文档文本内容
专题一 函数与导数
第1 讲 函数的图象与性质
【真题再现●明考向】
1．对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图
象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题．
2．求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，
主要以选填题的形式出现．
【考情分析●明方向】
1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当
2≤x≤3 时，f(x)＝5－2x，则f＝( )
A．－
B．－
C．
D．
2．(多选)(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0
时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则( )
A．f(0)＝0
B．当x<0 时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2
C．f(x)≥2 当且仅当x≥
D．x＝－1 是f(x)的极大值点
3．(2025·北京高考)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有
点( )
A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标变成原来的2 倍，纵坐标不变
C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标变成原来的3 倍，横坐标不变
4．(2025·天津高考)已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
5．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知函数为f(x)＝在R 上单调递增，则a 取值的范围
是( )
A．(－∞，0]
B．[－1，0]
C．[－1，1]
D．[0，＋∞)
6．(2024·新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的
最小值为( )
A．
B．
C．
D．1
7．(多选)(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋
x2f(y)，则( )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0 为f(x)的极小值点
8．(2023·新课标全国Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1
B．0
C．
D．1
9．(2025·北京高考)关于定义域为R 的函数f(x)，以下说法正确的有________.
①存在在R 上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x 恒成立；
②存在在R 上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x 恒成立；
③使得f(x)＋f(－x)＝cos x 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；
④使得f(x)－f(－x)＝cos x 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个．
【考点突破●提能力】
考点一 函数的概念与表示
【核心知识】
1．求函数的定义域时要注意三式
分式、根式、对数式，分式中的分母不能为零，偶次根式的被开方数非负，对
数的真数大于零．
2．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x 的范围即
为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n 确定的g(x)的范围即为f(x)的定义
域．
3．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并
集．
【方法技巧】
1．函数定义域的求解方法
(1)给出解析式的函数，其定义域是使得解析式有意义的自变量的取值集合，构
建不等式(组)求解即可．
(2) 若已知函数f(x) 的定义域为[a ，b] ，则复合函数f(g(x)) 的定义域可由
a≤g(x)≤b 求出．
(3)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则由x∈[a，b]求得g(x)的值域即可．
2．处理分段函数问题的基本策略
(1)确定自变量的取值范围属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区
间讨论分段函数毫无意义的．
(2)画出函数的图象，结合图象可将代数问题直接地分析判断出来．
【典例研析】
1．(1)(2025·扬州校级模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，1]，则函数y＝的定
义域为( )
A．[1，2]
B．[－1，0]
C．∪
D．∪
(2)(2025·海淀区校级模拟)已知f(x)＝的值域为R，那么实数a 的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
(3)(2025·上海宝山二模)已知函数f(x)＝则f(4)＝________.
【跟踪训练】
1．(2025·辽宁大连一模)已知f(x－1)＝ex，则f(2)＝( )
A．e
B．2e
C．e2
D．e3
2．(2025·河北模拟预测)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∀x>0，y>0，都有
f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f＝－1，则f(64)＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．(2025·山西模拟)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域
是( )
A．(－2，5]
B．(－2，3]
C．[－1，3]
D．[－2，5]
考点二 函数的图象
【核心知识】
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换
有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特
点．
【方法技巧】
1．识图的三种常用方法
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、
下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
(3)根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分
析)．
2．由图象确定函数解析式的方法
(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；
(4)从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点．
【典例研析】
2．(1)(2025·天津校级模拟)若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可
能为( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
(2)(2025·河北区一模)函数f(x)＝(2－x－2x)·cos x 的图象大致为( )
A B
C D
(3)(2024·广东佛山二模)如图，△OAB 是边长为2 的正三角形，记△OAB 位于直
线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t)．则函数y＝f(t)的大致图象是( )
A B C D
(4)(2025·安顺模拟)函数f(x)＝的部分图象如图(粗实曲线)，则a＝( )
A．8
B．6
C．4
D．2
【跟踪训练】
4．(2025·新疆校级一模)函数f(x)＝的部分图象大致为( )
A B C D
5. (2025·辽宁二模)函数f(x)的部分图象大致如图所示，则f(x)的解析式可能是(
)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
6．(2025·玉溪二模)已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝
f(x)·g(x)的图象可能是( )
A B C D
考点三 函数的性质
【核心知识】
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|
x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函
数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数的单调性牢记
“同增异减”．
3．奇函数在其图象关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其图
象关于原点对称的单调区间内有相反的单调性，即“奇同偶反”．
4．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域
内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T 为这
个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么
这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(3)常见结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝，则T＝2a；若f(x＋a)
＝－，则T＝2a.
5．函数的对称性
(1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a 对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a，0)对称．
(2)两个函数图象的对称
①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y 轴对称；
②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x 轴对称；
③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
(3)对称性的3 个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．
②若对于R 上的任意x 都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象
关于直线x＝a 对称．
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
【方法技巧】
1．函数单调性应用问题的常见类型和解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间，然后利用函数单调
性解决；
(2)在求解抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，将
其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域；
(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解；
(4)利用单调性求参数时，通常把参数视为已知数，根据函数的图象和单调性定
义，确定函数的单调区间，将其转化到同一单调区间比较求参数．
2．利用奇偶性及周期性的解题策略
利用函数奇偶性求值，先利用周期性将所求的函数值的自变量转化到已知解析
式的函数定义域内，代入解析式即可求出函数值．当函数既具有奇偶性又具有
对称性时，先利用周期性和对称性确定函数的周期，再利用奇偶性和周期性进
行变换，将所求得函数值的自变量转化到已知函数的定义域内求解．
【典例研析】
3．(1)(多选)(2025·汉中模拟)若函数f(x)＝x，则( )
A．f()＝
B．f(x)的最小值为0
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)
(2)(2025·黑龙江二模)已知函数f(x)＝(其中a＞0 且a≠1)，若对∀x1，x2∈R，
x1≠x2，都有＞2，则实数a 的取值范围为( )
A．[6，8]
B．[2，6]
C．
D．
(3)(多选)(2025·芙蓉区校级模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x＋1)
＝f(3－x)，当0≤x≤2 时，f(x)＝2x＋x－1，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝－2 对称
B．f(x)＝f(x＋4)
C．当x∈[－2，0]时，f(x)的值域是[－5，0]
D．当x∈[10，12]时，f(x)＝212－x－x＋11
(4)(多选)(2025·南岗区校级一模)已知函数y＝f(2x＋1)的图象关于点(1，0)对称，
函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1 对称，则下列说法正确的为( )
A．4 是f(x)的一个周期
B．f(x)是偶函数
C．f(k)＝1
D．f(1＋x)＋f(1－x)＝0
【跟踪训练】
7．(2025·沧州模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x＜0 时，f(x)＝ex，
那么f(ln 3)的值为( )
A．
B．－3
C．3
D．－
8．(多选)(2025·华安县校级模拟)定义在R 上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)－f(x)＝
f(1)，则( )
A．f(1)＝0
B．f(1－x)＋f(1＋x)＝0
C．f(1＋2x)＝f(1－2x)
D．f(i)＝10
【限时训练】（限时：120 分钟）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·余姚市校级模拟)下列各组函数是同一函数的是( )
A．f(x)＝x2与g(x)＝(x＋1)2
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝·与g(x)＝
2．(2025·保山校级二模)已知函数f(x)＝2＋ln(ex＋a)是偶函数，则a＝( )
A．
B．
C．0
D．1
3．(2025·丰城市校级模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(a2－1)＞f(3)的解集为( )
A．(－2，2)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4．(2025·永州模拟)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
5．(2025·临潼区二模)函数y＝的图象大致为( )
A B C D
6．(2025·云南一模)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x>0 时，f(x)＝x2
－x＋1.若f(x)≥x＋b 对任意的x∈R 恒成立，则实数b 的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．
C．(－∞，0]
D．
7．(2025·重庆二模)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x－2)．若
f(1)＝2，则f(k)＝( )
A．－2
B．0
C．2
D．4
8．(2025·江西南昌二模)已知函数f(x)满足f(x－y)f(y)＝2f(x)，f(x)≠0 且f(1)＝4，
则f(2－x)＋f(x)的最小值为( )
A．4
B．2
C．8
D．4
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每个小题给出的选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选
错的得0 分．
9．(2025·虹口区二模)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝
B．y＝x－2
C．y＝sin
D．y＝tan(x＋π)
10．(2025·吉林延边一模)设f(x)是R 上的奇函数，且对∀x∈R 都有f(2－x)＝
f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最大值是1，最小值是0
B．当3≤x≤4 时，f(x)＝－(x－4)2
C．点(1，0)是函数f(x)的对称中心
D．f(x)在区间(3，5)上是增函数
11．(2025·河南信阳二模)下列说法中不正确的是( )
A．已知f(2x)的定义域为(1，3)，则g(x)＝的定义域为(4，6)
B．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x≤0 时，f(x)＝x(x＋1)，则f(x)的
解析式为f(x)＝x2－|x|
C．函数y＝的单调递减区间是[2，＋∞)
D．“－3<k<0”是“不等式2kx2＋kx－<0 对一切实数x 恒成立”的充要条件
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．(2025·利津县校级模拟)函数f(x)＝＋log3x 的定义域为 ________.
13．(2025·安徽模拟)函数y＝＋(x＞1)的值域为 ________.
14．(2025·焦作校级一模)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数m 的取值范围为
________.
