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专题 10 概率与统计
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电
量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方
图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间 内的户数分别为（ ）
A．0.0046，72 B．0.0046，70
C．0.0042，72 D．0.0042，70
【答案】A
【分析】根据频率分布直方图的面积和为1，计算得x；再根据用电量落在区间 内的频率计算用
电量落在区间 内的户数.
【详解】根据频率分布直方图的面积和为1，得 ，解得
，
月用电量落在区间 内的频率为 ，所以在被调查的用户中月
用电量落在区间 内的户数为 户.
故选：A.
2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书
是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一､六在后，二､七在前，三､八在左，四､九在右，
五､十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足
的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出所有情况个数，和满足 的情况个数，从而求出概率.
【详解】阳数为1,3,5,7,9，阴数为2,4,6,8,10，则选出的 的所有情况如下图：
，
， ，共有25种
情况，其中满足 的有 ，共9种情况，
所以概率为 .
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓
收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒.则这批米内夹谷约为
（ ）
A．134石 B．156石 C．169石 D．238石
【答案】C
【分析】根据已知求出这批米内夹谷的概率，再乘以 可得答案.
【详解】因为254粒内夹谷28粒，所以这批米内夹谷的概率为 ，
所以这批米内夹谷为 ，
故选：C
4．（2021·全国·高考真题（文））在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.
【详解】设 “区间 随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为 ，
“取到的数小于 ”， 对应集合为： ，区间长度为 ，
所以 ．
故选：B．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于 ”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确
求出．
5．（2022·河南·高三阶段练习（文））记数列 的前n项和为 ，已知 ，在数集
中随机抽取一个数作为a，在数集 中随机抽取一个数作为b，则满足 的概
率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 配方， 恒成立等价于 是 的最小值，根据常数函数和二次函数性质，结合古典概
型概率计算方法即可求解.
【详解】由己知得 ，
如果 ，则 ，满足 ，概率为 ，
如果 ，则 是 的最小值，根据二次函数性质可知，a＞0，故 ，此时概率为 ，
∴ 的概率为 ，
故选：D．
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知圆 ，直线 为绕原点转动的
任一直线，则事件“直线 与圆 有公共点”发生的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设出直线 ，利用圆心到直线位置关系，作图，即可计算出所求概率
【详解】
根据题意，直线 为绕原点转动的任一直线，可设 ，设圆心到直线的距离为 ，所以， ，若 与圆 相交或相切，则 ，化简得， ，得 ，
所以， ，可以用原点 为圆心， (半径长度可随意取)，作圆，
如图，当直线 在阴影处运动时，直线 与圆没 有公共点，当直线 在非阴影处运动时，直线 与圆 有公
共点，
故事件“直线 与圆 有公共点”发生的概率
故答案选：C
7．（2022·安徽省舒城中学三模（文））一组样本数据： ， ， ， ， ，由最
小二乘法求得线性回归方程为 ，若 ，则实数m的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】求出样本的中心点，再利用回归直线必过样本的中心点计算作答.
【详解】依题意， ，则这个样本的中心点为 ，因此， ，解得 ，
所以实数m的值为6.
故选：B
8．（2022·四川广安·模拟预测（文））如图是民航部门统计的2021年春运期间12个城市售出的往返机票
的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
【答案】C
【分析】从折线图看涨幅，从条形图看高低，逐项判定即可.
【详解】从折线图看，深圳的涨幅最接近 ，从条形图看，北京的平均价格最高，故A正确；
从折线图看，天津和重庆的的涨幅均为正值，故B正确；从折线图看，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，故C错误；
从条形图看，平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州，故D正确.
故选：C.
9．（2018·全国·高考真题（文））某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．
得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后
从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，
从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项
不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ，所以超过了经济
收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即
可得结果.
10．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，两半径相等的圆 ，圆 相交， 为它们的公切线段，且两
块阴影部分的面积相等，在线段 上任取一点 ，则 在线段 上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意先求出矩形ABCD的面积，从而求出AB,EF即可【详解】设圆的半径为 ．由题意可得
所以 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了长度型的几何概型，利用面积分割求面积及线段长是解题的关键.属于难题.
11．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ，若 是从 三个数中任取一个，
是从 五个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把 的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件是15个，满足条件的事件是9个，即可得出答案.
【详解】当 时，
当且仅当 时，取“＝”，
∴ ，
于是 恒成立就转化为 成立；
当 时， ，
设事件A：“ 恒成立”，
则基本事件总数为15个，即
（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，
4），（2，5）共9个
所以 .
故选：A.
12．（2021·江苏·高三专题练习）中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民
大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形
ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，画出平面图像，通过计算得出五边形及阴影部分的面积，代入几何概型概率公式即可
得解.
【详解】∵sin36° cos54°，∴2sin18°cos18°=4cos318°﹣3cos18°，化为：4sin218°+2sin18°﹣1 0，解得
sin18° .
如图：
不妨设AE=1.
2 2
根据题意知，△BAE∽△AAE，∴ .∴AE ，
1 1 2 1 2 2 1 2
∴ S sin72°.
2
S ABsin36°.
2 2 1
正五边形ABC DE 的面积S，正五边形ABC DE 的面积为S，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3
.
S sin36°.S=5 sin72°，
4 3∴在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率 .
故选：C.
【点睛】本题考察了几何概型，难点是面积的计算，要求较高的计算能力，属于难题.
二、填空题
13．（2022·贵州黔东南·一模（文）） 月 日是植树节，某地区有 人参与植树，植树的树种及数量的
折线图如图所示.植树后，该地区农业局根据树种用分层抽样的方法抽取 棵树，请专业人士查看植树的
情况，则被抽取的柳树的棵数为___________.
【答案】
【分析】利用分层抽样可求得被抽取的柳树的棵数.
【详解】依题意可得被抽取的柳树的棵数为 .
故答案为： .
14．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎防控期间，
有关部门对辖区内15家药店所销售的口罩进行抽检，检测的100个口罩中有80个口罩的穿透率为0.02，
有20个口罩的穿透率为0.03，则这100个口罩穿透率的平均值为______．
【答案】 ##
【分析】根据平均值的定义计算即可
【详解】这100个口罩穿透率的平均值
故答案为：
15．（2020·山东·高考真题）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480
的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，
021，…则样本中的最后一个个体编号是______.
【答案】469
【分析】先求得编号间隔为16以及样本容量，再由样本中所有数据编号为 求解.
【详解】间隔为021-005=16，
则样本容量为 ，
样本中所有数据编号为 ，所以样本中的最后一个个体的编号为 ，
故答案为：469
16．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与曲线 恰有两个不同的交点，记 的所有可
能取值构成集合 ， 是椭圆 上一动点，点 与点 关于直线 对称，记
的所有可能取值构成集合 ，若随机从集合 中分别抽出一个元素 ，则 的概率是___．
【答案】
【详解】试题分析：由 ，当x≥0时，显然k＞0，两边平方得
，即
由题意，该方程有两个不相等的正实数根
即 即 结合k＞0解得k∈(0，1)，即A＝(0，1)
对于椭圆 ，由于原点关于y＝x＋1的对称点为(－1，1)
所以，椭圆关于y＝x＋1的对称椭圆为 ，
在改椭圆上，可知y－1∈[－4，4]
1
于是 ∈[－1，1]，即B＝[－1，1]
【方法一】由 ，分别以 为横坐标和纵坐标，
可知点( )构成一个面积为2的矩形
其中满足 的是图中阴影部分，面积为
所以，满足 的概率是【方法二】当 时，此事件发生的概率为 ，此时必有
当 时，此事件发生的概率为 ，此时 与 概率相等，各占 ，于是此时满足
的概率为 .
以上两事件互斥，且[－1，0]与(0，1]的区间长度相等，故满足 的概率为 .
考点：直线与曲线的交点，轴对称图形，坐标的取值范围，几何概型.
