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2026年全国1卷高考数学考前自测卷（3）（解析版）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，且函数 在 上单调递增，∴ ，
又 ，∴ .
∵ ，且函数 的定义域为 ，在 上单调递增，
∴ ，∴ .
∴ ，故选D.
2．若复数 在复平面内对应的点在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得 ，进而得出复数 ，
最后利用复数乘法运算即可.
【详解】因为 ，
所以复数 在复平面内对应的点为又点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以复数 ，
，
故选：D.
3．如图，在 中，点 是线段 上靠近点 的三等分点，过点 的直线分别交直线
、 于点 、 . 设 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据 ，结合平面向量的减法可得出 ，结合 ，
，可得出 ，利用 三点共线，可求出 的值.
【详解】
如图，连接 ，因为点 是线段 上靠近点 的三等分点，则 ，
即 ，所以， ，又因为 ， ，则 ，
因为 三点共线，设 ，则 ，
所以， ，且 、 不共线，
所以， ， ，故 ，因此， .
4．如图，已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为
“果圆”，其中 .“果圆”与 轴的交点分别为 ，与 轴的交点
分别为 ，点 为半椭圆 上一点（不与 重合），若存在 ，则半椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量
关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围.
【详解】设 ，
因为 ，
又点 为半椭圆 上一点，所以 ，
所以
，
因为存在 ，
所以 ，
即 在 上有解，
因为 ，
且 ，
所以 在 上有解，
即 在 上有解，所以
又因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
故选：D
5．已知常数 ，若 ， ，使得 成立，则 的
最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式将不等式 转化为 ，根据余弦函数的
性质求出 的取值范围，再分析区间覆盖条件，列不等式求解.
【详解】因为 ，所以 可化为 ．
π
由三角函数的定义解得kπ−φ≤x− ≤kπ+φ， ，即
2
π π
kπ+ −φ≤x≤kπ+ +φ，
．
2 2
该解集在数轴上表示如下：
若 ， ，使得 成立，则只需 的长度大
于等于相邻解集之间的长度，
π
所以 ，解得φ≥ ．
6
又 ，所以 的最小值为 ．
6．如图，半球O的半径为 ，从中挖去一内接圆柱 ，圆柱一个底面在半球面上，且
轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解.
【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r
由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有 ，
故
所以剩余几何体的表面积为 .
7．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，其右支上有一点
满足 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，结合图形可得 ，在 中用余弦定理求 与 的关
系，进而在 中用余弦定理求离心率.
【详解】由双曲线定义得： ，
轴是 的中垂线， 在 轴上，故 ，
设 ，由 得 ，则 ，
因此 .
，故 ，在 中由余弦定理可得： ，
代入 ：
，
2a
故 ，结合 得：❑√3m=3m−2a⇒m= .
3−❑√3
在 中由余弦定理可得： ，
1
代入|PF |=2m,|PF |=2m−2a,cos120°=− ，
1 2 2
化简得：c2=3m2−3am+a2，将 代入可得：
c2=3 ( 2a ) 2 −3a⋅ 2a +a2 ，
3−❑√3 3−❑√3
c2
化简得：c2=(2+❑√3)a2 ⇒e2= =2+❑√3，
a2
√4+2❑√3 √(1+❑√3) 2 ❑√6+❑√2
故e=❑√2+❑√3=❑ =❑ = .
2 2 2
8．已知函数 在 上的导函数为 ， 在 上单调递增， 为奇函数，
若 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用导函数的中心对称性可得原函数的轴对称性，再结合指对数运算，进行估值
可得 ，最后利用单调性即可作出判断.
【详解】由指数式化对数得： ，
，
，
所以可得大小关系： ，
已知： 在 上单调递增，且 是奇函数，
由奇函数 性质可得： ，
即 关于 中心对称，则 ，
又因为 单调递增：所以当 时， ，则 在区间 单调
递减；
当 时， ， 在区间 单调递增；
即 在 处取得最小值，
再由导函数关于 中心对称，可得原函数 关于直线 对称，
所以自变量距离 越远， 越大，
因为 ， ，
所以 ，即
因此函数值大小为： .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知前 项和为 的数列 满足 ，则（ ）
A．数列 是等比数列
B．
C．数列 的前18项和为
D．不存在互不相等的正整数 ， ， ，使得 ， ， 成等差数列
【答案】ABD
【分析】对于A，作差得 ，再根据通项判断即可；对于B，由 ，再
分组求和即可判断；对于C，运用裂项相消法求和即可；对于D，根据题意可得
，即 ，进而可得 与题干矛盾．
【详解】 ，
，( )
，则 ，
又 时， 满足上式，
故数列 是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；
，则 ，故B正确；
，则数列 的前18项和为 ，故C错误；
，则 ，
若 ， ， 成等差数列，
则 ，即 ， ，
即 ，又 ， ， 为正整数，
，即 与题干矛盾，
即不存在互不相等的正整数 ， ， ，使得 ， ， 成等差数列，故D正确．
10．某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的 ， ，
各自产品中的次品率分别为 ， ，记“任取一个零件为第 台车床加工”为事件
，“任取一个零件是次品”为事件 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据条件概率定义、乘法公式、全概率公式分别计算各选项对应概率，判断正误
即可.
【详解】由题意得： ， ， ， .
对于A： 表示任取一个零件是第1台车床加工的条件下为次品的概率，即第一台
车床的次品率，为 ，故A正确；
对于B：由乘法公式可得 ，故B错误；
对于C：由全概率公式可得，故C正确；
对于D：由条件概率公式可得 ，
，显然 ，故D错误.
11．已知在棱长为2的正方体 中，点 ， 分别为棱 、 的中点，
点 为线段 上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．以 为直径的球的表面积为
D．若线段 与平面 交于点 ，则点 的轨迹长度为
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量共线判断A；利用空间向量证明 平面
，进而结合棱锥的体积公式求解判断B；利用空间向量求出 ，进而可得以
为直径的球的半径为 ，进而结合球的表面积公式求解判断C；连接 分别交
平面 于点 ，连接 ，易得 ，进而结合相似求解判断D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则 ，
则 ，
设 ， ，即 ，
则 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 .
对于A，若 平面 ，则 ，即存在非零实数 使得 ，
则 ，无解，所以不存在点 ，使得 平面 ，故A错误；
对于B，由于 ，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
而点 为线段 上的动点，则点 到平面 的距离 为定值，而 为定值，
则 为定值，故B正确；
对于C，因为 ，
所以以 为直径的球的半径为 ，则以 为直径的球的表面积为 ，故C正确；
对于D，由B知， 平面 ，连接 分别交平面 于点 ，
连接 ，由于平面 平面 ， 平面 ，则 ，
由于 ，则 ，所以 ，
由C知， ，则 ，
因此，若线段 与平面 交于点 ，则点 的轨迹长度为 ，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若直线 与曲线 恰有三个不同的公共点，则实数
的取值范围为____________.
【答案】
【分析】首先变形曲线 ，并画出曲线 的图象，再根据直线 恒过点 ，利用数形结
合，结合临界值，求实数 的取值范围.
【详解】由题意得 ，所以 ，当 时，曲线 为
；
当 时，曲线 为 ，
显然 为半圆，如图所示，易得直线 经过定点 ，当直线 与 相切时，
， ,所以 ，易得 ，
故当 时，直线 与曲线 恰有三个公共点，即 的取值范围为 ．
13．定义： 是不大于x的最大整数， 是不小于x的最小整数，设函数.
在定义域 上值域为 ，记 元素个数为 ，则 ________．
【答案】
【分析】分别求出 ， ， 时， 的值域，可得 ， ， ，推得
， ，利用累加法求出 ，由数列的裂项相消求和，计算即可.
【详解】由函数 在定义域 上的值域为 ，记 中元素的个数为
，
当 时， ，可得 ， ， ，即 ，
当 时， ，可得 或 ， 或 ， 或1或2，即 ，
当 时， ，可得 或1或2， 或 或 ， 或1或2或4或
5或6，即 ，当 时，函数 在定义域 上的值域为
，记 中元素的个数为 ，
当 时，函数 在定义域 上的值域为 ，
记 中元素的个数为 ，设 ，则 ， ，
所以 ，
则可得递推关系： ，
所以 ,
当 时， 成立，则 ，则 ，
所以 ，
14．已知函数 ，按如下的方式构造切线 ：在点 处作
的切线 ，记切线 与 轴交点的横坐标为 .若数列 满足
， .记数列 的前 项和为 ，若
对 恒成立，则实数 的取值范围为_________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义，结合条件得到 ，进而可得数列 是以
为首项，公比 的等比数列，从而将问题转化成 对 恒成立，
再分 为奇数和偶数，即可求解.【详解】因为 ，则在点 处作 的切线 为 ，
若 ，则 ，与 轴平行，不合题意，所以 ，
令 ，得到 ，所以 ，
又 ，
则 ，
又 ，所以数列 是以 为首项，公比 的等比数列，
则 ， ，
又 对 恒成立，
即 对 恒成立，
当 为奇数时， ，又易知 在 上递增， 时， ，
则 ，
当 为偶数时， ，即 ，
易知 在 上递减， 时， ，则 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
四、解答题
15．（13分） 的内角A，B，C的对边分别为 ．已知， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方差公式化简已知等式,结合三角形面积公式进行边角替换,再借助
余弦定理把边的关系转化为角的正余弦关系式,通过三角恒等变形求出角 ,接着代入条件求
出 ,结合三角形内角范围舍去不合理解,最终确定角 的值.
（2）由三角形面积公式结合已求角 算出 关系式,设正弦定理比值为参数 ,利用内角和
与两角和正弦公式求出 ,用 表示出 后代入 等式解出 ,进而求出三边边长,最后相
加得到三角形周长.
【详解】（1）由 ，
又 ，所以 ．即
，
由余弦定理得 ，得 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
所以 ．
因此 或 （舍去），所以 ．
（2）因为 的面积为 ，所以 ．
所以 ①由正弦定理设 ，因为 .
所以 ．
所以， ， ．
代入①式，解得 ，所以 ， ， ．
所以 的周长为 ．
16．（15分）某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的
光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如
下数据：
每日光照时长 14 15 16 17 18
合格采收量 4 8 16 20 26
(1)求变量 与 的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求 关于
的经验回归方程；
(2)当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任
取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数 的分布列和数学期望．
附：①样本相关系数 ，当
时，相关性较强，当 时，相关性一般；
②经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， ；③ ， ， ．
【答案】(1)适合，
(2)
0 1 2
【分析】（1）根据公式先求得 ，可得 与 的线性相关性很强，适合线性回归模
型拟合，进而结合公式求解即可；
（2）计算可得异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组，进而可得 的所有可能取值
为0，1，2，分别求出每一个对应的概率，再根据数学期望的公式求解即可.
【详解】（1）由已知，得 ，
，
所以 ，
所以 ．
因为 ，说明 与 的线性相关性很强，所以适合线性回归模型拟合．
因为 ，
，
所以 关于 的经验回归方程为 ．
（2）由（1）知， ．因为样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，
所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示．
每日光照时长 14 15 16 17 18
合格采收量 4 8 16 20 26
预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26
残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0
是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否
由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组，
所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数 的所有可能取值为0，1，2．
则 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
则 的数学期望 .
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，且 ，
， ， 为线段 的中点.
(1)证明： ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)
见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 、 ，根据题意，得 平面 ，由线面垂直即可得到线线垂直；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量即可求解.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接MN,MC
，如图所示：
因为底面 为菱形，所以 ，
且 为 和 的中点，又 为线段 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2）设 的中点为 ，连接 ， ，
因为底面 为菱形，且 ， ，
所以 ， ， 均为等边三角形，
所以 ， ，又 ， ， 平面 ，所以 平面
，
以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，由上得 ，又 ，
所以 ，
PO2+DO2−PD2 3+3−8 1
又 ，所以cos∠POD= = =−
2PO⋅DO 2×❑√3×❑√3 3
故点 在平面 中的投影 在 的延长线上，
1 2❑√2
所以cos∠POH= ，sin∠POH= ，
3 3❑√3 2❑√6
由 ，得OH=POcos∠POH= ，PH=POsin∠POH= ，
3 3
则 ，D(0,❑√3,0)， ，C(2,❑√3,0)，
→ → ( 4❑√3 2❑√6) →
则AD=(1,❑√3,0)，PD= 0, ,− ，DC=(2,0,0) ，
3 3
设平面 的法向量 ，
则有¿，取 ，则⃗n=(❑√3,−1,−❑√2)，
设平面 的法向量 ，
则有¿，取 ，则 ，
|→ →)
→ → n⋅m |❑√3×0+(−1)×1+(−❑√2)×❑√2) 3 ❑√2
则cos<n,m¿¿= = = = ，
|→||→| ❑√(❑√3) 2+(−1) 2+(−❑√2) 2 ·❑√02+12+(❑√2) 2 ❑√6×❑√3 2
n m
→ → √ ❑√2 2 ❑√2
所以sin<n,m¿¿=❑1−(− ) = ，
2 2
所以二面角 的正弦值为 ．
18．（17分）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切，
与圆 内切．
(1)求 的轨迹 的标准方程．
(2) 的三个顶点均在 上且 的重心为原点 ，点 的坐标为 ．
（ⅰ）求直线 的一般式方程（用 、 表示）；
（ⅱ）求 的面积．
【答案】(1)(2)（i）3x x+4 y y+6=0；（ii）
0 0
【分析】（1）设圆 的半径为 ，结合已知条件表示|MC ),|MC )，根据椭圆的定义求
1 2
出 ，进而求出椭圆方程；
( x y )
（2）（ⅰ）设 ， ，利用重心的性质得出N − 0,− 0 ，求出 ，
2 2
3 x
进而得出k =− ⋅ 0 ，再代入点 坐标求解；
BC 4 y
0
1| 3 )
（ⅱ）求出直线 在 轴上的截距为 ，进而求出S = − |x −x )，联立
△OBC 2 2y 1 2
0
直线 与椭圆的方程，利用韦达定理求出 ，进而再利用重心的性质求出 的
面积．
【详解】（1）圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆 的圆心为 ，半径为 ；
动圆 与圆 外切，与圆 内切，设圆 的半径为
1
∴|MC )= +r， ，
1 2
∴|MC )+|MC )=4>|C C )=2，
1 2 1 2
的轨迹 为以 、 为焦点， 为长轴长的椭圆，
， ， ，
的轨迹 的方程为： ．
（2）（ⅰ）设 ， ，
由 的重心为原点 ，
， ，
( x y )
记 的中点为N − 0,− 0 ，
2 2
(
x2
) (
x2
)
3 1− 2 −3 1− 1
y −y y + y y2−y2 4 4 3，
k ⋅k = 2 1 ⋅ 2 1= 2 1= =−
BC ON x −x x +x x2−x2 x2−x2 4
2 1 2 1 2 1 2 1
又 ， ，
y 3 x ( x )
直线 的方程：y+ 0=− ⋅ 0 x+ 0 ，即3x x+4 y y+6=0，
2 4 y 2 0 0
0
直线 的一般式方程3x x+4 y y+6=0；
0 0
1| 3 )
（ⅱ）令 ，可得直线 在 轴上的截距为 ，则S = − |x −x )，
△OBC 2 2y 1 2
0
将 代入椭圆方程可得 ，
即 ，则 ， ，
❑√9x2+48 y2−36 ❑√36−12y2+48 y2−36
∴|x −x )=❑√(x +x ) 2−4x x = 0 0 = 0 0 =2|y )，
1 2 1 2 1 2 3 3 01 | 3 ) 3
∴S = ⋅− ⋅2|y )= ，
△OBC 2 2y 0 2
0
设坐标原点为 ， 是 的重心，
，
的面积是 ．
19．（17分）若存在正数 ，对任意的 ， 恒成立，
则称函数 ， 在 上具有性质“ ”．
(1)判断函数 ， 在 上是否具有性质“ ”，并说明理由；
(2)若函数 ， 在 上具有性质“ ”，求 的取值范围；
(3)若函数 与 在 上具有性质“ ”，且存在 ，
，使得 ，求证： ．
【答案】(1) 和 具有性质“ ”，理由见解析；
(2) ；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据函数的奇偶性，结合新定义，转化为证明函数 在
区间 单调递增；
（2）根据新定义，转化为函数 ，在区间 上单
调递增，利用导数，结合参变分离，转化为最值问题，即可求解；（3）首先根据新定义，转化为 ，再通过构造函数， ， ，
转化为证明 ，转化为利用极值点偏移解决问题.
【详解】（1）函数 和 在 上具有性质“ ”.
理由如下：
因为 和 在 上均为偶函数，且在 上单调递增，
所以只需考虑 的情况，
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，且 ，所以 恒成立，
则 ，即 ，
则 ，再根据函数 是偶函数，
即 ， ，
所以函数 和 在 上具有性质“ ”.
（2） ， 在区间 单调递增， 在 上单调递
增，
设 ，若函数 和 具有性质“ ”，
则 ，整理为
设 ，由以上可知， 在区间 上单调递增，
即 ，当 时， 恒成立，
令 ， ， ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 ；
（3）由题意可知，存在 ， ，
，又 ，
则 ，即 ，
， ，设 ， ，
，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
设 ， ，不妨设 ， ， ，且 ，
设 ，
，
所以 在区间 上单调递减，且 ，即 ，即 ，即 ，则 ，
即 ，则 ，得 ，即证.
