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
5．（2023·四川德阳·中考真题）下列说法中正确的是（ ）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据
的方差也为2
第 4 页 共 55 页【答案】C
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义、必然事件和随机事件的定义、样本容量的定义、方差的定义
逐项判断即可．
【详解】A、总体数量较大，应采用抽样调查，说法错误，该选项不符合题意；
B、中考期间一定会下雨，可能发生，也可能不发生，该事件为随机事件，说法错误，该选项不符合题意；
C、说法正确，该选项符合题意；
D、这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差为18，说法错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全面调查和抽样调查、必然事件和随机事件、样本容量、方差，牢记全面调查和
抽样调查的定义、必然事件和随机事件的定义、样本容量的定义、方差的定义是解题的关键．
6．（2023·山东聊城·中考真题）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家
安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
【答案】C
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部
分个体，据此即可判断．
【详解】解：样本是从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况．
故选：C．
【点睛】本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．
总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．
7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差 ， ，则发挥稳定的是甲
【答案】D
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面调
查与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，
第 5 页 共 55 页说法正确，本选项不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题
意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差 ， ，则发挥稳定的是乙，故原说法
错误，符合题意；
故选：D．
8．（2023·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是 是必然事件
C．数据4，9，5，7的中位数是6
D．甲、乙两组数据的方差分别是 ， ，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可
【详解】解：A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；
B．任意画一个三角形，其外角和是 是不可能事件，故选项错误，不符合题意；
C．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意；
D．甲、乙两组数据的方差分别是 ， ，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不
符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在下面的调查中，最适合用全面调查的是（ ）
A．了解一批节能灯管的使用寿命 B．了解某校803班学生的视力情况
C．了解某省初中生每周上网时长情况 D．了解京杭大运河中鱼的种类
【答案】B
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．
【详解】A、了解一批节能灯管的使用寿命，具有破坏性，适合采用抽样调查，不符合题意；
B、了解某校803班学生的视力情况，适合采用普查，符合题意；
C、了解某省初中生每周上网时长情况，适合采用抽样调查，不合题意；
D、了解京杭大运河中鱼的种类，适合采用抽样调查，不合题意．
第 6 页 共 55 页故选：B．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查：如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普
查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．
其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全
部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．
10．（2025·江西·中考真题）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务
教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A．随机抽取城区三分之一的学校 B．随机抽取乡村三分之一的学校
C．调查全体学校 D．随机抽取三分之一的学校
【答案】D
【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，
各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结
果会偏离总体情况．
【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意；
D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；
故选：D．
考点2统计图、统计表
11．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【答案】D
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所
占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可．
第 7 页 共 55 页【详解】解：总销售量为： （册），
∴科技类图书销售了 （册），
∴文艺类图书销售了 （册），
∴文艺类图书销售占比为： ，
∴其他类图书销售占比： ；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D．
12．（2025·四川成都·中考真题）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、
脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人
数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器
14
人
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】B
【分析】本题考查统计表和扇形统计图，根据元宇宙的人数以及所占的比例求出总人数，进而求出 的值
即可．
【详解】解： ；
故选B．
13．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（ ）分布
情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的 数据（单位： ），并根据七年级男生体质健
康标准整理如下：
第 8 页 共 55 页等级 低体重 正常 超重 肥胖
人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中 等级为正常的人数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了由样本估计总体，用 乘以样本中 等级为正常的人数所占的比例即可得解，
熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中 等级为正常的人数是 人，
故答案为： ．
14．（2025·上海·中考真题）为了解乘客到达高铁站后离开的方式．某地开展问卷调查，共收到有效答复
2000张，调查结果如图所示．如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租车离
开的人数大约为 ．
【答案】1800人
【分析】本题考查利用样本估计总体，扇形统计图，根据扇形统计图求出样本中当地每天乘坐出租车离
开的人数所占的比例，再用总人数乘以这个比例，进行计算即可．
【详解】解： （万人） （人）；
故答案为：1800人．
15．（2025·云南·中考真题）某中学为了解全校 名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节
目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制
的扇形统计图．根据图中的信息，该校 名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 名．
第 9 页 共 55 页【答案】
【分析】本题考查了扇形统计图，利用总人数乘以最喜爱娱乐节目的学生所占比即可求解，熟练掌握扇
形统计图的特征是解题的关键．
【详解】解：该校 名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 （名），
故答案为： ．
16．（2025·甘肃兰州·中考真题）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个
问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下
是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其
中A类（ ），B类（ ），C类（ ），D类（ ），E类（ ）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动中随机抽取了__________个豌豆荚，图中 __________， __________；
(2)所调查豆子粒数的中位数落在__________类中；（只填写字母）
(3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否
得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
【答案】(1) ， ，
第 10 页 共 55 页(2)C
(3)不能，理由见解析
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，样本估计总体，中位数等知识，熟练样本估
计总体，中位数是关键．
（1）根据B类的数量和对应的百分比即可求出总数，再根据对应的百分比和总量减部分即可求出答案；
（2）根据中位数的定义进行判断即可；
（3）根据选取样本的特点进行分析即可．
【详解】（1）解：由题意可得， （个）
， ，
故答案为：
（2）由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数，
∵ ，
∴所调查豆子粒数的中位数落在C类中；
故答案为：C
（3）不能，理由是：
样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性．
17．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运
动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b．丙运动员10次测试成绩：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平
均 12.5 12.5 p 12.5
数
中 m 12.5 12.8 12.45
第 11 页 共 55 页位
数
方
0.056 n 0.034 0.056
差
(1)表中m的值为_______；
(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小
者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成
绩小于平均数的次数较多者实力更强．
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．
【答案】(1)
(2)
(3)乙、丁、甲、丙
【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据中位数定义即可求解 ；
（2）根据方差计算公式求解，再比较即可；
（3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可．
【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为： ，
∴中位数 ，
故答案为： ；
（2）解：乙的10次测试成绩平均数为： ，
∴方差为：
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：丙的平均数 ，
∴丙的平均数最大，则实力最弱，
∵方差 ，
∴乙实力最强，
第 12 页 共 55 页∵丁的测试成绩中位数为 ，
∴第 次成绩和为 ，
∴前5次测试成绩小于平均数，
∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强，
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，
故答案为：乙、丁、甲、丙．
18．（2025·江苏苏州·中考真题）随着人工智能的快速发展，初中生使用 大模型辅助学习快速普及，
并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用 大模
型辅助学习的时间（用x表示，单位： ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分
布直方图：
抽取的学生一周使用 大模型辅助学习时间频率分布表
组
时间 频率
别
A
B
C
D
E
合计 1
根据提供的信息回答问题：
(1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
第 13 页 共 55 页(2)调查所得数据的中位数落在________组（填组别）；
(3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的
时间不少于 的学生人数．
【答案】(1)图见解析
(2)C
(3)该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间不少于 的学生人数约为450人
【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关键
是正确的从表中读出有关的信息．
（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数，
（2）50个人的中位数是第25和26人的平均数；
（3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用 大模型辅助学习的时间不少于 的学生的频率即可．
【详解】（1）解： ．
D组人数： 人．
如图为所求：
（2）解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数，
从统计图，可知， 组8人， 组12人， 组15人，那么第25人和26人的数据落在 组，
故答案为：C；
（3）解： ，
（人）．
答：该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间不少于 的学生人数约为450人．
19．（2025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右
平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测
量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
第 14 页 共 55 页a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
编
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
身
16 16 16 17 17 17 17 17 17 17
高
6 9 9 1 2 3 3 3 4 4
臂
16 16 16 16 16 16 16 16 16 17
展
1 2 4 6 4 5 7 9 9 0
编
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
号
身
17 17 17 17 17 17 18 18 18 18
高
5 6 7 7 8 9 0 0 1 3
臂
16 16 17 17 17 17 17 17 17 18
展
9 7 3 2 3 0 7 4 6 5
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均 中位 众
数 数 数
身高
175 m 173
臂展
170 169
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组： ，
）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域
内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展 与身高 之间关联关系的直线 ．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 、 的值： ， ；
第 15 页 共 55 页(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于 的男生人数；
(3)图②中直线 近似的函数关系式为 ，根据直线 反映的趋势，估计身高为 男生的臂展
长度．
【答案】(1) ；
(2) 人
(3)身高为 男生的臂展长度约为 .
【分析】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体；
（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为 ，再乘以总人数即可；
（3）把 代入 即可得到答案.
【详解】（1）解：由表格信息可得： ；
；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵ ，
当 时， ，
∴身高为 男生的臂展长度约为 .
考点3数据分析（平均数、中位数、众数、方差）
20．（2025·黑龙江·中考真题）2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会
的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天
的销售量（单位：套）分别为： ， ， ， ， ， ，这组数据的众数和中位数分别是
（ ）
A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，138
【答案】D
【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小
到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可．
第 16 页 共 55 页【详解】解：数据中136出现2次，其他数各出现1次，故众数为136．
将数据从小到大排序：129，136，136，140，154，180．
数据个数为6（偶数），中位数为第3、4个数的平均值，即 ．
综上，众数136，中位数138，
故选D．
21．（2025·上海·中考真题）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行
统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85
【答案】D
【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，
最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即
可．
【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是
第30与31个数，而 ，故中位数是 ；故只有选项D正确；
故选：D．
22．（2025·湖南长沙·中考真题）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现
“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均
“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：
．则这组数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了众数的求解，根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，统计各数值出
现的次数即可求解；
【详解】解：∵ 出现的次数最多（3次），
∴众数为 ，
第 17 页 共 55 页故选：B
23．（2025·广东·中考真题）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为
95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96
【答案】B
【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大
排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解．
【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96，
中位数为第4个数，即95；
数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95；
∴这组数据的中位数、众数分别是95，95．
故选：B．
24．（2025·四川南充·中考真题）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引
体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ）
A．6 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了众数的定义，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：观察统计表中“个数”对应的“人数”，个数 出现 次，个数 出现 次，个数 出现
次，个数 出现 次，个数 出现 次 ．因为 ，即个数 出现的次数最多．
∴“引体向上”的个数的众数是11，
故选C
25．（2025·黑龙江绥化·中考真题）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：
，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统
计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】D
【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义
（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可．
第 18 页 共 55 页本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化．
【详解】解：原数据去掉最高分10和最低分 （其中一个）后，剩余数据为 ．
原平均数总和为 ，平均数为 ．
去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意．
方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，
故B选项不符合题意．
原众数为 （出现2次）．去掉一个 后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，
故众数变化，故C选项不符合题意．
原数据中位数为第4个数即 ．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为
），故中位数不变．
故选： D．
26．（2024·青海西宁·中考真题）2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43
届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知
识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进
行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是500
B．本次调查的学生成绩在70~80分之间的人数是10
C．本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间
D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70
【答案】C
【分析】本题考查了频数分布直方图、样本容量、用样本估计总体等知识，根据样本容量、中位数的定
义、用样本估计总体逐一判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】A．本次调查的样本容量是 ，故选项不符合题意．
B．本次调查的学生成绩在 分之间的人数是 ，故选项不符合题意．
C．把本次调查的学生成绩按从小到大的顺序排列，排在中间的两个数应在 之间，所以本次调
第 19 页 共 55 页查的学生成绩的中位数落在 之间，故选项符合题意．
D．估计 名参赛学生中成绩在 分以下的人数是 （人），故选项不符合题意．
故选:C．
27．（2025·甘肃兰州·中考真题）射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭
练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是 ．（填写“甲”或“乙”）
甲 乙
平均成绩 （单位：
6.58 7.67
环）
方差 6.91 0.72
【答案】甲
【分析】本题考查了方差的意义，方差越大，成绩越不稳定．根据图形可知，甲的射击不稳定，可判断
新手是甲．
【详解】解：根据表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大，
方差越大，成绩越不稳定，
新手是甲．
故答案为：甲．
28．（2025·四川遂宁·中考真题）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四
个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：
应聘者
项
目
甲 乙 丙
学
历
经
验
能
力
态
度
公司将学历、经验、能力和态度得分按 的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，
则 将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）
【答案】乙
第 20 页 共 55 页【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可
得出答案，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】解：甲的最终得分是 分，
乙的最终得分是 分，
丙的最终得分是 分，
∵ ，
∴乙将被择优录用，
故答案为：乙．
29．（2025·河南·中考真题）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办
第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级
各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、
分析，部分信息如下．
得分统计图
得分统计表
年级
统计
量 七年 八年
级 级
平均
7.86 7.86
数
中位
a 8
数
众数 7 b
优秀
c
率
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表格中的 ________， ________， _________．
第 21 页 共 55 页(2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
【答案】(1)7.5；8；
(2)见解析
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可；
（2）可以根据众数和中位数做决策．
【详解】（1）解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位
数 ；
八年级得分为8分的人数最多为23人，
∴众数 ；
八年级的得分优秀率为： ，
故答案为：7.5；8； ；
（2）解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于
七年级．
30．（2025·甘肃平凉·中考真题）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选
拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队
平均数 中位数 众数 方差
员
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值： ______， ______；
(2)______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说明
理由（写出一条合理的理由即可）
【答案】(1)
第 22 页 共 55 页(2)乙
(3)不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算
方法和表示意义，是解题的关键：
（1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，
求出 的值即可；
（2）根据方差判断稳定性即可；
（3）根据方差作决策即可．
【详解】（1）解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为： 和 ，
∴ ；
甲中数据出现次数最多的是 ，故 ；
故答案为： ；
（2）由表格可知：甲的方差大于乙的方差，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定；
故答案为：乙；
（3）小瑜说的不对，理由如下：
两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛．
考点4事件与概率
31．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必
然不会发生的事件，对各选项逐一分析.
【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；
选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；
选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；
选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；
综上，只有选项B符合不可能事件的定义，
故选：B．
第 23 页 共 55 页32．（2024·湖北·中考真题）在下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是
解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是 ，是必然事件，符合题意．
故选：D．
33．（2024·湖北·中考真题）下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为
【答案】D
【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，
也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为 ，是必然事件，符合题意；
故选：D．
34．（2025·湖南·中考真题）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机
抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查概率公式的计算，掌握其概率的计算是关键．
根据概率的基本公式，计算抽中戏剧类社团的概率．
【详解】解：共有5类社团活动（舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧），每类被抽中的可能性相等，抽
中戏剧类社团属于其中1种可能结果，
第 24 页 共 55 页∴概率为成功事件数除以总事件数，即： ，
故选：D．
35．（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都
相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ，则红球的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键．
设红球有 个，根据摸到白球的概率公式列方程求解．
【详解】解：设红球有 个，则袋中总球数为 个，
∴摸到白球的概率为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
因此，红球的个数为2个．
故选：B．
36．（2025·辽宁·中考真题）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随
机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有
等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
红 黄
红 (红，红) (红，黄)
黄 (黄，红) (黄，黄)
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为 ．
第 25 页 共 55 页故选：C．
37．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有 ， ， 中的一个数
字），若向上一面出现数字1的概率为 ，出现数字2的概率为 ，则该木块不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字 有 个，数字 有2个，则数字 只有 个，结
合选项，即可求解．
【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为 ，出现数字2的概率为 ，
∴数字 有 个，数字 有2个，则数字 只有 个
选项A中数字 有2个，符合题意
故选：A．
38．（2025·福建·中考真题）在分别写有 ，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片
上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
1 2
1
2
共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有 ， 两种，
∴ ；
故选：B．
39．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵
全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
第 26 页 共 55 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列举法求概率；设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，列举出所有可能的结果
数，2只雏鸟都是雄鸟的结果数，利用概率公式即可计算．
【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，所有可能的结果为：AB两只雏鸟都是雄鸟，
两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其
中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为 ；
故选：D．
40．（2025·山东·中考真题）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝
“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．
若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表确定所有等可能结果数和符合题意的结
果数是解题的关键．
先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可．
【详解】解：设三款镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别用A、B、C表示：
根据题意列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果数为1，则甲、乙两位同学同时
抽到“亚醜钺”的概率是 ．
故选A．
41．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有 位女同学和 位男同学，每位同学的名字都被分别写在
一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的
名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同
第 27 页 共 55 页学的名字的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率公式，计算剩余纸条中男同学名字的概率，需先确定剩余男同学和总剩余纸条
的数量，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：总人数与剩余纸条数：班级共有女同学 人，男同学 人，
总人数为 （人），
班长已抽出6张纸条，剩余纸条数为 张．
∵已抽出的6张中有2位女同学和4位男同学，
因此剩余女同学为 （人），剩余男同学为 （人）．
∴第7张纸条从剩余 张中随机抽取，抽到男同学的概率为剩余男同学人数与剩余总人数的比值，即 ．
故选：D．
42．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内
各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设 ，则圆的直径为 ，求出
小正方形的面积，即可求出几何概率．
【详解】解：如图：连接 ， ，设 ，则圆的直径为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴小正方形的面积为： ，
第 28 页 共 55 页则飞镖落在阴影区域的概率为： ．
故选：C．
43．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点 作
交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影
部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形 的面积，即可
求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴
∴
∵点 是 的中点
∴
∴
∴
第 29 页 共 55 页∴ ， ，
点 落在阴影部分的概率是
故选：B．
44．（2024·山东济南·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，
当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
【答案】
【分析】根据简单地概率公式计算即可．
本题考查了简单地概率公式计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，一共有4种等可能性，其中红色的等可能性只有1种，
故当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
故答案为： ．
45．（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里
有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相
等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用小杰手中卡牌上的数字与小明手中卡牌上的数字相同
的卡牌数除以小杰的卡牌总数即可得到答案．
【详解】解：∵小杰一共有4种卡牌，其中有2张卡牌上的数字与小明手中卡片的数字相同，
∴小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为 ，
故答案为： ．
第 30 页 共 55 页46．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有 ， ， ，
， ，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ．
【答案】 /0.4
【分析】此题考查了简单概率的计算．熟练掌握概率的意义和计算方法是解题的关键．概率是随机事件
发生可能性大小的数值，计算方法是在n次等可能结果的一次试验中事件A包含其中的m种结果，A事件
发生的概率为 ．
在5个二次根式中， ， 是最简二次根式，再由概率公式求解即可．
【详解】解：在 ， ， ， ， 这5个二次根式中， ， 是最简二次根式，有2个，
∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ，
故答案为： ．
47．（2025·江西·中考真题）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全
相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与
者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写
有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
【答案】(1)B
(2)
【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键．
（1）直接根据随机事件的定义即可解答；
（2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定
所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能，
第 31 页 共 55 页∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件．
故选B．
（2）解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，
根据题意列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2．
所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为 ．
48．（2025·江苏扬州·中考真题）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育
类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体
育活动．
(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
【详解】（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽
子，
∴选中“乒乓球”的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：画树状图为：
第 32 页 共 55 页由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有
4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是 ．
考点5频率与概率
49．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将
同学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数
12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生
的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频
率逐渐稳定在 附近，即可得出答案．
【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（ 、 等），当次数增加到
500次及以上时，频率稳定在 ，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 ．
故选：B．
50．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，
下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的
第 33 页 共 55 页大小，机会大也不一定发生，据此求解即可．
【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义
可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；
小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误
故选；A．
51．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相
同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，
共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
【答案】
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为 ，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有 个，
则 ，
答：红球的个数约为 个．
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
52．（2023·甘肃兰州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③
【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有
很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
第 34 页 共 55 页③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．
故答案为：①③．
【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．
53．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，
这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一
次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)0.3
(2)
【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的
方法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率
公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是 ，
故答案为：0.3；
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为 ．
54．（2017·辽宁营口·中考真题）一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、
大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在 、 ，
则估计箱子里蓝球有 个．
【答案】15
【分析】本题主要考查利用频率估计概率和由概率求数量，用球的总个数乘以摸到蓝球的频率的稳定值
即可．
【详解】解：估计箱子里蓝球有 （个），
第 35 页 共 55 页故答案为：15．
55．（2022·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼
苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100
条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 鱼池
（填甲或乙）
【答案】甲
【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总
数即可得到结论．
【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
鱼的概率近似 ，解得x＝2000；
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
鱼的概率近似 ，解得y＝1000；
，
可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的
等量关系．
考点6统计与概率综合
56．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关 中的两个，能让两盏灯泡 同时发光
的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
第 36 页 共 55 页， ，
， ，
， ，
共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡 同时发光的结果有2种，
∴ ．
57．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字 的卡片，其中标有数字 的卡片在甲手
中，标有数字 的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种，
∴甲出的卡片数字比乙大的概率是 ．
故答案为：
58．（2025·山西·中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次
按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子A时，小明连
续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是 ．
第 37 页 共 55 页【答案】
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发
生的可能结果数，利用概率公式即可求解．
【详解】解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为 ；
故答案为： ．
59．（2025·四川凉山·中考真题）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最
喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其
他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查的总人数是_______人；
(2)补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度；
(3)现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状
图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)50
(2)图见解析，
(3)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率，求扇形统计图中圆心角度数，从统计
第 38 页 共 55 页图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用 类人数除以所占的比例求出总人数即可；
（2）求出 类人数，补全条形图，用360度乘以C类人数所占的比例求出圆心角的度数即可；
（3）根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解： （人）；
故答案为：50；
（2） 类人数为： （人）；补全条形图如图：
C类所对应的扇形的圆心角为 ；
故答案为： ；
（3）由题意，画出树状图如下：
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴ ．
60．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别
是： ．五谷画， ．彩陶， ．剪纸， ．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学
生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅
不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题：
第 39 页 共 55 页(1)此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中 __________；
(2)补全条形统计图；
(3)该校有 人，请你估计该校对课程 感兴趣的学生有多少名？
(4)甲、乙两名同学从 、 、 、 四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课
程的概率．
【答案】(1) ， ；
(2)补全条形统计图见解析；
(3) 人；
(4) ．
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率
的求法，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．
（ ）根据对课程 感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数，然后通过对课
程 感兴趣的学生人数除以总人数再乘以 即可求出 的值；
（ ）由（ ）总人数减去 人数，即可得到抽取部分学生对课程 感兴趣的学生人数，然后补全
条形统计图即可；
（ ）用 乘以对课程 感兴趣的学生所占百分比即可求解；
（ ）由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解．
【详解】（1）此次被调查的学生总人数为 （人），
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）抽取部分学生对课程 感兴趣的学生有 （人），
补全条形统计图如图，
（3）解： 人，
答：估计该校对 感兴趣的学生有 人；
第 40 页 共 55 页（4）情况 ：列表格，
甲乙
如树状图所示，共有 种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有 种： ， ， ，
，
∴ ；
情况 ：画树状图，
如树状图所示，共有 种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有 种： ， ， ，
，
∴ ．
61．（2025·山东东营·中考真题）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的
重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A
（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小
组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所
示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：
第 41 页 共 55 页(1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整；
(2)请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角；
(3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数；
(4)若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项
目A和D的概率．
【答案】(1)参加调查的总人数为180人，补充条形统计图见解析
(2)
(3)500人
(4)
【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，利用列表法求概率，掌握由样本百分比估算总体数量的
方法，圆心角的计算方法，列表法是解题的关键．
（1）根据C组的人数与占比计算求解调查总人数，由此得到B组人数，即可补全条形图；
（2）根据圆心角的计算方法求解即可；
（3）根据样本百分比估算总体数量即可求解；
（4）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：调查总人数为： （人）；
选择B人数为： （人）；
答：参加调查的总人数为180人，
补全条形图如下，
第 42 页 共 55 页（2）解： ，
答：B部分扇形所对应的圆心角为 ；
（3）解： （人），
答：若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为500人．
（4）由题意，列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，
∴ ．
62．（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．
论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题
的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善
的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）
等 频
频率
级 数
A m
B
第 43 页 共 55 页C n
D 6
根据图表中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中 ______， ______；
(2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度；
(3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生
参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好
来自同一个班级的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析，
【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理
能力．
（1）根据频数分布表求出总人数即可求解；
（2）根据A等级所占比例即可求解；
（3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【详解】（1）解：由频数分布表可得，总人数为： （人）；
∴ ， ，
故答案为：
（2）解：“A等”所对应的扇形的圆心角为： ，
故答案为：
（3）解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2
名学生为丙和丁，画出树状图：
第 44 页 共 55 页一共有 种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果．
．
63．（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的
建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个
出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，可画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是 ．
64．（2025·四川南充·中考真题）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、
C剪纸班、D木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望
增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图．
第 45 页 共 55 页(1)求问卷调查的总人数，并补全条形图．
(2)若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数．
(3)本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求
恰好抽中一男一女的概率．
【答案】(1)100人，补全统计图见解析
(2)240人
(3)
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，
正确理解题意，读懂统计图是解题的关键．
（1）由A川剧班得人数除以占比，即可求解问卷调查的总人数，然后由总人数减去 的人数求出
木偶班人数，即可补全条形统计图；
（2）用样本估计整体的方法即可求解；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
【详解】（1）解：问卷调查的总人数为： （人），
∴ 木偶班人数为： （人），
∴补全统计图：
（2）解：最希望增设“木偶班”的学生人数： （人），
答：最希望增设“木偶班”的学生有240人；
（3）解：画树状图为：
第 46 页 共 55 页由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，恰好抽中一男一女的结果数有12种，
∴恰好抽中一男一女的概率是 ．
65．（2025·江苏苏州·中考真题）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少
年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有 共3部电影，甲、乙2位同学分别
从中任意选择1部电影观看．
(1)甲同学选择A电影的概率为________；
(2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数
与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条
件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1） 现有 共3部电影，
甲同学选择A部电影的概率是 ．
故答案为： ；
（2）用树状图或利用表格列出所有等可能的结果：
乙同学选择电影
甲同学选择电影
A B C
第 47 页 共 55 页A
B
C
那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，
（甲、乙2位同学选择不同电影） ．
66．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生
分成 两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别
标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数
字记为 ．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长
再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 ．若 ，则 组学生到甲敬老院， 组学生到
乙敬老院；若 ，则 组学生到乙敬老院， 组学生到甲敬老院．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求 所有可能出现的结果总数；
(2)求 组学生到甲敬老院， 组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）画树状图，得到共有 种等可能的结果；
（2）根据树状图得到 的结果有 种，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意画树状图如下，
共有 共 种等可能的结果；
（2）解：由树状图得， 的结果有 种，
组学生到甲敬老院， 组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 ．
67．（2025·黑龙江绥化·中考真题）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志
愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高 （单位： ）数据分为
、 、 、 、 五组，并制成了如下不完整的统计图表．
组别 身高分组 人数
第 48 页 共 55 页5
4
12
9
根据以上信息回答：
(1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中 的圆心角度数是________，请补全条形统计图．
(2)若 组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出
刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
【答案】(1)40， ，见解析
(2)见解析，
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解
题的关键．
（1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用 乘以 组的的百分比即可求出扇形统计
图中 的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可；
（2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可．
【详解】（1）解：这次抽查的志愿者共有： （人），
扇形统计图中 的圆心角度数是 ，
C组的人数为 （人），
补全条形统计图如下：
第 49 页 共 55 页故答案为：40，
（2）解：设2名男志愿者分别记作 、 ，2名女志愿者分别记作 、
根据题意可以画出如下的树状图
列表法如下图
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是
和 的情况有两种.
68．（2025·四川宜宾·中考真题）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，
随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手
工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．
请结合图中信息解答下列问题．
(1)本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图；
(2)若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动；
第 50 页 共 55 页(3)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人
加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率．
【答案】(1)100，10，补全条形统计图见解析
(2)150
(3)
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，
读懂统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）先由演讲与口才人数除以占比求出调查的人数，再由调查的人数减去其余的人数即可求解喜爱舞蹈
的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）用样本估计总体的方法即可求解；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
【详解】（1）解：调查的学生数： （人），
喜爱舞蹈的人数： （人），
补全条形统计图如图：
故答案为：100，10；
（2）解： （人），
∴估计有150人喜欢乒乓球运动，
故答案为：150；
（3）解：画树状图为：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中甲乙两人的结果数有2种，
第 51 页 共 55 页∴同时选中甲乙两人的概率是 ．
69．（2025·四川眉山·中考真题）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．
某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、
B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调
查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题：
(1)这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度；
(2)补全条形统计图；
(3)社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学
生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的
概率．
【答案】(1)200，144
(2)图见解析
(3)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的
关键：
（1）用 软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例
求出圆心角的度数即可；
（2）求出 类软件的人数，补全条形图即可；
（3）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解： （人）；
；
故答案为：200，144；
（2） 软件的人数为： （人）；
补全条形图如图：
第 52 页 共 55 页（3）由题意，列表如下：
A A A B
A A，A A，A A，B
A A，A A，A A，B
A A，A A，A A，B
B B，A B，A B，A
共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种，
故 .
70．（2025·四川泸州·中考真题）某市教育综合实践基地开设有 ：巧手木艺； ：创意缝纫； ：快乐
种植； ：美味烹饪； ：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，
基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，
并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名 巧手木 创意缝 快乐种 美味烹 爱心医
称 艺 纫 植 饪 护
人数 6 12 18
根据图表信息，回答下列问题：
(1) ______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________；
(2)若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢 两门课程的学生人数；
第 53 页 共 55 页(3)小明同学从 四门课程中随机选择两门，求恰好选中 两门课程的概率．
【答案】(1)15；
(2)120名
(3)
【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正
确读懂统计图和统计表以及熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而可求出a、b的值，
再用360度乘以“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（2）用480乘以样本中八年级最喜欢 两门课程的学生人数占比即可得到答案；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中 两门课程的结果数，最后依据概率计算公
式求解即可．
【详解】（1）解； （名），
∴本次一共调查了60名学生，
∴ ；
∴ ，
∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 ；
故答案为：15； ；
（2）解： （名），
答：估计该校八年级最喜欢 两门课程的学生人数为120名；
（3）解：根据题意列表如下；
第 54 页 共 55 页由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中 两门课程的结果数有两种，
∴恰好选中 两门课程的概率为 ．
第 55 页 共 55 页
