文档文本内容
培优点09 活用三次函数的性质
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................5
题型一：三次函数的图象问题............................................................................................................5
题型二：三次函数的单调性问题........................................................................................................7
题型三：三次函数的对称性问题........................................................................................................9
题型四：切线数量问题......................................................................................................................12
题型五：三次函数的零点问题..........................................................................................................15
题型六：三次函数的极最值问题......................................................................................................19
题型七：等高线问题..........................................................................................................................22
题型八：三次函数的综合应用..........................................................................................................27
04 课时精练........................................................................................................................................35
三次函数是高考数学中的高频考点，常以中等难度题型出现，涉及导数综合应用与函数性质分析。其
核心考点包括单调性、极值、零点分布及图像特征。
1、三次函数的图象
对于三次函数
的判别式为
，则
的定义域为
，值域为
，图象如下：
参数范
围
图象
2、三次函数的零点
对于三次函数
（、、、
且
），其导数为
当
，其导数
有两个解
，
，原函数有两个极值
，
．
①当
时，原方程有且只有一个实根
②当
时，原方程有两个实数根
③当
时，原方程三个实数根．
3、三次函数的对称性
对于三次函数
，
（1）若
，则
；
（2）
的对称中心是
．
4、三次函数的切线问题
对于任意三次函数
，过
图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数
的图
象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域II、区域III 内的点以及对称中心作
的切线，有且仅有
条；
（2）过切线或函数
图象（除去对称中心）上的点作
的切线，有且仅有2 条．
（3）过区域I、区域IV 内的点作（x）的切线，有且仅有3 条．
5、三次函数的切割线性质
（1）如图所示，点
是函数
图象上任意一点（非对称中心），过
作函数
图象的切线
和割线
，其中
是切点，
是交点，则
成等差数列，即
；
（2）如图所示，点
是函数
的两个极值点，且方程
为
图象的对称中心的横坐标，则
成等差数列．
6、其它性质
设三次函数
的对称中心横坐标为
，若
存在两个极值点
，则
．
题型一：三次函数的图象问题
【例1】在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序
号是（ ）
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
【答案】C
【解析】当f′(x)>0 时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)<0 时，y＝f(x)是递减的．
故可得，①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；
而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；
④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误．
所以不正确的是③④，
故选：C.
【变式1-1】设f(x)=x3+bx2+cx+d,又k 是一个常数,已知当k<0 或k>4 时,f(x)－k=0 只有一个实根;当0<k<4 时,
f(x)－k=0 有三个相异实根,现给出下列命题:
①f(x)－4=0 和
=0 有一个相同的实根
②f(x)=0 和
=0 有一个相同的实根
③f(x)+3=0 的任一实根大于f(x)－1=0 的任一实根
④f(x)+5=0 的任一实根小于f(x)－2=0 的任一实根.
其中错误的命题的个数是
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】∵f(x)=x3+bx2+cx+d，
当k<0 或k>4 时，f(x)－k=0 只有一个实根，当0<k<4 时，f(x)－k=0 有三个相异实根，
故函数既有极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，且极大值点小于极小值点，
故f(x)－4=0 与
=0 有一个相同的实根，即极大值点，故①正确；
f(x)=0 与
=0 有一个相同的实根，即极小值点，故②正确；
f(x)+3=0 有一实根小于函数最小的零点，f(x)－1=0 有三个实根均大于函数最小的零点，故③错误；
f(x)+5=0 有一实根小于函数最小的零点，f(x)－2=0 有三个实根均大于函数最小的零点，故④正确；
故选：D．
【变式1-2】函数
的图象如图所示，且
在
与
处取得极值，给出下列判
断：①
；②
；③函数
在区间
上是增函数.其中正确的判断是（ ）
A．①
B．②
C．②③
D．①②
【答案】C
【解析】
，
∵函数
，且
在
与
处取得极值，
由图可知，
是
的极大值点，是
的极小值点，
所以函数
是开口向上的二次函数，
∴
，且
与
是方程
的两个不同的根，
即
，
，
则
，
，
∵由图象可知
，∴
，故①不正确，
∵
，且
，
∴
，故②正确；
是开口向上，
对称轴为
，
∴函数
在区间
上是增函数，故③正确，
故正确的命题是②③.
故选：C.
【变式1-3】设三次函数
的导函数为
，函数
的图象的一部分如图所示，则下列说法正
确的是（ ）
A．
的极大值为
，极小值为
B．
的极大值为
，极小值为
C．
的极大值为
，极小值为
D．
的极大值为
，极小值为
【答案】C
【解析】由图象可知，当
和
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
所以
在
，
上单调递减；在
上单调递增；
所以
的极小值为
，极大值为
.
故选：C.
题型二：三次函数的单调性问题
【例2】三次函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
因为三次函数
在
上是减函数，
所以
恒成立，
所以
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：A
【变式2-1】已知函数
的单调递增区间是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先求出函数的导函数，再根据函数的单调递增区间为
，即可
的解集为
，即
可得到、、的关系，从而得解；由题可得
，则
的解集为
，即
，
，可得
，∴
，
故选:C．
【变式2-2】函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图像如图，则函数y＝ax2＋
的单调递增区间是（ ）
A．(－∞，－2]
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】不妨取
，
，
由图可知
，
，
，
，
，
，当
时，
的单调递增区间为：
，
故选：D．
【变式2-3】函数
的图象如图，则
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
；
令
，则
的零点为
，对称轴为
图象先增再减再增，则函数
开口向上，先减后增，单调减区间为
选A.
【变式2-4】已知三次函数
在R 上单调递增，则
的最小值为 ．
【答案】3
【解析】由题意得
在R 上恒成立，则
，
，
令
，
，
（当且仅当
，即
时取“ ”）.
故答案为3.
题型三：三次函数的对称性问题
【例3】设函数
是
的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
的图像都有对称中心
，其中
满足
.已知三次函数
，若
，则
；若
，分别满足方程
，则
.
【答案】
2
【解析】由题，
，
，由
可得
，
的图像的对称中心为
，即
，
，所以
和
关于
对称，故
；
令
，同理可求
的对称中心，
，
，由
可得，对称中心为
，即
，
，故
，
由
，故
单调递增，即
是一一对应的函数，故
和
关于
对称，故
，
故答案为：
；2
【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”，经研究发
现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的
对称中心，若函数
，则
.
【答案】8090
【解析】由题意因为
，
所以
，
，
令
，解得
，
，
由题意得对称中心为
，
所以
，
，
故答案为：8090.
【变式3-2】设函数
是
的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
的图像都有对称中心
，其中
满足
.已知三次函数
，若
，则
.
【答案】4
【解析】因为三次函数
，
所以
，所以
，
令
得
，
所以三次函数
的图象的对称中心为
.
所以
.
即若
，则
．
故答案为：4
【变式3-3】对于三次函数
给出定义: 设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．某同学经过
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
给定函数
，请你根据上面探究结果，计算
（ ）
A．1010
B．2020
C．2023
D．2024
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
，
令
，即
，解得
，
又
，
由题中给出的结论，可知函数
的对称中心为
，
所以
，
即
，
故
，
所以
.
故选：B
题型四：切线数量问题
【例4】（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，
则的取值范围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
设切点为
，则切线方程
，
而过
，将
代入方程得到
，
令
，
，
令
，
，此时
单调递减，
令
，
，此时
单调递增，
故
有极小值
，有极大值
，
则得到
，故A 正确.
故选：A.
【变式4-1】（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数
，其中实数
，则下列
结论错误的是（ ）
A．
必有两个极值点
B．
有且仅有3 个零点时，的范围是
C．当
时，点
是曲线
的对称中心
D．当
时，过点
可以作曲线
的3 条切线
【答案】B
【解析】对于A，
，
令
，解得：
或
，
因为
，所以令
，得
或
，
令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值,
所以A 正确；
对于B，要使
有且仅有3 个零点，
只需
即
，所以
，
所以的范围是
，故B 不正确；
对于C，当
时，
，
，
，所以点
是曲线
的对称中心，所以C 正确；
对于D，
，设切点为
，
所以在
点处的切线方程为：
，
又因为切线过点
，所以
，
解得：
，令
，
所以过点
可以作曲线
的切线条数转化为
与
图象的交点个数.
,
令
，解得：
或
，
因为
，所以令
，得
或
，
令
，得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
，如下图所示，
当
时，
与
图象有3 个交点，即过点
可以作曲线
的3 条切线，故正确，
故选：B
【变式4-2】过点
可作3 条直线与函数
的图象相切，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设过点
的直线与函数
的图象切于点
，
，则函数
在点
处的切线斜率
，
切线方程为
，
由切线过点
，所以有
，整理得
，
设
，则问题转化为
有3 个零点，
因为
，由
得
或
，
若
，
恒成立，
在
上单调递增，不合题意.
当
时，
解得
或
，
解得
，
此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
为函数极大值，
为函数极小值；
当
时，
解得
或
，
解得
，
此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
为函数极大值，
为函数极小值；
有3 个零点，则
与
异号，
即
，所以
，
得
，所以
.
故选：A
【变式4-3】（2025·江西九江·一模）已知函数
（
），点
位于曲线
的下方，且过点
可以作3 条直线与曲线
相切，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，设切点为
，则切线斜率为
，
切线方程为
，由于切线过点
，
，整理得
.
构造函数
，
有三个不同的零点，
，
易知
，
，即
，
即
，
又因为点
在曲线下方，
，即
，
解得
，
故选：D.
题型五：三次函数的零点问题
【例5】若三次函数
有三个相异且成等差的零点，则a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
定义域为R，
，
时，
恒成立，
故
在R 上单调递增，不会有三个零点，舍去，
故
，解得
，
设
的三个相异的零点为
，
，故
，
又
①，
②，
③，
式子①-②得
，
即
，
故
，
因为
，所以
④，
式子③-②得
，
即
，
故
，
因为
，所以
⑤，
式子④-⑤得
，
即
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，解得
，
将其代入②得，
，
即
，
，
又
，故
，又
，解得
.
故答案为：
【变式5-1】已知函数
，设曲线
在点
处切线的斜率
为
，若
，
，
均不相等，且
，则
.
【答案】
/
【解析】
由
，则
，
即
，
又
，
，
由于
，
，
均不相等，
则
故答案为：
【变式5-2】（2025·广东深圳·一模）已知函数
，设曲线
在
点
处切线的斜率为
，若
均不相等，且
，则
的最小值为 ．
【答案】18
【解析】由于
，
故
，
故
，
，
则
，
由
，得
，
由
，即
，知
位于
之间，
不妨设
，则
，
故
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故则
的最小值为18，
故答案为：18
【变式5-3】（多选题）已知三次函数
有三个不同的零点
，函
数
也有三个零点
，则（ ）
A．
B．若
成等差数列，则
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由
可得
，
要使
有三个不同的零点
，
则
有两个不相等的实数根，故
，
即
，A 正确，
由于
为二次函数，关于
对称，因此
，
故
关于
对称，
因此
成等差数列，故
是
的对称中心，则
，故B 正确，
当
时，作出
的图象，则
的图象与
的图象交点如图所示，
由于
，故
，故C 错误，
对于D，根据
，
展开可得
，
故
，
同理可得
的三个实数根为
，
则
，
故
，
因此
，
故
，
即得
，故D 正确，
故选：ABD
题型六：三次函数的极最值问题
【例6】（多选题）已知三次函数
在区间
上的值域也为
，那么下列说法正确的是
（ ）
A．
且
B．当
时，满足要求的
不存在
C．当
时，有
D．当
时，有
【答案】ABD
【解析】对于A，由已知
，当
时，
，且
，则
在
上为减函数，
此时
，矛盾，故
且
，故A 正确；
对于B，由
知，
的极值点分别为
当
时，则
，如图1，
在
上为减函数，则
，矛盾，故B 正确；
对于C，当
时，如图2，由
（仅
时成立，
时，应为
），
得
，但
，矛盾，故C 错误；
对于D，当
时，如图3，
在
上减，在
上增，所以
，
有
，解得
，符合条件，故D 正确.
故选：ABD.
【变式6-1】（多选题）定义：设
是
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
的对称中心为
B．若关于x 的方程
有三解，则
C．若
在
上有极小值，则
D．若
在
上的最大值、最小值分别为
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，易知
，
，令
，而
，
由“拐点”定义可知
的对称中心为
，故A 正确；
令
，此时
单调递减，
令
或
，此时
单调递增，
则
，即
的极大值为3，极小值为
，
所以关于x 的方程
有三解，即两函数
有三个交点，
则
，故B 正确；
易知若
在
上有极小值，则
，故C 错误；
由上可知，若
在
上的最大值、最小值分别为
，
则
，最值在端点处取得，即
，
根据函数的对称中心知
，而
，
所以
关于对称中心
对称，则
，故D 正确.
故选：ABD
【变式6-2】已知函数
存在两个极值点
，且
，
．设
的零点个数为
，方程
的实根个数为，则
的取值不可
能为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【解析】由题意知，
为二次函数，且
为
的零点，
且
，得
或
，
当
时，令
，解得
或
，令
，解得：
，
可知，
在
和
内单调递增，在区间
内单调递减，
则
为极大值点，
为极小值点，
若
，则
，
因为
，即
，两者相矛盾，故
，
则
有2 个根，
有1 个根，可知
，
若
，可知
，
，
若
，可知
，
，
若
，可知
，
，
当
时，令
，解得
，令
，解得：
或
，
可知，
在
内单调递增，在区间
和
内单调递减，
则
为极大值点，
为极小值点，
若
，则
，
因为
，即
，两者相矛盾，故
，
若
，即
，可知，
，
，
若
，即
，可知，
，
，
若
，即
，可知，
，
，
综上可知，
的取值集合为
，则
不可能为7.
故选：D
【变式6-3】（2025·高三·云南曲靖·期末）已知函数
在
处取得极小
值，则
的最大值为（ ）
A．27
B．9
C．4
D．1
【答案】C
【解析】由
，可得
，则
，
即
，所以
，记
，
，
则
，令
，解得
，所以
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，
，此时
，
故选：C.
题型七：等高线问题
【例7】（2025·高三·湖南·开学考试）设函数
，
，其中a，
.
（1）求
的单调区间；
（2）若
存在极值点
，且
，其中
，求证：
；
（3）设
，函数
，求证：
在区间
上的最大值不小于
.
【解析】（1）若
，则
，
分两种情况讨论：
①、当
时，有
恒成立，此时
的单调递增区间为
；
②、当
时，令
，解得
或
，
当
或
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数，
故
的增区间为
，
，减区间为
；
（2）若
存在极值点
，则必有
，且
，
由题意可得，
，则
，
进而
，
又
，
由题意及（1）可得：存在唯一的实数
，满足
，其中
，
则有
，故有
；
（3）设
在区间
上的最大值M，
表示x、y 两个数的最大值，
下面分三种情况讨论：
①当
时，
，
由（1）知
在区间
上单调递减，
所以
在区间
上的取值范围是
，
因此
，所以
。
②当
时，
，
由（1）、（2）知，
，
，
所以
在区间
上的取值范围是
，
因此
，
③当
时，
，
由（1）、（2）知，
，
，
所以
在区间
上的取值范围是
，
因此
，
综上所述，当
时，
在区间
上的最大值不小于
.
【变式7-1】（多选题）（2025·江苏泰州·二模）已知函数
，则下列结论正
确的是（）
A．当
时，若
有三个零点，则的取值范围是（0，1）
B．当
且
时，
C．
，
D．若
存在极值点
，且
，其中
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，当
时，
，
由
，可得
或
，由
，可得
，
故函数
在
和
上单调递增；在
上单调递减．
则函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
若
有三个零点，则
，解得
，故A 正确；
对于B，当
且
时，
，
因为
，所以
，
由A 函数
在
上单调递减，故
，故B 正确；
对于C，因为
，故C 错误；
对于D，由
求导得，
，
依题意，
，可得
①
由
，可得
，
由于
，化简得
②
将①代入②式，可化简得：
，
即
，因
，故得
，即D 正确．
故选：ABD．
【变式7-2】（多选题）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，若
有三个零点，则的取值范围是
B．当
且
时，
C．对于任意
满足
D．若
存在极值点
，且
，其中
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，当
时，
，
，
由
，可得
或
，由
，可得
，
故函数
在
和
上单调递增；在
上单调递减.
则函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
若
有三个零点，则
，解得
，故A 正确；
对于B，当
时，
，同时
，
根据A 项结论：函数
在
上单调递增，可得
，故B 错误；
对于C，因
，故C 正确；
对于D，由
求导得，
，
依题意，
，可得
①
由
，可得
，
化简得
②，
将 ① 代入②式，可化简得：
，
即
，因
，故得
，即D 正确.
故选：ACD.
【变式7-3】（多选题）（2025·高三·贵州铜仁·期末）已知函数
.则（ ）
A．当
时，若
有两个零点，则的值是
或
B．若
，
，且
，则
的最小值是
C．对任意
恒有
D．若
存在极值点
，且
，其中
，则
【答案】ACD
【解析】对于A 选项，当
时，
，
令
可得
，令
，则
，
令
可得
或
，列表如下：
增
极大值
减
极小值
增
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
函数
的极大值为
，极小值为
，如下图所示：
由图可知，当
或
时，即当
或
时，
直线
与函数
的图象有两个公共点，此时，函数
有两个零点，A 对；
对于B 选项，当
时，
，且
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，B 错；
对于C，因为
，C 对；
对于D 选项，对函数
求导得
，
因为
为函数
的极值点，所以，
，①
由
可得
，
可得
，
即
，②
②①得
，
即
，
若
，则①式显然不成立，故
，
又因为
，故
，D 对.
故选：ACD.
题型八：三次函数的综合应用
【例8】（2025·高三·北京·期中）已知三次函数
.
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
在区间
上具有单调性，求的取值范围；
（3）当
时，若
，求
的取值范围.
【解析】由
可得：
（1）当
时，
，
.
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）由已知可得
①当
时，令
得
，
.
与
在区间
_上的情况如下：
x
0
（0,2）
2
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增
因为
在
上具有单调性，所以
.
②当
时，
与
在区间
上的情况如下：
x
0
（0,2）
2
－
0
＋
0
－
减
极小值
增
极大值
减
因为
在
上具有单调性，
所以
，即
.
综上所述，a 的取值范围是
.
（3）先证明：
.
由（2）知，当
时，
的递增区间是
，
，递减区间是（0，2）.
因为
，不妨设
，则
.
①若
，则
.
所以
.
②若
，因为
，
所以
，当且仅当
时取等号.
综上所述，
.
再证明：
的取值范围是
.
假设存在常数
，使得对任意
，
.
取
，且
则
，
与
矛盾.
所以
的取值范围是
.
【变式8-1】三次函数
的图象如图所示，直线
，且直线
与函数图象切于
点
，交于点
，直线
与函数图象切于点
，交于点
（1）若函数
为奇函数且过点
，当
时，求
的最大值；
（2）若函数在
处取得极值
，试用表示和，并求
的单调递减区间；
（3）设点
的横坐标分别为
，求证：
【解析】（1）
为奇函数
，
又
过点
，即：
，解得：
，
当
时，
当且仅当
，即
时取等号，
（2）由题意得：
，
，解得：
，
，
令
，解得：
，
在
处取得极值
，即
，
①当
，即
时，
令
，可得：
，
的单调递减区间为：
，
②当
，即
时
令
，可得：
的单调递减区间为：
（3）设直线
的方程为：
既在直线上又在曲线上
即：
整理可得：
同理有：
进一步化简可得：
，
即
，又
【变式8-2】对于三次函数
．
定义：①设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”；
定义：②设
为常数，若定义在
上的函数
对于定义域内的一切实数，都有
成立，则函数
的图象关于点
对称．
已知
，请回答下列问题：
（1）求函数
的“拐点”
的坐标
（2）检验函数
的图象是否关于“拐点”
对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
（不必证明）
（3）写出一个三次函数
，使得它的“拐点”是
（不要过程）
【解析】（1）依题意，得：
，
．
由
，即
．∴
，又
，
∴
的“拐点”坐标是
，
（2）由(1)知“拐点”坐标是
.
而
=
=
=
，
由定义(2)知：
关于点
对称．
一般地，三次函数
的“拐点”是
，它就是
的对称中心.
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是
奇函数）
（3）
或写出一个具体的函数,如
或
.
【变式8-3】（2025·高三·上海·开学考试）对三次函数
，如果其存在三个实根
，则有
.称为三次方程根与系数关系.
(1)试讨论函数
的单调性.
(2)对三次函数
，设
，存在
，满足
.证
明：存在
，使得
；
(3)称
是
上的广义正弦函数当且仅当
存在极值点
，使得
.在平面直角坐标系
中，
是第一象限上一点，设
.已知
在
上有两根
.
（i）证明：
在
上存在两个极值点的充要条件是
；
（ii）求点
组成的点集，满足
是
上的广义正弦函数.
【解析】（1）因为
，所以
，
若
，则
，从而此时
在定义域内单调递增；
若
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增；
综上所述，若
，则
单调递增；若
，则
在
分别单调递增，在
单调递减.
（2）因为
，所以不妨设
，
所以
，
而
，故
，
故存在
使得
，所以
，
若
，则
，此时
，与题设矛盾，
综上所述，存在
，使得
.
（3）（i）
是第一象限上一点，所以
，
因为
，所以
，
设
，则
，
而
时，
，
时，
，
所以
存在负根，
因为
在
上存在两个极值点，等价于方程
在
上有两个根，
等价于方程
在
上存在两个变号根，
注意到三次方程最多有3 个根，
所以方程
有一个负根，两个不同的正根，
而
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当且仅当
，即当且仅当
，
综上所述，命题（i）得证；
（ii）由（i）可得
在
有两个极值点
,
且
.
由题设
恰好有两个正根
，
此时：由于对
来说，
等价于
，
等价于
，
所以对
，如果
，
那么
，
故
，故
，
结合（i）中分析可得:
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
故
分别为
在
的极小值点、极大值点.
对两个不相等的正数
，
所以
当且仅当
，
那么如果
或
，就有
或
，故
，
此时
，
所以
，
故
，
最后，由于
有一个极值点
，
所以
都不等于
（
是不相等的正零点，同时该方程还有另一个负零点，但
只要是根就是二重
的，所以
不可能是根），
这就说明
，
结合
的单调性以及
，必有
，
所以此时
一定是广义正弦函数，
综上所述，满足题意的
.
1．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx 在x＝
处有极值，则ac＋2b 的值为（ ）
A．－3
B．0
C．1
D．3
【答案】A
【解析】
.
依题意
，
.
故选：A
2．（2025·高三·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数
在
处取得极小值，
则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．9
D．10
【答案】C
【解析】 所以
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故选C.
3．已知函数
的一个极值点为，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，可得
，
因为函数
的一个极值点为1，
所以
，即
，即
，
所以
，当且仅当
、
时等号成立，
所以
的最大值为
．
故选：
．
4．若过点
可作3 条直线与曲线
相切，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设过点P 的直线与曲线
相切于点
，则
=
，
其中
表示直线
的斜率，即
，整理，得
.
过点P 可作3 条直线与曲线
相切等价于方程
有3 个不同的实数根.
设
，则
.由
，得
或
，易知
和
是
的两个
极值点.
方程
有3 个不同的实数根，即
有3 个不同的零点，
所以
，即
，解得
.
故选:B．
5．已知函数
.若过点
存在3 条直线与曲线
相切，则的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设函数
上任意一点
，
在点
处的切线方程为
，
即
.
若过点
，则
依题意，方程
有三个不等实根.
令
，
，得
，
.
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增.
因此
的极小值为
，极大值为
.
若
有三个不等实根，故
.
故选B
6．（多选题）（2025·广东东莞·模拟预测）三次函数
叙述正确的是（ ）
A．函数
可能只有一个极值点
B．当
时，函数
的图象关于点
中心对称
C．当
时，过点
的切线有一条
D．当
时，在点
处的切线与函数
的图象有且仅有两个交点
【答案】BCD
【解析】对于A 选项：
，令
，
即
，
当
时，方程
有两个不同根，
有两个极值点；
当
时，
无极值点，故A 错误；
对于B 选项：当
时，
，
因为
是奇函数，关于点
对称，
所以函数
的图象关于点
中心对称，故B 正确；
对于C 选项：设切点
，则切线方程为
，
因为过点
，所以
，
即
，
整理得
，所以
，或
，
由于
，则两根相等，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 正确；
对于D 选项：在点
处的切线为
，
联立方程组
，化简得
，
所以
，或
，由于
，则方程组有两组不同解，
即有两个不同交点，故D 正确.
故选：BCD.
7．（多选题）三次函数
叙述正确的是（ ）
A．当
时，函数
无极值点
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．过点
的切线有两条
D．当
时，函数
有3 个零点
【答案】ABD
【解析】对于A，
，
，
，
单调递增，无极值点，故A 正确；
对于B，因为
，所以函数
的图象关于点
中心对称，故B 正确；
对于C：设切点
，则切线方程为
，
因为过点
，所以
，
，解得
，
即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；
对于D：
，当
时，
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
又
有极大值为
，所以若函数
有3 个零点，
则
有极小值为
，得到
，故D 正确．
故选：ABD．
8．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，
若方程f″(x)＝0 有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三
次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若
，则函数f(x)的对称中心为 ，
.
【答案】
2018
【解析】由
，求得f′(x)，f″(x)，令f″(x)＝0 求对称中心.由对称中心得到f(x)＋f(1－x)
＝2 求解.因为
，
所以f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝
.
，
由题中给出的结论，
所以函数f(x)的对称中心为
.
所以
，
即f(x)＋f(1－x)＝2.
故
，
，
……，
，
所以
×2×2 018＝2 018.
故答案为：
，2018
9．如图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图象，
为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0 的解集为
．
【答案】(－∞，
)∪(0,
)
【解析】由图象，得函数
在区间
上递增，在区间
上递减，在区间
上递
增，即当
或
时，
，当
时，
，所以不等式
的解集为
.
10．已知函数
的图象与轴切于点
，则
的极大值为 , 极小值为 .
【答案】 极大值为
极小值为
【解析】由函数
的图象与轴切于点
得
即
，
解出
，则函数
，则
令其
得到
或
；①当
或
时，
单调增；②当
时，
单调减，所以极大值
，极小值为
， 即
的极大值为
，极小值为，故答案为
.
11．已知三次函数
，若
，则
.
【答案】
【解析】由题意得，
，
令
，则
，
令
，解得
，又
，
故
的对称中心为
.
故当
时，
.
故答案为：
12．已知三次函数
有三个零点
，
，
，且在点
处切线的斜率为
，则
.
【答案】0
【解析】令
，其中
，
，
，
互不相等.
则
.
.
故答案为：0.
13．已知三次函数
无极值，且满足
，则
.
【答案】
【解析】由题设
，则
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
又
，故
，可得
，
所以
.
故答案为：
14．（2025·江西景德镇·一模）设三次函数
(b，c 为实数)的导数为
，设
，若
在R 上是增函数，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】
,
，
，
恒成立
，
故
，
，
令
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故答案为：
15．已知三次函数
在
上是增函数，则
的取值范围
为 ．
【答案】
【解析】由题设，
在R 上恒成立，
所以
，解得
.
故答案为：
.
16．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 在x=1 处取极小值，x=3 处取极大值，且函数图象在(2，f(2))处的切线与直
线x-5y=0 平行.
（1）求实数a､b､c 的值;
（2）设函数f(x)=0 有三个不相等的实数根，求d 的取值范围.
【解析】（1）
，函数图象在
的切线与直线x-5y=0 平行，
①
由题意可知，1 和3 为方程
的两根，所以：
②
③
由①､②､③解得
.
（2）由(1)得
，
x=1 和x=3 分别是函数f(x)的极小值点和极大值点，
当
时，
；当
时，
所以方程f(x)=0 有三个不相等的实数根的充要条件为：
，
即
，解得
所以d 的取值范围为
.
17．给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实
数解
，则称(
)为函数
的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称中心，已知函
数
(1)求出
的对称中心；
(2)求
的值．
【解析】（1）
，
，令
可得
，
因为
为三次函数，故函数
的拐点为
，
故
图象的对称中心为
.
（2）因为
图象的对称中心为
，故
，
设
，
则
，
所以
，
故
.
18．三次函数
的三个零点为
，两个极值点为
．作直线
，在
上分别取
使得
是正三角形．
(1)计算：
．
(2)证明：
均与
的内切圆相切．
【解析】（1）
，
，
故
，
，
，
即
.
（2）易知
图象是一个中心对称图形，不妨设
，此时
，
记
，则
，
在正
中，
逆时针旋转
得到
，由坐标旋转公式知
①，
令
，根据韦达定理知
②，
设
为
的对称中心的横坐标，易知
，
故
的中心在直线
上，
而
，令
，同理由韦达定理知
③，
故
，
而
.
故
均与
的内切圆相切，证毕.
19．设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为曲线
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐
点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
的图象的对称中心为
.
(1)求实数
的值；
(2)求
的零点个数.
【解析】（1）因为
，
所以
，所以
，
又因为
的图象的对称中心为
，
所以
，解得
；
（2）由（1）知，
，
∴
，
令
，得
或
，
所以当
时，
，即
在
上单调递增；
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，
，即
在
上单调递增.
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
所以
，
，且当
时，
；当
时，
，
所以
有个零点.
20．已知三次函数
．
（1）若函数
在点
处的切线方程是
，求函数
的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间
上任意两个自变量的值
，
，都有
，求出
实数
的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数
，可得
，
因为函数
在点
处的切线方程是
，
可得
，解得
，
，所以
．
（2）由（1）知
，令
，即
，解得
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
所以
在
和
上分别单调递增，在
上单调递减，
而
，
，
，
，
所以在区间
上
，
，
所以对于区间
上任意两个自变量
，
，
都有
，所以
，
即实数
的取值范围是
．
21．已知三次函数
过点
，且函数
在点
处的切线恰好是
直线
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求
的极值；
(3)设函数
，若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）
，
由题意知：
；
（2）由
定义域为
，
，令
，得
或
当变化时，
、
变化如下：
0
2
+
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当
时，
取得极大值
，
当
时，
取得极小值
；
（3）令
，
设
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
，
因为函数
在区间
上有两个零点，
所以直线
与函数
的图象有两个交点，
故有
，即实数
的取值范围为
.
22．设函数
，其中
为实常数．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
存在极值点
，且
其中
．求证：
；
【解析】（1）由
，可得
．
令
得
或
，
所以
的单调递增区间为
，
，
令
得
，
所以
的单调递减区间为
.
（2）因为
，所以
，
当
时，
，所以
的增区间是
，
当
时，令
，
得
或
，
当
或
时，
，
当
时，
，
所以
的增区间是
，
，
减区间是
，
因为
存在极值点，所以
，且
，
由题意，得
，
即
，进而
，
又
，
即为
，
当
时，
在
的右侧，
当
时，
在
的左侧，
即有
，即为
.
