文档文本内容
专题01 利用导数研究函数零点
题型方法
题型一 利用导数判断函数零点个数
题型二 根据零点情况求参数（范围）
题型三 判断函数零点的大小
题型四 与零点有关的求值或范围问题
【题型一】利用导数判断函数零点个数
【例1】（2025·天津河北·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
解题技巧
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个
数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的
函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
【举一反三】【变式1】（2025·安徽·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
题型梳理
题型方法
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2】（2020·四川宜宾·二模）函数
的零点个数为 ．
【变式3】（2025·重庆·三模）已知函数
，函数
在点
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)讨论
的零点个数.
【题型二】根据零点情况求参数（范围）
【例2】（2023·全国乙卷·高考真题）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找
函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0 的关系，从而求得参数的取值范围
【举一反三】【变式1】（2025·湖南益阳·三模）若函数
有两个零点，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·天津·二模）若函数
的图象关于直线
对称，且
恰有6 个零点，则的取值范围为 .
【变式3】（2025·甘肃白银·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)函数
在
上单调递减，求实数a 的取值范围；
(3)若
，证明函数
有两个零点．
【题型三】判断函数零点的大小
【例3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
有两个零点
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
无法比较大小
【举一反三】【变式1】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数
有且仅有两个不同的零点
，则（ ）
A．当
时，
，
B．当
时，
，
C．当
时，
，
D．当
时，
，
【变式2】（多选）（2023·广西·模拟预测）已知方程
（
）有两个不同的根
，
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
，使得
的图象是中心对称图形
B．当
时，
有三个不同的零点
C．若
有三个不同的零点
、
、
，则有
D．若
有三个不同的零点
，
，
，且
，则
【题型四】与零点有关的求值或范围问题
【例4】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．e
【举一反三】【变式1】（2025·陕西西安·一模）设函数
，其中
，若
有
两个零点且
取最小整数P 时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
有零点，则
的最小值为 ．
【变式3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
.
（i）当
时，求
的最大值；
（ii）若函数
的图象与
轴恰有一个交点，求实数
的取值范围.
一、单选题
1．（2024·四川凉山·二模）若
，
，则函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025·海南·模拟预测）记函数
的零点分别为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知
、
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
、
的大小
4．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数
（
且
）在
上有唯一零点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．存在负数
，使得
没有零点
B．若
恰有
个零点，则
C．若
恰有个零点，则
D．当
时，
恰有个零点
6．（2025·江苏南通·三模）已知函数
，则（ ）
好题必刷
A．
有两个极值点
B．
的对称中心为
C．过点
作曲线
的切线有三条
D．若函数的一个零点在
之间，则它所有零点都在
之间
三、填空题
7．（2025·上海杨浦·三模）若
有唯一解，则
的范围是
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
有2 个零点
，
，且
，则实数
的取值范围是
．
9．（2025·上海普陀·二模）设
，函数
的表达式为
，若函数
恰
有三个零点，则
的取值范围是 .
四、解答题
10．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
．
(1)若
，讨论函数
在
的单调性；
(2)若
在
上有唯一的零点，求实数a 的最小值．
11．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数
，直线
.
(1)若点
是函数
图象上的一点，求点
到直线距离的最小值；
(2)若
，讨论函数
的零点的个数.
12．（2025·云南·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的解析式；
(2)若
在
内有两个零点，求m 的取值范围；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求整数k 的值组成的集合．
13.（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)证明
在
内存在唯一零点；
(3)若对于任意的
，
恒成立，求整数k 的最大值．
