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培优点03 洛必达法则
题型方法
题型一 用洛必达法则处理0
0型函数
题型二 用洛必达法则处理型函数
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需
要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则．
洛必达法则：
法则1 型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝0 及lim g(x)＝0；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝l，
那么lim ＝lim ＝l.
法则2 型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
题型梳理
知识清单
(1)lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝l，那么lim ＝lim ＝l.
注意：
1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立．
2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题．
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不
满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
lim ＝lim ＝lim ，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【题型一】用洛必达法则处理0
0型函数
【例1】我们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型．两个无穷
小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母
分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则
．
解题技巧
用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法则求值
【举一反三】【变式1】（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数
，当
时，
.已知函数
，
.
(1)证明：
在区间
上单调递减；
题型方法
(2)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)
，证明：
（附：
）.
【变式2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函
数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函
数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
【变式3】①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果
，
，则
，
，若B≠0，则
；ii)洛必达法则：若函数
，
的导函数分别为
，
，
，
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对
，均有
成立，则称函数
为区间
(0,a)上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①
；
②
；
(2)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；并证明：
，
.
【题型二】用洛必达法则处理型函数
【例2】两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则，
即在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如
､
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
解题技巧
用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法则求值．
【举一反三】【变式1】（24-25 高二下·河南商丘·期末）“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，
洛必达法则之一的内容是：若函数
，
的导数
都存在，且
，如果
是常数）时，
或
或
，且
（是常数），则
时，
．
已知函数
．
(1)证明：
时曲线
在点
处的切线与曲线
也相切；
(2)若函数
有两个零点
，函数
有两个零点
．
①指出
的大致范围（不必说明理由），并求出
的取值范围；
②试探究
与
的大小关系．
【变式2】（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式
型或
型极限的一种重要
方法，其含义为：若函数
和
满足下列条件：
①
且
（或
，
）；
②在点
的附近区域内两者都可导，且
；
③
（
可为实数，也可为
），则
．
(1)用洛必达法则求
；
(2)函数
（
，
），判断并说明
的零点个数；
(3)已知
，
，
，求
的解析式．
参考公式：
，
．
【变式3】极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，
.如果当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限
叫作未定
式，并分别简记为
或
.当
（或
），极限
为未定式且
、
、
存在
时，有：
.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方
法称为洛必达法则（
）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①
；②
；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①
；②
；③
；
(3)
且
，
，
恒成立.
①直接写出
解析式；
②求
的取值范围.
一、单选题
1．（22-23 高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子分母同时趋近于
､
0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定
条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法
､
.如：
，
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
二、填空题
2．（21-22 高三上·湖北襄阳·期末）我们把分子，分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696 年，洛必达在他的著作《无限小分
析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件
下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：
，则
．
好题必刷
三、解答题
3．（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数
，
当
时，
.已知函数
，
.
(1)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)
，证明：
（附：
）.
4．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，
此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，
其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数
，
满足下列条件：
①
，
；
②在点a 处函数
和
的图像是连续且光滑的，即函数
和
在点a 处存在导数；
③
，其中A 是某固定实数；
则
.”
那么，假设有函数
，
.
(1)若
恒成立，求t 的取值范围；
(2)证明：
.
5．（24-25 高三上·湖北·期末）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一
定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数
和
满足下列条件：
①
，
②在点a 的去心邻域内
与
可导，且
③
，那么
据此回答下面问题：
(1)求
的值，并用导数的定义证明：
(2)已知
（i）求函数
的单调递减区间;
（ii）若
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围.
6．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数
，
的导函数分
别为
，
，且
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函
数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明
不是区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)记
，
；求证：
.
