第23 讲 不等式恒成立 · 综合测试
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.（2026·东莞·二模）已知 f ( x)= x
2+( x -m)ln x，若 f ( x)≥1 恒成立，则 m= （ ）
A. 0
B. 1
C. e
D. 3
2.（2026·稳派联考·3 月检测）已知函数 f ( x)= ( x
3-6 x
2+9 x -m)(e
x -n)
ln x -2❑√x
(m>0)，若
f ( x)≤0 恒成立，则 (ln n-3)
2⋅ln n 的取值范围是（ ）
A. (-∞,4 ]
B. (-∞,- 4 ]
C. [ 4 ,+∞)
D. [- 4 ,+∞)
3.（2026·承德强基联盟·一模）若关于 x 的不等式 ln x + k ≤e
x -k -1 恒成立，则实数 k 的
取值范围是（ ）
A. (-∞,0]
B. (-∞,1]
C. (-∞, 1
e ]
D. (-∞,e ]
4.（2026·沧州运东七县·一模）已知函数 f ( x)=(ln x -mx)( x + 1
x -m-1)，若 f ( x)≤0 在
(0,+∞) 上恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. (0, 1
e ]
B. [ 1
e
2 ,1]
C. [1,e ]
D. [ 1
e ,1]
5.（2025·厦门·三模）已知集合 A ={x∣e
2 x<a ❑√x }，B ={x∣x
2- x<0}，若 A ∩B = ⌀，则 a
的取值范围是（ ）
A. (-∞,2]
B. (-∞,2❑√e ]
C. (-∞,4 ]
D. (-∞,e
2]
6.（2025·新余·一模）若对任意的 x∈( 1
e ,e)，不等式 2 λ x
2
1+ ln x -e
μ+1≥0 恒成立，则 μ
λ 的
最大值为（ ）
A. 4
e
3
B. 4
e
2
C. 4
e
D. 2
e
2
7.（2025·福建百校联考·5 月押题）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x ≥0
时，f ( x)= x
2-2 x +2.若 f ( x)≥2 x +b 对任意的 x∈R 恒成立，则实数 b 的取值范围是
（ ）
A. (-∞,2]
B. (-∞,1]
C. (-∞,0]
D. (-∞,-2]
8.已知 f ( x)= x +e
- x，g( x)= x
a-aln x(a<0)，若 f ( x)≥g( x) 在 x∈[1,+ ∞) 上恒成立，
则实数 a 的最小值为（ ）
A. -2e
B. -e
C. - ❑√e
D. -e
2
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2026·荆州·3 月调研）已知函数 f ( x)=e
x -a x
2，其中 a∈R，则（ ）
A. 若函数 f ( x) 有且仅有 1 个零点，则 a∈(0,e
2
4 )
B. 若函数 f ( x) 有且仅有 2 个极值点，则 a 的取值范围是 (e
2 ,+∞)
C. 不存在 a∈R，使函数 f ( x) 存在唯一的极值点
D. 若对 ∀x>0,f ( x)≥0 恒成立，则 a≤e
2
4
10.已知 f ( x)=mx +n，g( x)= ln x，对于 ∀x∈(0,+∞)，f ( x)≥g( x) 恒成立，则下列结
论正确的是（ ）
A. m>0
B. n≥-1- ln m
C. m+2n 的最小值为 - ln 4
D. m+n 的最小值为 -1
11.已知 e 是自然对数的底数．若 ∀x∈(0,+ ∞)，me
mx≥ln x 成立，则下列结论正确的
是（ ）
A. m>0
B. m≥ln x
x 对 ∀x∈(1,+∞) 恒成立
C. m 的最小值为 1
e
D. m 的最小值为 e
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.（2026·长沙长郡中学·二模）已知 e 为自然对数的底数，不等式 2e
2 x
a
- xe
x+a≥0 对
∀x∈R 恒成立，则实数 a 的最大值为＿＿＿＿＿＿.
13.若对于任意正实数 x，都有 ln x -ae x -b+1≤0(e 为自然对数的底数) 成立，则 a+b
的最小值是＿＿＿＿＿＿.
14.设 k ,b∈R，若关于 x 的不等式 ln( x -1)-b≤x(k -1) 在 (1,+∞) 上恒成立，则
b-2k +1
k -1
的最小值是＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）（2026·合肥·一模）已知函数 f ( x)= x e
x -e
ax.
（1） 当 a=1 时，讨论 f ( x) 的单调性；
（2） 当 x>0 时，f ( x)>-1，求 a 的取值范围；
（3） 设 n∈N
*，证明：1
e
3 + 2
e
3
2 +⋯+ n
e
3
n <n+2.
16.（15 分）（2026·深圳·二模）已知函数 f ( x)=e
x - x
2+(2-a)x.
（1） 若 f ( x) 在 x =1 时取极值，求 a 的值和 f ( x) 的极小值；
（2） 若不等式 f ( x)≥1 对任意 x ≥1 恒成立，求 a 的取值范围.
17.（15 分）（2026·镇江·零模）已知函数 f ( x)= ln( x +1)- ax
x +1，a∈R.
（1） 若存在正数 x0，使得 f ( x0)<0，求实数 a 的取值范围；
（2） 设 y = f ( x) 在 x =0 处的切线方程为 y = g( x).
①求 g( x) 的解析式；
②当 x≠0 时，x⋅[ f ( x)- g( x)]<0 恒成立，求 a 的取值集合.
18.（17 分）（2025·江西三新教研·3 月联考）已知函数 f ( x)= x e
x - ln x - x -1.
（1） 已知 f ( x) 的导函数为 f
'( x)，证明：f
'( x)=0 有唯一实数解.
（2） 若函数 g( x)= m- x
e
x
，∀x1∈(0,+ ∞)，∃x2∈R，f ( x1)-1≥g( x2)，求 m 的取值
范围.
19.（17 分）（2026·吉安·一模）已知函数 f ( x)= ln 1+ x
1- x -
ax
bx +1 (a,b∈R).
（1） 若 a=1，求函数 f ( x) 在 x =0 处的切线方程；
（2） 若 b=0,a>0，讨论 f ( x) 的单调性；
（3） 若对任意的 x∈(-1,1)，f ( x)≥0 恒成立，求 b 的取值范围.
