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大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E： 的焦点， 是抛物线E上一点，
与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且 ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点 的直线与抛物线E交于A，B两点，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直可求 的坐标，利用对称可得抛物线的方程；
（2）先求出 的坐标，利用数量积得 的表达式，结合二次函数可得最值.
【详解】（1）∵ ，点N与点F不重合，∴ ，∴ ．
∵点F关于点M的对称点为P，
∴ ，（中点坐标公式）．
∴ ，得 ，
∴抛物线E的标准方程为 ．
（2）由（1）知F(0,1)，
易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，代入 ，整理得， ，
，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ．
1 1 2 2
∵ ，
∴
，
当 时， 取得最大值，为 ．2．（2024·山东威海·一模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，如图， 是 上的动点，且 始终等于 ，记 .当 为何值时，
的面积取到最小值，并求出最小值.
【答案】(1)
(2) ，最小值为
【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；
（2）在 中，根据正弦定理表示出 ，在 中，根据正弦定理表示出 ，根据三角形面积公
式得到 的面积，即可求出结果.
【详解】（1）在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，即得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ，由（1）知 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 取得最小值 ，此时 ，即 ，所以当 时， 的面积取到最小值，最小值为 .
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱柱 中， ， ，侧面
是正方形， 为 的中点，二面角 的大小是 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在正方形中得到 ，再由三棱柱侧棱平行得到 ，等腰三角形三线合一得到
，从而证明线面垂直；
（2）由几何法得到二面角 的平面角，取 中点 ，证明 ，然后得到 平面
，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，由空间向量计算得出直线 与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）因 是正方形，则 ，
因 ，故 ，
由 ，则 ．
因 平面 ，则 平面 ，
又 平面ABC，故平面 平面ABC．
（2）如图，取 的中点M，连接DM，易得 ，因 ，故 即二面角 的平面角，即 ，
易得 ，取 中点 ，连接 ，过点 作 交 于 ，
因 ，∴ ，故得正三角形 ，则 ，
由（1）得平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
故得 平面 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ， ，
因此可分别以 为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
4．（2024·新疆·模拟预测）已知函数(1)判断曲线 是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；
(2)若 在定义域内单调递增，求 的取值范围；
(3)若函数 有两个零点 ，证明： ．
【答案】(1) 具有中心对称，对称中心为点
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）先求函数定义域，结合对称性的定义分析证明；
（2）分析可知f′(x)≥0在(0,2)内恒成立，根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解；
（3）根据题意可得 ， ，分析可得 等价于 ，构建
，利用导数分析分析证明即可.
【详解】（1）令 ，等价于 ，解得 ，
可知 的定义域为(0,2)，
因为 ，
可知 具有中心对称，对称中心为点(1,0)，
显然 不为常函数，可知 不具有轴对称，
所以y=f (x)具有中心对称，对称中心为点(1,0).
（2）因为 ，
则 ，
若 在定义域内单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)内恒成立，
又因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
（3）由题意可得： ，
令 ，解得 ，可知 ， ，
令 ，则 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知F(x)在 内单调递增，在 内单调递减，则 ，
且当 趋近于0时，F(x)趋近于 ，当 趋近于 时，F(x)趋近于0，
若函数 有两个零点 ，可知 与 有两个交点，
则 ，即 ；
又因为 ，两式相减可得 ，
两式相加可得 ，
不妨设 ，令 ，可得 ，
又因为 ，等价于 ，等价于 ，
构建 ，则 ，
构建 ，则 ，
可知 在(1,+∞)上单调递增，则 ，即 ，
可知 在(1,+∞)上单调递增，则 ，
即 ，所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；
（2）构造新的函数ℎ(x)；
（3）利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
5．（24-25高三上·贵州·阶段练习）为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方
法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为 ，现检验出一批未经消毒的水中
大肠杆菌含量为500个/升．
(1)经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）
(2)在独立重复实验中， 为事件 在试验中出现的概率， 为试验总次数，随机变量 为事件 发生的次
数．若 较小， 较大，而 的大小适中，不妨记 ，则
，经计算，当 时，
．若随机变量 的概率分布密度函数为 ，称
服从参数为 的泊松分布，记作 ．（其中， 为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数 服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数
不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明： ；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5
升数 17 20 10 2 1 0
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法
对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为 ，
（Ⅱ） ， ， ，
， ，
【答案】(1)一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786
(2)① ；证明见解析；
②改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%
【分析】（1）求得每个大肠杆菌的存活率为 ，设一升水中大肠杆菌个数为 ，则 ，利用二项分布的概率公式计算 ；
（2）①因为 ， ，利用泊松分布的定义计算 可得结
论；②利用条件计算可得 ，令 ，取对数后求导求得最大值即可.
【详解】（1）由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为 ，
设一升水中大肠杆菌个数为 ，则 ，
，
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786；
（2）①因为 ， ，
所以 ， ，
， ，
，
，
；
②因为 …
则出现上述情况的概率为
，
令 ，取对数得 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 ，因为 ，所以 ，
则 ，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%.
【点睛】关键点点睛：弄清题意，对新定义的理解是关键，需有较强的理解能力与分析问题解决问题的能
力，求 的最大值时先取对数后求导，从而求得最大值，有一定的技巧性.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
一、解答题
1．（2024·山东潍坊·三模）在①数列 为等差数列，且 ；② ，
；③正项数列 满足 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给
出解答.
问题：已知数列 的前 项和为 ，且__________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选①，令 ，利用等差数列基本量运算求得 ，即可求解等差数列 的通项公式；
若选②，由 与 的关系求得 ，从而 为常数列，求得通项公式即可；若选③，由 与 的
关系求得 ，所以 是以2为公差的等差数列，从而利用等差数列的通项公式求解即可；
（2）根据分组求和法求数列前 项和即可.
【详解】（1）若选①，因为 为等差数列，令 ，则 ，所以公差 ，
所以等差数列 的通项公式为 ；
若选②，当 时， ， 因此 ，
即 ，所以 为常数列，因此 ，所以 ；
若选③，当 时， ，即 .
又因为 ，所以 .当 时，有 ， ，
所以 ，即 .
又因为 ，所以 ，所以 是以2为公差的等差数列，
所以 .
（2）若选①，由（1）可知，
；
若选②，由（1）可知，
；
若选③，由（1）可知，
.
2．（2024·重庆·模拟预测）近年来某地在经济工作中坚持稳中求进工作总基调，在淘汰落后产能的同时大
力发展新质生产力，下图是该地近几年来新型规模以上工业企业生产总值（ ）的柱状图（单位：亿元），
记2017年，2018年， 当的年编号（ ）依次为 .
(1)求2017至2022年新型规模以上工业企业生产总值的平均数 ；
(2)在 与 中选择合适的模型计算 关于 的回归方程；
(3)若上级领导将在2022，2023，2024，2025，2026这五年中任意抽取3年来研究该地新质生产力发展情
况，记 为抽到的工业企业的生产总值超过12000亿元的年份数目，并用（2）中回归方程估计，求 的
分布列和数学期望.
参考数据：
8.46 10198 12705 17.5 20950 3.85
其中 ，附：经验回归方程中 和 的最小二乘估计公式为 .
【答案】(1)5150亿元(2)解析间详解
(3)分布列见详解， .
【分析】（1）根据平均数的概念进行计算即可.
（2）先根据散点图判断，用 作为模型更合适.设 ，结合给出的数据和公式求回归方程.
（3）明确 的取值，求出每个值对应的概率，可得 的分布列，再结合期望的计算公式求 的期望.
【详解】（1）易知：
所以2017至2022年新型规模以上工业企业生产总值的平均数 （亿元）.
（2）由散点图可知，用模型 拟合效果更好.
设 ，则 ，
因为 .
所以 ， .
所以 .即为所求回归方程.
（3）因为 .
且2022年的生产总值为9000亿元，
所以估计2023年的生产总值为： 亿元；
2024年的生产总值为： 亿元；
2025年的生产总值为： 亿元；
2026年的生产总值为： 亿元；
其中生产总值超过12000亿元的年份数为3.
所以 的值可能为：1,2,3
且 ， ， .
所以 的分布列为：
1 2 3所以 .
3．（2024·贵州黔南·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
且椭圆 经过点 .过点 且斜率不为0的直线交椭圆 于 ， 两点，过点 和
的直线 与椭圆 的另一个交点为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 的倾斜角为90°，求 的值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用椭圆的定义求出 ，进而求出 得 的标准方程.
（2）根据已知可得直线 不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线 与
轴交点的横坐标即可.
【详解】（1）椭圆 的二焦点为 ， ，点 在椭圆 上，
则 ，解得 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）依题意，点 不在 轴上，即直线 不垂直于 轴，且直线 不垂直于 轴，否则 重合，
设直线 方程为 ， ，
由 消去 得， ，
显然 ，设 ，由直线 的倾斜角为90°，得点 ，
则 ，所以 ，
直线 的方程为 ，
当 时， ，
所以 .（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的范围；
(3)若 在 内有两个不同零点 ，求证： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程，
（2）构造函数 ，求导，根据单调性可得 ，进而 ，构造
函数 ，求导判断单调性，即可求解最值得解.
（3）根据 在 单调递减.证明 ，即可求证 ，构造函数 以及
，利用导数求解单调性，即可求证.
【详解】（1） ，
则 ， ，
故切线方程为 ，即 ，
（2） ，
令 ，
令 ，
当 在 单调递增，且 ，当 时， ，
解集为 ，
故 ，进而 即 ，
令 ， ，
当 单调递增，当 ， 单调递减，
当 时， ，
，因此 ，
故
（3） 在 内有两个不同零点 ，
则 有两个根 ，即 ，
由（2）知，当 在 单调递增， 单调递减.
故 ，
欲证 ，即证 ，
由于 ， 在 单调递减.即 ，即 ，
即证 ，即 ，
即证 即证 显然成立，
欲证 即证 ，即证
即证 ，即证 ，即证令 ，则 ，
令 ，
故 在 单调递增，且 ，
在 单调递增， ，得证
【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽
离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两
种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关
键.
2．（2024·辽宁·模拟预测）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式为：设 ，
， 不全为0， 不全为0，则 ，当且仅当存在一个数k，使得
时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为 的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为 ， ， ， ，求
的最小值；
(3)已知无穷正数数列 满足：
①存在 ，使得 ；
②对任意正整数i、 ，均有 .
求证：对任意 ， ，恒有 .
【答案】(1)设 ， ， ， ，则 .当且仅当 时等号成立
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据柯西不等式的n元形式写出二元形式即可.
（2）利用体积分割法结合锥体体积公式求得 ，然后利用四元柯西不等式求解最值即
可.（3） 时，由 ，有
由柯西不等式
得 ，可得 .
【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：设 ， ， ， ，则 .
当且仅当 时等号成立.
（2）正四面体ABCD的体积等于以 为顶点，四个面为底面的三棱锥体积之和，
即 .
所以 ，因此 .
由柯西不等式得 .
从而 ，当且仅当 时等号成立.
因此 的最小值为 .
（3）对 ，记 ， ， ， 是1，2， ，n的一个排列，且满足 .
由条件②得： ，于是，对任意的 ，都有
.
由柯西不等式得
.
所以
.
从而 ，当 时， ，故 .
【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来
解题.第一，准确转化.解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义.紧扣题目所给的定义、运算法则对所
求问题进行恰当的转化.
第二，方法的选取.对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的.角度进行转化.理解题目定义
的本质苹并进行推广、运算.
第三，应该仔细审读题目.严格按新信息的要求运用算.解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息
问题的干扰.
