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2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（3）（详解版）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知随机变量 ，则 （ ）
A．0.12 B．0.16 C．0.22 D．0.26
【答案】B
【详解】 随机变量 ，
∴P(X≤−2)=P(X≥8)=1−P(X≤8)=1−0.84=0.16．
2．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，故 ， ，
故 .
3．已知实数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 时， ， ， ，
又 时，取 ， ，此时 ，所以 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
4．已知双曲线 与 的渐近线重合，则 与 的
实轴长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助渐近线定义计算可得 ，即可得解.
【详解】由题得 ，解得 ，
所以 与 的实轴长之比为 .
5．已知数列 的通项公式为 ，若 是数列 的最大项，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据数列 的通项公式 ，结合 为最大项得到关于 的不等
式组并结合 确定 的值.
【详解】由题意得， ，又因为 ，
所以 ，15 17
解得 ≤m≤ ，又因为 ，所以 ．
2 2
6．若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数性质建立关于 方程求解.
【详解】由 可得 ，
，
若 为奇函数，则有 ，
即 ，整理得 ，
则 ，解得 ，
当 时， ，令 ，解得 或 ，
此时定义域为 关于原点对称，
符合 为奇函数，故 符合题意．
7．已知 的外接圆圆心为 ，角 所对的边分别为 ，且 ，
，若 ，则 （ ）
A．8 B．13 C．16 D．32
【答案】B
【分析】由余弦定理化简可得 ，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解.
【详解】由余弦定理可得 ，
因为 ，代入化简可得 ，所以 ，
因为 ，所以 为边 的中点， ，
取 的中点为 ，
因为 是 的外接圆圆心，
所以 ，
由数量积的几何意义可知 ，
同理 ，
所以 .
8．已知正实数x，y满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】将条件 等价转化为 ，构造函数证
明 ，从而 ，求得取等号时的 ， ，解出 .
【详解】由题意得， ， ， ，
则 等价于 ．
设 ，则 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立．
由 得 ， ，则 ，
又 ，
所以 ， 即 ，
1 1
则xy−yx=1− = ．
2 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳
恒山，中岳嵩山.小明与其父母共 人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法
正确的是（ ）
A． 人选择的地点均不同的方法总数为 B． 人均不选泰山的方法总数为
C．恰有 人选同一个地方的方法总数为 D．恰有 人选华山的概率是
【答案】ABD
【分析】利用排列、组合计数问题，结合分步乘法计数原理及排除法逐项列式计算判断.
【详解】对于A， 人选择的地点均不同的方法总数为 ，故A正确；
对于B， 人均不选泰山的方法总数为 ，故B正确；
对于C，恰有 人选同一个地方的方法总数为 ，故C错误；
对于D，恰有 人选华山的方法数为 ， 人所有的方法数为 ，
所以恰有 人选华山的概率是 ，故D正确．
10．如图，在长方体 中， ，点 是棱 上的动点
（不含端点），过点 作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ）
A．截面是平行四边形 B．若 ，则
C．存在点 ，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值
【答案】AD
【详解】如图：
对A：设平面 交棱 于点 ，连接 ， .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 .
同理 ，所以四边形 为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确；
对B：因为 ， ，所以 ， .
又 和 中， ， ， .
所以 ，所以 ， .
连接 ， ，则 ，且 ，
，
，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，故B错误；
对C：假设存在点 ，使得截面为长方形.
设 ，则 ， .
由 ，
即 或 .
这与 矛盾，所以假设错误.故不存在点 ，使得截面为长方形.即C错误；
对D：设 ， ，则 ， ，
在 中，由余弦定理， ，
所以 .
所以 .
所以截面四边形的面积为 ，
所以当 时，截面的面积最小，为 .故D正确.
11．对于函数 和 ，下列说法正确的是（ ）
A． 与 有相同的最小正周期B． 与 有相同的零点
C． 与 的图象有相同的对称轴
D． 与 有相同的单调递增区间
【答案】ABC
【分析】对于选项A分别求出 与 的最小正周期；化简 可得 与 关
于 轴对称，可判断选项B、C；分别求出 与 的单调递增区间可判断选项D.
【详解】 周期 ， 周期 ，
所以 与 有相同的最小正周期，
选项A正确；
，
与 关于 轴对称，
所以 与 有相同的零点，图象有相同的对称轴，
选项B、C正确；
令 ， ，
所以 的单调递增区间为 ，
令 ， ，
所以 的单调递增区间为 ，
与 的单调递增区间不同，
选项D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设函数 ，若函数 图像关于直线 对称，求曲线
的长度为__________．
【答案】
【分析】首先根据对称的性质求出 的值，然后将 的解析式表示出来，进而可求
出曲线的长度.
【详解】∵函数 图像关于直线 对称，
∴ ，即 ，所以 ，
所以 ，那么 ，
画出图象如图所示，
所以曲线段 的长度为 ．
故答案为： .13．若 ，且 ，则 ______.
【答案】 或
【分析】由 ，利用两角和余弦公式化简求解.
【详解】
，
结合 ，
所以 ，即 或 .
因为 ，得 或 ，即 或 .
14．若曲线 和圆 存在4条公切线，则 的取值范围是_____.
【答案】
【分析】借助导数的几何意义表示出曲线 在 处的切线方程，则该切线也是
圆 的切线，即可用圆的切线的性质得到与 有关方程，再利用存在4条公
切线，计算即可得.
【详解】对 ，有 ，
则曲线 在 处的切线方程为 ，
整理得 ，由该切线也是 的切线，则 ，
整理得 ，
由曲线 和圆 存在4条公切线，
故关于 的方程 有四个不同根，
故关于 的方程 有两个不同正根，设为 、 ，
则 ，解得 ，
由 ，则 ， ，
故 时，该方程有两个不同正根，
即此时曲线 和圆 存在4条公切线，
故 的取值范围是 .
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等比数列，求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出
原数列的通项公式；
（2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减
法，最后将两部分结果相加即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项和公比均为 的等比数列.
所以 ，所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ，所以 .
所以
.
设 ，
则 ，
，，
，
所以 .
16．（15分）底面 为正方形，侧面 垂直于底面 且 为正三角形，
， .
(1)若H为 中点，求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的余弦值大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 中点O点，连接 ，可证 平面 ，建立空间直角坐标系，
利用向量法可证明 平面 .
（2）求得平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，进而利用向量法可求得平面
与平面 所成二面角的余弦值.
【详解】（1）取 中点O点，连接 ，由 为正三角形，得到
又侧面 垂直于底面 ， 平面 平面
所以 平面 ，如图建立空间直角坐标系于是 ， ， ， ，
所以 ， ，
由 ，得到 平面 .
（2）利用 得到
在平面 中， ， ，
设平面 的一个法向量为
则 得到： ，
不妨设 ，则
又由平面 与平面 垂直， ， 平面 平面 ，
则 平面 ，则 为平面 的一个法向量，
所以 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .17．（15分）某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有 学生的数学
成绩低于135分，（2）班有 学生的数学成绩低于135分．
(1)从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为
（1）班学生的概率．
(2)在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中
选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由互斥事件的和事件概率公式及条件概率计算公式即可求解；
（2）确定 的可能取值，求得相应概率即可求解.
【详解】（1）在（1）班、（2）班中随机抽取一人，设事件 “该学生来自（1）班”，
事件 “该学生的数学成绩低于135分”，
则由题意得 ．
，
该学生为（1）班学生的概率 ．
（2）由题意， 的所有可能取值为 ，
则 ，
，
．18．（17分）已知点 ，抛物线 的焦点为 ，线段 的中点在
上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 交于 、 两点．
（ⅰ）已知 的准线为 ，作 于点 ，证明：直线 过定点；
（ⅱ）过点 与 平行的直线与 交于点 、 ．判断 是否为定值，若为定
值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）是，且定值为 .
【分析】（1）求出线段 的中点坐标，将该中点坐标代入抛物线 的方程，可得出关于
的等式，解出正数 的值，即可得出抛物线 的方程；
（2）（i）设点 、 ，设直线 的方程为 ，将该直线方程与抛物
线方程联立，列出韦达定理，计算得出 ，即可证得结论成立；
（ii）设点 、 ，设直线 的方程为 ，则 ，将该直线
方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出 的值，即可得
出结论.
【详解】（1）由 、 得线段 的中点坐标为 ，
将点 的坐标代入抛物线 的方程得 ，即 ，
因为 ，解得 ，故抛物线 的方程为 .
（2）（i）设点 、 ，由题意可知直线 的斜率不为 ，设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，由韦达定理可得 ， ，
抛物线 的准线方程为 ，则 ，
设坐标原点为点 ，则 ， ，
所以 、 、 三点共线，即直线 过定点 ；
（ii）由（i）知，
，
设点 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
因为直线 过点 ，所以 ，
所以
，
所以 为定值.19．（17分）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，证明： ；
(3)设函数 ，若 有两个不同的零点 ， ，且 ，求
的取值范围．
【答案】(1)在 上单调递增，在 上单调递减
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可.
（2）构造函数，结合导数与单调性及最值的关系分别证明不等式的左边及右边，即可得证.
（3）通过分离常数将原问题转化为方程 有两个不同的实根的问题，构造函数
，结合导数与单调性及最值的关系作出简图，求出当 时， 的值，进一
步讨论求解即可.
【详解】（1）当 时， ，
由题意得 ， ．
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）若 ，那么函数 ．
要证明 ，即证明 ，即 ．
设 ，由 ，可得 ，待证不等式转化为 ．
左边：设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 ；
右边：设 ，则 ，
因此函数 在 上单调递减，故 ，即 ．
综上，当 时， .
（3）由题意知 .
， 是 有两个不同的零点，即方程 有两个不同的实根．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
且当 时， ，当 时， ．
则 的大致图像如图，可知若曲线 与直线 有两个交点，
交点的横坐标分别为 ， ，则 ，且 ．先考虑 的情形：
此时 ，则 ，所以 ，
所以 ，此时 ．
当 时， ， ，从而 ，不符合条件；
当 时， ， ，从而 ，符合条件，
所以要使 ，必须 ，所以 ．
故 的取值范围是 ．
