文档内容
怀远县 2024—2025 学年度第一学期期中教学质量检测
高一数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.考试范围：北师大版教材必修一第一章——第三章指数幂的运算性质.
2.所有答案必须用0.5mm黑色水笔写在答题卷上，写在试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设集合 ，则 ，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在数轴上表示出集合 ，再结合交集的定义即可得解.
【详解】集合 在数轴上表示如图所示：
由图可得 .
故选：B.
2. 命题“ ”的否定为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据特称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题知：
“ ”的否定为“ ”，
故选：D.
3. 不等式4＋3x－x2<0的解集为（ ）
A. {x|－14或x<－1}
C. {x|x>1或x<－4} D. {x|－40，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为
{x|x>4或x<－1}.
故选：B
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
4. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由被开方数大于等于零求出定义域.
【详解】由已知可得 ，
所以定义域为 .
故选：B5. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解.
【详解】由于二次函数 的二次项系数为正数，对称轴为直线 ，
其对称轴左侧的图象是下降的，
∴ ，故 ，
因此，实数 的取值范围是 .
故选：A.
的
6. “a>0，b>0”是“ab>0” （ ）条件
A. 既不充分也不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 充分不必要
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】 成立，但 或 ，
因此“a>0，b>0”是“ab>0”的充分不必要条件．
故选：D．
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，解题方法是利用充分必要条件的定义．
7. 函数 的图象大致为（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图
象.
【详解】由函数的解析式可得： ，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点
对称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
8. 已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据函数的值域求得 的正确答案.
【详解】当 时， ；
当 时， ，
要使 的值域为 ，则需 ，
解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：A
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列各组函数中，是相同函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数相等的条件，逐项分析函数的定义域、值域及对应法则即可.
【详解】对于A， 的定义域、值域、对应关系都与 相同，是同一函数．
对于B， 与 是同一函数．
对于C， ，解析式不同，与 不是同一函数．对于D， 与 是同一函数．
故选：ABD.
10. 已知 ， ，且 ，则（ ）．
A. ab的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为9 D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式及其应用，逐项分析判断，对A，直接利用基本不等式 即可判断；
对B，由 即可判断， 对C，由 ，再利用基本
不等式即可；对D， 即可判断.
【详解】对A， ，所以 ， 当且仅当 时成立，故A正确；
对B，由 ，可得 ，可得 ， 的最小值为 ，故B
不正确；
对C， ，
当且仅当 即 时成立,故C正确；
对D， ，当且仅当 时成立，故D正确.故选：ACD
11. 设 是 上的奇函数，且对 都有 ，当 时， ，则下列
说法正确的是（ ）
A. 在 上是增函数 B. 的最大值是 ，最小值是
C. 直线 是函数 的一条对称轴 D. 当 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据 得， 的图像关于直线 对称，再结合 的奇偶性和单调性，
即可得到 的最值；当 时，构造 ， ，再结合 的周期性
和奇偶性，即可得到 的解析式.
【详解】因为 是 上 的奇函数，所以f (−x)=−f (x)，又因为 ，所以 的图像
关于直线 对称，故C正确；
因为 即 ，从而 ，所以
，所以f (4+x)=f (x)，所以 是周期为4的周期函数，又因为当 时，
单调递增，所以 在 上也单调递增，从而 在 上单调递增，又因为
的周期为4，所以 在 上单调递增，故A正确；
因为 在 上单调递增，且 的图像关于直线 对称，所以 在 上单调递减，所
以 在 上的最大值为 ，最小值 ，故B错误；当 时， ，所以 ，因为周期为4，所以
，
又因为 为奇函数，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 幂函数 在区间 上单调递减，则实数m的值为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案.
【详解】因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时， 在区间 上单调递增，不满足题意，
当 时， 在 上单调递减，满足题意.
故 ．
故答案为：
13. 已知函数 ，若 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】运用换元法和代入法进行求解即可.
【详解】令 ，得 ，则 ．因为 ，所以 ，解得 ．
故答案为：3
14. 已知函数 为 上的偶函数，当 时， ，则 的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由 为偶函数，求出函数解析式，分类讨论解不等式即可.
【详解】函数 为 上的偶函数，当 时， ，
当 时， ， ，
①当 ，即 时， ，
由 ， 时，符合题意；
时，有 ，解得 ，此时 ；
时，有 ，解得 ，此时 ；
.
所以 符合题意
②当 ，即 时， ，
由 ， ，得 ，解得 ，
所以 .综上所得， 的解集为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式确定集合 ，然后由交集定义计算；
（2）由包含关系得关于 的不等式组，解之可得．
【小问1详解】
易得 ，
当 时， ，
∴ .
【小问2详解】
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
故实数 的取值范围： .16. （1）计算： ；
（2）已知 ，求下列各式的值：
① ；
② .
【答案】（1） ；（2）①7；②
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解；
（2）利用平方关系求解.
【详解】（1）原式 ；
（2）①因为 ，所以 ，即 ，所以 ；
②因为 ，又因为 ，所以
17. 关于 的不等式
（1）若 ，解不等式.
（2）若不等式 的解集是 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把 代入不等式，根据一元二次不等式解集求解公式计算即可．（2）由题得 时，满足题意； 时，需满足 ，且 ，求解即可．
【小问1详解】
当 时， ，
即 ，
解得 ，
故不等式的解集为 ．
【小问2详解】
的
因为不等式 解集是R，
时， ，满足题意，
时，需满足 ，且 ，
解得 ，
综上可得 ，
故实数 的取值范围为 ．
18. 已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1万件产品还需另外投入16万元，设该公
司一年内共生产 万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为 万元，且已知
（1）求利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式：
（2）当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.【答案】（1） ；
（2）当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
【解析】
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式；
（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解.
【小问1详解】
由题得利润等于收入减去成本.
当 时， ；
当 时， .
【小问2详解】
当 时， 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， ，
时， 的最大值为6104万元，
即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
19. 函数 是定义在 上 奇的函数，且 .
（1）判断 在 上的单调性，并用定义证明；（2）解关于t的不等式 .
【答案】（1）增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质求b，由 可得a，然后利用单调性定义证明即可；
（2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得.
【小问1详解】
由函数 是定义在 上的奇函数，
得 ，解得 ，
经检验， 时， ，
所以 是 上的奇函数，满足题意，
又 ，解得 ，故 ， .
函数 在 上为增函数.证明如下：
且 ，
则 ，
因为 ，
所以 ， ， ， ，所以 ，即 ，
所以 在 上为增函数.
【小问2详解】
因为 为奇函数，所以 ，
不等式 可化为 ，即 ，
又 在 上是增函数，所以 ，解得 ，
所以关于t的不等式解集为 .
