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第一章 几何与常用逻辑用语、不等式~第三章一元函数的导数
及其应用（综合训练）
参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A B B C A D C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AB BC ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 1024 570
13．
14．4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】（1） ，
，
.（3分）
（2） ，由 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为49.（8分）
（3）设函数 ， ，
任取 ，且 ，
则 ，
，且 ，
， ，
，即 ，
所以函数 是 上的增函数.
，
由 ， ，
.
所以 的取值范围为 .（13分）
16．（15分）
【解析】（1）若 ，则 ，
所以 ，要求 ，
只需求 ，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，
故不等式 的解集为 .（6分）
（2）由 ，
则 ，
记 ，
令 ，则得两根为 ，
若 满足在 上存在极大值，
则 在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等，（8分）
若 ，即 ， 只有零点 ，
所以 时， ，
当 时， ，
此时函数 只有极小值，无极大值，舍去.（10分）
若 ，即 ，则 ，
此时函数 单调递增，无极值，舍去.
若 ，即 ，
则当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
此时， 是极大值点，满足题意.
若 ，即 ，
则当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
此时 是极大值点，满足题意.
综上， 的取值范围为 .（15分）
17．（15分）
【解析】（1）由题可得 ，
所以 ，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（6分）
（2）因为 是 的极小值点，
则 ，
即 ，即 ，
所以 （8分）
由于 ， ，由于 在 上单调递增，
所以 ，
令 ，所以 在 上单调递减，
则 ，
即 （15分）
18．（17分）
【解析】（1）当 时， ，
.
令 ，得 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，故 在 处取得最小值，
.（4分）
（2）当 时， 恒成立，
即 ，
即 .
令 ，即求 在 时恒成立，
.（6分）
①当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，
则当 时， 恒成立；（8分）
②当 时， 在 上单调递减，且 ，
则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
则 成立，与题干矛盾，舍掉；（10分）
③当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
则 恒成立，与题干矛盾，舍掉.
综上所述， 满足要求.（12分）
（3）将 代入，原方程化为 ，
即 ，则有 ，
两式相减，得 ，
即 ，
故原不等式变形为 .
不妨令 ，不等式两端同时除以 ，则不等式可变形为 .
令 ，则不等式可继续变形为 ，
即证 在 时恒成立，
故令 ，
则 恒成立，
故 在 时单调递增，则 恒成立，
故命题得证.（17分）
19．（17分）
【解析】（1）当 时，则集合 ，其非空真子集个数为 个；
，要使 ， 为平衡互补子集，则 ， 中元素和都为14.
由 ，得平衡互补子集有 与 ， 与 ， 与 ，
与 ，共4对，即平衡子集有8个.
子集是平衡子集概率为 .（6分）
（2）当 时，集合 ，其元素和为 ，为偶数，故存在平衡子集.
当 时， ，集合 ，其平衡子集为 与 ，故 ；
当 时，平衡互补子集总对数为 ，集合 ；
当 时，集合 可看作在集合 的基础上，新
增加了4个元素： ， ， ， ；
对于 中的每一对平衡互补子集 与 ，可构造 中的4对平衡互补子集：
① 与 ；
② 与 ；
③不妨设 ， 剔除元素1得到 ，则 与 ；
④不妨设 ， 剔除元素2得到 ，则 与 ；
由于以上四对平衡互补子集互不重复，且均为 中的平衡互补子集，
因此可得： ，即 ，
，即不等式成立.（12分）
（3） 时，集合U的非空真子集总数为 .
平衡子集个数为 （每对平衡互补子集对应2个平衡子集），
因此单次抽取到平衡子集的概率 ，
由（2）可知 ，代入可得 ，
令 ， ， ，则 ；在 严格递减，则 ；
.
；
.（17分）
