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第五章 一元函数的导数及应用 章末题型大总结
题型01 导数的定义及应用
【典例1】（24-25 高二上·浙江金华·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【变式1】（（24-25 高二下·山东济宁·开学考试）已知函数
在
处可导，且
则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
解题锦囊
1．函数在某点处的导数的定义
函数y=f(x)在x=
处的导数f'(
)=
.
2．导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=
处导数的过程可以看到，当x=
时，f'(
)是一个唯一确定的数.这样，当x 变化时，
y=f'(x)就是x 的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=
【变式2】（24-25 高二下·浙江温州·开学考试）若函数
满足
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·江苏镇江·期末）若
，则
（ ）
A．
B．6
C．3
D．-3
【变式4】（24-25 高二上·河北沧州·期末）已知函数
，则
（ ）
A．1
B．0
C．－1
D．
【变式5】（24-25 高二·全国·课堂例题）物体运动方程为
（位移单位：m，时间单位：s），若
，则下列说法中正确的是（ ）
A．18m/s 是物体从开始到3s 这段时间内的平均速度
B．18m/s 是物体从3s 到
这段时间内的速度
C．18m/s 是物体在3s 这一时刻的瞬时速度
D．18m/s 是物体从3s 到
这段时间内的平均速度
题型02 导数的运算
【典例1】（24-25 高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．e
【变式2】（24-25 高二下·河南·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．0
B．
C．2025
D．4050
解题锦囊
导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【变式3】（24-25 高二上·云南昭通·期中）下列函数求导正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三下·湖北·开学考试）已知函数
的导函数为
，且满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 导数的几何意义及应用
【典例3】24-25 高二上·江苏南京·期末）已知函数
，则
的图象在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·河北保定·期末）已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式2】（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知点
是曲线
上的任意一点，曲线
在点
处的切线的倾斜角为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·山西·期末）经过点
所作曲线
的切线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【变式4】（24-25 高二上·江苏盐城·期末）若直线
是曲线
的一条切线，则k 的值为
解题锦囊
求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
（3） “过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区
别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点.
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式5】（24-25 高三上·辽宁·期末）已知函数
，
，若过点
的直线与曲
线
和
均相切，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式6】（24-25 高二下·全国·课后作业）直线
与曲线
相切于点
，则
．
【变式7】（2024 高三·全国·专题练习）写出曲线
过坐标原点的切线方程： ，
.
题型04 求函数的单调区间
【典例4】（24-25 高二·全国·课堂例题）已知函数
，讨论
的单调区间．
【变式1】（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
，则在下列区间上，
单调递增的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为，求实数
的值；
(2)讨论函数
的单调性．
【变式4】（24-25 高二上·河南许昌·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
，试讨论
的单调性．
解题锦囊
（1）确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是
不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
（2）①研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
②划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
题型05 已知函数的单调性求参数
【典例5】（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上存在单调递减区间，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三下·山西·开学考试）函数
在
上单调递增的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·青海·期末）若函数
在
上单调递减，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三下·湖北·开学考试）函数
在
上不单调，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高二上·山西·期末）已知函数
在定义域内单调递增，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6】（2025 高三下·全国·专题练习）若函数
在区间
内存在单调递增区间，
解题锦囊
（1）若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x (
∈a，b)时，f′(x)≥0 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，
则当x (
∈a，b)时，f′(x)≤0 恒成立．
（2） 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x (
∈a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数f(x)在(a，b)上存在
单调递减区间，则当x (
∈a，b)时，f′(x)<0 有解．
（3）已知函数在给定区间上不单调，等价于函数在所给区间上有极值点。
则实数
的取值范围是 ．
【变式7】（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）函数
在
上单调，则
的取值范
围是 .
题型06 求函数的极值
【典例5】（24-25 高二上·湖南怀化·期末）函数
的极值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【变式1】（24-25 高二上·江苏连云港·期末）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．15
D．17
【变式2】（24-25 高二上·湖南·期末）若
是函数
的极小值点，则
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的极大值与极小值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·全国·课后作业）函数
有（ ）
A．极小值0，极大值2
B．极小值
，极大值4
C．极小值
，极大值3
D．极小值2，极大值3
题型07 已知极值求参数
解题锦囊
(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0 的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右
的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极
小值．
解题锦囊
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
【典例7】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．6
B．12
C．24
D．12 或24
【变式1】（24-25 高二下·全国·随堂练习）函数
在
处有极小值
，则
的值等于（ ）
A．0
B．6
C．3
D．2
【变式2】（23-24 高二下·山东临沂·期中）已知函数
，当
时，
有极大值
．则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【变式3】（24-25 高二下·江苏南京·开学考试）若函数
在
内无极值，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高二上·江苏泰州·期末）已知函数
既有极大值又有极小值，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高二上·江苏无锡·期末）已知函数
，若
在开区间
内
存在极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6】（24-25 高二上·贵州黔西·期末）已知函数
在
处有极大值，则c 的值为
（ ）
A．2
B．6
C．2 或6
D．-2
题型08 求函数的最值
解题锦囊
利用导数求给定区间上的最值的步骤
（1）求函数f（x）的导数f'（x）；
（2）利用f'（x）＝0 求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值；
（3）求f（x）在给定区间上的端点值；
（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值.
【典例8】（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数
在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
在区间
内的最大值和最小值分
别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数
，则函数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高二上·上海闵行·期末）已知函数
，且
在区间
上的最大值为3，无最小值，则
的取值范围是 .
【变式5】（24-25 高二上·江苏宿迁·期末）已知函数
，且满足
(1)求实数
的值；
(2)求函数
在区间
上的最大值和最小值.
【变式6】（24-25 高二下·广西南宁·开学考试）已知函数
．
(1)过原点作曲线
的切线，求该切线的方程；
(2)设
，求
在
的最值．
题型09 不等式恒（能）成立问题
【典例9】（24-25 高二下·浙江温州·开学考试）若不等式
对任意正实数x 恒成立，
则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）已知
对
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·山西运城·期末）已知函数
，若
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式3】（24-25 高三上·甘肃白银·期末）若存在
，使得
成立，则实数
的最小
值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【变式4】（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）函数
，
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，则实数a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（23-24 高二下·广东广州·阶段练习）已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数m 的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
【变式6】（24-25 高三上·山东青岛·期末）已知函数
．
(1)求函数
在
上的最大值和最小值；
(2)若不等式
有解，求实数
的取值范围.
题型10 导数与函数的零点问题
【典例10】（24-25 高二下·江苏南京·开学考试）已知函数
有三个不同的零点，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·河北保定·期末）已知函数
，若方程
在
上
有且仅有一个实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·重庆渝中·期末）已知函数
的图象与x 轴有两个不同的交点，则
实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·重庆·期末）已知函数
有三个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高二上·云南昆明·期末）已知函数
在
处有极值1．
(1)求函数
的单调区间
(2)若函数
恰有3 个零点，求实数
的取值范围．
【变式5】（24-25 高二上·湖南·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围．
题型11 极值点偏移问题
【典例11】（24-25 高三上·河北·阶段练习）已知函数
.
(1)若该函数在
单调递增，求
的取值范围.
(2)当
时，若方程
有两个实数根
，且
，证明：
.
【变式1】（23-24 高二下·重庆·期末）已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若函数
恰有两个极值点
，且
的最大值为
，求证：
．
【变式2】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
.
(1)若
有唯一极值，求
的取值范围；
(2)当
时，若
，
，求证：
.
【变式3】（23-24 高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数
．若函数
有两个不相
等的零点
．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
．
