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专题 22.6 二次函数 y=a（x-h)²(a≠0)和 y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象
与性质（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线 （m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西·一模）在二次函数 的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西吕梁·一模） 和 是抛物线 上的点，则 、 两点之间的距离
是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）设 是抛物线 上的三
点，则 ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）顶点为 ，且开口方向、形状与函数 的图象相同的
抛物线是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·山东淄博·期末）将抛物线 绕原点旋转 ，旋转后的抛物线解析式
为（ ）
A． B．C． D．
7．（23-24九年级上·河南商丘·期末）若抛物线 的顶点在第二象限，则直线 不经
过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当 时，二次函数 有最大值 ，则实数
的值为( )
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
9．（2010·浙江·中考模拟）如图，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是
A．h=m B．k= n
C．k>n D．h>0，k>0
10．（19-20九年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，已知 ， 为线段 上的一个动点，分别以 ，
为边在 的同侧作菱形 和菱形 ，点 ， ， 在一条直线上， . ， 分
别是对角线 ， 的中点．当点 在线段 上移动时，点 ， 之间的距离最短为( )
A． B． C．4 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）已知二次函数 的顶点坐标是 .
12．（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）将抛物线 沿 轴翻折后对应的函数解析式为
．13．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的二次函数 ，当 时，函
数y的取值范围为 ．
14．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数 的图像在直线 的左侧部分
是下降的，那么 的取值范围是 ．
15．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数使 使 成立的 的值恰好只有2
个时，则 满足的条件是 ．
16．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，抛物线 与 交于点A，过
点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则线段BC的长为 ．
17．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图1，一张边长为a、 的长方形纸片的面积等于 ，将
它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形（如图2），k可以取得的最小整数是 ．
18．（20-21九年级上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线 与y轴的交
点，点B是这条抛物线上的另一点，且 轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2022·安徽·模拟预测）已知点 在开口向上的抛物线
上，若点 也在此抛物线上，将抛物线在点 之间的部分记为图象
（含点 ）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若图象 上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数 的值．
20．（8分）（22-23九年级上·北京房山·阶段练习）已知二次函数 经过点 ，且当
时，y取得最大值为1．
（1）直接写出该二次函数图象的顶点坐标为______；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）在坐标系中画出该二次函数的图象．21．（10分）（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于 的方程 ，
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根 ， 满足 ，求 的值；
（3）在问题（2）成立的前提下，写出函数 的增减性．
22．（10分）（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为
A，对称轴与x轴交于点C，当以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，
我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形 为它的内接正方形．
（1）当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
（2）当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
（3）若抛物线 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．23．（10分）（21-22九年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的
纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，
发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
（3）假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？
最大利润是多少元．
24．（12分）（2023·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图
所示，该抛物线的顶点为 ，且与 轴的交点为 ，连接 过点 作 轴的平行线与抛物线交于另一
点 ，过点 作 的垂线 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）如图 ，延长 交 于点 ，请用含 的代数式表示 的面积；
（3）如图 ，点 在抛物线第一象限的图象上且位于点 的左侧，连接 并延长交 于点 ，过点 作
垂直于 ，垂足为点 ，连接 求证： ．参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，然
后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵抛物线 （m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当 时， 随 的增大而减小，当
时， 随 的增大而增大，从而可以解答本题．
【详解】解： 二次函数 ，
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，
故选：B．
3．D
【分析】
本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线 ，A，B两点关于对称
轴对称，即可得出A，B两点之间的距离．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为直线 ，
∵ 和 关于对称轴对称，∴A，B两点之间的距离 ；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
根据二次函数的性质得到抛物线抛物线 的开口向下，对称轴为直线 ，然后
根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小，距离越远，函数值越小，距离越短，函数值越大．
【详解】解： 抛物线 的开口向下，对称轴为直线 ，
而点 离直线 的距离为4， 点离直线 的距离为2， 离直线
的距离为3，
，
．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象，根据二次函数的性质及顶点坐标求解，解
题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【详解】解：∵顶点为 ，
∴设抛物线解析式为 ，
∵开口方向、形状与函数 的图象相同，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
故选： ．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定
旋转后的a的值和顶点坐标．
先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可．【详解】解：∵抛物线 的 ，顶点是 ，
∴将抛物线 绕原点旋转 ，得到的抛物线的 ，顶点是 ，
∴旋转后的抛物线解析式为 ．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象与系数的关系，先由抛物线
的顶点在第二象限确定 的取值范围，从而确定直线 经过的象限．
【详解】解：抛物线 的顶点为 ，
由抛物线 的顶点在第二象限知 ，即 ，
此时，直线 经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线 ，再分 ， ，
三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，
① 时， 取得最大值，
解得 ；
② 时， 取得最大值为 ，不合题意；
③ 时， 取得最大值， ，
解得 ．
故选：C．
9．B
【分析】借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．
【详解】解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），
因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k＞n，k=n不正确．故选B．
10．B【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=8-2a，PM=a， ，构
建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
【详解】解：连接PM、PN．
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠MPN=60°+30°=90°，
设PA=2a，则PB=8-2a，PM=a， ，
∴ ，
∴当 时，点M，N之间的距离最短，最短距离为 ，
故选：B；
【点睛】本题主要考查了考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式的特点求解即可，解题的关键是熟知二
次函数 的顶点坐标为 ．
【详解】解：二次函数 的顶点坐标为 ，
故答案为： ．
12．【分析】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是掌握关于 轴对称的点的坐标特征．由抛物线
的顶点坐标是 ，可得沿 轴翻折后的顶点坐标是 ，即可求解．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，则沿 轴翻折后顶点坐标是 ，开
口向下，
新抛物线解析式是： ，
故答案是： ．
13．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对
称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口
向上，当 时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴在 范围内，当 时，函数有最小值，最小值为1，
当 时，函数有最大值，最大值为： ，
∴ 的取值范围为 ，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定a
的取值范围即可．掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∵二次函数 的图像在直线 的左侧部分是下降的，
∴ ．
故答案为： ．
15． 或【分析】本题主要考查二次函数的图象．画出图象，使 成立的 的值恰好只有2个．即函数图
象与 这两个条直线有2个交点，据此观察图象求解．
【详解】解：画出函数解析式的图象，
使 成立的 的值恰好只有2个即函数图象与 这两个条直线有2个交点，
由图象及解析式可知，当 或 时，函数图象与 这两个条直线恰好有2个交点．
故答案为： 或 ．
16．6
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．设抛物
线 的对称轴与线段 交于点 ，抛物线 的对称轴与线段 交
于点 ，由抛物线的对称性结合 ，即可求出结论．
【详解】解：设抛物线 的对称轴为直线 与线段 交于点 ，抛物线
的对称轴为直线 与线段 交于点 ，如图所示．由抛物线的对称性，可知： ， ，
．
故答案为：6．
17．
【分析】本题考查了二次函数的性质．
利用长方形的面积公式，可得出k关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问
题．
【详解】根据题意，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴当 时，k随a的增大而增大，
∴当 时，k可以取得最小整数，此时 ．
故答案为：
18．24
【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周
长公式即可求解．
【详解】抛物线 的对称轴是
过 点作 于点 ，如下图所示则 ，则
则以 为边的等边 的周长为 ．
故答案为24．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性
质是解题的关键．
（1）由点 在开口向上的抛物线 上，得抛物线的对称轴为直
线 ，从而得 ，进而即可求解；
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上及 得 ，从而得
．进而得 ，于是有 ，解得 （舍去），进而即可
得解．
【详解】（1）解： 点 在开口向上的抛物线 上，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
．当 时， ，
抛物线的顶点坐标为 ．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线为 ，
由（1）知抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上．
，
．
图象 上任意两点纵坐标差的最大值为2，
，
，
解得 （舍去），
，
∴整数 的值为1．
20．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）利用二次函数的性质可以得出顶点坐标；
（2）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）列表，描点，连线画出函数的图象即可．【详解】（1） 当 时，y取得最大值为1，
二次函数图象的顶点坐标是 ；
故答案为： ．
（2）解：设二次函数解析式为： ，
讲点 代入得： ，
解得： ，
二次函数的表达式为：
（3）列表：
x 0 …
y 0 1 0 …
描点、连线画出函数 的图象如图：
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，以及二次函数图像上点
的坐标特点，解题的关键是求出二次函数的解析式．
21．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明 即可．
（2）利用根与系数的关系求解即可；（3）根据（2）中m值，判断出开口方向，结合对称轴分析即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴所以方程有两个不相等的实数根；
（2）∵ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴函数 开口向上，而对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，二次函数的增减性．要熟练
掌握根的判别式以及根与系数的关系的应用方法．
22．(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）画出函数 的图像，求出点D的坐标，即可求解；
（2）求得顶点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，即可求解；
（3）同（2）求得顶点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，即可求解．
【详解】（1）解：函数 的图像如下：抛物线 是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入 得： ，
解得 ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴顶点A的坐标为 ，
同理，点D的坐标为 ，
将点D的坐标代入 得：
,
解得 ；
故答案为：4；
（3）解：∵ ，
∴顶点A的坐标为 ，
同理，点D的坐标为 ，
将点D的坐标代入 得：
,
解得 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理
解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键．
23．(1)
(2)当售价定为 元时，每天的利润为140元(3)当售价为 元时，利润最大为 ．
【分析】（1）设售价单价提高 元时，利用每天的销售量会减少4件即可列出函数关系式；
（2）售价为 元，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题中等量关系为：利润 （售价 进价） 售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将
函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出 的最大值．
【详解】（1）解：设售价单价提高 元，则
；
（2）解：由题可知售价为 元，
即 ，
解得 ， ，
故售价为： 或 ，
需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，
当售价定为 元时，每天的利润为140元；
（3）解： ，
当 时， 最大值为 ，
故售价为 ，
当售价为 元时，利润最大为 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润 （售价 进价） 售出件数是解答此题的关键．
24．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握两条直线的 值
相等，则两直线平行是解题的关键．
（1）根据顶点式解析式求出点 坐标，令 ，求出 值可得点 坐标，利用两点间距离公式求出 的长即可；
（2）分别用 表示出 、 、 的坐标，可表示出 的长，再用待定系数法求直线 的解析式，
表示出 点坐标，从而求出 的长，即可求 的面积；
（3）设 ，用待定系数法先求直线 的解析式，从而求出点 的坐标，再用
待定系数法求出直线 的解析式，从而判断直线 与 是平行的即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∵该抛物线的顶点为 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
．
（2）∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）设 ，直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，
∴ ，
∵ ，
∴同理可求直线 的解析式为 ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ ．
