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第 04 讲 随机事件、频率与概率
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南·校联考二模）某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，
每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，
若甲通过每个阶段比赛的概率均为 ，乙通过每个阶段比赛的概率均为 ，丙通过每个阶段比赛的概率均
为 ，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，
则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为 ，
所以他们连续通过初赛和复赛的概率为 ，即进入决赛的概率为 .
故选：B
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙
去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物
馆的概率是（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84
【答案】C
【解析】依题意，在这段时间内，甲乙都不去参观博物馆的概率为 ，
所以在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是 ．
故选：C.
3．（2023·全国·校联考模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机
不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为 ，“两个球都是白球”的概
率为 ，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则 ， ，且 .
因为A，B，C两两互斥，
所以 .
故选：C.
4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天
实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验
舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在不同舱内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有
种可能，
要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱
位，则有 种可能.
所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率 .
甲、乙两人安排在不同舱内的概率 .
故选：B.
5．（2023·河南·襄城高中校联考三模）2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前
两名才能出线，晋级到 决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二
的概率为0.3；若获得小组第一，则 决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则 决赛获胜的概率为
0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其 决赛获胜的概率为（ ）
A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9
【答案】C
【解析】设该队小组出线为事件A，该队 决赛获胜为事件B，则 ， ，
所以 ．
故选：C .
6．（2023·广东东莞·校考三模）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，
每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文
化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个
节气中任选两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，
∴基本事件有 个，其中任取两个在同一个月的有3个，
∴这两个节气不在同一个月的概率为： ，
故选：A.
7．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件 “两次掷出的点
数之和是6”，事件 “第一次掷出的点数是奇数”，事件 “两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．A与 互斥 B． 与 相互独立
C． D．A与 互斥
【答案】B
【解析】对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与
能够同时发生，所以A与 不互斥，故选项A错误；
对于选项B： ， ， ，所以 ，所以 与 相互
独立，即选项B正确；
对于选项C： ，故选项C错误；
对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时
发生，所以A与C不互斥，故选项D错误；
故选：B.
8．（2023·山东烟台·统考三模）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，
毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
则（ ）A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
【答案】C
【解析】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
共有 中分法；
对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，
再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有 种分法，
故甲学校没有女大学生的概率为 ，A错误；
对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，
共有 种分法，
故甲学校至少有两名女大学生的概率为 ，B错误；
对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为 或 ，
当男生人数为 时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，
此时共有 种分法；
当男生人数为 时，将4名女生按人数 分为3组，
人数 的2组分到男生人数为 的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，
此时共有 种分法；
故每所学校都有男大学生的分法有 种，
则每所学校都有男大学生的概率为 ，C正确；
对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有 种分法，
乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有 种，故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为 ，D错误，
故选：C
9．（2023·湖南·校联考模拟预测）学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏
了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则
这排路灯必须马上维修的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设必须马上维修记为事件A，则不需要马上维修为 ，
而 表示9盏灯正常，且在9盏灯每相邻两盏灯中间，插入一盏已坏的灯，即一共有8个空，选出3个空，
插入一盏已坏的灯，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
10．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑
球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．假设事件 “从乙箱中取出
的两球都是白球”， “从乙箱中取出的两球都是黑球”， “从乙箱中取出的两球一个是白球一
个是黑球”，其对应的概率分别为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出两个白球，可得 ，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出两个白球，
可得 ，所以 ；
当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出两个黑球，可得 ，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出两个黑球，
可得 ，所以 ；当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出一白一黑球，可得 ，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出一白一黑球，
可得 ，所以 ，
综上可得， .
故选：C.
11．（多选题）（2023·吉林白山·统考二模）将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分
得一张卡片，则（ ）．
A．甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件
B．甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件
C．甲得到A卡片的概率为
D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为
【答案】BCD
【解析】甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，
所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确．
甲得到A卡片的概率为 ，C正确．
乙2人中有人得到A卡片的概率为 ，D正确．
故选：BCD
12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）甲、乙两个盒子中各装有4个相同的小球，甲
盒子中小球的编号依次为1，2，3，4，乙盒子中小球的编号依次为5，6，7，8，同时从两个盒子中各取出
1个小球，记下小球上的数字．记事件 为“取出的数字之和为偶数”，事件 为“取出的数字之和等于
9”，事件 为“取出的数字之和大于9”，则下列结论正确的是（ ）
A． 与 是互斥事件 B． 与 是对立事件
C． 与 不是相互独立事件 D． 与 是相互独立事件
【答案】AC
【解析】从两个盒子中取出的两个数字之和只有2种结果：偶数和奇数．而“数字之和为9”是结果为奇数
的其中一种情况，所以事件 与 是互斥事件而不是对立事件，选项A正确．
从两个盒子各取1个小球，共有 种结果，其中数字之和为偶数的有8种；数字之和等于9的有
这4种；数字之和大于9的有 这6种．所以 ．因为 ，所以 与 不是对立事件，
选项B错误．
事件 为“取出的数字之和为偶数且大于9”，其结果有4种： ．所以
，显然 ，所以 与 不是相互独立事件，选项C正确．
因为当取出的数字之和为偶数时，不可能出现取出的数字之和等于9这种情况，所以 ，而
，所以 与 不是相互独立事件，选项D错误．
故选：AC.
13．（多选题）（2023·浙江·二模）已知 为实验 的样本空间，随机事件 ，则（ ）
A． 为必然事件，且 B． 为不可能事件，且
C．若 ，则 为必然事件 D．若 ，则 不一定为不可能事件
【答案】ABD
【解析】A.当 为必然事件，且 ，故A正确；
B. 为不可能事件，且 ，故B正确；
C. 若 ，则 不一定为必然事件，若样本空间是区间 ，但质点落在区间 的概率也是1，
此时 不是必然事件，故C错误；
D. 若 ，则 不一定为不可能事件，若样本空间是区间 ，但质点落在 处的概率为0，但
此时不是不可能事件，故D正确.
故选：ABD
14．（多选题）（2023·广东广州·统考二模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为
8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，
3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的
是（ ）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B．该零件是次品的概率为0.03
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
【答案】BC
【解析】记事件 ：车床加工的零件为次品，记事件 ：第 台车床加工的零件，
则 ， ， ， ， ， ，对于 ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为 ，故A错
误；
对于 ，任取一个零件是次品的概率为
，故B正确；
对于 ，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为
，故C正确；
对于 ，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
，故D错误．
故选：BC．
15．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有 个小孩的家庭，
随机选择一个家庭，则当已知该家庭 个小孩中有女孩的条件下， 个小孩中至少有 个男孩的概率为
.
【答案】
【解析】记事件 该家庭 个小孩中有女孩，事件 该家庭中 个小孩中至少有 个男孩，
则 ， ，
由条件概率公式可得 .
故答案为： .
16．（2023·四川·校联考模拟预测）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为 ， .
则谜题被破解的概率为 .
【答案】
【解析】设“甲独立地破解谜题”为事件 ，“乙独立地破解谜题”为事件 ，“谜题被破解”为事件 ，
且事件 ， 相互独立，
则 .
故答案为：
17．（2023·广东汕头·统考二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设
携带病毒的人占 ，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：
随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这
种化验方法，平均每个人需要化验 次.（结果保留四位有效数字）（ ， ，
）.
【答案】0.4262
【解析】设每个人需要的化验次数为X，
若混合血样呈阴性，则 ；若混合血样呈阳性，则 ；
因此，X的分布列为 ， ，
，
说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次.
故答案为：0.4262.
18．（2023·广东·统考模拟预测）某电影院同时上映A与B两部电影，甲、乙、丙3人同时去电影院观影，
3人必须在A，B两部电影中选择一部进行观看，且甲、乙2人观看A电影的概率均为 ，丙观看B电影的
概率为 ，若3人观看哪部电影相互独立，则恰有2人观看B电影的概率为 .
【答案】
【解析】由题知：恰有2人观看B电影的情况有甲乙观看B电影丙观看A电影，甲丙观看B电影乙观看A
电影，乙丙观看B电影甲观看A电影，
所以3人中恰有2人观看B电影的概率为 .
故答案为： .
19．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）2022年神舟十五号载人飞船发射任务都取得圆满成功，神舟十四号
航天员与神舟十五号航天员首次完成空中会师，现有航天员甲､乙､丙三个人，进入太空空间站后需要派出
一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功任务
结束，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次.已知甲､乙､丙10分钟内试验成功
的概率分别为 ， ， ，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲､乙､丙顺序派出，则试验
任务成功的概率为 .
【答案】
【解析】试验任务成功的事件 是：甲成功的事件 ，甲不成功乙成功的事件 ，甲乙都不成功丙成
功的事件 的和，事件 ， ， 互斥， ， ， ，
所以试验任务成功的概率 .
故答案为： .
20．（2023·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，
8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 ，故此数列称为斐波那契
数列，又称“兔子数列”．现在从该数列前21项中，按照奇数与偶数这两种类型进行分层抽样抽取6项，
再从这6项中抽出2项，则至少含有一项是偶数的概率为 ．
【答案】 /0.6
【解析】由题意得，斐波那契数列的前21项中偶数项的个数为 ，奇数项的个数为 ，
所以奇数与偶数的个数之比为 ，
所以采用分层抽样抽取6项中奇数有4项，偶数有2项，
所以从这6项中抽出2项，至少含有一项是偶数的概率 ．
故答案为：
21．（2023·陕西渭南·统考二模）甲､乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，
则甲获胜的概率是 .
【答案】
【解析】甲､乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，
所以甲获胜的概率是 ，
故答案为： .
22．（2023·河南·统考模拟预测）安排 ， ， ， ， 五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，
每个福利院至少安排一名志愿者，则 ， 被安排在不同的福利院的概率为 ．
【答案】
【解析】5人分配到2个福利院有1,4和3,2两种分组方法，共有 种分法，
其中 ， 被安排在同一组在同一福利院有 种，所以 ， 被安排在不同的福利院的概率为 .
故答案为：
1．（2009•江西）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这
4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛．则甲、乙相遇的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】甲、乙在同一组： ．
甲、乙不在同一组，但相遇的概率： ，
甲、乙相遇的概率为 ．
故选： ．
2．（2023•上海）已知事件 的对立事件为 ，若 （A） ，则 ．
【答案】0.5
【解析】事件 的对立事件为 ，
若 （A） ，则 ．
故答案为：0.5．
3．（2010•重庆）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 、 、 ，
且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 ．
【答案】
【解析】加工出来的零件为次品的对立事件为零件是正品，而零件是正品需要三道工序全部是正品．
由对立事件公式得，加工出来的零件的次品率．
．
故答案为 ．
4．（2007•海南）设有关于 的一元二次方程 ．
（1）若 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数， 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．
（2）若 是从区间 ， 内任取的一个数， ，求上述方程没有实根的概率．
【解析】由题意知本题是一个古典概型，
设事件 为“方程 无实根”
当 ， 时，方程 无实根的充要条件为
△ ，即
（1）基本事件共12个： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ．
其中第一个数表示 的取值，第二个数表示 的取值．
事件 包含3个基本事件 ， ， ， ，
事件 发生的概率为 （A） ．
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的所有基本事件所构成的区域为： ， ，
其中构成事件 的区域为 ， ，
所求概率为 （B） ．
5．（2006•天津）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是 0.9，乙机床产
品的正品率是0.95．
（1）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（2）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）．
【解析】（1） 甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率和乙机床产品的正品
率是定值
本题是一个独立重复试验
任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为 （2） ．
（2）记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件 ，
“任取乙机床的1件产品是正品”为事件 ．
则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品包括三种结果，一是两个产品都是正品，
二是甲生产的是正品且乙生产的是次品，三是甲生产的是次品且乙生产的是正品
这三种结果是互斥的，
．
