文档文本内容
2026届全国1卷高考数学考前自测卷（2）（原卷版）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．在复平面内，复数z 对应的点与复数z =1+2i对应的点关于直线y=x对称，则z =（ ）
1 2 1
A．2+i B．2−i C．1+2i D．1−2i
2．设集合 ，则 的子集的个数为（ ）
A={x∈Z))x2<5),B={1,2,3) A∩B
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设大于1的实数a满足 ，令 ，则（ ）
aa=3 b=(3a) a
A．1<b<3 B．3<b<9 C．9<b<27 D．27<b<81
4．已知圆C： 与直线 ： ，则圆C与直线 的位置关系为（ ）
(x−2) 2+ y2=4 l y=kx l
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
5．开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距
太阳表面的最大距离为ρ，最小距离μ，太阳半径为r，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ）
ρ−μ ρ+2r−μ
A． B．
ρ+μ+2r ρ+μ
ρ+μ ρ+μ+2r
C． D．
ρ−μ+2r ρ−μ
π
6．已知△ABC的外接圆半径为2，若A= ，则⃗BA⋅⃗BC的最大值为（ ）
3
A．5+6❑√3 B．6+4❑√3 C．7+3❑√3 D．4+7❑√3
7．已知某圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中AD=1，CD=AB=2，BC=2．则沿该圆台表面从点A到达点C，最短路径的长度为（ ）
A．4❑√5 B．2❑√5−2❑√2 C．2❑√5 D．❑√5−2❑√2
8．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、
恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡
片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ）
A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线x=1是函数f (x)图象的对称轴，则函数f (x)的解析式可以是（ ）
1
A．f (x)= B．f (x)=ex−1+e1−x
|x−1)
C． D．
f (x)=cosπx f (x)=x2−2|x)
10．已知 为坐标原点，双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为 ， ，过
O C: − =1(a>0,b>0) F (−c,0) F (c,0)
a2 b2 1 2
点F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF 交双曲线C于点Q，则下列说法正确的有
2 2
（ ）
A．|OP)=a
B．若 ，则双曲线 的离心率为
⃗F Q=2⃗QP C ❑√3
2
❑√5
C．若双曲线C的离心率为❑√2，则cos∠F PF =−
1 2 5
D．若Q为线段PF 的中点，则双曲线C的离心率为❑√2
2
x−2
11．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)= ，则下列说法正确的是（ ）
ex
A．当 时，
x<0 f(x)=(x+2)ex
B．f(x)的极大值点是4
C．f(x)的值域为R
1
D．当 <m<2时，函数y=f(x)−m有1个零点
e3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________．
13．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C,B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为
(4
,−
3)，
∠AOC=α.
若
|BC)=1
，则
❑√3cos2
α
−sin
α
cos
α
−
❑√3的值为__________．
5 5 2 2 2 2
14．一个盒子中装有2个黑球和8个红球.随机地从盒子中取一个球，观察其颜色后放回，若出现连续两次
取到红球，则停止取球，那么取球总次数的数学期望为________.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天的入园游客量统计数
据如下：
活动开展第x天 1 2 3 4 5
入园游客量y（百人） 53 64 71 79 83
(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r（保留小数点后两位），并推断相
关程度的强弱；
(2)求经验回归方程^y=b^x+a^以及表中第3个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）
(3)该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③
3 2 2 4
的概率依次为 、 、 ；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为 ，从另两个通道离园的概率均为
7 7 7 51
，求游客从通道①离园的概率.
10
n
∑ x y −nx⋅y
i i
附：参考公式：相关系数r= i=1
；回归直线方程 ^y=b^x+a^ ，其中
√ n n
( )( )
❑ ∑ x2−nx2 ∑ y2−n y2
i i
i=1 i=1
n
∑ x y −nx⋅y
i i
b^= i=1 ， a^= y−b^x ；
n
∑ x2−nx2
i
i=1
5 5 5
参考数据： ， ， ， .
∑ x y =1125 ∑ x2=55 ∑ y2=25076 ❑√10≈3.16
i i i i
i=1 i=1 i=1
16．（15分）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，过点P(0,3)的直线l与C交于A,B两点，且
tan∠PFO=3.
(1)求C的方程；
(2)已知E为x轴上的点，直线EA与C的另一个交点为M，直线EB与C的另一个交点为N，当直线MN的斜
率为1时，求点E的坐标．
2x3 ax2
17．（15分）已知函数f (x)= +lnx− ．
3 2
(1)若f (x)为增函数，求实数a的取值范围；
(2)证明：函数f (x)有且仅有一个零点．
18．（17分）在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，四边形ABCD为
❑√6
矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD所成角的正弦值为 ．
4
(1)求证：AM⊥PC；(2)求平面ABM与平面PBC夹角的余弦值；
(3)若BC边上存在一动点N，求MN与平面PAD的正切值范围．
19．（17分）若数列 {a ) 满足对任意的 n∈N∗ ，都有a n+1∈ { q, 1)，则称数列 {a ) 为 q− 伪等比数列．
n a q n
n
(1)若数列 为 伪等比数列， ，求 的所有可能取值；
{a ) 2− a =1 a
n 1 4
(2)证明：对任意的 ，存在 以及一个首项为1的 伪等比数列 ，使得数列
n=3k+2(k∈N∗) t∈N∗ 2− {a )
n
的前n项和 ；
{a ) S =2t+2
n n
(3)若数列 为 伪等比数列，数列 的前n项积 ，当 时，证明： 或 ，
{a ) q− {a ) T =an n≥2 n=4k n=4k+1
n n n 1
k∈N∗．
