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单元提升卷 11 统计与概率
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．为了解该社区居民对社区工作的
满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，若中青年居民比老年居民多抽取
20人，则 （ ）
A．120 B．150 C．180 D．210
【答案】C
【分析】根据分层抽样的方法计算即可.
【详解】由题可知 ，解得 ．
故选：C
2．从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出
一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为 ，“两个球都是白球”的概率为 ，则“两个球颜色不
同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件
C，则A，B，C两两互斥， ，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.
【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件
C，
则 ， ，且 .
因为A，B，C两两互斥，
所以 .
故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为
了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了
一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在 内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该
组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（ ）
A．70.2 B．72.6 C．75.4 D．82.2
【答案】C
【分析】根据题意，由频率之和为1，可得 的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结
果.
【详解】由条件可得 ，则 ，故得分的平均数为：
.
故选：C
4． 五名学生按任意次序站成一排，则 和 站两端的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先 和 排两端，再将其余三人全排列，共有 种情况，将五名学生按任意次序站成一排，
共有 种情况，再利用古典概型公式求解即可.
【详解】首先将 和 排两端，共有 种情况，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】再将其余三人全排列，共有 种情况，
所以共有 种情况.
因为五名学生按任意次序站成一排，共有 种情况，
故 和 站两端的概率为 .
故选：B
5．已知随机变量 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质求出 的值，则 ，令 ，
，则 ，利用基本不等式求出 的最小值，即可得解.
【详解】因为随机变量 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以
令 ， ，
所以 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即 的最大值为 .
故选：D.
6．设 ，则 等于（ ）
A．45 B．84 C．120 D．165
【答案】D
【分析】根据给定等式，利用二项式定理及组合数的性质计算作答.
【详解】依题意，
.
故选：D
7．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒
子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随
机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件 为
第一次取出的球为i号，事件 为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率及全概率公式即可对每个选项进行分析
【详解】由题意可得 ，故B正确；
对于A， 表示在第一次取出的球为3号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以
，故A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C， 表示在第一次取出的球为1号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以
表示在第一次取出的球为2号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以 ，
应用全概率公式,有 ，故C错误；
对于D，利用条件概率可得 ，解得 ，故D正确
故选：C
8．某人在 次射击中击中目标的次数为 ， ，其中 ，击中奇数次为事件 ，
则（ ）
A．若 ，则 取最大值时
B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 随着 的增大而增大
D．当 时， 随着 的增大而减小
【答案】C
【分析】对于A，根据 直接写出 ，然后根据 取最大值列式计算即可判断；
对于B，根据 ，直接写出 即可判断；对于CD，由题意把 表示出来，然后利用单调
性分析即可.
【详解】对于选项A，在 次射击中击中目标的次数 ，
当 时对应的概率 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 取最大值，所以 ，
即 ，
即 ，解得 ，
因为 且 ，所以 ，即 时概率 最大．故A不正确；
对于选项B， ，当 时， 取得最大值，故B不正确；
对于选项C、D，
，
，
，
当 时， 为正项且单调递增的数列，所以 随着 的增大而增大，故
C正确；
当 时， ， 为正负交替的摆动数列，所以 不会随着 的增大而减小，
故D不正确；
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求 是难点，关键是能找到其与二项展开式之间
的联系.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（ 2023·福建龙岩·统考二模）下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B．在经验回归方程 中，当解释变量 每增加1个单位时，相应变量 增加 个单位
C．数据 的方差为 ，则数据 的方差为
D．一个样本的方差 ，则这组样本数据的总和等于100
【答案】ACD
【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性质即可判断CD.
【详解】因为 ，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，A正确；
由回归方程可知，当解释变量 每增加1个单位时，相应变量 减少 个单位，B错误；
选项C，由 ，可得 ，C正确；
由 ，得 ，所以这组样本数据的总和等于 ，故D正确；
故选：ACD
10．甲、乙、丙、丁四名教师分配到 ， ， 三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配
一人.设事件 ：“甲分配到 学校”；事件 ：“乙分配到 学校”，则（ ）
A．事件 与 互斥 B．
C．事件 与 相互独立 D．
【答案】BD
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D
作答.
【详解】对于A，甲分配到 学校的事件与乙分配到 学校的事件可以同时发生，即事件 与 不互斥，
A错误；
对于B，甲分配到 ， ， 三个学校是等可能的，则 ，B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，由选项B知， ， ，显然 ，
因此事件 与 相互不独立，C错误；
对于D，由选项BC知， ，D正确.
故选：BD
11．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ）
A．
B．已知 ，则等式 对任意正整数 都成立
C．设 ，则 的个位数字是6
D．等式 对任意正整数 都成立
【答案】ABD
【分析】对A：根据 运算求解；对B：可得 ，结合排列数分析运算；对
C：根据组合数分析运算；对D：构建 ，利用 的系数结合二项展开式的通项公式
分析运算.
【详解】对A：由 可知，
，
A正确；
对B：若 ，
则 ，
B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对C： ， ，
则 ，
故 ，
，其个位数字是0，
故 的个位数字是9，C错误；
对D： 的展开式通项为 ，
故 展开式的 的系数为 ，又 ，则
，
同理可得： 的展开式通项为 ，即展开式的 的系数为
，
由于 ，故 ，D正确；
故选： ABD
12．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为 ，
p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为 ，在甲、乙这两个路口
遇到红灯个数之和为 ，则（ ）
A．
B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当 时，
【答案】BC
【分析】确定 ，即可求出 和 ，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率
为 ，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导
数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得 ，判断D.
【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为 ，
则 ，则 ， ，
故A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为 ，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为 ，
设 ，则 ，
令 ，则 （舍去）或 或 ，
当 时， ，当 时， ，
故 时， 取得最大值，即 ，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 ，
此时 ，故C正确；
对于D，当 时，一天中不遇红灯的概率为 ，
遇到一次红灯的概率为 ，遇到两次红灯的概率为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故一天遇到红灯次数的数学期望为 ，
所以 ，故D错误，
故选：BC
【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天
至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达
式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数 ，求导，利用导数解决问
题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当
分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为
322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为 .
【答案】350
【分析】根据频率分布直方图及平均值计算出 ，再根据由频率分步直方图求百分位数的方法求解.
【详解】由题意可得 ，解得 ，
由 知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为 .
故答案为：350
14．从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作 ，若 和 的奇偶性相
同，则 的取法共有 种（用数字作答）.
【答案】912
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】分类讨论两组数的奇偶性即可.
【详解】若 和 都是奇数，则 为一奇一偶， 也一奇一偶，
有 种取法；
若 和 都是偶数，则有以下两种情况：
① 两奇（偶）数， 两奇（偶）数，有 种取法；
② 两奇（偶）数， 两偶（奇）数，有 种取法；
共计576+48+288=912种取法.
故答案为：912
15．在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 ，则二项展开式中的常数项为
.
【答案】240
【分析】由已知求得 ，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.
【详解】 的展开式中，二项式系数和为 ，
令 ，得 的展开式中，各项系数和为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，故展开式的常数项为 ，
故答案为：240
16．某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 ，则从参加这次考试的学
生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出
结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
则所求概率为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知 的展开式中所有项的系数和是243．
(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求 值．
【答案】(1) ，展开式中二项式系数最大的项为 与
(2)121
【分析】（1）令 可得n的值，再根据二项式系数的公式分析二项式系数最大项即可；
（2）由（1） ，即求 ，再根据 的展开式，令 化简求解
即可
【详解】（1）由题意，令 有 ，解得 ，故展开式中二项式系数中最大的为
，为第3项 与第4项 ，即展开式中二项式系数最大的
项为 与
（2）由（1） ，即求 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故令 有 ，故
18．（ 2023·江西九江·统考一模）某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分公司员工
的业务水平，对员工们进行了业务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀. A地区分公司的测试成
绩分布情况如下：
成绩
频数 5 20 50 20 5
(1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试成绩的中位数；
(2)补充完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为两家分公司员工业务水平有差异.
优秀 不优秀 合计
A地区分公司
B地区分公司 40 60
合计
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)作图见解析，75
(2)表格见解析，有
【分析】（1）先根据频率分布图的步骤作出频率分布直方图，然后根据中位数的定义求解即可；
（2）先完成 列联表，然后利用独立性检验作出判断即可.
【详解】（1）根据频数分布表求得： 的频率为 ， 的频率为 ，
的频率为 ， 的频率为 ， 的频率为 ，
则A地区分公司的频率分布直方图如图：
由图知A地区分公司员工成绩在 的频率为 ，
成绩在 的频率为 ，
设该公司员工成绩的中位数为 ，则 ，解得 .
（2）补充完成 列联表如下：
优
不优秀 合计
秀
A地区分公司 25 75 100
B地区分公司 40 60 100
合计 65 135 200
.
故有 的把握认为这两家分公司员工业务水平有差异.
19．抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并
对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：
），体内抗体数量为y（单位： ）.
29.2 12 16 34.4
(1)根据经验，我们选择 作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将 两边取对
数，得 ，可以看出 与 具有线性相关关系，试根据参考数据建立 关于 的回归方
程，并预测抗体药物摄入量为 时，体内抗体数量 的值；
(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布 ，那这
种抗体药物的有效率 超过0.54的概率约为多少？
附：①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， ；
②若随机变量 ，则有 ， ，
；
③取 .
【答案】(1) ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【分析】（1）用最小二乘法求解回归直线方程，再求非线性回归方程即可；
（2）根据正态分布的对称性求解给定区间的概率即可.
【详解】（1）将 两边取对数，得 ，
设 ， ，则回归方程变为 ，
由表中数据可知， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
故y关于x的回归方程为 ，
当 时， .
（2）因为z服从正态分布 ，其中 ， ，
所以 ，
所以 ，
故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为 .
20．某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了 名学生的成绩，经统
计，这批学生的成绩全部介于 至 之间，将数据按照 ， ， ， ， ，
分成 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求频率分布直方图中 的值；在这 名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ，
的三组中抽取了 人，再从这 人中随机抽取 人，记 为 人中成绩在 的人数，求 ；
(2)规定成绩在 的为 等级，成绩在 的为 等级，其它为 等级．以样本估计总体，用频率
代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取 人，求获得 等级的人数不少于 人的概率.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据频率和为 可构造方程求得 的值；由分层抽样原则可确定 人中，成绩在 的
人数，根据超几何分布概率公式可求得结果；
（2）用频率估计概率可确定获得 等级的概率，根据二项分布概率公式，由
可求得结果.
【详解】（1） ， ；
成绩在 ， ， 的频率之比为 ，
抽取的 人中，成绩在 的人数为 人，
.
（2）用频率估计概率，获得 等级的概率为 ，
记抽取的 人中，获得 等级的人数为 ，则 ，
，
即获得 等级的人数不少于 人的概率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】21．网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当
地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售夏橙.现对某时间段100名观看
直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购买夏橙的情况进行调查（假定
每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：
在直播间购买夏橙的情况
网民类
合计
型
在甲直播间购买 在乙直播间购买
男网民 50 5 55
女网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？
(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概
率为 .若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ；若上午选择在乙直
播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在
甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“ ”
的概率取最大值的k的值.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)能
(2)
(3)40007
【分析】（1）根据列联表信息，计算出 的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）根据全概率公式计算即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）根据二项分布求出在甲直播间购买夏橙的网民人数为k的概率，法一：利用组合数列不等式求解，法
二，利用作商法判断概率的单调性求解.
【详解】（1）提出零假设 ：网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别没有关联.
经计算得 ，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联.
（2）记事件A：黄蓉上午在甲直播间购买夏橙，
事件B：黄蓉下午在乙直播间购买夏橙，
则 ， ， ，
由全概率公式可得 ，
所以黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率为 .
（3）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ，
则 ，记 ， ，
则 ，
则问题等价于求当k取何值时 取最大值.
解法1：由 ，化简得 ，
即 ，所以 ，因 ，解得 ，
所以使事件“ ”的概率取最大值的k的值为40007.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解法2：因为 ， ，
所以当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，
所以 ，
且 ，
所以当 时， 取最大值，
即使事件“ ”的概率取最大值的k的值为40007.
22．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 次状态的
概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒
子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行
次操作后，记甲盒子中黑球个数为 ，甲盒中恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率
为 .
(1)求 的分布列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求 的期望.
【答案】(1)答案见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
(3)1
【分析】（1）由题意分析 的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到
，判断出数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列即可求解；（3）
利用全概率公式求出 求出 ，进而求出 .
【详解】（1）（1）由题可知， 的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
; ; ，
故 的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ，
又 ，
所以，数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
即： .
（3）由全概率公式可得：
,
即： ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
