文档文本内容
专题08 计数原理与概率统计
8 大考点概览
考点01 统计
考点02 概率
考点03 排列组合
考点04 二项式定理
考点05 随机变量及其分布
考点06 正态分布
考点07 独立性检验
考点08 概率与其他知识交汇问题
1．（2026·三省三校·一模）样本数据
，，
，
，
的第
百分位数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据百分位数计算公式计算即可.
【详解】因为
，所以这组数据的第60 百分位数是
.
故选：B
2．（2026·辽宁沈阳·一模）样本数据
的第70 百分位数次为（ ）
A．7
B．9
C．9.5
D．10
【答案】D
【分析】利用第
百分位数的定义即可求解.
【详解】
数据
的第70 百分位数为10．
故选：D．
3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，
174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的
分位数为（ ）
A．177.5
B．178
C．178.5
D．179
【答案】C
【分析】根据百分位数的求法计算即可.
【详解】先将这十名护旗手的身高进行从小到大排序，得：
174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，
考点1
统计
因为
，为整数，故取第个数与第个数的平均数，
即十名护旗手身高的
分位数为
，
故选：C.
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前
个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生
产的零件以
个为一箱，成箱出售（
）.每箱中的零件按照生产顺序，从1 到
连续编号.现从一箱中
随机抽取6 个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4 个选项中，作
为
的估计值，最合适的一项是（ ）
A．61
B．70
C．98
D．120
【答案】B
【分析】根据统计估计计算求解.
【详解】根据已知从1 到
连续编号.现从一箱中随机抽取6 个零件，发现上面的编号从小到大依次为：
12，15，33，38，55，60，
则
，所以
.
5．（2026·吉林白城·一模）（多选）有一组样本数据
，其平均数为4，方差为
，中位数为
m．在这组数中，去掉一个最大的数6 和一个最小的数2，余下6 个数据的中位数为n，方差为
，极差为
t，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系
进而得到结论.
【详解】对于A，令
，原中位数
，将最大最小去掉后，
，此时中位
数
，所以
.故A 正确.
对于B，
，故B 错误.
对于C，因为原数据的平均值为4，所以
，去掉
，
，新的平均值为
.
又
所以
，因此
，故C 正确.
对于D，由上述计算
，故D 正确.
6．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直
方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ）
A．76
B．77
C．78
D．79
【答案】B
【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组
内，列式求解即可.
【详解】从左到右前2 个小组的频率分别为
，
，第3 个小组的频率为
，
又
，
，
故50%分位数在
内，
.
故选：B.
7．（2026·辽宁辽阳·一模）（多选）某市10 公里慢跑自2020 年首次推出5 条路线实现“五龙汇聚”，参
与人数逐年增加.下图分别为该市2020 年10 公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025 年10 公里慢跑
参与人数的扇形统计图（图2），已知2025 年一号线的参与人数是2020 年一号线参与人数的1.5 倍，则（
）
A．2025 年该市10 公里慢跑总的参与人数是6 万
B．2025 年五号线的参与人数超过了2020 年二号线与三号线的参与人数总和
C．2020 年，五条路线对应的参与人数的极差是11 千
D．2025 年与2020 年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线
【答案】ACD
【分析】根据直方图、扇形图分析
、
年各路线对应慢跑人数，结合各项描述、极差的概念判断
各项的正误.
【详解】由图及已知，
年一号线参与人数为
千人，
所以
年参加10 公里慢跑人数为
千人，即6 万人，A 对，
所以
年五号线的参与人数为
千人，
且
年二号线、三号线的参与人数总和为
千人，显然B 错，
年五条路线参与人数的极差为
千人，C 对，
由图及上述分析，
年一号到五号线的人数依次为
千人，
而
年一号到五号线的人数依次为
千人，
2025 年与2020 年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率依次为：
，
，
，
，
，
所以2025 年与2020 年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线，D 对.
故选：ACD
1．（2026·黑龙江研远联合·一模）从1，2，3，4 这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5 的概
率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可.
考点2
概率
【详解】从1，2，3，4 这四个数中随机选取两个数，用集合表示为：
，共
种情况，
其中
符合所取两个数之和为5，共
种情况，
所以所取两个数之和为5 的概率是
.
故选：B
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以
“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落
地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，
能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，
能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A．0.9
B．0.91
C．0.92
D．0.93
【答案】D
【分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】
.
3．（2026·辽宁沈阳·一模）（多选）已知事件
，
满足
，
，则下列结论正确的是
( ).
A．若
，则
B．若
与
互斥，则
C．若
，则
与
相互独立
D．若
与
相互独立，则
【答案】BC
【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可.
【详解】对于A，由
，得
，A 错误；
对于B，由A 与B 互斥，得
，B 正确；
对于C，由
，得
，则A 与B 相互独立，C 正确；
对于D，由A 与B 相互独立，得
，
相互独立，则
，D 错误.
故选：BC
4．（2026·辽宁大连·一模）从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中
的值；
(2)估计月用电量样本数据的中位数；
(3)在该小区所有居民用户中随机抽取一用户
，已知
的月用电量落在区间
中，估计
的月
用电量恰好落在区间
中的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，列式计算，即可得答案；
（2）判断出样本数据的中位数落在哪个区间内，进而根据中位数的求解方法列式，即可求得答案；
（3）先求出区间
内的频率，再求出区间
内的频率，根据概率的计算公式即可估计
的
月用电量恰好落在
中的概率.
【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，每组的组距为50，
根据上述性质可得：
,
解得
；
（2）首先计算前几组的频率：
区间
的频率：
，
区间
的频率：
，
区间
的频率：
，
前两组频率之和为
，前三组频率之和为
，
所以中位数在
内，
设中位数为m，则
，
解得
；
（3）先计算区间
的频率：
区间
的频率：
，
区间
的频率：
，
区间
的频率：
，
所以区间
的频率为
，区间
的频率为0.18，
M 的月用电量落在区间
中时，
恰好落在区间
中的概率为
.
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中
由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7 这七个数字分别填入这七个圆中，
且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
【答案】200
【详解】
将有阴影的圆分别标为
，
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，
当阴影的圆中的数字为
时，则将
填在
中有
种方法，接着剩下的
个数字填到圆中有
种方法，所以共有
种方法；
当阴影的圆中的数字为
时，若将
填到，则接着安排
有
种方法，与相邻的两个圆只能从
中选两个有
种方法，剩下两个数有
种填法，所以共有
种方法；
若将
填到
或
，有
种方法，则接着安排
有
种方法，与
相邻的三个圆只能填
有
种方法，
考点3
排列组合
剩下一个数有种填法，所以共有
种方法；
当阴影的圆中的数字为
时，则只能填到，则接着安排
有
种方法，与相邻的两个圆只能安
排
有
种方法，剩下两个数有
种填法，所以共有
种方法；
所以总共有
种填法.
故答案为：
2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、
体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1 名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配
方法种数为（ ）
A．81
B．72
C．36
D．12
【答案】C
【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得.
【详解】先从四人中选出两人当成一组，共
种分法，
再将三组人进行分配，共
种，
故共有
种分配方法.
3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､
小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前
两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120
B．60
C．24
D．36
【答案】D
【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2 种情况讨论，结合排列组合，即可求解.
【详解】根据题意可分为2 种情况讨论：
（i）若小张或小赵只有一人入选，则有
种不同的选派方案；
（ii）若小张，小赵都入选则有
种不同的选派方案，
综上可得，共有
种不同的选派方案.
故选：D
1．（2026·吉林白城联合体·一模）二项式
的展开式中常数项为_____.
【答案】
【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出
展开式的通项，再令通项中
次数为0，求出对应
的值，进而得到常数项.
【详解】二项式
的展开式的通项为
，
令
，得
，所以常数项为
.
因此二项式
的展开式中常数项为
.
故答案为：
2．（2026·辽宁沈阳·一模）已知
，二项式
的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的
常数项为__________.
【答案】
【分析】根据赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】因为二项式
的展开式中所有项的系数和为64，
所以
，或
舍去，
二项式
的通项公式为
，
令
，
所以展开式中的常数项为
.
考点4
二项式定理
故答案为：
3．（2026·三省三校·一模）（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由
，
令
得
，A 选项正确.
令
得
，B 选项错误.
二项式
展开式的通项公式为
，
由此可知
是负数，
为正数，
所以令
得
，
，
即
，C 选项错误
由
，
两边求导得
，
令
得
，所以D 选项正确.
故选：AD
1．（2026·黑龙江·一模）（多选）
对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近1nm 工艺之后
面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品
考点5
随机变量及其分布列
检测，假设试产期共有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
生产线
次品率
产量（件／天）
甲
200
乙
500
丙
300
试产期检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由
计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4 次，把4 次的数字相加，若和小于3，则该天检测方式
和前一天相同，否则选择另一种检测方式．则下列选项中正确的是（ ）
A．若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为
B．若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自乙生产线的概率为
C．若计算机4 次生成的数字之和为
，则
D．设
表示事件第
天该企业产品检测选择的是智能检测，则
【答案】ABD
【分析】利用全概率公式计算可判断A 的真假；利用条件概率公式进行计算可判断B 的真假；利用二项分
布的有关计算可判断C 的真假；先探索
的递推公式，再根据递推公式求通项公式可判断D 的真假.
【详解】对于A：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，
这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件
，
，
，
则由
，故A 正确；
对于B：由A 选项的解析可知
，故B 正确．
对于C：因为
，
，
所以
，故C 错误；
对于D：由
，
即
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
则
，所以
，故D 正确；
2．（2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm 的正方形
中，一点从
处出发沿着边移动.掷一枚骰子，
若向上的点数等于6，则该点沿平行于
的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该
点沿平行于
的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷
次骰子后，该点回到
，
，
处的概率
分别为
，
，
.
(1)求
.
(2)设掷4 次骰子，该点经过
处的次数为
，求
的分布列.
(3)若随机变量
服从两点分布，且
，
，则
，记掷
前
次骰子（即从第1 次到第
次掷骰子）的过程中，该点经过
处的次数为
，求
.
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析；
(3)
.
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案；
（2）首先分析出
的可能取值为0，1，2，再分别写出其对应的概率；
（3）根据题意得到方程组
，变形后构造得数列
为等比数列，求出其通项公式，
再利用分组求和法即可得到期望值.
【详解】（1）已知每一步沿平行于
的方向移动的概率为
，
沿平行于
的方向移动的概率为
，两次移动后回到
处有两种情况，
沿着
或
方向来回，故
.
（2）由题意可知，
的可能取值为0，1，2，
则
，
，
.
所以
的分布列为：
0
1
2
（3）注意到掷偶数次时，该点不可能停在
处或
处，故
．
由第一问
，故掷两次后停在
处的概率为
，
由题意得
，
两式相减得
，
则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，
又因为
，所以
．
将该点出现在
处记为1，出现在
处记为0，故随机变量
服从两点分布，
，
故
．
3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1 个红球和3 个白球，乙袋内有2
个红球和2 个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1 个球）：先随机选择一个袋子摸球．
若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3 次．当第1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数
的分布列及期望
；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2 次红球则停止摸球．求3 次之内（含3 次）停止摸球的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用二项分布的概率和期望公式求解即可；
（2）利用全概率公式求解即可.
【详解】（1）法一：由题意得
的可能取值为
．
，
，
，
．
0
1
2
3
因此
．
法二：由题意得
的可能取值为
．
又
，故
（
）．
因此
．
（2）设事件
“ 次之内（含次）停止摸球”，
事件
“第次摸到红球，第
次摸到红球”；
事件
“第次摸到红球，第
次摸到白球，第次摸到红球”；
事件
“第次摸到白球，第
次摸到红球，第次摸到红球”；
事件
“首次选择甲袋是第次摸球”（
），
事件
“一直没有选择甲袋”．
则
．
．
．
因此
．
4．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）
已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元.某地区随机调查了经常使用某
AI 工具的360 名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
人数
30
150
90
60
30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI 工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记
抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设
，求
的分布列；
(3)已知该
工具对某20 个问题能准确答对其中的（
，且
）个．若从这20 个问题中随机抽
取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率最大，求此时的取值．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算.
（2）先根据分层抽样的概念确定第一次抽取的12 人样本中第一组和第二组的人数，进而得到
的可能取
值，求其概率，可得
的分布列.
（3）先得到答对3 题的概率
，设
，分析函数
的单调性，求
最大值的
值.
【详解】（1）估计平均年龄为
.
（2）由题意得，这12 人中，年龄在第一组内的有
（人），
年龄在第二组内的有
（人），
则
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以
，
，
，
，
则
的分布列为：
0
1
2
3
4
（3）从这20 个问题中随机抽取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率为
，
设
，由
，且
得
，
所以
，
显然
，
，
令
，
当
时，有
，
，即
，
此时
；
当
时，有
，
，即
，
此时
，即
，
所以
．
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量
，
，则
______.
【答案】
/
【详解】由题意得
.
考点6
正态分布
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分
层抽样的方式得到200 名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1 所示.若
认为成绩不低于120 分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2 所示，已知样本中高三年
级有15 位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占
.
(1)求a 的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方
列联表，依据小概率值
的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是
否有关.
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
附：
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
，下四分位数
(2)有关
【分析】（1）利用频率分布直方图各组频率之和为的性质，列出方程求解参数值；再根据百分位数的定
义，通过累计频率确定下四分位数所在的区间，并用插值法计算该分位数；
（2）根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判断独立
性；最后通过计算两组学生的优秀率并对比，进一步验证独立性检验的结论.
【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为
，
因此：
，解得：
，
下四分位数即第
百分位数，计算累计频率
考点7
独立性检验
频率
，累计
；
频率
，累计
；
频率
，累计
；
频率
，累计
。
，因此第
百分位数在区间
内，
计算得：下四分位数
（2）零假设
：认真完成作业与成绩无关
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
，因为
，
依据小概率值
的独立性检验，零假设
不成立，即认真完成作业与成绩有关，
该判断出错概率不超过0.001，
认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4，
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1，
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4 倍，差异显著.
2．（2026·三省三校·一模）截至2025 年底，我国新能源汽车保有量达到4397 万辆，占汽车总产量的
12%．某城市研究小组调查了300 名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成
如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的
，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120 人．
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
女性驾驶员
合计
300
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值
的独立性检验，分析对燃油汽车和新
能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.
(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8 人做进一步访谈，然后从这8
人中随机抽取3 人填写调查问卷，记抽取的3 人中偏好新能源汽车的人数为X，求X 的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
，
．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表为
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
有关联，解释见解析，
(2)随机变量
的分布列为
0
1
2
3
期望为
【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到
，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得
所有可能
的取值，根据超几何分布概率公式可求得
每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式
可求得期望值.
【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为
，
因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的
，故样本中女性驾驶员的人数为
，
由题意，列联表补充如下：
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
零假设
为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联．
根据列联表数据，计算得
．
根据小概率值
的独立性检验，可以推断
不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶
员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为
，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为
，
前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大．
（2）由题意，抽取的8 人中偏好燃油汽车的人数为
人，偏好新能源汽车的人数为
人．
随机变量
的可能值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以，随机变量
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
．
3．（2026·吉林白城联合体·一模）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者
中随机抽取2000 名得到如下列联表：
效果明显
效果不明显
合计
甲方案
1000
200
1200
乙方案
600
200
800
合计
1600
400
2000
(1)根据小概率值
的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8 人，再从这8 名患者中随机
抽取4 人，设
表示4 名患者中效果不明显的人数，求
的分布列和数学期望．
附：
．
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）根据题意，由列联表代入
的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果；
（2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取
名，从效果不明显的患者中抽取
名，再
由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.
【详解】（1）零假设为
：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
（2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取
名，从效果不明显的患者中抽取
名，
的取值分别为0，1，2，
则
，
所以
的分布列为
0
1
2
．
1．（2026·三省三校·一模）有
个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1 个盒子中有2 个白球1 个黑球，
其余盒子中均为1 个白球1 个黑球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，再从第2 个盒子中任取
一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到白球的概率是______，从第
个盒子中取到白球
的概率是______．
【答案】
【分析】记事件
表示从第i 个盒子里取出白球，利用全概率公式可得
，进而可得
，然后构造等比数列，求通
项公式即得.
【详解】记事件
表示从第
个盒子里取出白球，则
，
，
所以
，
，
，
进而可得
，
，
又
，
，
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
，
考点8
概率与其他知识交汇问题
故答案为：
；
.
2．（2026·辽宁大连·一模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为
），当向上
的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50 次，向上的结果没有出现“正面-反
面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为
，若
（
为正整数），则
的最小值为__________.
【答案】3
【分析】计算出
的表达式，再根据均值公式和错位相减法即可得到
，从而得到答
案.
【详解】抛掷总次数
，其中
，
.
所以
相减得
.
所以
，所以正整数
的最小值为3．
故答案为：3.
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，一动点
从点
出发，在正方形ABCD 的各顶点上移动.每次移动时，
动点
有
的概率沿水平方向向左或右移动一次，有
的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独
立.设动点
移动了
（
）步之后，停在点
的概率为
.
(1)求
，
；
(2)求
的通项公式；
(3)记点
的前
次移动中，到达过点
的次数为
，求证：
.
参考公式：若随机变量
服从两点分布且
，
，
，则
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据独立事件和互斥事件的概率计算公式可求
的值，结合
的值可求
的值.或者分情况
讨论，利用互斥事件的概率加法公式求
的值.
（2）先探索
与
的递推关系，再根据递推公式求数列
的通项公式.
（3）先求移动
步之后，动点停留在点
的概率为
，根据
服从两点分布，利用给出的公式求
即可证明.
【详解】（1）设事件
表示第
次沿水平方向移动，事件
表示第
次沿竖直方向移动，
，
，
另一种计算
的方法：
四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为
；
四次移动中，全部水平移动的概率为
；
四次移动中，全部竖直移动的概率是
；
相加得
.
（2）设连续移动两步，动点位置变化的概率为
，动点位置不变的概率为
则
，
；
根据全概率公式，
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，
.
（3）设移动
步之后，动点停留在点
的概率为
，
则根据全概率公式，
，
，
又因为
，所以
，
，
设随机变量
满足：①当移动
步之后，动点停留在点
，则
；
②当移动
步之后，动点不停留在点
，则
；
显然
服从两点分布，且
，
所以
.
4．（2026·辽宁沈阳·一模）已知随机变量
的取值为非负整数，其分布列为：
0
1
2
其中
，且
.由
生成的函数为
.
(1)若
生成的函数为
，设事件
：当
为奇数时，求
的值；
(2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1 个红球，在盒二中有2 个蓝球和4 个绿球（球的颜色不同，
其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为
，设随机变量
生成的
函数为
，其中
分别对应取到红球蓝球绿球的概率
､
､
.
请判断
与
的大小关系；
(3)从方程
的自然数中等可能地随机选取一组解，用
表示一组解中最小的数，此时由
生成
的函数记为
，令
，求
的极小值点.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到
，结合
为奇数时，求得
的值，
得到答案；
（2）根据题意，得到
生成的函数为
，求得
，得到
的值，再由期望和方差的公式，求得
的值，即可求解；
（3）得出变量
的可能取值为
，求得相应的概率，得到函数
，求得
，令
，求
得
，得到函数
单调性，结合极值点的定义，即可求解.
【详解】（1）解：由变量
生成的函数为
，
可得
，
所以
，
所以当
为奇数时，可得
.
（2）证明：由
分别对应取到红球蓝球绿球的概率，
､
､
故
，即
，所以
，
所以
生成的函数为
，
可得
，则
，
所以
，
因为
，
所以
，故
，
因为
，
所以
，
所以
.
（3）解：由方程
的自然数中等可能地随机选取一组解，
可得有序三元组
的总数的组合数为
种，
由随机变量
，所以随机变量
的可能取值为
，
当
时，即数组
中，有1 个0 或2 个0，可得
；
当
时，即数组
中，有1 个1 或2 个1，可得
；
当
时，即数组
中，有1 个2 或2 个2，可得
；
当
时，即数组
中，三个数都是3，可得
，
则变量
的分布列为
0
1
2
3
所以
，可得
，
则
，令
，即
，解得
，
所以当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
所以，当
是函数
的极小值点.
