文档内容
第 2 讲 整式与因式分解
第一部分：知识点梳理
知识点一：代数式
1.代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数
或者一个字母也是代数式．
2.代数式的值
用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,
代数;第二步,计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.
知识点二：整式的有关概念
1．整式：单项式与多项式统称为整式．
2．单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次
数．
例如：单项式 是的系数是-5，次数是6.
3．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做
常数项．多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式中单项式的个数，就是这个多项
式的项数．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
5．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合
并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．
知识点三：幂的运算
（1） am·an=am+n； (am)n=amn； (ab)n=anbn；
（2） am÷an= ；
（3） （ ） （ ）
知识点四：整式的加减运算
（1）整式的加减运算：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
（2）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括
号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负
号，括到括号里的各项都改变符号.
知识点五：整式的乘除运算
第 1 页 共 12 页（1）单项式 单项式：
①将单项式系数相乘作为积的系数；
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式；
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.
（2）单项式 多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
（3）多项式 多项式：(a+b) (m+n)= am+an +bm +bn.
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
（4）单项式 单项式：
单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连
同它的指数作为商的因式.
（5）多项式 单项式
①先把这个多项式的每一项除以单项式，②再把所得的商相加.
知识点六：乘法公式
（1）平方差公式：
（2）完全平方公式：
(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 (a−b) 2 =a2 −2ab+b2
，
( 或合在一起 )
知识点七：因式分解
1．因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
注：整式乘法与因式分解是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法： .
（2）公式法：运用平方差公式： .运用完全平方公式： .
3．分解因式的一般步骤
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平
方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一提，二套，三检查”。
知识点八：十字相乘法
1、如果二次三项式 中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是
第 2 页 共 12 页a与b的和，那么 就可以进行如下的因式分解，即
= x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2、利用十字交叉线来把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
一般地， = x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)可以用十字交叉线表示
方法的特征是：“拆两头，凑中间”
口诀：“首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式”
注意：用十字相乘法分解因式，要注意避免这两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是
否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
第二部分：考点突破
考点1代数式的相关概念
1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示 与 差的平方，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每
分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（ ），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏扬州·中考真题）若 ，则代数式 的值是 ．
4．（2025·江苏苏州·中考真题）若 ，则代数式 的值为 ．
5．（2025·山东威海·中考真题）若 ，则 ．
6．（2025·吉林长春·中考真题）已知 ，则代数式 的值为 ．
7．（2025·四川自贡·中考真题）若 ，则 的值为 ．
8．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．
某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a
个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
第 3 页 共 12 页9．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 ， ．如图，将甲纸条的 与乙纸
条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
考点2幂与整式的运算
10．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·云南·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（ ）
第 4 页 共 12 页A． B．
C． D．
17．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（ ）
2a+3b=6ab
A． B．
C． D．
18．（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2025·山东·中考真题）已知 ，则下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2025·山东烟台·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（ ）
第 5 页 共 12 页A． B．
C． D．
25．（2025·重庆·中考真题）已知整式 ，其中 为自然数， ， ， ，…，
为正整数，且 ．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当 时，满足条件的所有整式M的和为 ；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点3整式的化简求值
26．（2025·浙江·中考真题）化简求值： ，其中 ．
27．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
28．（2024·内蒙古包头·中考真题）（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解方程： ．
29．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中a满足 ．
30．（2025·河南·中考真题）
（1）计算： ； （2）化简： ．
第 6 页 共 12 页31．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：
(1) ； (2) ．
32．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
33．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值：
，其中 ， ．
34．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
考点4因式分解
35．（2025·广西·中考真题）因式分解： （ ）
A． B． C． D．
36．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第 7 页 共 12 页37．（2024·云南·中考真题）分解因式： （ ）
A． B． C． D．
38．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
39．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
40．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ．
41．（2025·北京·中考真题）分解因式： ．
42．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
43．（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ．
44．（2025·山西·中考真题）因式分解： ．
45．（2025·湖南·中考真题）因式分解： ．
46．（2018·广西钦州·中考真题）因式分解： ．
47．（2015·宁夏·中考真题）分解因式： ．
48．（2024·江苏常州·中考真题）分解因式： ．
49．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ．
50．（2025·吉林·中考真题）因式分解： ．
51．（2022·湖北恩施·中考真题）因式分解： _______．
52．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足 ，则 ．
第 8 页 共 12 页53．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ．
54．（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ．
考点5规律探究题
55．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（
）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
56．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序
数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数： ，进行第1次构
造，得到新的一列数： ，第2次构造后，得到一列数： ，…，第n次构造后得到一列数：
，记 ．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（ ）
A． B． 为偶数 C． D．
57．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数 ．在平面直角坐标系中，
将点 中的 ， 分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中 ， 均为正整
数）．例如，点 经过第 次运算得到点 ．经过第 次运算得到点 ，经过第 次运算得到点
，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点 经过第 次运算后得到点是（ ）
A． B． C． D．
58．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个
圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是
（ ）
第 9 页 共 12 页A．32 B．28 C．24 D．20
59．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
60．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1
个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674
个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
61．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设
计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……
则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
62．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边
第 10 页 共 12 页作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ， 按照此
规律继续下去，则 的值为 ．
63．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“ ”组成的一组有规律的图案，其中第1个图
案用了2个“ ”，第2个图案用了6个“ ”，第3个图案用了12个“ ”，第4个图案用了20个“
”，……，依照此规律，第n个图案中“ ”的个数为 （用含n的代数式表示）．
64．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点 为反比例函数 图象上的点，其
横坐标依次为 ．过点 作x轴的垂线，垂足分别为点 ；过点
作 于点 ，过点 作 于点 ，…，过点 作 于点 ．记
的面积为 的面积为 的面积为 ．
(1)当 时，点 的坐标为______， ______， ______，
第 11 页 共 12 页______（用含n的代数式表示）；
(2)当 时， ______（用含n的代数式表示）．
第 12 页 共 12 页
