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专题17 空间几何体的结构和内切 外切球问题
【练基础】
一、 单选题
1．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形
和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西西安·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为 的正四面体
的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（
）
A． B． C． D．
4．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）如图所示是我国古代舂米用的一种青石制成的石臼，其外形是正四棱
台，糙米(杂粮等)放在中间凿出的半球内，利用石锤等工具对糙米进行加工．已知该石臼上口宽和高都等于
0.8m，下底边长与球的直径都等于0.6m，则该石臼的体积约为(参考数据： )（ ）A．0.21 B．0.28 C．0.34 D．0.46
5．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校）如图，已知四棱柱 的体积为 ，四边形 是平行四
边形，点 在平面 内，且 ，则三棱锥 与三棱锥 的公共部分的体积为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，
则该半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·福建厦门·统考二模）西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具
（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积
（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶
壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（ ）A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml
8．（2023·全国·高三专题练习）如图， 中， ， 为 的中点，将 沿
折叠成三棱锥 ，则该棱锥体积最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、 多选题
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线
长为3，底面半径为 ．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为
B． SPQ面积的最大值为
C．三棱锥O-SPQ体积的最大值为
D．圆锥SO的内切球的体积为
10．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中， ，E，F，G，H分别为AB，
BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，对于多
面体MNEFGH，下列说法正确的是（ ）
A．异面直线GN与ME的夹角大小为60°
B．该多面体的体积为
C．四棱锥E－MNFH的外接球的表面积为
D．若点P是该多面体表面上的动点，满足 时，点P的轨迹长度
11．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知正方体 的棱长为1， 是线段 上的动点，则下列
说法正确的是,（ ）
A．存在点 使 B．点 到平面 的距离为
C． 的最小值是 D．三棱锥 的体积为定值
【提能力】
一、 单选题
12．（2023·陕西西安·统考一模）在三棱锥 ，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角
三角形， 为等边三角形， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·模拟预测）晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）
所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切.已知该晶胞的边长（图1中正方体的棱长）为 ，则当图（2）中所有原子（8个A原子与1个B
原子）的体积之和最小值为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知四面体 ，且 ， ，
面 面 ，则四面体 的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， ，P
为侧棱SA的中点，则四棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·湖南·模拟预测）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小
屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录，现测量一个Trullo的屋顶，得到母线SA长为6米（其中S为
圆锥顶点，O为圆锥底面圆心），C是母线SA的靠近点S的三等分点．从点A到点C绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为 米，则圆锥的SO的体积为（ ）
A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米
17．（2023·江西赣州·统考一模）在棱长为6的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在四边形ABCD中， ，
，将 沿AC翻折至 ，三棱锥 的顶点都在同一个球面上，若该球的表面
积为 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·浙江·模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，
一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵 中，
，鳖臑 的外接球的体积为 ，则阳马 体积的最大值为（ ）A． B． C． D．4
20．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥
的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
21．（2023春·浙江·高三开学考试）已知正三棱锥 的底面边长为2，表面积为 ，A，B，C三点均
在以O为球心得球面上， Q为球面上一点，下列结论正确得是（ ）
A．球O的半径为
B．三棱锥 的内切球半径为
C． 的取值范围为
D．若 平面ABC，则异面直线AC与QB所成角的余弦值为
22．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装
满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一
种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为 ， ，侧棱长为 ，忽略其
壁厚，则该升斗的容积为_________ ．23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知正方体 的棱长为1，E，
F分别是棱 和棱 的中点，G为棱BC上的动点（不含端点）.则下列说法中正确的序号是_______.
（1）当G为棱BC的中点时， 是锐角三角形；
（2）三棱锥 的体积为定值；
（3）若异面直线AB与EG所成的角为 ，则 .
24．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在四棱锥 中， 平面ABCD， ，点M是矩形
ABCD内（含边界）的动点，且 ， ，直线PM与平面ABCD所成的角为 ，当三棱锥 的体
积最小时，三棱锥 的外接球的体积为________.
25．（2023·山东日照·统考一模）设棱锥 的底面为正方形，且 ， ，如果 的面
积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为___________.26．（2023·山东临沂·统考一模）已知正方体 的棱长为4，点 分别是
的中点，则（ ）
A．直线 是异面直线 B．平面 截正方体所得截面的面积为
C．三棱锥 的体积为 D．三棱锥 的外接球的表面积为
27．（2023·吉林·统考二模）如图，正四棱柱 中， ，动点P满足 ，
且 .则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．若直线 与 所成角为 ，则动点P的轨迹长为
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是28．（2023·全国·高三）正四棱台 中， ，侧棱 与底面所成角为 分别为
， 的中点， 为线段 上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．该四棱台的体积为 B．三棱锥 的体积为定值
C．平面 截该棱台所得截面为六边形 D．异面直线 与 所成角的余弦值为
三、填空题
29．（2023春·天津红桥·高三统考期末）在 中， ，以边 所在直线为轴，将
旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为__________.
30．（2023·重庆·统考二模）已知球 的表面积为 ，三棱锥 的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最
大值为__________．
31．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 是
侧面 内的动点，且满足直线 平面 ，当直线 与平面 所成角最大时，三棱锥
外接球的半径为______.
32．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考阶段练习）已知圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的底面在圆锥的底面内，
当圆柱与圆锥体积之比最大时，圆柱与圆锥的底面半径之比为__________.
