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2026届高考压轴题冲刺演练（三）
导数
1．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 有3个零点 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）由题意得 在 上恒成立，则 在 上恒成立，然后
构造函数 ，利用导数求出其最大值即可；
（2）（i）根据题意将问题转化为 有 个不同的实数根，构造函数
，利用导数求出其单调区间和极值即可得答案；（ii）将问题转化成证明
，即证 ，再转换为证明当 时 ，构造函数利用求得
其最小值大于零即可.
【详解】（1） ，求导可得 ，
因为 在 上单调递增，所以当 时， ，即，
设 ，求导可得 ，
令 ，即 ，可得 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
因此 的极大值为 ，即 ，
所以 的取值范围是 ．
（2）（i）令 ，可得 ，
因为 有三个零点，所以 ，因此可得 有 个不同的实数根，
设 ，求导可得 ，
令 ，即 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增， 的值域为 ，
当 时， ， 单调递减， 的值域为 ，
所以当且仅当 时， 有3个不同的实数根，
的取值范围是 ．
（ii）证明： ， ，
当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 且 ，，
， ， ，
， ，
在 上单调递增， ,
， ，
证明 可以转化成证明 ，即证 ，
，化简可得 ，
，
设 ，可得 ，
证明 可以转换为证明当 时 ，即证 ，
设 ，则
，
当 时， ，
在 上单调递增， ， ，
， ．2．（2026·湖北黄石·一模）设函数 为自然对数的底数.
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，记 ，证明：
① ；（注： ）
② .
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）求出导函数，然后按照 和 分类讨论，由导函数的符号确定单调性；
（2）①由（1）知 ，令 ，可得 ，结合对数运算性质及阶
乘的定义，利用累加法即可证明；
②令 ，可得 ，结合对数运算性质，利用累加法即可证明.
【详解】（1）由 ，得 ，
易知 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时，令 ，
解得 ，易知 ，当 或 时， ，当 时， ，
故此时 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递增，
故当 时， ，即有 .
①令 ，则有 ，即 ，即 ，
赋值代入，可得 ，
累加可得：
②令 ，则有 ，
即 ，化简得 ，
当 时，由 ，
累加可得：
，
即 .
即有 ，而当 时 ，
故有 .
3．（2026·河北邢台·二模）已知函数 ，其中 .(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有三个零点 ， ， ，其中 ，函数 的两个极值点分
别为 ， .
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）（i）由题意可得 有三个零点，求导，令 ，对函数 求导，
分 ， ， 三种情况，结合导数与单调性、最值的关系及零点的存在性定
理讨论求解即可；（ii）由 可得 ，即 ，根据极值
与导数的关系令 ，可得 ，令 ， ，
求导，根据导数可得 ，进而计算可证.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2）（i）函数 的定义域为 ， ，由 ，得 ，即 ，
由题意可得 有三个零点 ， ， ， ，
令 ，则 ，
①当 时， ， 单调递增，
且当 时， ；当 时， ，
由零点存在定理可知存在正数 ，使得 ，令 ，得 ；
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 上最多有2个零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
若 ，则 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，不可能有三个零点；
若 ，则 ， ，
且当 时， ；当 时， ，
故由零点存在定理可知存在 ， ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
因为 ，所以 ，即 .
又 ，当 时， ；当 时， ，
所以由零点存在定理可知存在三个零点 ， ， ，
所以 有三个零点时， 的取值范围是 .
（ii）证明：由 ，所以 ，
所以 也是 的零点，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
又 的两个极值点分别为 ， ，
所以 ， 是 ，即 的两个变号根，
所以直线 与 有两个不同的交点，其横坐标分别为 ， ，
而 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
， ，
令 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
4．（25-26高三下·辽宁·月考）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)记函数 的正零点为 .
（i）当 时，证明： ；
（ii）当 时，证明： .
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）先求导，利用导数研究函数的单调性；
（2）（i） 时，求出函数的正零点 ，再研究 的范围，通过放缩证明不等式；
（ii） 时，求出函数的正零点 ，构造新函数证明不等式.【详解】（1） ，
若 ，则 ，
， ， 单调递减；
， ， 单调递增；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）（i）证明：当 时，由 ，得 ，所以 ，
两边同时取自然对数并化简，得 ，所以 .
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
故 .
（ii）证明：当 时，由 ，得 ，所以 ，
所以 ，则 .
令 ，则 ，易知 在 上单调递增，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，即 ，
所以 ，则 .
解法一：
由 ，得 ，
又 ，故曲线 在 处的切线方程为 .
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
又 ，则 ，两式相减得
，
整理得 .
综上， .解法二：
由 ，
得 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，即
，
即 .
综上， .
5．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数 在 时取得极值.
(1)求 ，并讨论 的单调性.
(2)设 是公比为 的等比数列.
（i）若 ，证明： .
（ii）是否存在 满足： ， 均为正整数且 ，使得 成等
差数列？若存在，求出所有满足条件的 ；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ， 在 上单调递增，在 上单调递减
(2)（i）证明见解析（ii）存在，2和3
【分析】（1）先求导，再解出 ，然后讨论 的单调性即可.
（2）（i）先写出 的通项公式，再代入 得到 的表达式，再用错位相减法列出 比较即可.
（ii）根据等差中项性质列出等式，将 用 表示，代入等式得到关于 的方程再
根据，对 取值讨论，判断是否存在符合条件的 .
【详解】（1）由题意得 的定义域为 .
令 ，得 ，即 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）（i）由（1）可知 ，所以 ，
记 ，则 ，
，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
（ii）若 成等差数列，则 ，
即 ，整理得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，得 .
要满足题意，只需考虑 和 .当 时， ，所以 ，符合题意；
当 时， ，所以 ，符合题意.
下面说明，当 时，不存在满足条件的 ：
令 ，则 ，
令 ，则当 时， ，
故 在 上单调递减，当 时， ，
即 ，所以 在 上单调递减.
所以 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，
故当 时， ，由于 ，
故 或 ，若 ，则 ，得 ，不符合题意；
若 ，则 ，
由于 （因为 ），而 （因为 ），
结合 的单调性，可知 ，无整数解，
综上，满足条件的 的取值仅有2和3.
6．（2026·浙江金华·二模）已知函数 ， ．
(1)求函数 的极小值；
(2)讨论函数 的单调性；(3)若存在实数a，使得 在 恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)极小值为
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导，利用导数分析 的单调性和极值；
（2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数 的单调性；
（3）分析可得 ，令
， ，分类讨论 的符号，结合恒（能）
成立问题分析求解.
【详解】（1）因为 的定义域为 ，且 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 上单调递增，在 单调递减，
所以 的极小值为 ．
（2）因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 或 ，
当 ，即 时，则 ，
可知 在 上单调递减；
当 ，即 时，令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
可知 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
当 ，即 时，令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
可知 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减.
（3）因为 ，即 ，可得
，
令 ， ，
当 时，若 ，则 ，不合题意；
①
若 ，方程 满足 ，
且 ，可知方程 有一正一负两个实根，
取其正根为 ，则 ，不合题意；
综上所述：当 时，不存在实数a，使得 恒成立；
当 时，不妨取 ，则 ，
②
记 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，即 ，
可知 在 单调递减，则 ，
即对 ，都存在 ，使得 在 恒成立，综上所述：实数b的取值范围为 ．
7．（2026·浙江台州·二模）已知 ，函数 .
(1)当 时，求函数 的极小值；
(2)证明：当 时，对任意 ， ，都有 ；
(3)若存在 ， ， ，使得 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得；
（2）首先应用导数确定 为增函数，再得到 为增函数，利用单调性即可证
明；
（3）设 ， ，从而得到 能成立，利用导数及分析法求右
侧的最小值，即可得.
【详解】（1）由 ，得 .
令 ，解得 ， ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， .
所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
因此， 的极小值为 ；（2）当 时， ，其中 时取等号，
所以 为增函数，
对任意的 ， ，不妨设 ，则 ，
又 ，
所以 为增函数，得 ，即 ，
故 ；
（3）由题意，不妨设 ， ，
因为 ，所以 ，
整理得 ， ，
令 ， ， .
①当 时， ，
此时 .
②当 时，令 ，解得 ，
因此， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
法一：因为 ，又因为 ，得 ，即
所以 ，
记 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
因此，当 时， ，
又 ，
综上， ，
法二：求 最小值的第二种解法.
令 ，因为 ， ，所以 ，
下证： ，
因为
，
只需证： ，只需证： ，
令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 恒成立，
因此， ，
令 ，则 ，对于 ， ，
所以 ，当且仅当 时， .
所以a的取值范围是 .
8．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 上的最大值；
(2)当 时，若对任意的实数m，直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数
b的取值范围；
(3)若 ．证明：当 时， ．
【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数求 的单调性和最值；（2）原题意等价于方程 仅有一个解，令 ，可知 在R上
为单调函数，且值域为R，分类讨论 的符号，结合导数应用运算求解；
（3）根据题意结合（1）中结论分析可知 ，分 和 两种情况，
利用导数结合三角函数的有界性分析证明.
【详解】（1）当 时，则 ， ，
可知 在 单调递减，所以 在 上的最大值为 .
（2）当 时， ，
令 ，即 ，可得 ，
原题意等价于方程 仅有一个解，
令 ，则 ，
因为对任意实数m，方程 都仅有一个解，
可知 在R上为单调函数，且值域为R，
令 ，则 ，
因为当 趋近于 时， 趋近于 ，则 恒成立，
（i）当 时，则 ，可知 在R上单调递减，值域为R，满足题意；
（ii）当 时，当 时， ；当 时， ；
可知 在 单调递减，在 单调递增，则 ，
当 趋近于 时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于 ；可知 存在唯一零点 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
可知 在 单调递增，在 单调递减，不符合题意；
（iii）当 时，当 时， ；当 时， ；
可知 在 单调递增，在 单调递减，
则 ，解得 ，
当 时， 在定义域 内单调递减，
当 趋近于 时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于 ；
可知 值域为R，符合题意；
综上所述：实数b的取值范围为 ．
（3）当 时， ，
若证 ，即证 ，
因为 ， ，则 ，
由（1）可知： ，即 ，则
可得 ，
若证 ，即证 ，
（i）当 时，则 ，可得 ，且 ，则 ，可得 ，所以 ；
（ii）当 时，则 ，可得 ，
整理可得 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，
可知 在 上单调递增， ，
且 ，可得 ，所以 ；
综上所述： 时， .
9．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知 ，证明： ；
（2）设 ，若 恒成立，求正整数 的最大值；
（3）求证： .
【答案】（1）证明见解析（2）2（3）证明见解析
【分析】（1）记 ， ，求导，根据导数即可证明；
（2）由（1）结合特殊值可知 ，结合题意验证 是否满足即可求解；
（3）由（2）可得 ，记 ，求导，根据导数可证得
，进而可得 ，计算即可得证.【详解】（1）一方面，记 ， .
则 ，故 在 上单调递增，即 .
另一方面，记 ， .
所以 ，故 在 上单调递增，即 .
综上， ， 成立.
（2）当 时，由（1）知 ，故 恒成立.
一方面，取 ，则 ；
另一方面，当 时，记 ，则 .
由 知 ，
所以 ，故 单调递增.进而 .
综上，正整数 的最大值为2.
（3）当 时，由（2） ，
即 .
则 ，①
下证， ，，
则 ，
故 单调递增.进而 ，即 .
所以结合①可得 ，即 ，
所以 .
10．（2026·河南焦作·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，证明： ， ；
(3)已知 ，证明： ．
【答案】(1)极大值为 ，无极小值；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题知定义域为 ，进而求导研究函数单调性即可求解函数极值；
（2）构造函数 ， ，利用导数研究函数的单调性得 时，
单调递增； 时， 单调递减，再结合 ， 符号即可证明.（3）结合（1），令 ， ，进而结合 得
，再累加求和即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得
，再累加求和即可证明不等式右侧部分.
【详解】（1）解：当 时， ，定义域为 ，
，
所以，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，无极小值.
（2）解：当 时， ，
令 ， ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，
所以函数 在 单调递减，又函数 在 单调递减，
所以 在 单调递减，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，即
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
因为 ， ，
所以 在 恒成立，即 ，
所以， ， ，证毕.
（3）证明：先证 .
由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
故当 时， ，即令 ，则 ，即
令 ， 恒成立，所以 在 单调递减，
所以 ，即 ，故当 时， ，
令 ，则
所以 ，即
所以，
，
即 .
下证： .
由（2）知， ， ，即 ， ，
令 ，则
所以 ，即
综上， ，证毕.
11．（2026·福建泉州·一模）已知函数 .(1)证明： 有且只有一个极值点；
(2)若 恰有两个零点.
（i）证明： ；
（ii）记 的极值点为 ，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii） .
【分析】（1）法一： ，再设新函数再次求导，得到其单调性，再结合极限知识和零
点存在性定理和极值的定义即可得到其唯一极值点；法二：同法一利用二次求导法，通过
取值再结合零点存在性定理即可证明；
（2）（i）法一：首先讨论 的情况，再研究 ，代入隐零点得到方程组，
消去 ，再设新函数，求导后得到其单调性，再结合零点存在性定理即可得到证明；法二：
同法一消去 ，再设新函数，求导得其单调性，计算 和 即可证明；
（ii）法一：利用 ，再设新函数 ，通过多次求导研究即可；
法二：将 代入即可得 ，再设新函数并求导，最后再对 分
三类讨论即可；法三：同法二得到 ，再设新函数并求导，最后对 分
两类讨论即可.
【详解】（1）解法一：函数 的定义域 ，
令 ，因为 ，
所以 在 单调递增，即 在 单调递增.
又 .所以存在唯一的实数 ，使得 ，即 .
当 时， ，所以 单调递减；
当 时， ，所以 单调递增；
故 为 的极小值点，即 有唯一的极值点；
解法二：同法1得到 在 单调递增.
由于
，
，
所以存在唯一的实数 ，使得 ，即 ，
当 时， ，所以 单调递减；
当 时， ，所以 单调递增；
故 为 的唯一极值点.
（2）（i）解法一：由（1），得 .
①当 时， 至多一个零点，不合题意，舍去；
②当 ，即 时，由 消去 得， ，
令 ，
因为 ，所以 为减函数，
又因为 ，所以 的解集为 .
又 在 单调递增，所以 .
又 .
此时 有两个不同的零点，即 .
解法二：同法1得到 .
此时
又 ，则 ，
由零点存在性定理，存在 ，使得 .
综上，可得 .
（ii）解法一：由于 ，所以 可化为 .
令 ，则
，
设 ，则 ，则 ，
则 ，即 ，从而 .
令 ，所以 在 单调递增，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 在 单调递增.
所以 ，故 .
解法二：将 代入整理得
令 ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，显然成立；
当 时， ，
令 ，则 .
显然 在 单调递增，所以 .①当 ，则 ，
此时 在 单调递增，
所以 ，即 .
所以 在 单调递增，所以 ，
欲使 ，只需 ，即 .
即 时，符合题意.
②当 时，则 ，
又 ，
若 ，则 ，
又 在 连续，
则存在 ，使得 ，这与 矛盾；
若 ，则 显然不恒成立
综上，实数 的取值范围为 .
解法三：将 代入整理得
令
①当 时， .
又 ，
若 ，则 ，
又 在 的图象是连续不断的，故存在 ，使得 ，这与 矛盾；
若 ，则 显然不恒成立
所以 时， 不恒成立.
②当 ，因为 ，
令
又 ，
因为 ，所以 .
所以
所以 在 单调递增，
所以 .
综上，实数 的取值范围为 .
12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 在区间 上的最大值与最小值；
(2)讨论 的零点个数；
(3)若函数 有三个不同的极值点 ， ， ，且满足
，求 的取值范围．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为1(2)当 时， 无零点，当 或 时， 有1个零点，当 时，
有2个零点.
(3)
【分析】（1）根据导数求出 的单调性，再结合单调性求最值即可；
（2）根据 将其转化为 ，令 ，通过导函数研究 图象性质，
即可根据 与 图象的交点个数确定 的零点个数；
（3）根据 分情况讨论，由 解得 ，或 ，由题意，结合
的图象
求出a的取值范围，分析得出 ， ，据此将题中的
转化为a的函数，再结合导数求解单调性即可求出a的范围．
【详解】（1）当 时， ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ， ．
（2）令 ，得 ，即 ，
令 ，则 的零点个数等价于直线 与函数 的图象的交点个数，
，令 ，得 ，
当 时， ，则 ，所以 在 上单调递增；当 时， ，则 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
又当 时， ，当 时， ；
所以 的大致图象如下所示：
数形结合得，当 时，直线 与 的图象无交点，故 无零点；
当 或 时，直线 与 的图象有1个公共点，故 有1个零点；
当 时，直线 与 的图象有2个交点，故 有2个零点.
（3）由题知 ，
则 ，
当 时， ，方程 只有唯一解1，显然不合题意；
当 时，由 ，可得 ，或 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 在 处取得最大值，此时 ，又当 时， ，当 时， ，
要使 在定义域内有三个不同的极值点 ，需使 的图象与直线 有两个
不同的交点，即得 ，
不妨设 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以
，
令 ，则 ，
易知 在 上单调递增，
所以 ，又 ，
所以 ，即 在 上单调递增，
因为 ，则当 时，恒有 ，
即当 时， 恒成立，
所以实数 的取值范围是 ．
13．（2026·四川德阳·二模）已知 ，函数 （ ），记 为
的从小到大的第 （ ）个零点．
(1)当 时，求 ；(2)若
证明：（i）数列 是等比数列；
（ii）若 ，则对一切 恒成立．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）将函数 化简，再根据正弦函数的零点求解；
（2）（i）根据 的零点求出 的表达式，最后根据等比数列的定义证明；
（ii）由（i）的信息，借助分析法证明 ，构造函数 ，利用
导数求出最小值，转化证 即可.
【详解】（1）当 时， ，
令 ，则 ，解得 ，
因为 为 的从小到大的第 （ ）个零点，所以 ；
（2）（i）由 ，得 ，则 ，其中
，
，所以 ，
，又 ，因此 ，所以数列 是等比数列；
（ii）欲证 ，即证 ，
，且 ，
则只需证 ，又 ，
则只需证 ，即证 ，
令函数 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
因此 ，于是当 时， 成立；
当 时， ， ，又 ，则 ，
于是 ，即 ，
则当 时， ，即 成立；
当 时， ， ， ，
成立，
所以当 ，则对一切 ， 恒成立.14．（2026·河北·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性.
(2)当函数 的极小值为0时.
（i）若 在 上恒成立，求m的取值范围.
（ii）若 在 上恒成立，证明： .
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单
调递减，在 上单调递增
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）求函数的单调区间即讨论导函数在定义域内的正负问题；
（2）先根据函数 存在极小值为0，求出 的值，再将恒成立问题转化成求函数的最值
问题即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， .
当 时， ，则函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，则函数 在 上单调递减，
令 ，解得 ，则函数 在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增.
（2）（i）由（1）知，当 时，函数 存在极小值，且极小值点为 ，
所以 .
令 （其中 ），则 ，
即 .（*）
令 ，则 .
当 时， ；当 时， .所以 在 处取得最小值，且 ，故方程（*）只有唯一解为 ，即 .
所以 .
因为 ，所以 ，
即 ，即 .
令 ， ，
则 .
设 ， ，
则 .
易知 在 上单调递减，且 ， ，
所以存在唯一零点 ，使得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又因为 ， ，
所以 在 上恒成立.
所以 在 上单调递增.
所以对任意 ， .
所以m的取值范围是 .
（ii）由（i）知， ， ，
由 ,
得 在 上恒成立.令 ， ，
所以 .
因为 ，所以要使 在 上恒成立，
则 ，解得 .
当 时，由（i）知 在 上恒成立.
又因为当 时， ，且 ，所以 ，所以 .
所以 ，即 在 上单调递增，所以
当 时， ，而函数 在 上图象连接不断，则存在 ，
使得当 时， ，函数 在 上单调递减，则 ，不符
合题意，
综上， .
15．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数 ，
.
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，试求出正整数 的最小值，使 存在唯一的极值点；
(3)若 在 上有零点，求证： .
【答案】(1)答案见解析
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）通过求导分析 的符号，结合 不同的取值范围，判断 的单调区间；
（2）先通过代入最小的正整数 ，即 ，验证不满足“唯一极值点”，再代入 ，通过分析 的单调性与零点唯一性，即可确定 是满足条件的最小值；
（3）将函数零点转化为直线方程，利用点到直线的距离公式结合导数放缩，把 与函
数最值关联，从而证明不等式.
【详解】（1）当 时，函数 ，其定义域为 ，求导得 ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时， ，
设 ， ，
1°当 时， ，
易知 ，且 时， ， 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，故1为 的极大值点，
而 ，
，则存在 ，使 ，即 应为 的另一极值点，故 时不成立；
2°当 时， ，则 ，
① 当 时， ， 恒成立，
所以 在 上单调递减，
又 ， ，所以 在 内存在唯一零点 ，
即 在 内存在唯一极值点 ；
② 当 时， ，所以 ，则 ，
故 在 上单调递减，无极值；
③ 当 时， ，则 ，
故 在 上单调递减，无极值..
故 符合要求.
综上，正整数 的最小值为2，使 存在唯一的极值点.
（3） 在 上有零点，所以 ，
即 有实数根，
设 在 上的零点为 ，则 ，
则点 为直线 上一点，
所以 表示点 到原点的距离，显然，该距离不小于原点到直线
的距离，即 ，即 ，
不妨设 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，则 ，
即 ，又 ，则 ，
设 ， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 .
【点睛】以导数为核心工具，综合解决函数单调性、极值点判断、零点转化与不等式证明
等问题，将代数问题与几何意义结合，解题过程中要注意灵活应用分类讨论、试值验证、
放缩法等技巧.
16．（2026·浙江宁波·二模）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线在点 处的切线方程；
(2)若 有两个极值点 ， ，且 ，
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
【答案】(1)
(2)（ⅰ） （ⅱ）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何性质求出斜率，进而求出切线方程；（2）（ⅰ）求导，利用导数讨论极值点及单调性，进而求解 的取值范围；
（ⅱ）利用函数单调性转化不等式，再通过构造函数，求导，利用导数讨论函数单调性，
进而证明结论．
【详解】（1） 时， ，则 ，
求导得 ，则 ，
切线方程为 ，即 ．
（2）（ⅰ）由于 有两个极值点 ， ，
故 有两个变号零点，等价于方程 有两个不同的解；
设 ，则 ，令 ， ，则 ，
令 得 ，令 得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，且 ，
，即 的取值范围为 ．
（ⅱ）由（ⅰ）得， ．
，
欲证 ，只需证 ，
构造 ， ，则 ，
令 ，则 ，当 时， ，即 在 上单调递增，且 ，
在 时恒成立，
，
当 时 ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，故 ，
设方程 的两根为 ， ，不妨 ，
则由 得 ，
由韦达定理得 ，
，
，且 是方程 的两根， 是 的两根，
则 ，
，
，命题得证．
17．（2026·河南焦作·一模）已知函数 ．
(1)证明： 仅有一个极值点；
(2)若 有两个极值点，求 的取值范围；
(3)记 的极值点为 ，若 ，对任意的 恒成立，证明：
．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解即可；
（2）求导，分 、 两种情况，结合极值点的定义求解即可；
（3）转化任意的 恒成立为 恒成立，设
，利用导数分析其单调性，进而得到 ，
设 ，可得 ，设 ，利用导数分析其
单调性，进而求证即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
因为函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减，
又 ， ，
则存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 仅有一个极值点.
（2）由 ， ，得 ，
设 ，则 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，则 最多只有1个根，不符合题意；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 时， ， 时， ，
要使 有两个极值点，需使 ，
又 ，则得 ，即 .
综上所述， 的取值范围为 .
（3）由题意，对任意的 恒成立，
即 ，设 ，则 ，
因为 ，由（2）知，函数 在 上单调递减，
则函数 在 上单调递减，
又 ， 时， ，
则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 ，所以 ，
设 ，则 ，即 ， ，
所以 ，设 ，
则 ，
令 ，得 ，
由（1）知该方程当且仅当 ，即 时等号成立，即 ，
则 有唯一零点 ，此时 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
则 .
18．（2026·河北邯郸·一模）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ．
(2)设 有两个零点 ．
①求 的取值范围；
②证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）由 得出 ，构造函数 ，由导数得出，即可证明；
（2）①由 得出 ，构造函数 ，根据导数得出 的值域
即可求解 的取值范围；
②由①得 ， ，要证 即证 ，构造函
数 ，得出 ，进而得出 ，再构造
函数 ，即可证明．
【详解】（1）因为 ， ，所以 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，则 ．
（2）①由 ，可得 ．
令 ，则
．
令 ，显然 在 上单调递增，且 ，
则当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，则 ．
当 时， ，且当 时， ．
因为 ，所以由 有两个零点，可知 的取值范围为 ．
②由①可知 ， ，
要证 ，需证 ，即 ，
即 ．
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，则 ，即 ，
则 ．
令 ，则 ，
则 在 上单调递减，则 ，从而 ．
19．（2026·广东梅州·一模）（1）求函数 在区间 上的值域；
（2）设函数 .
①求证：当 时， 有唯一零点；
② ， 分别是 的两个不相等的极值点，求证： .
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）因为要求闭区间上函数的值域，所以先对 求导，利用导数判断函数在区间 上的单调性，因为函数的最值出现在极值点或区间端点处，所以求出导
数为0的点，再计算该点和区间端点的函数值，进而确定值域；
（2）①：当 时，先化简 ，对其求导，利用导数判断 的单调性；结合单调性
证明零点唯一；②：因为 是 的极值点，所以 ，先对 求导，
得到关于 的等式；要证 ，可先对等式变形，构造关于 的对称式，再
利用极值点偏移的相关方法，如构造函数、换元法等进行证明.
【详解】（1）解：对函数 求导，得 .
由 ，得 ，
当 ， ， 在 上单调递减；
当 ， ， 在 上单调递增，
所以 .
因为 ，
所以 .
故 在 上的值域为 .
（2）证明：①当 时， ， ，
则 .
令 ， ，则 .由 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
因此 在 上单调递增.
而 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上有唯一零点 .
②对函数 求导，得 ， .
结合①，可得 在 上单调递减，在 上单调递增，则
因为 ， ； ， ，
所以要使得 有两个不等的极值点，即 有两个不等的零点，
则 ，即 .
不妨设 ，则 ， ，
即 ， .
要证 ，即证 .
下证： .
令 ， ，
则 .
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以 在 上单调递减，
则 ，即 .
因为 ，所以 ，
即 .
因为 在 上单调递增，且 ， ，
所以 ，即证得 .
20．（2026·江苏·一模）已知函数 .
(1)对任意 ， 是 的必要条件，求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
（i）求 的取值范围；
（ii）对于（i）中给定的 ，证明：当 取得最小值时， .
【答案】(1)
(2)（i） （ii）证明见解析
【分析】（1）由已知条件可得 在 上单调递增，即 在恒成立，计算即
可；
（2）（i）由已知构造函数 可得 存在两个零点 ，利用导数证明
单调性，进而只需 ，即 ，利用导数计算可
得 的取值范围；（ii）将 同构为 ，将方程的两根转化 的两根为 ，利用导数及数形结合推理可得.
【详解】（1）∵对任意 ， 是 的必要条件，
∴ ，
在 上单调递增，
则 ，即 在 上恒成立，
令 ， ，
在 单调递减，
.
（2）（i）因为对 有两个不等的实根 ，
所以 有两个零点 ，
若 是方程 的一个根，则 ，所以 ，
令 ，
当 ，则 ，当 ，则 ，
所以 在 单调递减； 单调递增，
，
要使 有两个零点，只需 ，
即 ，令 ，
在(0,1)单调递增； 单调递减，.
(ii)令 ，则 ， ，即 ，
构造方程 ，两根为 ，
令 ，其中 的两根为
令 则 ，令 ，则 ，
在 单调递减； 单调递增，作出 大致图象如下：
令 ，
在 单调递减； 单调递增，
当 时， ，此时 最小.
取最小值时， .
21．（2026·山东枣庄·二模）已知 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 有两个实数根 ，证明： ；
(3)若方程 有实根，设 的最大值为 ，证明： ．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出切线斜率即可求切线方程；
（2）转化为方程 有两个实数根 ，构造函数 ，
利用导数得出极值点，可知 ，要证不等式只需证 ，再构造函数利用函
数的单调性得证；
（3）分段讨论去绝对值，利用导数研究函数的单调性及极值，可得函数有最大值，即求出
，再由 ，且 即可得证.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
切线方程为： ，
即 .
（2） ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，要证 ，即证 ，
因 ， 在 上单调递增，
故只需证 ，又 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，又 ，故 ，即 ，
得证.
（3） 有实根，即 有实根， 的最大值为 ，
令 ，
当 时， ，
在 上单调递减，当 时， ， ，
所以 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 的极大值为 ；
当 时， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减， ，
即 ， 在 上单调递减；
综上， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
因为 在 上单调递减， ， ，所以 ，所以 ，
故 .
