2026 年天津高考数学真题完全解读
试卷总评 · 考情分析 · 复习策略 · 真题解读
试题分析
2026年天津高考数学试卷延续天津卷自主命题的20题结构（9道单选题+6道填空题+5道解答题），
总分150分。试卷整体难度适中，梯度清晰，体现基础性、综合性、应用性相结合的命题特点。单选题前
6题侧重基础概念和常规运算，第7-9题逐步提升难度；填空题第10-13题为基础运算，第14-15题融入三
角函数最值和抛物线多选判断，体现综合应用；解答题覆盖三角函数、立体几何、解析几何、数列和导数
五大主干模块，第20题导数压轴题涉及对数放缩和恒成立求参数，难度较大。全卷注重通性通法，强调对
基本概念和公式的准确理解与灵活运用，对运算能力和逻辑推理能力要求较高。
试题亮点
1. 多选填空创新设问，思维深度显著提升：第15题以抛物线为背景设置多选填空，要求判断5个命题的
正确性，考查学生对抛物线弦与轴交点性质的深入理解。此类题型在天津卷中较为典型，融合了解析几
何、代数运算和逻辑判断，对学生的综合分析能力提出较高要求。
2. 数列与集合交汇命题，考查创新思维：第19题将等差数列与等比数列的通项公式、集合元素计数和错
位相减法求和融为一体，尤其是第(2)(ii)问需要利用分组求和与错位相减法，体现了数列模块的综合性与创
新性。
3. 导数压轴题层次分明，对数放缩彰显区分度：第20题以函数切线、不等式证明和恒成立求参数三问层
层递进，第(3)问需要构造辅助函数、取对数放缩，结合分类讨论确定参数的最大值，充分体现了导数作为
顶尖区分度载体的功能。
命题趋势
1. 基础概念考查持续深化，注重通性通法：天津卷单选前6题和填空前4题保持较低难度，但如第3题线
性回归并非机械套用公式，而是需要理解相关系数的意义和预测值的含义；第5题正方体空间几何需要综
合线面关系进行判断。未来命题将继续以基础题为基本盘，但会通过概念理解的深度检验学生是否真正掌
握知识本质。
2. 解答题模块分布稳定，解析几何与数列仍是重点：天津卷解答题5题分别覆盖三角函数、立体几何、解
析几何、数列和导数，模块分布较为固定。第18题椭圆与圆的综合、第19题数列与集合的交汇，体现了天津卷对解析几何和数列模块的重视。预计这一结构将稳定延续，解析几何和数列的综合应用将持续成为
考查重点。
3. 导数压轴题探究性特征明显，放缩技巧常态化：第20题第(3)问涉及对数放缩和裂项求和，需要学生自
主构造函数、利用已证结论进行放缩。近三年天津卷导数压轴题均涉及恒成立求参数或不等式证明，且放
缩技巧的运用频率增加，预计这一趋势将持续。
4. 概率统计融入实际情境，数据分析能力要求提升：第3题以候鸟数量与温度关系的调查数据为背景，考
查线性回归和相关系数的理解；第13题以有放回取球的条件概率为背景。随着新课标对数据分析素养的强
调，概率统计模块的情境化和应用性将进一步增强。
考点细目表
分 关键能
题号 题型 具体考点
值 力
1 单选 5 集合与常用逻辑用语→集合运算→集合的交并补运算 数学运算
2 单选 5 集合与常用逻辑用语→充分必要条件→充分必要条件的判断 逻辑推理
3 单选 5 概率与统计→线性回归→相关系数与回归方程的理解 数据分析
4 单选 5 函数与导数→函数图像→函数奇偶性与单调性的图像判断 直观想象
5 单选 5 立体几何→空间位置关系→正方体中线面平行与垂直的判断 直观想象
6 单选 5 函数与导数→函数性质→指数、对数、幂函数的大小比较 数学运算
7 单选 5 函数与导数→基本不等式→利用基本不等式求最值 数学运算
8 单选 5 数列→等差数列→由前n项和求通项公式 数学运算
9 单选 5 解析几何→双曲线→双曲线的几何性质与离心率 数学运算
10 填空 4 三角函数与解三角形→三角恒等变换→三角函数的化简求值 数学运算
11 填空 4 函数与导数→二项式定理→二项展开式中指定项的系数 数学运算
12 填空 4 三角函数与解三角形→解三角形→正弦定理的应用 数学运算
13 填空 4 概率与统计→概率计算→独立重复试验与条件概率 数据分析
14 填空 4 三角函数与解三角形→三角函数最值→三角函数的值域与最值 数学运算
15 填空 4 解析几何→抛物线→抛物线弦的性质与多选判断 数学运算
三角函数与解三角形→三角函数综合→三角函数的周期、最值和
16 解答 15 数学运算
求值
立体几何→空间向量与立体几何→线面垂直的证明、二面角和体
17 解答 15 直观想象
积计算
18 解答 15 解析几何→椭圆→椭圆的标准方程与直线斜率 数学运算
19 解答 16 数列→数列综合→等差等比数列通项、集合计数与错位相减法 逻辑推理
20 解答 17 函数与导数→导数综合→切线方程、不等式证明与恒成立求参数 逻辑推理考点模块占比分析
基础知识模块（约18%，27分）：重点考查集合运算、充分必要条件、函数图像识别等基础概念，对应第
1、2、4题。天津卷基础题注重概念理解的准确性，如第3题对回归方程的理解需要区分预测值与确定
值。
函数与导数模块（约30%，45分）：重点考查函数性质、基本不等式、二项式定理、三角函数化简与最
值、导数应用等，对应第4、6、7、10、11、14、16、20题。第20题导数压轴题涉及对数放缩和恒成立求
参数，是天津卷的最高区分度题目。
平面解析几何与立体几何模块（约23%，34分）：重点考查双曲线离心率、抛物线性质、椭圆标准方程与
直线斜率、正方体空间位置关系、长方体中的二面角和体积，对应第5、9、15、17、18题。第15题多选
填空是天津卷的特色题型。
数列与三角函数模块（约19%，29分）：重点考查等差数列通项、三角函数周期与最值、解三角形、数列
与集合的综合，对应第8、10、12、14、16、19题。第19题将等差等比数列与集合计数、错位相减法融为
一体，体现综合创新能力。
概率与统计模块（约10%，15分）：重点考查线性回归与相关系数、独立重复试验概率、条件概率，对应
第3、13题。概率统计模块融入实际情境，考查数据分析和数学建模能力。
核心复习策略
1. 夯实基础概念，重视通性通法
（1）系统梳理集合、函数、三角函数、数列、概率等核心概念，确保基础题零失误。天津卷基础题占比
大，前13题约73分，是稳定得分的关键。
（2）加强基本运算能力训练，尤其是三角函数化简、数列求和、解三角形等常规运算，提高运算速度和
准确率。
2. 突破解析几何与立体几何综合题型
（1）掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程和几何性质，熟练运用弦长公式、韦达
定理等核心工具。特别关注天津卷特色的多选填空题型。
（2）加强空间想象能力培养，通过建立空间直角坐标系和几何法两种途径解决立体几何问题，掌握线面
关系、二面角和体积的计算方法。
3. 提升压轴题突破能力
（1）导数压轴题注重构造函数、分类讨论和放缩技巧的训练。熟练掌握常见放缩不等式（如ln x ≤ x-1，
e^x ≥ x+1等），积累对数放缩和裂项求和的经验。（2）数列综合题注重等差等比数列的基本量计算、错位相减法和分组求和法的训练，提升从特殊到一般
的归纳思维能力。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×基础概念理解模糊：如第3题混淆预测值与确定值，第5题空间位置关系判断不严谨，导致基础题失分。
×忽视多选填空的答题策略：第15题多选填空要求选全对才得分，容易因漏选或错选而失分，需逐项验
证。
×运算失误：天津卷填空题和解答题运算量较大，三角函数化简、数列求和、导数计算等环节容易出错，
需提高运算准确性。
×导数放缩方向错误：第20题对数放缩时容易放缩方向错误或忽略等号成立条件，导致证明失败或参数范
围求错。
一、单选题
1．已知全集U={− ，2集,−合1,A0,=1{,−21,,30},1,3} ，集合B={−2,0,1} ，则( ∁ A)∪B=（ ）
U
A．{−2} B．{−2,2} C．{0,1,2} D．{−2,0,1,2}
命题透视
►核心考点：集合的交并补运算
►命题分析：
（1）情境创设：直接考查集合运算的基本概念，无复杂情境，属于纯数学概念题。
（2）问题设计：以选择题形式直接考查全集、补集和交集的运算，要求学生准确理解集合运算
的定义。
（3）考查目标：考查学生对集合概念的理解和基本运算能力，属于基础记忆层次。
答案与解析
【答案】D
【详解】由题可得( ∁ A)={−2,2 ),又因B={−2,0,1} ，
U
则( ∁ A)∪B={−2,0,1,2 ).
U
知识总结① 核心概念：全集、子集、交集、并集、补集的定义。② 解题要点：借助数轴或韦恩图辅助理解集
合关系，注意端点值的取舍。③ 拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域结合考查。
2．设x∈R，则“x>0”是“x2+3x>0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
命题透视
►核心考点：充分必要条件的判断
►命题分析：
（1）情境创设：以不等式解集关系为背景，考查充分必要条件的判断。
（2）问题设计：通过解不等式确定两个集合的包含关系，进而判断条件类型。
（3）考查目标：考查逻辑推理能力和不等式求解能力，属于基础应用层次。
答案与解析
【答案】A
【详解】由x2+3x>0，解得：x<−3 或x>0，
即x>0时，x2+3x>0成立，反之不成立，
所以“x>0”是“x2+3x>0”的充分而不必要条件.
知识总结
① 核心概念：充分条件、必要条件、充要条件的定义。② 解题要点：先分别求解两个命题对应的集
合，再判断集合间的包含关系。③ 拓展关联：充分必要条件与集合的包含关系一一对应，A⊆B则A是B
的充分条件。
3．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=−0.91 ，
根据最小二乘法算得：y^=−1.17 x+1370.7，下列说法正确的是（ ）
A．y与x负相关 B．当x=10时，y一定为1359
C．当x=10时，y一定小于1359 D．两变量无线性关系命题透视
►核心考点：线性回归与相关系数
►命题分析：
（1）情境创设：以候鸟数量与温度关系的调查数据为背景，考查线性回归方程和相关系数的理
解。
（2）问题设计：通过散点图和回归方程，判断变量相关性、预测值的含义等。
（3）考查目标：考查数据分析能力和统计概念的理解，属于综合应用层次。
答案与解析
【答案】A
【详解】因为相关系数r=−0.91 ，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，
所以y与x负相关，所以A正确，D错误；
当x=10时，y=−11.7+1370.7=1359 ，所以y约为1359，
所以B，C错误.
知识总结
① 核心概念：相关系数r（|r|越接近1相关性越强，r>0正相关，r<0负相关）、回归方程的预测值是
估计值而非确定值。② 解题要点：理解回归方程的预测性质，区分"约为"与"一定"的表述。③ 拓展关联：
线性回归分析常与独立性检验、频率分布直方图等结合考查。
4．函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为（ ）
A．x+sinπx B．x−sinπx C．−x+sinπx D．x⋅sinπx
命题透视
►核心考点：函数图像的识别
►命题分析：（1）情境创设：通过函数的部分图像，判断函数的解析式。
（2）问题设计：结合函数奇偶性、单调性和特殊点，利用排除法确定正确选项。
（3）考查目标：考查函数性质的综合运用和图像分析能力，属于综合应用层次。
答案与解析
【答案】C
【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数y=f(x)为奇函数，且当x=1时，f(x)<0，
对A选项，当x=1时，1+sinπ=1+0=1>0，与图象不符，故A错误；
对B选项，当x=1时，1− sinπ=1−0=1>0 ，与图象不符，故B错误；
对D选项，当x=1时，1×sinπ=1×0=0，与图象不符，故D错误；
对C选项，在g(x)=− x+sinπx中，
g(−x)=− (−x)+sin(−πx)=x−sinπx=− g(x)，即该函数为奇函数，
g(1)=−1+ sinπ=− 1，+0与=−图1<象0相符，故C正确.
知识总结
① 核心概念：函数的奇偶性、单调性、特殊点（如x=0, x=1等）的函数值。② 解题要点：先判断函
数奇偶性缩小范围，再利用特殊点排除错误选项。③ 拓展关联：函数图像识别常与导数、三角函数、指
数对数函数结合考查。
5．正方体ABCD−A B C D 中，错误的是（ ）
1 1 1 1
A．AC//A C B．CC ⊥面ABC C．ACD //面A C B D．ADD ⊥面ACD
1 1 1 1 1 1 1 1
命题透视
►核心考点：正方体中的空间位置关系
►命题分析：
（1）情境创设：以正方体为载体，考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断。
（2）问题设计：通过几何证明和反证法，判断四个选项中错误的一个。
（3）考查目标：考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于综合应用层次。
答案与解析【答案】D
【分析】A项，通过证明四边形ACC A 是平行四边形，即可证明结论；B项，通过CC ⊥BC，CC ⊥CD，
1 1 1 1
即可证明CC ⊥平面ABC；C项，通过证明AC//平面A C B，CD //平面A C B，即可证明结论；D项，
1 1 1 1 1 1
假设垂直，得出AD⊥平面ACD ，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论.
1
【详解】由题意，
在正方体ABCD−A B C D 中，
1 1 1 1
A项，
AA //CC AA =CC
1 1 1 1
， ，
∴四边形ACC A 是平行四边形，
1 1
∴AC//A C ，A正确；
1 1
B项，
由几何知识得，CC ⊥BC，CC ⊥CD，
1 1
BC∩CD=C，BC⊂平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴CC ⊥平面ABC，故B正确；
1
C项，
∵AC//A C ，A C ⊂平面A C B，AC⊄平面A C B，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴AC//平面A C B，
1 1
由几何知识得，BC//A D ，BC=A D ，
1 1 1 1
∴四边形A BCD 是平行四边形，
1 1
∴CD //A B，
1 1
∵A B⊂平面A C B，CD ⊄平面A C B，
1 1 1 1 1 1
∴CD //平面A C B，
1 1 1∵AC∩CD =C，A B∩A C =A ，
1 1 1 1 1
∴平面ACD //平面A C B，C正确；
1 1 1
D项，
假设平面ADD ⊥平面ACD ，则交线为AD ，
1 1 1
此时有A D⊥AD ，
1 1
∴A D⊥平面ACD ，
1 1
∵AC⊂平面ACD ，
1
∴A D⊥AC，
1
连接A C ，C D，
1 1 1
由几何知识得，AC//A C ，则A D⊥A C ，故∠C A D=90°
1 1 1 1 1 1 1
在△A C D中，由几何知识得，A C =A D=C D，
1 1 1 1 1 1
∴三角形为等边三角形，∠C A D=60°，矛盾，
1 1
故D错误.
知识总结
① 核心概念：线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理。② 解题要点：利用平行四边
形证明线线平行，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直。③ 拓展关联：空间位置关系的判断可通过几
何法或空间向量法解决。
6．已知函数f(x)=|lnx)，若a=f(20.3)，b=f(30.3)，c=f(3−0.5)，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b命题透视
►核心考点：指数、对数、幂函数的大小比较
►命题分析：
（1）情境创设：通过指数函数、对数函数和幂函数的单调性，比较三个数的大小。
（2）问题设计：利用对数换底公式和指数运算性质，将三个数转化为同底或同指形式进行比较。
（3）考查目标：考查函数单调性的应用和运算能力，属于综合应用层次。
答案与解析
【答案】A
【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简f(x)，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小
即可.
f(x)={lnx,x>1
)
【详解】由题意可得 ，
−lnx,0<x<1
因为函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，所以1<20.3<30.3，
又因函数y=3x在R上单调递增，则0<3−0.5<1<30.5，
所以c=f(3−0.5)=− ln3−0.5 =ln30.5=f(30.5)，
因1<20.3<30.3<30.5，且f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f(20.3)<f(30.3)<f(30.5)，即f(20.3)<f(30.3)<f(3−0.5).
故a<b<c.
知识总结
① 核心概念：指数函数y=a^x（a>1时递增）、对数函数y=log_a x（a>1时递增）、幂函数y=x^a的
单调性。② 解题要点：利用中间值（如0, 1）进行分段比较，或利用单调性直接比较。③ 拓展关联：大
小比较常与构造函数、导数判断单调性结合。
1 4
7．(x+ )(x+ )的最小值为（ ）
x x
A．10 B．9 C．8 D．6
命题透视
►核心考点：基本不等式求最值
►命题分析：（1）情境创设：利用基本不等式求代数式的最小值。
（2）问题设计：通过代数变形，构造满足基本不等式使用条件的表达式。
（3）考查目标：考查基本不等式的灵活运用和代数变形能力，属于综合应用层次。
答案与解析
【答案】B
【详解】因为 (x+ 1 )(x+ 4 )=x2+ 4 +5≥2❑ √ x2 ⋅ 4 +5=9，
x x x2 x2
4
当且仅当 x2= ，即x2=2，x=±❑√2时，等号成立,
x2
1 4
所以
(x+ )(x+ )
的最小值为9.
x x
知识总结
① 核心概念：基本不等式a+b≥2√ab（a,b>0，当且仅当a=b时取等）。② 解题要点：注意"一正二定
三相等"的使用条件，通过拆项、配凑构造定值。③ 拓展关联：基本不等式常与函数最值、解析几何中的
最值问题结合。
8．已知S −S =n，a =6，则a +a =（ ）
2n n 3 7 8
A．68 B．56 C．−3 D．−4
命题透视
►核心考点：由前n项和求通项公式
►命题分析：
（1）情境创设：已知数列的前n项和S_n，求数列的某一项。
（2）问题设计：利用a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)的关系，逐步递推求解。
（3）考查目标：考查数列递推关系和运算能力，属于基础应用层次。
答案与解析
【答案】C
【分析】根据前n项和的含义，依次令n=2,3,4，逐步计算即可得到结果.
【详解】由S −S =n，得
2n n
S −S =1，即a =1；
2 1 2S −S =2，即a +a =2；
4 2 3 4
因为a =6，所以a =−4；
3 4
S −S =3，即a +a +a =3，所以a +a =7；
6 3 4 5 6 5 6
S −S =4，即a +a +a +a =4，所以a +a =−3
.
8 4 5 6 7 8 7 8
知识总结
① 核心概念：a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，a_1=S_1。② 解题要点：注意n≥2时的递推关系，验证n=1时
是否满足通项公式。③ 拓展关联：由S_n求a_n是数列问题的基础，常与等差等比数列结合考查。
x2 y2
9．已知双曲线 − =1（a>0，b>0）的左焦点为F，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足|FA)=|FP)，
a2 b2
∠FAP=30°，则双曲线离心率为（ ）
8 8 4
A．4 B． C． D．
3 5 3
命题透视
►核心考点：双曲线的几何性质与离心率
►命题分析：
（1）情境创设：已知双曲线上点的几何关系，求双曲线的离心率。
（2）问题设计：通过几何关系构造关于a, b, c的方程，转化为关于离心率e的方程求解。
（3）考查目标：考查双曲线的几何性质和运算求解能力，属于综合应用层次。
答案与解析
【答案】D
【分析】过点P作PH垂直x轴，垂足为H，根据几何关系用a,c表示出点P坐标，代入双曲线方程构造齐次
式，然后可得离心率.
【详解】如图，过点P作PH垂直于x轴，垂足为H，
因为|FA)=|FP)，所以∠FPA=∠FAP=30°，所以∠PFH=60°，
1 ❑√3
又|PF)=|FA)=a+c，所以|HF)= (a+c),|PH)= (a+c)，
2 2
( 1 3 ❑√3 ❑√3 )
根据双曲线对称性，不妨设点P在第二象限，则P − a− c, a+ c ，
2 2 2 2( − 1 a− 3 c) 2 (❑√3 a+ ❑√3 c ) 2
将点P坐标代入双曲线方程得： 2 2 2 2 ，
− =1
a2 b2
整理得(a+3c) 2b2 −3(a+c) 2a2=4a2b2，
将b2=c2 −a2代入上式，整理得(a+3c) 2(c2 −a2)−3(a+c) 2a2=4a2(c2 −a2)，
4
两边同时除以a4，整理得(3e−4)(e+1) 2=0，解得e=
.
3
知识总结
① 核心概念：双曲线c^2=a^2+b^2，离心率e=c/a>1。② 解题要点：利用几何关系（如焦点、顶点、
双曲线上点的坐标关系）建立方程，消去参数得到关于e的方程。③ 拓展关联：双曲线的离心率问题常与
渐近线、焦点三角形等结合考查。
二、填空题
10．化简(3+i)2=__________．
命题透视
►核心考点：三角函数的化简求值
►命题分析：
（1）情境创设：直接考查三角函数的化简运算。
（2）问题设计：利用诱导公式和二倍角公式进行三角函数化简。
（3）考查目标：考查三角恒等变换的基本运算能力，属于基础记忆层次。
答案与解析
【答案】8+6i
【详解】(3+i) 2=9+6i+i2=8+6i.知识总结
① 核心概念：诱导公式、二倍角公式。② 解题要点：准确记忆特殊角的三角函数值，灵活运用诱导
公式化简。③ 拓展关联：三角函数化简常与三角函数图像、解三角形结合考查。
11．(x+2y)4展开式中x3y的系数为__________．
命题透视
►核心考点：二项展开式中指定项的系数
►命题分析：
（1）情境创设：求二项展开式中某一项的系数。
（2）问题设计：写出二项展开式的通项公式，令x的指数等于目标值，求出对应的系数。
（3）考查目标：考查二项式定理的应用和运算能力，属于基础应用层次。
答案与解析
【答案】
8
【分析】根据二项式定理得到(x+2y) 4展开式的通项公式即可求解.
【详解】根据二项式定理，(x+2y) 4展开式的通项公式为T =Crx4− r (2y) r=Cr2rx4− ryr ，
r+1 4 4
当r=1时，T =C1x4−1 (2y) 1=C121x3y，因此x3y的系数为C121=4×2=8.
2 4 4 4
知识总结
① 核心概念：二项展开式的通项公式T_{r+1}=C_n^r a^{n-r}b^r。② 解题要点：准确写出通项公式，
根据题意列出方程求出r，再计算系数。③ 拓展关联：二项式定理常与赋值法、近似计算结合考查。
1
12．在△ABC中，BC=4，AC=3，cosA=− ，则sinB=__________．
4
命题透视
►核心考点：正弦定理的应用
►命题分析：
（1）情境创设：在三角形中已知两角和一边，求另一边。（2）问题设计：利用三角形内角和求出第三个角，再用正弦定理求解。
（3）考查目标：考查解三角形的基本运算能力，属于基础应用层次。
答案与解析
3❑√15 3
【答案】 / ❑√15
16 16
【详解】在△ABC中，cosA=− 1 ，所以sinA=❑√1− cos2A=❑ √ 1− 1 = ❑√15 ，
4 16 4
❑√15
3×
由正弦定理可得 AC⋅sinA 4 3❑√15.
sinB= = =
BC 4 16
知识总结
① 核心概念：正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。② 解题要点：注意三角形内角和为π，利用正弦
定理建立边角关系。③ 拓展关联：正弦定理常与余弦定理、三角形面积公式结合考查。
13．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；
在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．
命题透视
►核心考点：独立重复试验与条件概率
►命题分析：
（1）情境创设：以有放回取球为背景，考查独立重复试验的概率和条件概率。
（2）问题设计：第一空利用独立重复试验公式计算概率；第二空利用条件概率公式P(A|
B)=P(AB)/P(B)求解。
（3）考查目标：考查概率计算和条件概率的理解，属于综合应用层次。
答案与解析
8 37
【答案】
27 64
【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出
至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.
【详解】由题意，第一空：
箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。
设事件A 表示没取到黄球，事件A 表示三次都没取到黄球，
1 2
4 2
有放回抽取，每次取到非黄球的概率为P(A )= = ，
1 6 3
2 3 8
三次都没取到黄球的概率：P(A )=( ) = .
2 3 27
第二空：
设事件B 表示至少取到一次红球，事件B 表示三次都取到白球，
1 2
1 3 1
P(B )=( ) = ，
2 2 8
P(A B )
∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：P(B |A )= 2 1 ，
1 2 P(A )
2
8 1 37
P(A B )=P(A )−P(B )= − = ，
2 1 2 2 27 8 216
37
P(A B ) 216 37
∴P(B |A )= 2 1 = = ，
1 2 P(A ) 8 64
2
27
37
∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是 .
64
知识总结
① 核心概念：独立重复试验概率P_n(k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}，条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)。② 解
题要点：明确事件定义，区分"三次都没取到黄球"和"至少取到一次红球"的事件关系。③ 拓展关联：概率
计算常与排列组合、统计图表结合考查。
14．已知|a⃗)=a⃗⋅ ⃗b=1，|⃗b)>1，记c⃗=λa⃗+μ⃗b．当a⃗+⃗b−c⃗=0⃗时，λ+μ=__________，当
|a⃗+⃗b−c⃗)=1时，λ+μ的取值范围为__________．
命题透视
►核心考点：三角函数的值域与最值
►命题分析：（1）情境创设：已知三角函数的表达式，求特定条件下的值和取值范围。
（2）问题设计：利用三角恒等变换化简表达式，通过换元转化为二次函数求最值。
（3）考查目标：考查三角恒等变换和函数最值的综合求解能力，属于综合应用层次。
答案与解析
【答案】 2 [1,3)
【分析】第一空：利用c⃗=λa⃗+μ⃗b和a⃗+⃗b−c⃗=0⃗得出λ和μ的值，即可得出结论；第二空：将
c⃗=λa⃗+μ⃗b代入|a⃗+⃗b−c⃗)=1得 |
(1− λ)
→
a+(1− μ)
→
b
) =1，展开，令x=1− λ，y=1− μ，s=x+y，
代入并整理，得出s2=1−( t2 −1) y2≤1，即可求出λ+μ的取值范围.
【详解】由题意，
|a⃗)=a⃗⋅ ⃗b=1，|⃗b)>1，c⃗=λa⃗+μ⃗b，
第一空：
当a⃗+⃗b−c⃗=0⃗时，c⃗=a⃗+⃗b=λa⃗+μ⃗b，
∴λ=μ=1，
∴λ+μ=2.
第二空：
将c⃗=λa⃗+μ⃗b代入|a⃗+⃗b−c⃗)=1得 | (1− λ) → a+(1− μ) → b ) =1，
2
两边平方，得：[(1− λ)a⃗+(1− μ)⃗b) =1，
展开：(1− λ)2|a⃗|2+2(1− λ)(1− μ)a⃗⋅ ⃗b+(1− μ)2|⃗b|2=1，
代入|a⃗|=1，a⃗⋅ ⃗b=1，记|⃗b|=t>1，
(1− λ)2+2(1− λ)(1− μ)+t2(1− μ)2=1，
令x=1− λ，y=1− μ，s=x+y，
则原式变为：x2+2xy+t2y2=1，
配方得：x2+2xy+t2y2=(x+y)2+(t2 −1) y2=s2+(t2 −1) y2=1，
由于 t2>1，(t2 −1) y2≥0，因此 s2=1−( t2 −1) y2≤1，
即 |s|≤1，解得s∈[−1,1] ，
λ+μ=2− s∈[2− 1,2− )=([1−,13))，
因此，λ+μ的取值范围为：[1, 3].知识总结
① 核心概念：两角和公式、辅助角公式、二次函数最值。② 解题要点：通过换元将三角函数表达式
转化为关于新变量的二次函数，注意新变量的取值范围。③ 拓展关联：三角函数最值常与导数、基本不
等式结合考查。
15．在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，A、B、C、D的纵坐标分别为y 、
A
y 、y 、y ，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，以下说法正确的
B C D
有______．
①若P与抛物线焦点重合，则y y =−2；
A B
②y y =y y ；
A B C D
③|OM)|ON)=2|OP) 2 ；
④|y −y )|OP)=|y −y )|OM)；
A C B D
⑤
S
△ACP =
(|OM)) 2
S |ON)
△BDP
命题透视
►核心考点：抛物线弦的性质与多选判断
►命题分析：
（1）情境创设：以抛物线为背景，探究抛物线弦与轴交点的性质，判断多个命题的正确性。
（2）问题设计：先推导抛物线弦与轴交点横坐标的一般公式，再利用公式逐项验证5个命题。
（3）考查目标：考查解析几何的综合分析能力和逻辑判断能力，属于创新探究层次。
答案与解析
【答案】②④
【分析】首先探求抛物线弦与x轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，
③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.
【详解】由题意A、B、C、D为抛物线y2=2x上四个点可知，y ,y ,y ,y 两两不等.
A B C D
(s2
)
(t2
)
设抛物线y2=2x上任意两点S ,s ,T ,t ，其中s≠t.
2 2
s−t 2
k= =
当s+t≠0时，直线ST的斜率 s2 t2 s+t，
−
2 22 t2
则直线ST方程为y−t= (x− )，
s+t 2
st
令y=0，则直线ST与x轴的交点R横坐标x =−
0 2
特别地，当s+t=0时，s=− t，
st
此时直线ST垂直于x轴，x =− 也成立，
0 2
st
因此，直线ST与x轴的交点R横坐标x =− （∗）.
0 2
1
①由题意直线AB交x轴于点P，若P与抛物线焦点重合，则其横坐标为 ，
2
1 y y
故由∗式可得 =− A B，即y y =− 1，≠故−2①错误；
2 2 A B
②由题意直线AB与直线CD交x轴于点P，
y y y y
则由∗式可得点P横坐标x =− A B =− C D，
0 2 2
可得y y =y y ，故②正确；
A B C D
③由题意直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，
则由∗式可得
|OM)=|x )= | − y A y C) ,|ON)=|x )= | − y B y D) ,|OP)=|x )= | − y A y B) = | − y C y D) ，
M 2 N 2 0 2 2
|y y y y ) |y y ) 2 |y y ) 2
则|OM)|ON)= A B C D = A B ,|OP) 2= A B ，
4 4 4
故|OM)|ON)=|OP) 2 ，故③错误；
|y y ) |y y )
④由∗式可得|y −y )|OP)=|y −y ) A B ,|y −y )|OM)=|y −y ) A C ，
A C A C 2 B D B D 2
当点A或C为原点时，则点P,M也重合于原点，此时|y −y )|OP)=|y −y )|OM)；
A C B D
当点A与C均不为原点时，即y ≠0，且y ≠0，
A C|y y )
|y −y ) A B
A C 2 |y y −y y ) |y y −y y )
则结合②结论可知， = A B C B = D C C B =1，
|y y ) |y y −y y ) |y y −y y )
|y −y ) A C B C D C B C D C
B D 2
则有|y −y )|OP)=|y −y )|OM)，故④正确；
A C B D
⑤由y y =y y ，可知 |y A ) = |y C ) ，则 |OM) = |x M ) = |y A y C) = ( y A) 2 ，
A B C D |y ) |y ) |ON) |x ) y y y
D B N B D D
1 |MP)|y −y )
|y
A
y
C −
y
A
y
B) |y −y )
S 2 A C 2 2 A C
△ACP = =
S △BDP 1 2 |NP)|y B −y D ) | 2 y B y D − 2 y C y D) |y B −y D )
= |y A )|y A −y C ) = |y A )|y A −y C ) = |y A ) 2 = ( y A) 2 = |OM)
|y D )|y B −y D ) |y ) |y C y D −y ) |y D ) 2 y D |ON)，
D y D
A
如图，当
|OM)
≠1时，
S
△ACP =
(|OM)) 2
不成立，故⑤错误；
|ON) S |ON)
△BDP
故答案为：②④
知识总结
① 核心概念：抛物线标准方程、弦的方程、直线与轴交点。② 解题要点：先推导一般结论（直线与
x轴交点横坐标x0=-y1y2/2p），再代入验证各命题。③ 拓展关联：抛物线的焦点弦性质、弦中点问题是
解析几何的重点。
三、解答题
π
16．已知f(x)=sin(2x+ )．
6(1)求最小正周期；
(2)若x∈ [ − π , π ) ，求f(x)的最大值和最小值；
6 12
π ❑√3
(3)若α∈(0, )，sinα= ，求f(α)．
2 3
命题透视
►核心考点：三角函数的周期、最值和求值
►命题分析：
（1）情境创设：以正弦型函数为载体，考查周期、最值和三角函数值的计算。
（2）问题设计：三问分别考查最小正周期、给定区间内的最值、已知三角函数值求其他值。
（3）考查目标：考查三角函数的基本性质和运算能力，属于基础综合层次。
答案与解析
【答案】(1)π
❑√3 1
(2)最大值为 ，最小值为−
2 2
2❑√6+1
(3)
6
【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；
（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；
（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.
2π 2π
【详解】（1）T= = =π；
|ω| 2
π π π π π
（2）若x∈[− , ]，则2x+ ∈[− , ]，
6 12 6 6 3
π π π π 1
由正弦函数性质可知，当2x+ =− ，即x=− 时，函数f(x)有最小值，即f(x) =f(− )=− ，
6 6 6 min 6 2
π π π π ❑√3
当2x+ = ，即x= 时，函数f(x)有最大值，即f(x) =f( )= .
6 3 12 max 12 2
❑√3 1
所以函数f(x)的最大值为 ，最小值为− ；
2 2
（3）若α∈(0,
π
)，sinα=
❑√3
，所以cosα=❑√1− sin2α=
❑√6
，
2 3 3则sin2α=2sinαcosα=
2❑√2
，cos2α=1−2 sin2α=
1
，
3 3
π π π 2❑√2 ❑√3 1 1 2❑√6+1
则f(α)=sin(2α+ )=sin2αcos +cos2αsin = × + × = .
6 6 6 3 2 3 2 6
知识总结
① 核心概念：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，换元法求最值。② 解题要点：将ωx+φ视
为整体，利用正弦函数的有界性求最值。③ 拓展关联：三角函数综合题常与解三角形、平面向量结合考
查。
17．在长方体ABCD−A B C D 中，AB=2，AA =3，AD=4，A E=3ED ，2C F=FC．
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：BD⊥面CEF；
(2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；
(3)求三棱锥A−CEF的体积．
命题透视
►核心考点：线面垂直的证明、二面角和体积计算
►命题分析：
（1）情境创设：以长方体为载体，考查空间几何中的线面关系、二面角和体积。
（2）问题设计：三问分别要求证明线面垂直、求二面角的余弦值、求三棱锥体积，提供多种解
法。
（3）考查目标：考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，属于综合应用层次。
答案与解析
【答案】(1)方法一：如图，过点E作EG//CC ,交AD于点G，则有AG=3GD,GD=1.
1
连接CG,则C,C ,E,G四点共面,平面CEF即平面CC EG.
1 1
GD CD 1
由 = = ，∠GDC=∠DCB=90°，可得△GDC与△DCB相似,
CD BC 2所以∠GCD=∠DBC，则可得∠GCD+∠BDC=90°,所以CG⊥BD.
长方体ABCD−A B C D 中，CC ⊥平面ABCD，
1 1 1 1 1
因为BD⊂平面ABCD，所以CC ⊥BD
.
1
又CC ∩CG=C,CC ,CG⊂平面CEF，所以BD⊥平面CEF.
1 1
方法二：
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−xyz.
则D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),F(0,2,2),E(1,0,3).
所以⃗DB=(4,2,0),⃗CE=(1,−2,3 ),⃗CF=(0,0,2).
所以⃗DB⋅⃗CE=4−4+0=0 ,⃗DB⋅⃗CF=0+0+0=0，
所以⃗DB⊥⃗CE,⃗DB⊥⃗CF，即BD⊥CE,BD⊥CF.
又CE∩CF=C,CE,CF⊂平面CEF，所以BD⊥平面CEF.
❑√15
(2)
5
(3)2
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角
的余弦值可得；或由面面角的向量求法可得；
（3）由向量法证明AE⊥EF，从而求得△AEF的面积，由向量法求得点C到平面AEF的距离，再根据棱锥
的体积公式求得三棱锥A−CEF的体积；或由向量法求得点A到平面CEF的距离，根据棱锥的体积公式可得
三棱锥A−CEF的体积.
【详解】（1）略
（2）方法一：过点E作EG//CC ,交AD于点G，则有AG=3GD，GD=1，
1
连接CG，则C,F,E,G四点共面，平面CEF即平面CFEG.
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−xyz，则
D(0,0,0),A(4,0,0),F(0,2,2),E(1,0,3),G(1,0,0)
⃗EF=(− 1,)2，,−⃗A1E=(−3,0,3 )，所以⃗AE⋅⃗EF=0，
所以⃗AE⊥⃗EF.
1 5 1 5
取EF的中点P，则P( ,1, ) ，所以⃗GP=( − ,1, ) ，
2 2 2 2
1 5
⃗GP⋅⃗EF= +2− =0，所以⃗GP⊥⃗EF.
2 2
所以异面直线AE与GP所成的角等于平面AEF与平面CEF的夹角.3 15
+
又cos⟨⃗AE,⃗GP)=
⃗AE⋅⃗GP
=
2 2
=
❑√15
，
|⃗AE)|⃗GP) ❑√30 5
3❑√2×
2
❑√15
所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为 .
5
方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−xyz.
则D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),F(0,2,2),E(1,0,3).
所以⃗AE=(−3,0,3 ),⃗AF=(−4,2,2 )，
设平面AEF的法向量为⃗n=(x,y,z)，
{ ⃗n⋅⃗AE=−3 x+3z=0 )
则 ，故可取⃗n=(1,1,1).
⃗n⋅⃗AF=−4 x+2y+2z=0
由（1）知平面CEF的一个法向量为⃗DB=(4,2,0)，
所以
cos⟨⃗n,⃗DB)=
⃗n⋅⃗DB
=
4+2
=
❑√15
，
|⃗n)|⃗DB) ❑√3×2❑√5 5
❑√15
所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为 .
5
（3）方法一：由⃗EF=(− 1,)2，,−⃗A1E=(−3,0,3 )，得⃗AE⋅⃗EF=0，
所以⃗AE⊥⃗EF.
1 1
所以△AEF的面积为 AE⋅EF= ×3❑√2×❑√6=3❑√3 .
2 2
由（2）知，平面AEF的一个法向量为⃗n=(1,1,1)，⃗AC=(−4,2,0 )
点C到平面AEF的距离为
|⃗AC⋅⃗n)
=
|−4+2
)=
2❑√3
.
|⃗n) ❑√3 3
1 2❑√3
所以三棱锥C−AEF的体积V= ×3❑√3× =2，
3 3
所以三棱锥A−CEF的体积为2.
|⃗AE⋅⃗DB) 12 6❑√5
方法二：点A到平面CEF的距离为 = = .
|⃗DB) 2❑√5 5
因为EG//CF，所以E,G到CF的距离相等，
1 1
所以△CEF的面积等于△GCF的面积，即 ×CG×CF= ×❑√1+4×2=❑√5 .
2 21 6❑√5
所以三棱锥A−CEF的体积为V= ×❑√5× =2.
3 5
知识总结
① 核心概念：线面垂直的判定定理、二面角的平面角、等体积法。② 解题要点：建立空间直角坐标
系，利用向量法求法向量和夹角；或用几何法找二面角的平面角。③ 拓展关联：立体几何问题可通过几
何法或空间向量法解决，向量法更具通性。
x2 y2 1
18．已知椭圆C: + =1（a>b>0）的离心率为 ，椭圆被直线x=b截得的线段长为❑√3．
a2 b2 2
(1)求C的标准方程；
(2)斜率为−❑√3的直线与圆x2+y2=b2相切，且该直线交椭圆于P(x ,y )，Q(x ,y )（y <y ），A是椭
1 1 2 2 1 2
k
圆的上顶点．记直线AP，AQ的斜率分别为k ，k ，求 1 ．
1 2 k
2
命题透视
►核心考点：椭圆的标准方程与直线斜率
►命题分析：
（1）情境创设：已知椭圆的离心率和弦长，求标准方程；再研究与圆相切的直线与椭圆相交的
斜率关系。
（2）问题设计：第一问利用离心率和弦长建立方程求参数；第二问利用直线与圆相切的条件和
韦达定理求斜率之积。
（3）考查目标：考查解析几何的综合运算能力和方程思想，属于综合应用层次。
答案与解析
x2 y2
【答案】(1) + =1
4 3(2)3
【分析】（1）根据椭圆的离心率可知a=2c，b2=3c2，然后将x=b代入椭圆方程即可求解；
（2）根据直线与圆相切即可求出m=±2❑√3，分类讨论即可.
1 c 1
【详解】（1）由于椭圆的离心率为 ，所以e= = ，即a=2c，
2 a 2
由于a2=b2+c2，所以b2=3c2，
将x=b代入椭圆方程，得
b2
+
y2
=1，即
3c2
+
y2
=1，解得y2=
3
c2 ，即y=±
❑√3
c，
a2 b2 4c2 3c2 4 2
❑√3
由题意，所截得的线段长为❑√3，所以2× c=❑√3，解得c=1，从而a2=4,b2=3，
2
x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1.
4 3
（2）由（1）可知，b2=3，所以圆的方程为x2+y2=3，
设直线l的方程为y=− ❑√3x+m，因为直线l与圆相切，如图所示，
|m) |m)
则圆心到直线l的距离 d= = =❑√3 ，解得m=±2❑√3，
❑√(−❑√3) 2+12 2
椭圆上顶点A(0,❑√3)，分两种情况讨论：
x2 y2
①当m=2❑√3时，直线l的方程为y=− ❑√3x+2❑√3，代入椭圆方程 + =1，
4 3
6
化简得5x2 −16 x+12=0，解得x=2或x= ，
5
则当x=2时，y=0，当x=
6
时，y=
4❑√3
，由于y <y ，所以P(2,0),Q
(6
,
4❑√3)
，
5 5 1 2 5 5
4❑√3 ❑√3
−❑√3 −
则k =
0− ❑√3
=−
❑√3
，k =
5
=−
❑√3
，此时
k
1 =
2
=3；
1 2−0 2 2 6 6 k ❑√3
−0 2 −
5 6
x2 y2
②当m=−2❑√3时，直线l的方程为y=− ❑√3x−2❑√3，代入椭圆方程 + =1，
4 36
化简得5x2+16x+12=0，解得x=−2或x=− ，
5
当x=−2时，y=0，当x=− 6 时，y=− 4❑√3 ，由于y <y ，所以P ( − 6 ,− 4❑√3) ,Q(−2,0 )，
5 5 1 2 5 5
4❑√3 3❑√3
− −❑√3
则k =
5
=
3❑√3
，k2=
0− ❑√3
=
❑√3
，此时
k
1 =
2
=3 .
1 6 2 − 2−0 2 k ❑√3
− −0 2
5 2
k
综上所述， 1 的值为3.
k
2
知识总结
① 核心概念：椭圆标准方程、离心率、弦长公式、直线与圆相切。② 解题要点：设直线方程，联立
椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式建立方程；注意分类讨论直线斜率是否存在。③ 拓展关联：解析几
何综合题常涉及设而不求、整体代换的解题策略。
19．已知等差数列{a )与等比数列{b )满足：a =2，b =1，a =b +b ，a =b −b ．
n n 1 1 2 1 2 4 3 1
(1)求数列{a )，{b )的通项公式；
n n
(2)记E ={x∈R|x)≤n)，∃k∈N∗，x=a 或x=b }，记c 为E 中的元素个数．
n k k n n
（i）求c ；
3n
3n−1
（ii）求∑(−1)m ⋅a ⋅c ．
m m
m=1
命题透视
►核心考点：等差等比数列通项、集合计数与错位相减法
►命题分析：
（1）情境创设：将等差数列与等比数列的通项公式、集合元素计数和数列求和融为一体。
（2）问题设计：第一问求通项公式；第二问(i)利用集合中元素个数的定义求解；(ii)利用分组求
和与错位相减法求和。
（3）考查目标：考查数列的综合应用能力和创新思维，属于创新探究层次。
答案与解析
【答案】(1)a =2n,b =3n−1
n n(2)（i）c =
1
⋅3n+n+
1
；（ii）
32n+1+(4n−6)3n+3
.
3n 2 2 4
【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式；
（2）（i）分析{a )和{b )项的特征，结合集合E 的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求
n n n
和即可.
【详解】（1）设等差数列{a )的公差为d，等比数列{b )的公比为q，
n n
因为a =2,b =1,a =b +b ,a =b −b ，
1 1 2 1 2 4 3 1
{2+d=1+q ) {d=q−1 ) {d=2 ) {d=−1 )
所以 ，即 ，解得 或 （公比不能为0，舍去），
2+3d=q2 −1 3d=q2 −3 q=3 q=0
所以a =2n,b =3n−1
n n
（2）（i）由（1）知a 为偶数，b 为奇数，所以数列{a )和{b )没有相同项，
n n n n
根据题意，集合E 中的元素由数列{a )和{b )中小于等于n项组成，
n n n
3n −1
小于3n的正偶数有 个，由3k−1≤3n得k≤n+1，k∈N∗，
2
3n −1
所以数列{a )中小于等于3n的项有 个，{b )中小于等于3n的项有n+1个，
n 2 n
所以c =
3n −1
+n+1=
1
⋅3n+n+
1
.
3n 2 2 2
（ii）当3i−1≤m<3i时，{b )中小于等于m的项有i个，
n
m m−1
又m为偶数时，{a )中小于等于m的项有 个，m为奇数时，{a )中小于等于m的项有 个，
n 2 n 2
m
{i+ ,3i−1≤m<3i,i∈N∗,m为偶数 )
2
c =
所以 ，
m
i+
m−1
,3i−1≤m<3i,i∈N∗,m为奇数
2
a c =
{2im+m2,3i−1≤m<3i,i∈N∗,m为偶数
)
所以 ，
m m 2im+m(m−1),3i−1≤m<3i,i∈N∗,m为奇数
从a 3i−1 c 3i−1 到a 3i−1 c 3i−1 共有3i − 1−(3i−1 −1)=2⋅ 3i−1项，
又m为奇数时，
a c −a c =2i(m+1)+(m+1) 2 −2im−m(m−1)=2i+1+3m
m+1 m+1 m m
3i−1
所以 ∑ (−1) ma c =3i−1 (2i+1)+3[3i−1+(3i−1+2)+(3i−1+4)+⋅ ⋅ ⋅(+3i −2))
m m
m=3i−13i−1(3i−1+3i −2)
=3i−1 (2i+1)+3⋅ =3i−1 (2i−2)+6⋅ 9i−1，
2
3n−1 31−1 32−1 3n−1
所以∑(−1) ma c =∑ (−1) ma c +∑ (−1) ma c +⋅ ⋅ ⋅+∑ (−1) ma c
m m m m m m m m
m=1 m=30 m=31 m=3n−1
=(0⋅ 30+6⋅ 90)+(2⋅ 31+6⋅ 91)+(4⋅ 32+6⋅ 92)+⋅ ⋅ ⋅[+(2n−2)3n−1+6⋅ 9n−1)
=[0⋅ 30+2⋅ 31+4⋅ 32+⋅ ⋅ ⋅(+2n−2)3n−1)+6(90+91+92+⋅ ⋅ ⋅9+n−1)
=[2⋅ 31+4⋅ 32+⋅ ⋅ ⋅(+2n−2)3n−1)+6⋅
1− 9n
1−9
3
=[2⋅ 31+4⋅ 32+⋅ ⋅ ⋅(+2n−2)3n−1)+ (9n −1)
4
令S =2⋅ 31+4⋅ 32+⋅ ⋅ ⋅(+2n−2)3n−1 ①，
n
则3S =2⋅ 32+4⋅ 33+⋅ ⋅ ⋅(+2n−2)3n ②，
n
①-②得−2S =2(31+32+⋅ ⋅ ⋅3+n−1)−(2n−2)3n
n
3(1− 3n−1)
=2⋅ −(2n−2)3n
1−3
=− (2n−3)3n −3，
(2n−3)3n+3
所以S = ，
n 2
所以
3
∑
n−1
(−1) ma c =
(2n−3)3n+3
+
3
(9n −1)=
32n+1+(4n−6)3n+3
m m 2 4 4
m=1
知识总结
① 核心概念：等差数列通项、等比数列通项、集合元素个数、分组求和、错位相减法。② 解题要点：
明确集合S_n的定义，分析数列{b_n}中小于等于n的项数，注意奇偶分类讨论。③ 拓展关联：数列求和
常用方法包括公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法。
2
20．已知f(x)=ex − sinx．
3
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当x∈ [ − 1 ,+∞) 时，证明f(x)≥1+ x ；
3 3
1 1 1 1
(3)求实数a的最大可能值，使得f( )⋅ f( )⋅ f( )⋯f( )≥(n+1)a 对任意的n∈N∗都成立．
1 2 3 n
命题透视
►核心考点：切线方程、不等式证明与恒成立求参数
►命题分析：
（1）情境创设：以函数为载体，考查导数的几何意义、不等式证明和恒成立求参数。
（2）问题设计：三问层层递进：求切线、证明不等式、求使不等式恒成立的参数最大值。
（3）考查目标：考查导数的综合应用能力、逻辑推理能力和创新思维，属于创新探究层次。
答案与解析
【答案】(1)x−3y+3=0
2 1 2 1
(2)令g(x)=ex − sinx− x−1，则g′(x)=ex − cosx− ，
3 3 3 3
2 2 2 2 1 2 1
当x≥0时，ex≥1，− ≤− cosx≤ ，则g′(x)=ex − cosx− ≥1− − =0，
3 3 3 3 3 3 3
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，则g(x)≥g(0)=1− 0− ， 0−1=0
2 1
所以g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，即ex − sinx≥ x+1在[0,+∞)上恒成立；
3 3
1 2 1
当− ≤x<0时，令m(x)=g′(x)=ex − cosx− ，
3 3 3
所以m′(x)=ex+ 2 sinx，因为y=ex和y= 2 sinx在 [ − 1 ,0) 上单调递增，
3 3 3
所以m′(x)=ex+ 2 sinx在 [ − 1 ,0) 上单调递增，
3 3
所以m' (x)=ex+ 2 sinx≥e − 1 3+ 2 sin( − 1 )=e − 1 3− 2 sin 1 ，
3 3 3 3 3
因为33>23 ⋅e，所以 1 >( 2 ) 3 ，所以e − 1 3> 2 ，由于0<sin 1 <1，
e 3 3 3
所以m' (x)=ex+ 2 sinx≥e − 1 3− 2 sin 1 >0，
3 3 3
则g′(x)=ex − 2 cosx− 1 在 [ − 1 ,0) 上单调递增，
3 3 32 1 1
则g′(x)=ex − cosx− <g′(0)=0，即g′(x)<0在 ( − ,0) 恒成立，
3 3 3
所以g(x)在
[
−
1 ,0)
上单调递减，
3
所以g(x)>g(0)=1− 0− ，即g0(−1x=)0>0在
[
−
1 ,0)
成立，
3
故ex − 2 sinx≥ 1 x+1在 [ − 1 ,0) 成立，
3 3 3
综上，ex − 2 sinx≥ 1 x+1在 [ − 1 ,+∞) 上恒成立，
3 3 3
1
(3)
3
【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可；
（2）令g(x)=ex − 2 sinx− 1 x−1，利用导数研究g(x)在 [ − 1 ,+∞) 上的单调性以及最值即可证明结
3 3 3
论；
1 1 1 1
（3）利用导数证明lnf(x)<ln(1+ x+2x2)≤ x+2x2 ，分a> 和a≤ 两种情况讨论不等式是否成
3 3 3 3
立.
2
【详解】（1）由于f′(x)=ex − cosx，
3
2 1
所以f(0)=1，f′(0)=1− = ，
3 3
1
则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为：y−1= (x−0)，
3
即x−3y+3=0；
（2）略
1 1
（3）①当a> 时，设a= +ε(ε>0)
3 3
2 1
构造函数h(x)=ex − sinx− x− 1−x22,x∈(0,1)，
3 3
2 1
则h′ (x)=ex − cosx−4x− ,x∈(0,1)，
3 3
2 1
令s(x)=h′ (x)=ex − cosx−4x− ,x∈(0,1)，
3 32
所以s′ (x)=ex+ sinx−4, x∈(0,1)，
3
2
由于s′(x)=ex+ sinx−4在(0,1)上单调递增，
3
2 2
所以s′ (x)≤e+ sin1−4< e+ −4<0，则h′(x)在(0,1)上单调递减，
3 3
2 1
故h′(x)<h′(0)=1− − 0− =0，则h(x)在(0,1)上单调递减，
3 3
2 1
则h(x)<h(0)=0在(0,1)上恒成立，即ex − sinx< x+1+2x2 在(0,1)上恒成立；
3 3
1 x
令φ(x)=x−ln(x+1),(x≥0)，所以φ′(x)=1− = ≥0,(x≥0)，
x+1 1+x
所以φ(x)在[0,+∞)上单调递增，则φ(x)≥φ(0)=0，当且仅当x=0时取等，
即x≥ln(x+1)在[0,+∞)上恒成立.
2 1 1
故lnf(x)=ln(ex
−
sinx)<ln(1+ x+2x2)≤ x+2x2
，
3 3 3
1 1 1 2
令x= ，则lnf( )< + ，
k k 3k k2
1 1 1
对于x≥ln(x+1)，令x=− ≠0，则ln(1− )<− ，
k k k
1
变形得 <lnk−ln(k−1)，
k
n n
1
裂项求和得，∑ <1+∑[lnk−ln(k−1))=1+lnn
k
k=1 k=2
n n n
1 1 1 1 1
∑ <1+∑ =1+∑( − )=2− <2
k2 k(k−1) k−1 k n
k=1 k=2 k=2
对题设不等式左边取对数放缩：
n n
ln [ f(1)⋅f( 1 )…f( 1 )) =∑lnf( 1 )=∑( 1 + 2 )
2 n k 3k k2
k=1 k=1
n n
1 1 1 1 1 13 1
< ∑ +2∑ < (1+lnn)+2×2= lnn+ < lnn+5，
3 k k2 3 3 3 3
k=1 k=1
1 1
对题设不等式右边取对数放缩：：aln(n+1)=( +ε)ln(n+1)> lnn+εlnn
3 3
5 1
当n>eε时，εlnn>5，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以a>
3
不满足条件；1 1 1
②当a≤ 时，若∀n∈N∗,f(1)⋅ f( )…f( )≥(n+1)a 恒成立，
3 2 n
n
此时原不等式右侧(n+1)a≤（n+1) 1 3，只需证明：∑lnf( 1 )≥ 1 ln(n+1)，
k 3
k=1
1 1 1
由（2）问结论1+ x≤f(x)可得：ln(1+ )≤lnf( )
3 3k k
1 3 1 3 1 1 1 1
对于 (1+ ) 二项式展开 (1+ ) =1+ + + >1+ ，
3k 3k k 3k2 27k3 k
1 1 1
两边取对数，ln(1+ )>ln(1+ )3，
3k k
n n
1
又ln(n+1)=∑[ln(k+1)− lnk)=∑ln(1+ )
k
k=1 k=1
n 1 n 1 n 1 1 1
因此，∑lnf( )≥∑ln(1+ )>∑ln(1+ )3= ln(n+1)≥aln(n+1)
k 3k k 3
k=1 k=1 k=1
1
所以原不等式成立，则a的最大值为
3
知识总结
① 核心概念：导数的几何意义、函数单调性与最值、对数放缩、裂项求和。② 解题要点：构造函数
求导判断单调性；利用已知不等式结论进行放缩；注意分类讨论参数的取值范围。③ 拓展关联：导数压
轴题常涉及构造函数、分类讨论、放缩技巧，需积累常见不等式。
