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2024 年高考数学模拟预测卷（新高考专用）
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解方程求出集合B，再由集合的交集以及补集运算即可求解.
【详解】由题意， ，又 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
2．已知复数 ，则 等于（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】利用 计算出 ，即可得到答案
【详解】因为 ，所以 ，
，
所以 ，
故选：D
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】由向量垂直的坐标表示求得 ，进而由向量线性运算的坐标表示求 的坐标，最后利用向
量模的坐标运算求 即可.
【详解】依题意， ，解得 ，则 ，
所以 ，故 ．
故选：D．
4．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知 在 上单调递增，且 在 恒成立，进而解
即可得答案.
【详解】解：因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 在 恒成立，
所以， ，解得
所以，实数 的取值范围为
故选：D
5．已知等差数列 的前 项和为 ，命题 “ ”，命题 “ ”，则命题 是命题
的（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由 ，不能推出 ，
例如 ，则 ，
所以 ，
故命题 是命题 的不充分条件；
由 ，不能推出 ，
例如 ，则 ，
所以 ，
故命题 是命题 的不必要条件；
综上所述：命题 是命题 的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角差与和的正弦公式可得 ，则 ，结合
二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】因为即 ，
所以 .
故选：A.
7．已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且 ，若椭圆 离
心率记为 ，双曲线 离心率记为 ，则 的最小值为（ ）
A．25 B．100 C．9 D．36
【答案】A
【解析】由椭圆与双曲线的定义得记 ，则 （椭圆长轴长）， ，用余
弦定理得出 的关系，代入和与差后得 的关系式，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】记 ，则 （椭圆长轴长）， （双曲线的实轴长），
又由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，变形为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成
立．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，
，在双曲线中 ，不能混淆．
8．已知 ，过点 作圆 （ 为参数，且 ）的两条切线分别切圆于点 、 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知圆心 在直线 上运动，设 ，则 ，求得 ，利用弦
化切可得出 ，求出 的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得
的最大值.
【详解】圆心 ，半径为 ，圆心 在直线 上运动，
设 ，则 ，由圆的几何性质可知 ，
所以， ，
当直线 与直线 垂直时， 取最小值，则 取最小值，
且 ，则 ，则 ，
由双勾函数的单调性可知，函数 在 上为增函数，且 ，
故函数 在 上为减函数，
故当 时， 取得最大值 .
故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．已知一组样本数据 ，其中 （ ，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数
据 ， ，…， ，其中 ，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同
B．两组样本数据的样本平均数相同
C． ， ，…， 样本数据的第30百分位数为
D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5
【答案】AC
【分析】根据一组数据加减一个数以及乘以一个数时，平均数以及方差的性质可判断ABD；根据百分位数
的计算可判断C；
【详解】由题意可得： ，
∵ ，则 ， ，故A正确，B错误；
由于求 第30百分位数：15×0.3=4.5，故为第5个数，
的排列为： ，
因此，第30百分位数为 ，C正确；
将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，
新样本的平均数为 ，D错误，
故选：AC．
10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位： ）之间的关系是： ，其中 指的是人能听
到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为 ，对应的声强级为120dB，称为痛
阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为 （单位：dB）．下列选项中正确的是（ ）A．闻阈的声强为
B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍
C．此歌唱家唱歌时的声强范围 （单位：dB）
D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB
【答案】ACD
【分析】依题意求出 ，即可判断A；将 、 代入求声强范围判断C；设声强变为原来的 倍，
对应声强级增加 ，依题意得到方程，解得 ，即可判断B、D.
【详解】解：由题意 ，即 ，所以 ，所以 ，故
，故A正确；
若 ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ，故歌唱家唱歌时的声强范围 （单位： ），C
正确；
设声强变为原来的 倍，对应声强级增加 ，
则 ，解得 ，
即如果声强变为原来的 倍，对应声强级增加 ，故D正确，B错误；
故选：ACD
11．已知定义在 上的函数 满足对任意的 ， ， ，且当 时， ，
则（ ）
A．
B．对任意的 ，
C． 是减函数
D．若 ，且不等式 恒成立，则 的最小值是【答案】ABD
【分析】A. 取 ，易得 ；
B. 取 ，可得 ，然后验证 的情况；
C. 由当 时， ，且 可得，
当 时， ，与 为减函数矛盾，从而可判断C错误；
D. 先证明 的单调性，然后由 可得 ，结合函数的单调性可得 ，
再化简、换元，通过构造函数、求导得新函数的单调性和最值，即可得解.
【详解】取 ，则 ，解得 或 ，
若 ，则对任意的 ， ，与条件不符，故 ，A正确；
对任意的 ， ，若存在 ，使得 ，
则 ，与 矛盾，所以对任意的 ， ，B正确；
当 时， ，且 ，所以当 时， ，与 为减函数矛盾，C错误；
假设 ，则
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，由题意得 ，所以 ，
结合 在 上单调递增可知 ，则 ，
令 ，则 ， ，令 ， ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，从而 ，
所以 ，则 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题中用到特殊值，特殊函数来解决问题，特别是选项D中 ，将不等式转化为
，再结合换元法，求导等办法来求解，综合能力要求较高.
12．正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学
家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面体是正四面体.已知正四面体 的所有棱长均为2，
则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角为
B．点 到平面 的距离为
C．四面体 的外接球体积为
D．四面体 的内切球表面积为
【答案】BCD
【分析】由题画出图形，证明 ，可知A错；直接求出 到平面 的距离判断B；求出正四面
体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断C；根据图形，得出正四面体的内切球半径，进一步求得
内切球的表面积判断D.
【详解】
由题意，四面体 为正四面体，取底面 的中心为 ，连接 并延长，交 于 ，
则 为 的中点，且 ，
连接 ，则 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，故A错；
由四面体的所有棱长为 ，得 ，又 ，
，故B正确；
设四面体 的外接球的球心为 ，半径为 ，
连接 ，则 ，解得 ，
则四面体 的外接球的体积为 ，故C正确；
根据对称性，正四面体的外接球和内切球球心均是 ，
设正四面体内切球半径为 ，则 ，
又 ， ，
所以 ,
则四面体 的内切球表面积为 .故D正确.
故选：BCD
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法
有 ．
【答案】60
【分析】由题意知A，B，C三个宿舍中有两个宿舍分到2人，另一个宿舍分到1人，甲被分到B宿舍或C
宿舍，分情况讨论求解即可.
【详解】由题意知A，B，C三个宿舍中有两个宿舍分到2人，另一个宿舍分到1人．若甲被分到B宿舍：
①A中2人，B中1人，C中2人，有 ＝6种分法；
②A中1人，B中2人，C中2人，有 ＝12种分法；
③A中2人，B中2人，C中1人，有 ＝12种分法，
即甲被分到B宿舍的分法有6＋12＋12＝30种，
同样，甲被分到C宿舍的分法也有30种，
所以甲不到A宿舍一共有30＋30＝60种分法，
故答案为：60．
14．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭
，其中上底面与下底面的面积之比为 ， ，方亭的四个侧面均为全等的等腰
梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为 ，则方亭的体积为 .
【答案】
【分析】分析可知 ，设 ，则 ，过点 、 在平面 内分别作
， ，垂足分别为点 、 ，根据正四棱台的侧面积计算出 的值，再利用台体的体积
公式可求得结果．
【详解】解：由题意得 ，设 ，则 ， .
过点 ， 在平面 内分别作 ， ，垂足分别为点 、 ，在等腰梯形 中，因为 ， ， ，则四边形 为矩形，
所以 ， ，则 ，
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
在 中，由勾股定理得 ，
所以等腰梯形 的面积为 ，所以 .
所以 ， ，方亭的高 ，
故方亭的体积为 .
故答案为：
15．若函数 ，在 上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】先化简函数式得 ，再结合三角函数的图象与性质，利用整体代换计算即可.
【详解】由三角恒等变换可得 ，
时，有 ，
若要满足题意则需： .故答案为：
16．双曲线 的左、右焦点分别为 ，P为右支上一点，且 ，
的内切圆圆心为I，与 切于点A，直线PI交x轴于点Q，若 ，则双曲线的离心率为
．
【答案】3
【分析】记c为双曲线半焦距，先求出 ，再利用双曲线的性质求出 的坐标，再结合
求解.
【详解】记c为双曲线半焦距，由角平分线定理，得 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ .
∵ ，∴ ，
解得 ．
故答案为：3.
四．解答题（共6小题，满分70分）17．在 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求边AC上的高．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先正弦定理化边为角，解得 ，再根据平方关系求结果；
（2）由余弦定理以及 ，解得 ，再根据三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理及 ，有 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）在 中，由余弦定理可得 ，又 ，
所以有 ，即 ，
所以 的面积为 .
所以AC边上的高为 .
18．如图，在直三棱柱 中，点 分别是 中点，平面 平面 ．(1)证明： ；
(2)若 ，平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取取 中点G，连接 ， ，证明 平面 ，进而根据线面平行性质定理证明
即可；
（2）取棱 中点 ， 中点 ，连接 ，进而证明 平面 ，再结合（1）得
为所求线面角记为 ，再根据几何关系求解即可.
【详解】（1）证明：取 中点G，连接 ， ，∵ 分别是 ， 中点
∴ 且
又∵ 且 ，∴∴四边形 为平行四边形
∴ 平面 平面
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴
（2）解：由三棱柱为直棱柱得 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
取棱 中点 ， 中点 ，连接 ,
∵由三棱柱为直棱柱得 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ ，∵ ，
∵ ， 平面 ,
∴ 平面 ，
∵点 分别是 中点,
∴ ，
∴ 平面 ．
由（1）可知 ，
∴ 为所求线面角记为 ， ．在 中 ．
在 中 ，
∴ ，
∴直线l与平面 所成角的余弦值为
19．已知函数 ．
(1) 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)证明不等式 恒成立．
【答案】(1)
(2)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.(3)证明见解析.
【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解；
（2）求出导函数后对 的值进行分情况讨论即可求；
（3）用切线不等式可证得结果.
【详解】（1） 时， ，依题意切点坐标为 ，
，所以函数 在 处的切线的斜率为 ，
故函数 在 处的切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3）要证 恒成立，即证 恒成立，
令 ， ，由（2）可知，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 恒成立，
即有 时 恒成立，当且仅当 时取“=”号，
亦有 即 恒成立，当且仅当 ，即 时取“=”号.所以一方面 ，当且仅当 ，即 时取“=”号，
另一方面 恒成立，当且仅当 时取“=”号，
所以 恒成立，原不等式得证.
20．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．当 时，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据条件列出关于首项和公差的方程，求出数列 的通项公式；
，两边同时乘以 ，则 ，当 时，
，两式相减，即可求出 的通项公式；
（2）由（1）知， ，再由裂项相消法求数列 的前n项和 ．
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ，可得 ，
故数列 的通项公式为 .，两边同时乘以 ，
则
当 时， ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，所以 ，
当 时， ，故 满足 ，故 .
（2） ，
所以
.
故 .
21．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球
时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记 次传球后球在甲手中的概率为
，
①直接写出 的值；
②求 与 的关系式 ，并求 .
【答案】(1)分布列见解析(2)① ， ， ；② ；
【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解；
（2）记 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求
再由数列知识，由递推公式求得通项公式.
【详解】（1） 可能取值为 ，
； ；
所以随机变量 的分布列为
1 2 3
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且 次传球后球在甲手中的概率为 ，
则有
记 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”，
所以
即 ，
所以 ，且
所以数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列，所以 所以
即 次传球后球在甲手中的概率是 .
22．设抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线交抛物线于不同两点 ，线段 中点为 ，射
线 与抛物线交于点 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)求 面积的最小值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）设直线 方程为 ，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再运用代入
法消去 ，即可得到 的轨迹方程；
（2）设 ，根据向量关系及 点在抛物线 上，化简可得 ，由点
到直线的距离公式，以及弦长公式，求出 的面积，再构造新函数，利用导数即可求得 的面
积的最小值.
【详解】（1）设直线 方程为 ，代入 ，
得 ，设 ，
则 ， ， ，
∴ ， ，即 ，
设 ，由 ，
消去 得中点 的轨迹方程为 ；
（2）设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由 点在抛物线 上，得 ，
又∵ ，
∴ ，点 到直线 的距离 ，
又 ，
所以， 的面积为 ，
设 ，有 ，
由 可得 ，由 可得 ，故 在 上是减函数，在 上是增函数，
因此，当 时 取到最小值， ，此时 ，
所以， 面积的最小值是 .
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从
而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基
本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
