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2026届高考压轴题冲刺演练（五）
概率与统计
1．（25-26高三下·江西·月考）医学研究团队研究某细菌在动物表面的扩散过程，其扩散
过程可视为在平面直角坐标系上的运动：细菌初始时位于原点，每次移动一个单位长度，
且向上、下、左、右四个方向移动的概率均为 .
(1)若细菌移动 次后所在位置的横坐标为 ，求 的分布列.
(2)医学研究团队提出一种治疗方法：分别在细菌第 、 、 、 、 次移动后，
在原点处实施一次药物注射.第 次药物注射后，若细菌位于原点，则细菌活
性降低的概率为 （ 为常数，且 ）.细菌位于原点且细菌活性降低的情况为一
次有效治疗.在 次药物注射后，每次有效治疗的概率之和为 ，治疗疗效比
.
（i）若经过 次移动后，细菌回到原点的概率为 ，求 ；
（ii）若医学研究团队想要达到只实施第一次药物注射，治疗疗效比最大的临床效果，求
的取值范围.
2．（2026·重庆·二模）小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原
装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购
买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若
为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，
则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用．
(1)记第 次使用后一次性电池剩余的块数为 ，求 的数学期望；
(2)记第 次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为 ．（i）求 ；
（ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大．
3．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、
向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为 .例如在1秒末，点M会等
可能地出现在 ， ， ， 四点处.
(1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率；
(2)记第n秒末点M回到原点的概率为 .
（i）求 ，并利用公式 求 ；
（ii）令 ，记 为数列 的前n项和，若对任意实数 ，存在 ，使得
，则称点M是常返的.利用公式： ，证明：点M是常
返的.
4．（2026·广东湛江·二模）某校举办“数学文化节”，设有 个不同主题的展区（ ），
每个展区有唯一的主题编号，分别为1，2，…， .游客从任一展区开始参观打卡，打卡机
每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连
续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，
记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为 .
(1)当 时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率；
(2)当 时，求参观者获得纪念章枚数 的分布列和数学期望；
(3)设 为 个展区时参观者获得纪念章枚数 的期望值，求 关于 的表达式，并证明
是递增数列.
5．（2026·浙江宁波·二模）某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态
2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该
文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.
假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为 ，且之后每次自动操作
后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关. 表示从第二次自
动操作开始，每次自动操作时从状态 到状态 的概率，若 ，且
.
(1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为 ，
（i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率；
（ii）求随机变量 的期望 ；
(2)记事件 ：前 次自动操作后的状态中状态1和状态2均为 次，当 时，
证明： .
6．（2026·福建·二模）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 的
分布列为
其中 ， ．
(1)当 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
(2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 ，每个
盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的
数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．（i）求该顾客为幸运客户的概率 ；
（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 ，求 的取值范
围．
7．（2026·浙江嘉兴·二模）在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有 个大小相同、质地均匀的
小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编
号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次
取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次
数记作T， 表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率．
(1)求 和 的值；
(2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 （用n表示）．
8．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分
在同一组.现有 三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同
的球， 盒中有1个红球，2个黄球； 盒中有1个红球，3个黄球； 盒中有5个红球，3
个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从 盒
中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回 盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定
的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从 盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从
盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸
出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰
骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果
互不影响.
(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；
(2)记甲乙两人在第 轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为 ，且 .
（i）求 ；
（ii）求 ，并判断：当 时， 是否无限趋近于一个常数 ？若是，求出 的值；若不是，请说明理由.
9．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、
红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、
J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足
JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型：
豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222；
顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23；
金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24；
顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7；
对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334；
散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合.
请回答下列问题：
(1)在一次游戏中，记事件 为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件 为“抽到的牌型为顺
金”，求 ；
(2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区
分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）；
(3)玩家初始持有 次抽牌机会 ，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽
取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当
前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的
数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为
，初始持有 次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为 .试证明：
（i）证明：数列 是严格递增数列；
（ii）证明：对任意 ，都有 .
10．（2026·广东·一模）甲社区有 个女生和 个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社
区有 个女生 和 个男生 ，其中女生 认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出 队
选手参加社区比赛，每队选手均为2人．
(1)若 ， ，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；
(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的
队的不同的选法种数为 和 ．
（ⅰ）求 ，并证明：当 时， 递推公
式，并说明理由；
（ⅱ）若乙社区将选出的 个男生和 个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参
赛要求的概率．
11．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，
奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大
值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取
的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就
保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.
(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；
(2)若甲先抽取了k（ ，且 ）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽
取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（ ， ）张奖券时，其
金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.
（ⅰ）若 ，当 时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；
（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若 ，请估
计p的最大值，并求此时k的值.
（估值参考：当 时， ， ， ，
.）
12．（2026·福建厦门·二模）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下：①将 各学生依次编号为 ，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张；
②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡；
③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽
取一张，重复上述操作，直至 号从 号手中的三张卡片中随机抽取一张；
④老师从 号手中的三张卡片中随机取出一张弃置．
则一轮游戏结束．
(1)求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率；
(2)求在一轮游戏结束后， 号学生手中红卡张数的期望；
(3)在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游
戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游
戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率．
13．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数 从小到大排列构成一个数
， 为这个数的位数.例如：当 时，此数为 ，共有 个数
字，则 .现从这个数中随机取一个数字， 为恰好取到 的概率.
(1)求 ；
(2)当 时，求 的表达式；
(3)令 为这个数中数字 的个数， 为这个数中数字 的个数， ，
，求当 时 的最大值.
14．（2026·山东德州·模拟预测）甲乙两人玩游戏，甲有标号为 的 张卡
片，乙有标号为 的 张卡片．规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡
片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，
否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．(1)已知 ，记 为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和．对于正整数 ，求 ，
并根据 = = ，求 ．
(2)记甲有 张卡片，乙有 张卡片时，甲获胜的概率为 ．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求 ．
15．（2026·山东烟台·一模）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为
.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的
概率为 ，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为 ，
且 .现从该批产品中随机抽取 件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结
果相互独立，检测结果为合格的件数为 .
(1)求单件产品的检测结果为合格的概率 ；
(2)若 为定值，求 取最大值时 的值 ；
(3)当 足够大时，（2）中的 近似服从 .设 ，当
时，试估计 的最小值及相应 的值.
说明：若 ，则 ，其中 为 的正态密度函数.
参考数据： .
16．（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、
促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹
至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为 ；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为 ；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为 .
(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种
方案中随机选择一种.
记第n次选择方案A，B，C的概率分别为 ， ， .
（i）求 ， ，并证明：数列 为等比数列；
（ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
17．（2026·福建莆田·二模）某分布式存储系统中，数据块容量上限为 ，
数据块的初始数量为 .系统运行遵循以下规则：
①在每一时间步，系统以概率 执行清理操作（数据块的数量减 ），以概率
执行写入操作（数据块的数量加 ）；
②当数据块的数量为 （成功复位）或为 （内存溢出）时，系统运行立即终止.
记当数据块的数量为 时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为 .
(1)直接写出 、 的数值，并写出 、 、 的关系式；
(2)当 时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系；
(3)已知：若随机变量 的取值不会影响随机变量 的概率分布列，则称 与 相互独立，且满足 .记 为系统运行 步后的数据块的数量（假设系统在此期间
未终止）.当 时，若 与 无关，求正实数 的值.
18．（2026·湖南·模拟预测）某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如
下概率模型：研究团队选定 人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均
相同，记为 ，该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，
研究团队随机选择其中 （ ，且 ）人推送广告，每位被选中的人被成功影
响（称为“感染者”）的概率为 ，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，
每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即 人中还未被成功影
响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播．
(1)求第一天结束时，被影响的人数的数学期望；
(2)求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率；
(3)对于任意一位“非感染者”，若某天有 位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影
响的概率为 ，当 时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用
含 的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时
会突然“爆发式”传播．
19．（2026·山东菏泽·一模）甲参与了一个有奖闯关游戏，游戏共设置3关，他每次从装
有1个红球，2个黑球，3个黄球的袋中有放回地摸出1个球（这些球除颜色外完全相同），
规则如下：过第一关时，若摸到黄球则前进到第二关，否则留在第一关；过第二关时，若
摸到黑球则前进到第三关，否则留在第二关；过第三关时，若摸到红球则通关成功，游戏
结束，否则留在第三关.假设甲的摸球次数不受限制.
参考公式：若 ，则 .
(1)求甲摸球3次恰好通关成功的概率；
(2)已知X，Y是随机变量，则 ，现用 表示“甲通关成功所需的摸
球次数”，求 ；(3)设甲摸球 次后通关成功的概率为 ，求出 与 的递推关系式，并证明
.
20．（2026·江西·模拟预测）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子
（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下：
•若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束.
•若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始
计数.
以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开
始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束.
(1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p.
(2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为 .
①求 ， ；
②证明：数列 满足递推关系 （ ， ）；
(3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链.
设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为 、 ．
考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于 、 的方程组（例如：在状态0时，
掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答
下列问题：
设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），
求X的数学期望 ．
21．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体 中，一个质点从顶
点 出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第 秒
后，质点回到 点的概率为 ．(1)求 和 ；
(2)设第 秒后，质点移动到 点的概率为 ，移动到 点的概率为 ，移动到 点的概率
为 ．
（i）证明：存在常数 ，使得 ；
（ii）记 的前 项和为 ，证明：存在常数 ，使得 ．
