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单元提升卷 11 统计与概率
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．为了解该社区居民对社区工作的
满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，若中青年居民比老年居民多抽取
20人，则 （ ）
A．120 B．150 C．180 D．210
2．从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出
一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为 ，“两个球都是白球”的概率为 ，则“两个球颜色不
同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为
了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了
一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在 内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该
组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（ ）
A．70.2 B．72.6 C．75.4 D．82.2
4． 五名学生按任意次序站成一排，则 和 站两端的概率为（ ）
A． B． C． D．5．已知随机变量 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
6．设 ，则 等于（ ）
A．45 B．84 C．120 D．165
7．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒
子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随
机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件 为
第一次取出的球为i号，事件 为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．某人在 次射击中击中目标的次数为 ， ，其中 ，击中奇数次为事件 ，
则（ ）
A．若 ，则 取最大值时
B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 随着 的增大而增大
D．当 时， 随着 的增大而减小
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（ 2023·福建龙岩·统考二模）下列说法正确的是（ ）
A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B．在经验回归方程 中，当解释变量 每增加1个单位时，相应变量 增加 个单位C．数据 的方差为 ，则数据 的方差为
D．一个样本的方差 ，则这组样本数据的总和等于100
10．甲、乙、丙、丁四名教师分配到 ， ， 三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配
一人.设事件 ：“甲分配到 学校”；事件 ：“乙分配到 学校”，则（ ）
A．事件 与 互斥 B．
C．事件 与 相互独立 D．
11．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ）
A．
B．已知 ，则等式 对任意正整数 都成立
C．设 ，则 的个位数字是6
D．等式 对任意正整数 都成立
12．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为 ，
p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为 ，在甲、乙这两个路口
遇到红灯个数之和为 ，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当 时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为
322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为 .
14．从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作 ，若 和 的奇偶性相
同，则 的取法共有 种（用数字作答）.
15．在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 ，则二项展开式中的常数项为
.
16．某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 ，则从参加这次考试的学
生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知 的展开式中所有项的系数和是243．
(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求 值．
18．（ 2023·江西九江·统考一模）某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分公司员工
的业务水平，对员工们进行了业务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀. A地区分公司的测试成
绩分布情况如下：成绩
频数 5 20 50 20 5
(1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试成绩的中位数；
(2)补充完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为两家分公司员工业务水平有差异.
优秀 不优秀 合计
A地区分公司
B地区分公司 40 60
合计
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系
成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并
对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：
），体内抗体数量为y（单位： ）.29.2 12 16 34.4
(1)根据经验，我们选择 作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将 两边取对
数，得 ，可以看出 与 具有线性相关关系，试根据参考数据建立 关于 的回归方
程，并预测抗体药物摄入量为 时，体内抗体数量 的值；
(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布 ，那这
种抗体药物的有效率 超过0.54的概率约为多少？
附：①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， ；
②若随机变量 ，则有 ， ，
；
③取 .20．某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了 名学生的成绩，经统
计，这批学生的成绩全部介于 至 之间，将数据按照 ， ， ， ， ，
分成 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；在这 名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ，
的三组中抽取了 人，再从这 人中随机抽取 人，记 为 人中成绩在 的人数，求 ；
(2)规定成绩在 的为 等级，成绩在 的为 等级，其它为 等级．以样本估计总体，用频率
代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取 人，求获得 等级的人数不少于 人的概率.
21．网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当
地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售夏橙.现对某时间段100名观看
直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购买夏橙的情况进行调查（假定
每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：
在直播间购买夏橙的情况
网民类
合计
型
在甲直播间购买 在乙直播间购买
男网民 50 5 55
女网民 30 15 45合计 80 20 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？
(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概
率为 .若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ；若上午选择在乙直
播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在
甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“ ”
的概率取最大值的k的值.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
22．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 次状态的
概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒
子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行
次操作后，记甲盒子中黑球个数为 ，甲盒中恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率
为 .
(1)求 的分布列；
(2)求数列 的通项公式；(3)求 的期望.
