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专题08 计数原理与概率统计
题号
1
答案
B
2．
3．1080
4．408
题号
1
答案
BD
2．90
3．1
4．
5．3
6．1
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
C
C
BC
ACD
BCD
BCD
ABD
8．(1)
(2)42.5 分钟
(3)1
【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率及所有小长方形面积之和为1 求解;
（2）根据平均数等于组中值与对应概率乘积的和得平均值;
（3）由随机变量
服从二项分布进行求解.
考点1
排列与组合
考点2
二项式定理
考点3
统计
【详解】（1）根据题意得：
，
解得
.
（2）设样本中居民的运动时长的平均数为
，
所以估计该社区全体居民的每日平均运动时长为42.5 分钟.
（3）从该社区居民中随机抽取一名居民，根据直方图中的信息，
估计每日运动时长在50 分钟以上的概率
，
随机变量
服从二项分布，
.
题号
1
2
3
4
答案
CD
ABD
ABD
ABD
5．(1)单位：人
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
40
10
50
乙校
60
10
70
合计
100
20
120
，认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异
(2)
【分析】（1）根据题意完成列联表，结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可；
（2）利用全概率公式进行求解即可.
【详解】（1）列联表如下：
单位：人
学校
数学成绩
合计
考点4
线性回归方程与独立性检验
不优秀
优秀
甲校
40
10
50
乙校
60
10
70
合计
100
20
120
零假设为
：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
.
根据小概率值
的
独立性检验，没有充分证据推断
不成立，
因此可以认为
成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异.
（2）设事件
“利用AI 自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，
事件
“该学生来自甲校”，事件
“该学生来自乙校”，则
，
，且
，
，
则
，
所以该学生数学成绩有效转化的概率为
.
6．(1)
(2)
(3)甲被成功影响的概率为
，“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，使得
非感染者被影响的概率
迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势．
【分析】（1）第一天被影响人数服从二项分布
，利用性质直接求解期望.
（2）利用二项分布奇偶项概率的对称性，构造方程求解.
（3）按“甲第一天是否被选中”及“第一天感染者人数”分类讨论，用全概率公式累加各路径概率.
【详解】（1）设
表示第一天结束时被影响的人数，则
，
由二项分布的期望公式得
．
（2）由（1）可知
，考虑二项展开：
，
，
两式作和，
，
当
为偶数时，
；当
为奇数时，
.
设第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率为
，
所以
，
故
．
（3）情形一：
甲被推送广告的概率是
，甲在两天后被成功影响有两种情形：
①第一天被影响，概率为
；
②第一天未被影响，概率为
，且第二天被影响，
若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲，
甲被影响的概率为
，
故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为
，
因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：
．
情形二：若甲不是初始选中的两人，其概率为
，甲在两天后被成功影响有两种情形：
①第一天有1 人被成功影响，再由此人成功感染甲，
概率为：
；
②第一天有2 人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为：
，
因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：
．
综上，甲在两天后被成功影响的概率为
．
“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数
增大，
使得非感染者被影响的概率
迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势．
7．(1)0.028.
(2)0.7224.
(3)该工厂不会停止生产该零件，理由见解析
【分析】（1）连续检测3 次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2 才能被误判为合格品，再结合二项
分布的概率公式，即可求解；
（2）通过由全概率公式得出即可；
（3）
的所有可能取值为
，60，
，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.
【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件
．连续检测3 次该零件的结果中，
“合格”的次数不低于2 才能被误判为合格品，
所以
，
所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.
（2）设被检测的零件为合格品是事件
，被检测的零件为不合格品是事件
，
被检测的零件最终被判定为合格品是事件
，
则
．
由（1）知
，又因为
，
，
所以由全概率公式得
，
故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.
（3）
的所有可能取值为
，60，
．
，
，
，
则
．
因为
，所以该工厂不会停止生产该零件．
题号
1
2
3
4
答案
CD
ABD
ABD
ABD
题号
1
答案
ACD
2．(1)
(2)
(3)甲被成功影响的概率为
，“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，使得
非感染者被影响的概率
迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势．
【分析】（1）第一天被影响人数服从二项分布
，利用性质直接求解期望.
考点5
古典型概率与条件概率
考点6
二项分布与超几何分布的均值与方差
（2）利用二项分布奇偶项概率的对称性，构造方程求解.
（3）按“甲第一天是否被选中”及“第一天感染者人数”分类讨论，用全概率公式累加各路径概率.
【详解】（1）设
表示第一天结束时被影响的人数，则
，
由二项分布的期望公式得
．
（2）由（1）可知
，考虑二项展开：
，
，
两式作和，
，
当
为偶数时，
；当
为奇数时，
.
设第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率为
，
所以
，
故
．
（3）情形一：
甲被推送广告的概率是
，甲在两天后被成功影响有两种情形：
①第一天被影响，概率为
；
②第一天未被影响，概率为
，且第二天被影响，
若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲，
甲被影响的概率为
，
故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为
，
因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：
．
情形二：若甲不是初始选中的两人，其概率为
，甲在两天后被成功影响有两种情形：
①第一天有1 人被成功影响，再由此人成功感染甲，
概率为：
；
②第一天有2 人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为：
，
因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：
．
综上，甲在两天后被成功影响的概率为
．
“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数
增大，
使得非感染者被影响的概率
迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势．
3．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1） 三局比赛甲至少胜两局包含恰好胜两局和恰好胜三局两种情况，利用概率公式分别计算后
求和即可；
（2）五局三胜制下，
可取3，4，5，分别计算甲 / 乙在 3 局、4 局、5 局获胜的概率，列出分布列，
进而计算
.
【详解】（1）设事件
为甲至少胜两局，则
故三局比赛中甲至少胜两局概率为
；
（2）依题意，
可取3，4，5，
，
，
故
的分布列为：
3
4
5
.
题号
1
2
3
答案
BC
BCD
ACD
4．(1)（i）
；（ii）
；
(2)
【分析】（1）（i）先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第 1 局甲胜或乙胜两
种情况，计算每种情况下第 2 局负者轮空、第 3 局再由前一轮轮空者先手获胜的概率，最后将两种情况
的概率相加；（ii）先确定第 2 局的参与者为第 1 局胜者与丙，再分第 1 局甲胜或乙胜两种大情况，枚
举第 2、3 局的胜负结果，筛选出第 4 局参与者与第 2 局完全相同的路径，将所有符合条件的路径概率
相加；
（2）确定甲出场次数
的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望
，最后解不等
式
得到
的取值范围.
【详解】（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1 局的胜者在第2 局必须输掉，
若第1 局甲胜乙，则第2 局丙必须胜甲，概率为
；若第1 局乙胜甲，则第2 局丙必须胜乙，概率为
考点7
离散型随机变量的均值与方差
，
所以前3 局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为
；
（ii）若第1 局甲胜乙，则第2 局参与的同学是甲和丙，若第4 局和第2 局参与的同学完全相同，则有两种
情形：
①第2 局甲胜丙，第3 局甲胜乙；②第2 局丙胜甲，第3 局丙胜乙.
第①种情形概率为
；第②种情形为
.
若第1 局乙胜甲，则第2 局参与的同学是乙和丙，若第4 局和第2 局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2 局乙胜丙，第3 局乙胜甲；②第2 局丙胜乙，第3 局丙胜甲.
第①种情形概率为
；第②种情形为
.
所以第2 局和第4 局参与的同学完全相同的概率为
；
（2）设甲在前4 局的参与次数为随机变量
，则
，
，
，
，
所以
由
得
，
令
，则
，整理得
，
解得
，所以
，又
，
所以
的取值范围为
.
5．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1） 三局比赛甲至少胜两局包含恰好胜两局和恰好胜三局两种情况，利用概率公式分别计算后
求和即可；
（2）五局三胜制下，
可取3，4，5，分别计算甲 / 乙在 3 局、4 局、5 局获胜的概率，列出分布列，
进而计算
.
【详解】（1）设事件
为甲至少胜两局，则
故三局比赛中甲至少胜两局概率为
；
（2）依题意，
可取3，4，5，
，
，
故
的分布列为：
3
4
5
.
6．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果；
（2）易知随机变量
的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值.
【详解】（1）设事件
为“甲通过面试”，事件
为“乙通过面试”，
（或
）
（或
）
所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率
.
（2）随机变量
的可能取值为2，3，4.
，
，
，
随机变量
的分布列为
2
3
4
所以随机变量
的期望为
.
7．(1)
(2)（i）分布列见解析，
（ii）
.
【分析】（1）由互斥事件和相互独立事件的概率公式进行计算.
（2）（i）先得到
的所有可能取值为3，5，再结合互斥事件和相互独立事件的概率公式得到取每个值的
概率，从而列出分布列，利用数学期望的计算公式得到
.
（ii）设事件
为“比赛轮数不限制，甲班团队获冠军称号”，设比赛过程中，甲班团队与乙班团队累积
得分的差为
，
表示
时最终甲班团队获“冠军”称号的概率，可得
，结合
全概率公式和迭代可得最终结果.
【详解】（1）设事件
为“第轮比赛甲班团队获胜”，由题意得
．设事件
表示
“当比赛结束时恰好进行了3 轮比赛，且甲班团队获得冠军”，因为每轮比赛的结果相互独立，
则
．
故甲班团队获得冠军的概率为
.
（2）（i）由题意得，事件
为“第轮比赛乙班团队获胜”，
，
的所有可能值为3，5．
所以
.
所以
的分布列为
3
5
所以
.
（ii）设事件
表示“比赛轮数不限制，甲班团队获得冠军”．设比赛过程中，甲班团队与乙班团队累积
得分的分差为
表示
时最终甲班团队获得冠军的概率，其中
．由题意
知
．
根据全概率公式有
.
所以
，
迭代得
所以
，
，
．
累加得
所以
．
故
，
所以
．
即
．
故若比赛轮数不限制，甲班团队获得冠军的概率为
.
8．(1)
(2)42.5 分钟
(3)1
【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率及所有小长方形面积之和为1 求解;
（2）根据平均数等于组中值与对应概率乘积的和得平均值;
（3）由随机变量
服从二项分布进行求解.
【详解】（1）根据题意得：
，
解得
.
（2）设样本中居民的运动时长的平均数为
，
所以估计该社区全体居民的每日平均运动时长为42.5 分钟.
（3）从该社区居民中随机抽取一名居民，根据直方图中的信息，
估计每日运动时长在50 分钟以上的概率
，
随机变量
服从二项分布，
.
题号
1
2
3
4
答案
D
ABD
BCD
ABD
1．(1)单位：人
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
40
10
50
乙校
60
10
70
合计
100
20
120
，认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异
(2)
【分析】（1）根据题意完成列联表，结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可；
（2）利用全概率公式进行求解即可.
【详解】（1）列联表如下：
单位：人
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
40
10
50
考点8
正态分布
考点9
概率统计综合题型
乙校
60
10
70
合计
100
20
120
零假设为
：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
.
根据小概率值
的
独立性检验，没有充分证据推断
不成立，
因此可以认为
成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异.
（2）设事件
“利用AI 自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，
事件
“该学生来自甲校”，事件
“该学生来自乙校”，则
，
，且
，
，
则
，
所以该学生数学成绩有效转化的概率为
.
2．(1)模型②的拟合程度更好
(2)
元
【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合
程度更好；
（2）根据已知得该省对甲乙两人补贴总金额的期望值为
､
，结合二次函数的性质求范围.
【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为
，
由题意可得：
，
，
所以
，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好.
（2）由题意，甲乙买车的总数量
可能值为
，
，
，
，
该省对甲乙两人买车数量期望值为
､
，
所以两人补贴总金额期望值为
，
，
由
在
上单调递增，则
，
所以
.
3．(1)
(2)
(3)甲被成功影响的概率为
，“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，使得
非感染者被影响的概率
迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势．
【分析】（1）第一天被影响人数服从二项分布
，利用性质直接求解期望.
（2）利用二项分布奇偶项概率的对称性，构造方程求解.
（3）按“甲第一天是否被选中”及“第一天感染者人数”分类讨论，用全概率公式累加各路径概率.
【详解】（1）设
表示第一天结束时被影响的人数，则
，
由二项分布的期望公式得
．
（2）由（1）可知
，考虑二项展开：
，
，
两式作和，
，
当
为偶数时，
；当
为奇数时，
.
设第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率为
，
所以
，
故
．
（3）情形一：
甲被推送广告的概率是
，甲在两天后被成功影响有两种情形：
①第一天被影响，概率为
；
②第一天未被影响，概率为
，且第二天被影响，
若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲，
甲被影响的概率为
，
故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为
，
因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：
．
情形二：若甲不是初始选中的两人，其概率为
，甲在两天后被成功影响有两种情形：
①第一天有1 人被成功影响，再由此人成功感染甲，
概率为：
；
②第一天有2 人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为：
，
因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：
．
综上，甲在两天后被成功影响的概率为
．
“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数
增大，
使得非感染者被影响的概率
迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势．
4．(1)
，
；
(2)分布列见解析，期望为
；
(3)关系见答案，
.
【分析】（1）根据题意分类讨论计算即可；
（2）分类讨论
的各种取值时对应情形，列出分布列结合期望公式计算即可；
（3）利用二项式定理结合题意得出事件与展开式联系，利用赋值法及复数的周期性计算概率即可.
【详解】（1）易知
，所以
，
的情况有：
，
，
合计8 种，所以
；
（2）易知
可能取值为：
，
由上知
，
的情形有：
，9 种，
则
；
的情形有：
，9 种，
则
；
的情形有：
，10 种，
则
；
的分布列如下表：
0
1
2
3
期望
；
（3）
，
事件
表示40 个
相乘后得到
的组合方式的数量
，
表示第40 次抛掷骰子后，甲在C 处，那么
，其方法数为对应式子中
时所有
的数量之和，
所以
，
令
，可得
，令
得
，
两式相加得
①，
令
，
则
，
所以
②，
所以①
②可得
，
即
.
5．(1)（i）
；（ii）
；
(2)
【分析】（1）（i）先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第 1 局甲胜或乙胜两
种情况，计算每种情况下第 2 局负者轮空、第 3 局再由前一轮轮空者先手获胜的概率，最后将两种情况
的概率相加；（ii）先确定第 2 局的参与者为第 1 局胜者与丙，再分第 1 局甲胜或乙胜两种大情况，枚
举第 2、3 局的胜负结果，筛选出第 4 局参与者与第 2 局完全相同的路径，将所有符合条件的路径概率
相加；
（2）确定甲出场次数
的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望
，最后解不等
式
得到
的取值范围.
【详解】（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1 局的胜者在第2 局必须输掉，
若第1 局甲胜乙，则第2 局丙必须胜甲，概率为
；若第1 局乙胜甲，则第2 局丙必须胜乙，概率为
，
所以前3 局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为
；
（ii）若第1 局甲胜乙，则第2 局参与的同学是甲和丙，若第4 局和第2 局参与的同学完全相同，则有两种
情形：
①第2 局甲胜丙，第3 局甲胜乙；②第2 局丙胜甲，第3 局丙胜乙.
第①种情形概率为
；第②种情形为
.
若第1 局乙胜甲，则第2 局参与的同学是乙和丙，若第4 局和第2 局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2 局乙胜丙，第3 局乙胜甲；②第2 局丙胜乙，第3 局丙胜甲.
第①种情形概率为
；第②种情形为
.
所以第2 局和第4 局参与的同学完全相同的概率为
；
（2）设甲在前4 局的参与次数为随机变量
，则
，
，
，
，
所以
由
得
，
令
，则
，整理得
，
解得
，所以
，又
，
所以
的取值范围为
.
6．(1)0.028.
(2)0.7224.
(3)该工厂不会停止生产该零件，理由见解析
【分析】（1）连续检测3 次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2 才能被误判为合格品，再结合二项
分布的概率公式，即可求解；
（2）通过由全概率公式得出即可；
（3）
的所有可能取值为
，60，
，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.
【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件
．连续检测3 次该零件的结果中，
“合格”的次数不低于2 才能被误判为合格品，
所以
，
所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.
（2）设被检测的零件为合格品是事件
，被检测的零件为不合格品是事件
，
被检测的零件最终被判定为合格品是事件
，
则
．
由（1）知
，又因为
，
，
所以由全概率公式得
，
故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.
（3）
的所有可能取值为
，60，
．
，
，
，
则
．
因为
，所以该工厂不会停止生产该零件．
