文档文本内容
培优点03 函数性质的综合应用
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：函数的奇偶性与单调性........................................................................................................4
题型二：函数的奇偶性与周期性........................................................................................................6
题型三：函数的奇偶性与对称性........................................................................................................9
题型四：函数的双式性质问题.......................................................................................................... 11
题型五：函数与导数的性质..............................................................................................................15
题型六：抽象函数赋值模型..............................................................................................................18
题型七：非常规的函数对称..............................................................................................................22
题型八：函数性质的综合应用..........................................................................................................25
04 课时精练........................................................................................................................................30
函数性质的综合运用一直是历年高考的热门考查方向，常以客观题形式呈现。解题时，需深入剖析函
数所具备的性质特征，并借助函数图象这一直观工具来探究其性质。通常，高考题会将函数的多种性质相
互交织、综合考查，要求考生具备灵活运用知识、全面分析问题的能力。
函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性，堪称函数的四大核心性质。在高考的命题舞台上，这四大
性质常常携手登场、综合考查，给考生带来不小的挑战。
在解题过程中，我们常常需要巧妙借助函数的奇偶性、对称性和周期性这些“神奇法宝”。它们就像
一把把钥匙，能帮助我们打开另一区间上函数单调性的“神秘大门”，实现不同区间的灵活转换。就好比
在复杂的迷宫中，找到了一条通往正确路径的捷径。
当我们成功确定另一区间的单调性后，就如同掌握了解决问题的关键密码。接下来，便可以充分利用
函数的单调性这一有力武器，去攻克与函数相关的各类问题，无论是求值、比较大小，还是求解不等式等，
都能更加得心应手。
题型一：函数的奇偶性与单调性
【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，若对
，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，所以
为奇函数.
又
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
在
上单调递增.
由
，所以
，所以
.
对任意
，由
，得
，所以只需
即可.
令
，则
，
令
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，所以
.
故选：D.
【典例1-2】（2025·广西河池·二模）设函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增.若
实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【解析】由于
是偶函数，根据偶函数的定义，
.
因此，不等式
可以转化为
.
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
或
.
故选：C.
【变式1-1】（2025·高三·广西·期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
时，
，则
在
上单调递增.
当
时，
，所以
时，
恒成立.
又
是定义在
上的奇函数，
，所以
是
上的增函数.
不等式
，对任意的
恒成立，
即
，
，
又
，所以
.
令
，
，
令
，则
.
在
上恒成立，所以函数在
上单调递减.
在
时有
所以
，
即实数
的取值范围为
．
故选：A.
【变式1-2】已知函数
的定义域为
，
为偶函数，若对任意的
，
，都有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为偶函数，所以
的图象关于
对称，
又对任意的
，
，都有
，
即
在
上单调递增，结合对称性则在
上单调递减，
所以
，
即①
，显然无解；
或②
，解之得
.
故选：C
题型二：函数的奇偶性与周期性
【典例2-1】（2025·山东滨州·二模）已知定义域为
的函数
为偶函数，
为奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意可知
，
；
所以
，即
，
因此
，即
，
所以可得
，即
是以4 为周期的周期函数，
对于A，由分析可知
，即A 错误；
对于B，由
，可知
；
显然
，所以
，
所以
，即B 正确；
对于C，易知
，可得C 错误；
对于D，显然
，即D 错误.
故选：B
【典例2-2】（2025·山东·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．17
D．12
【答案】C
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
由
可知，函数
的图象关于直线
对称，
则有
，则
，则
，
所以
，故
是周期函数，周期
.
又因为
，所以
，且有
，则
.
当
时，
是增函数，
且
时，
，
时，
，所以
在
上有且仅有一个零点.
函数
与函数
的图象如图，
由图可知，方程
在区间
上有10 个根，去除
后，还有9 个根，
方程
的根，即函数
的图象与函数
的图象的交点，有8 个，
所以，方程
在区间
上的根的个数为
.
故选：C.
【变式2-1】已知定义在
上的奇函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为定义在
上的奇函数
满足
，
所以
，所以
，即
，
所以
是周期为
的周期函数，且
，
，
所以
．
故选：C．
【变式2-2】已知定义域为
的偶函数
满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．6
D．10
【答案】A
【解析】因为
是定义域为
的偶函数，所以
.
已知
，将
换为
，可得
，又因为
，所以
.
由
和
可得
.
令
，则
，那么
，又因为
，所以
，
即
，所以函数
的周期是，所以
.
在
中，令
，可得
，即
，解得
，所以
.
故选：A.
【变式2-3】已知
是定义在
上的奇函数，若
为偶函数且
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】B
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，又
为偶函数，
所以
，
，且
，
则
，
即
，
所以
，
即
是以
为周期的周期函数，
由
，
，
，
所以
，
，
，
所以
．
故选：B
题型三：函数的奇偶性与对称性
【典例3-1】定义在
上的函数
满足：
，且
是偶函数，则下列说法不正
确的是（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】A
【解析】
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，
所以
的图象关于点
对称，故A 错误；
因为
是偶函数，
所以函数
的图象关于
轴对称，
所以函数
的图象关于直线
对称，故B 正确；
因为
，
代入
中，
得到
，进而
，
因此
，故C 正确；
由
可得，函数
为周期函数，
为函数的一个周期，
可得，
，
，
由
可得，
，
所以
，
所以
，故D 正确．
故选：A．
【典例3-2】（2025·江西景德镇·二模）定义在
上的函数
满足
，
为偶函
数，
，则
（ ）
A．1013
B．1014
C．2025
D．2026
【答案】A
【解析】∵
，
，
则
，
∴
的最小周期为4．令
，解得
．
∵
为偶函数，由函数
的图象可由函数
的图象向左平移个单位，
∴
关于直线
成轴对称．∴
，∴
，
∴
．又
，∴
，
，
∴
.
故选：A．
【变式3-1】若函数
的定义域为
，其图象关于点
成中心对称，且
是偶函数，则
（ ）
A．2023
B．
C．4048
D．
【答案】C
【解析】由
是偶函数知，
的图象关于直线
对称，
①,
又
的图象关于
中心对称，所以
②,
则
③,
由①②③可得，
,故函数
的周期为4，
则
，
，
，则
，
则
．
故选：C
【变式3-2】已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列说法
正确的是（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
为奇函数
D．函数
的图象关于点
对称
【答案】D
【解析】对于A，由
，得
，
则
，函数
的周期为4，
取
，则
，
为偶函数，
而
最小正周期为
，故A 错误；
对于B， 由
为偶函数，得
，
故
，
所以函数
的图象关于直线
对称且关于点
对称，B 错误；
对于C，由选项B 知，
，则函数
为偶函数，C 错误；
对于D，由
，
，得
，
则
，函数
的图象关于点
对称，D 正确.
故选：D
【变式3-3】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，因为函数
为奇函数，所以
，
即
， 所以
的图象关于点
成中心对称，所以
.
又因为
为偶函数，所以
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，所以
.
故选：D.
题型四：函数的双式性质问题
【典例4-1】已知函数
的定义域均为
为奇函数，且
，则（ ）
A．
不为偶函数
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，与
联立可得
，
即
的图象关于直线
对称，
又
为奇函数，则
，
所以
，即
，
所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
因为
，所以
也是周期为4 的周期函数，
因为
，
，所以
，
即
，从而
为偶函数，故A 错误．
又
为奇函数，则
，即
，
所以
，
故
，故C 错误．
由
，得
，则
不可能为奇函数，故B 错误．
可求
，
所以
，故D 正确．
故选D．
【典例4-2】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为
，且
，
，
，若
，且
，则
（ ）
A．305
B．302
C．300
D．400
【答案】A
【解析】函数
的定义域均为
，由
，得
，
又
，则
，
于是
，即
，
由
，得
，又
，
则
，即
，因此
，
即
，
，
则函数
是周期函数，周期为4，由
，得
，
，
由
，
，得
，于是
，
所以
.
故选：A
【变式4-1】已知
及其导函数
的定义域为
，
为偶函数，
的图象关于点
对称，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
为偶函数，得
，则
．
两边取导数，得
①．
由
的图象关于点
对称，得
②．
①
②，得
，所以
，
则数列
中所有奇数项是公差为2 的等差数列，所有偶数项是公差为2 的等差数列．
在
中，令
，得
．
在
中，令
，得
．
在
中，令
，得
，
所以
，
所以数列
是以0 为首项，1 为公差的等差数列，所以
，
则
．
故选：D．
【变式4-2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数
，
的定义域均为
，
为奇函数，
为偶函数，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2023
D．2024
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，所以
①，
因为
，所以
，
结合①有
②，
因为
为奇函数，所以
，所以
，
结合②有
，所以
，所以
，
所以
的周期为8．因为
，所以
，
同理，由
，得
，
所以
，
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
的周期为8，所以
，
由
，得
，
由
，得
，所以
，
所以
．
故选：A.
【变式4-3】已知函数
为
上的奇函数，
为偶函数，且
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】因为
为
上的奇函数，则
，
为偶函数，故有
，
则
，于是
，
故
，所以
，
所以
的周期为8，
则
，故B 正确；
故选：B.
【变式4-4】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
的定义域均为
，则
（ ）
A．－4
B．－2
C．2
D．4
【答案】C
【解析】在
中，令
，结合
，得
．
由
，得
，
结合
，两式相减，
得
，所以
，
所以
，即
，
所以12 是函数
的一个周期，所以
．
故选：C．
题型五：函数与导数的性质
【典例5-1】已知定义域为
的函数
的导函数为
，若函数
和
均为偶函数，且
，则
的值为（ ）
A．0
B．8
C．-8
D．4
【答案】C
【解析】
为偶函数，
为偶函数，
关于
对称，
关于
中心对称，且
为偶函数，
关于
对称，
且
，
，
的一个周期为4，且
，
，
，
故选：C.
【典例5-2】已知周期函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
为奇函数，
为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
的周期为2
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，由函数
为奇函数，得
，则
，
，
A 错误；
对于BC，由
求导得
，即
，
而
，则
，
的图象关于直线
对称，
且
，由
为偶函数，得
，
的图象关于直线
对称，
因此
，
的周期为4，取
，满足
的周期为4，
且
，且
，
，
显然2 不是
的周期，BC 错误；
对于D，设
的周期为
，即
，求导得
，即
，
因此函数
与
具有相同的周期，由选项B 知
的周期也为4，
，D 正确.
故选：D
【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数
与
及其导函数
和
的定义域都为
，且
为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对
两边求导，得
，
又由
，得
，
所以
，可得
．
由
为奇函数，得
，则
，
令
得：
，
则由上面两式可得：
，即
是以4 为周期的周期函数，
则
．
故选：C．
【变式5-2】（2025·高三·江苏南通·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
.若
，
均为奇函数，且
，则
（ ）
A．2025
B．0
C．-4
D．4
【答案】C
【解析】因为
为奇函数，所以
，
即
，所以
所以
关于
对称，同时
，
又
为奇函数，则
，所以
关于
对称，
即
，所以
常数，
令
可得：
，
所以
，
则
关于
对称，结合
，所以
，
所以
，又
，
所以
，
所以
，也即
，
所以
所以
是周期为4 的函数，
，
，
，
，
，
，
故选：C.
【变式5-3】（多选题）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
关于点
对称
B．函数
关于直线
对称
C．函数
的周期为4
D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为
为奇函数，所以
，
所以函数
关于点
对称，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
的图象关于点
对称，故B 错，
对于C，因为
，所以
，所以
，为常数，
因为
，所以
，所以
，
取
，可得
.所以
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以
，所以函数
是周期函数，且周期为
，
又
，即
，
所以函数
也是以
周期得周期函数，故C 正确；
对于D，因为
，
，
所以
，即
，
所以
，则
，
所以
，
，无法确定该值，故D 错误.
故选：AC.
题型六：抽象函数赋值模型
【典例6-1】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意
均有
，则称
为“
函数”.已知
为“
函数”，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】A
【解析】令
，则
，所以
；
令
，则
，
所以
的图象关于直线
对称；
令
，则
，
因为
不恒成立，所以
恒成立，所以
为奇函数，
所以
，所以
，
所以
是周期为8 的周期函数，令
，则
，
解得
，又
为奇函数，所以
，
所以
.
故选：A.
【典例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数
满足：
，且
，
若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，用
代换
，可得
，
联立方程组
，可得
，即
，
又由函数
为偶函数，且
，可得
与
同号，
所以
，可得函数
是周期为
的函数，
因为
，
与
同号，则
，
令
，可得
，所以
，
则
.
故选：C.
【变式6-1】（2025·山东·二模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
可得
是以4 为周期的周期函数，
则
.
故选：D.
【变式6-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
满足：对于任意的x，
，都有
成立，且
，则
（ ）
A．2025
B．2024
C．1013
D．1012
【答案】C
【解析】令
时，因为
，
所以
.
令
，
则
，所以
.
令
，则
，
所以
，则
，所以4 为
的一个周期.
又
，
所以由周期性可知
，即
．
当i 为偶数时，
为偶数，所以
；
当i 为奇数时，设
，
则
，
故
被4 除的余数为1，所以
，
所以
．
故选：C．
【变式6-3】（多选题）（2025·广东佛山·一模）已知定义域为
的函数
满足
，且
，
为
的导函数，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为周期函数
C．
D．
【答案】ABD
【解析】令
，代入
可得：
，即
，所以
，
令
，则
，即
，
令
得
，
以
替换
，则
，
以
替换
，则
，所以函数
是周期为
的周期函数.
令
，则
，即
，
所以
是偶函数，A 选项正确.
因为
是周期为
的周期函数，对
两边求导得：
，即
.
替换
，则
.
以
替换
，则
，
所以
是周期为
的周期函数，B 选项正确.
由
的周期为
，且
，
，
，
.
，C 选项错误.
因为
的周期为
，
，所以
.
又
，两边求导得
，即
，
所以
.
而
，令
，
可得
，即
，
.
对
两边求导得
，令
，得
.
对
两边对
求导，
得
，
即
令
，
可得
，所以
，则
，D 选项正确.
故选：ABD
【变式6-4】（多选题）（2025·山东·一模）已知定义在R 上且不恒为0 的函数
，对任意的
，
都有
，则（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
是奇函数
D．若
，则
【答案】AC
【解析】令
，则
，而
，
所以
，A 对；
令
，则
，令
，则
，
令
，则
，故
，故
是奇函数，C 对；
由
，
由
，则
，故
，
所以
，
所以
，
所以
，D 错.
假设
为
的最小正周期，
由
，则
，故
，
显然，对于
，
，
，
不能恒成立，
即
不能恒成立，与前提矛盾，B 错.
故选：AC
题型七：非常规的函数对称
【典例7-1】（2025·江西九江·一模）定义在
上的函数
满足：①对任意
，都有
；②
的图象关于直线
对称：③
则下列说法正确的
是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，得
，即
，故函数
的图象
关于
对称．
又
的图象关于直线
对称，故
，
的图象关于直线
对
称．
，
是以4 为周期的周期函数．
对于A，
的图象是将
的图象向左平移2 个单位，故
的图象关于
轴对称，
是偶函数，故A 错误；
对于B，
的图象是将
的图象向左平移1 个单位，故
的图象关于原点对称，
是
奇函数，故B 错误；
对于C，由
，得
；由
，得
，
，故C 正确；
对于D，依题意，得
，
，
，故D 错误．
故选：C．
【典例7-2】（2025·高三·江西·期中）若函数
定义域为
，且
为偶函数，
关于点
成
中心对称，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
偶函数，知
的图象关于直线
对称，
因
图象关于点
成中心对称，则
①，且
，
所以
，
所以
是周期为
的周期函数.
令
代入①，可得
，而
，
所以
，
综上，
.
故选：C
【变式7-1】若函数
定义域为
，且
偶函数，
关于点
成中心对称，则
（ ）
A．56
B．57
C．58
D．59
【答案】B
【解析】
的图象向左平移个单位得到
的图象，在将横坐标缩小为原来的一半，
得到
的图象，由于
偶函数，图象关于直线
对称，
所以
的图象关于直线
对称.
由于
的图象向右平移个单位得到
的图象，
由于
关于点
成中心对称，所以
的图象关于点
成中心对称.
则
，
，所以
是周期为
的周期函数.
，所以
，
，则
，
所以
.
故选：B
【变式7-2】已知函数
及其导函数
的定义域都为R，且
为偶函数，
为奇函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
为偶函数，可得
，即
，
可得函数
关于
对称，则
，
又由
是奇函数，可得
，
所以函数
关于点
对称，则
，且
，
所以
，即
，即函数
的周期是4，
则
，
由
，可得
，
所以
，则
，
即
，所以
，
即导函数
关于点
对称，且
，
又由
，可得
，即导函数
的周期是4，
则
，所以
．
故选：D．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
，则一定正确的是（ ）
A．
的周期为2
B．
图象关于直线
对称
C．
为偶函数
D．
为奇函数
【答案】D
【解析】
为奇函数，得
，
即
，则
为奇函数，故C 错误；
且
图象关于点
中心对称，故B 错误；
可知，函数
周期为4，故A 错误；
，又
图象关于点
中心对称，知
，
所以
，得
关于点
对称，
则
关于点
对称，所以
为奇函数，故D 正确.
故选：D.
题型八：函数性质的综合应用
【典例8-1】（多选题）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，
，且
为奇函数，记
，其导函数为
，则（ ）
A．8 是
的一个周期
B．
C．
D．
为奇函数
【答案】ABD
【解析】对于A，因为
，所以
，
又
，即
，则
，可得
关于点
对称，
又
的定义域为R，则
；
又
为奇函数，则
，所以
，
即
，所以
关于直线
对称，
因为
，所以
，所以
，
则
，则8 是
的一个周期，故A 正确；
对于B，由上述得
，所以
，
则
关于点
对称，且
的定义域为R，则
，
令
，得
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，
则
的周期也为8，则
，
又
的周期为8，则
，所以
，故C 错误；
对于D，由上述知
，则
为奇函数，故D 正确．
故选：ABD．
【典例8-2】（多选题）已知函数
和
的定义域均为
，函数
，若
均为奇函数，则下面说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于
，因为
为奇函数，所以
，即
，
所以
的图象关于点
中心对称，则
，故A 正确；
对于
，因为
为奇函数，所以
，所以
的图象关于点
对称，
，即
，即
，
所以
，所以
的图象关于直线
对称，但是不能确定
的值，故B 不正确；
结合
的图象关于点
对称，所以
，周期
，
所以
，故D 正确；
由
，所以
，所以
，即
，
令
0，则
，所以
的图象关于直线
对称，又
的图象关于点
对称，
所以
的图象关于直线
对称，所以
，故C 正确.
故选：ACD
【变式8-1】（多选题）设
与其导函数
的定义域均为
，若
的图象关于
对称，
在
上单调递减，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的图象关于原点对称
C．
D．
的极小值为3
【答案】AB
【解析】因为
的图象关于
对称，所以
，
即
，则
为偶函数，故A 正确；
由
得，
，两边取导数得，
，
即
，所以
，则
是奇函数，
所以
图象关于点原点对称，故B 正确；
由上可知，
，又由
得
，
所以
，则
，
所以有
，即函数
是一个周期函数且周期为8；
又由
，令
得，
，
则
，故C 错误；
由
在
上单调递减，又
的图象关于点
对称可知，
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
又
的图象关于
对称，所以
在
上单调递增，
由周期性可知，
在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值，即
，故D 错误，
故选：AB.
【变式8-2】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
【答案】ABD
【解析】令
，得
，
因为
，所以
，故A 对；
令
得
，
令
得
，故B 对；
由
得
，
所以函数
是周期为8 的函数，
又
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，函数
是周期为8 的函数，
如
，则
，故C 错；
若x 为正整数，则
，
所以
，故D 对；
故选：ABD
【变式8-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）函数
和
的定义域均为
且
不恒为零，若
对任意
，
，则
和
互为“关联函数”.已知
，
互为
“关联函数”，则以下说法正确的是（ ）
A．
，
中必有一个为周期函数
B．若
，则
的解析式可以为
C．
与
中至少有一个函数为奇函数
D．若
，
，则
【答案】BCD
【解析】对于A 项，令
，
，
则
，
，
，
满足
，
但
，
均不是周期函数，故A 错误.
对于B 项，若
，
，
则
，
所以
与
是“关联函数”，B 正确.
对于C 项，令
，则
，得
，
令
，则
，
因为
不恒为零，所以
，
令
，得
，
将
，
代入，得
，
所以
为奇函数，故C 正确.
对于D 项，由
为奇函数，得
，
，
令
，
，则
，
得
，
分别令
和
，
得
，
，
两式相加得
，所以
，
即
，
所以
是以4 为一个周期的周期函数，故
，
所以
，D 正确.
故选：BCD.
1．设定义在
上的函数
满足
，且当
时，
.若存在实数
使得
，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】由
，令
，
则
，
为偶函数，
由当
时，
知
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
由
得
，
由
是偶函数及单调性知
，
所以
，所以
.
故选：A.
2．已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
，
为奇函数，且知
在
上单调递增．
，
原不等式可转化为
，
，解得
．
故选：D．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，
，
函数
是偶函数，求导得
，令
，
求导得
，函数
在
上递增，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
不等式
，
则
，令函数
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，函数
在
上递减，在
上递增，
当
时，
，令函数
，求导得
，
函数
在
上递增，当
时，
，
成立，
当
时，
，
不成立，
所以不等式
的解集为
.
故选：C
4．（2025·高三·山西·开学考试）已知函数
，若关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
由
在
上单调递增，可知，
在
上单调递增，
又
奇函数，
所以由
，可得
，
∴
，
，
∴
在
上有解，设
，
，
易知
时，
，
时，
，
∴
在
单调递增，在
单调递减，即
，
∴
，
故选：A
5．（2025·江西九江·二模）已知
是定义在
上周期为2 的偶函数，且当
时，
.设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
且
在[0，1]上单调递减，因为
，所以
，
故选:B.
6．设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
为奇函数，故
，
又
为偶函数，故
，
中，令
代替
得
，
结合
得
，
即
，又
，
故
，
的一个周期为4，
所以
，
又
时，
．
故
.
故选：D
7．（2025·高三·河北沧州·期中）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，
且
在区间
上是增函数．记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，函数
的定义域为
，
为偶函数，
即
，
又
为奇函数，则
，即
，
所以
，则
，
即函数
周期为，
在区间
上是增函数，则在区间
上是增函数，
又
为奇函数，则
，所以
，
而
，
，
，
所以
.
故选：D
8．（2025·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
（ ）
A．4050
B．4048
C．4044
D．4036
【答案】A
【解析】由
为奇函数，所以
，
即
，所以函数
关于点
中心对称，
由
为偶函数，则
，即
，
即
，所以函数
关于
对称，
所以
，即
，可得
，
所以
，所以函数
为周期为4 的函数，
由
，所以
，则
，
所以
，且
，即
，
又
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：A.
9．定义域为
的函数
的图象关于点
对称，函数
的图象关于直线
对称．若
，则
（ ）
A．0
B．50
C．2499
D．2509
【答案】C
【解析】因为
的图象关于点
对称，所以
，
则
，即
，
则
的图象关于点
对称．又
的图象关于直线
对称，
所以
，
故
，
故
，
所以
是以4 为周期的函数．
因为
，
，
，
，
所以
．
故选：C
10．定义在
上的函数
满足
，
为偶函数，函数
的图象关于
对
称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
关于
对称，有
，
令
，则
，
的图象关于
对称.
由
为偶函数，得
，则
的图象于
对称，
因为
，
所以
，
即
，则
的图象关于
对称.
所以
，又
，
所以
，所以
，
所以
，所以
为
的一个周期，
因为
图象关于
对称，所以
，
故
，
所以由
，得
.
故选：C.
11．（2025·四川宜宾·一模）已知函数
的定义域为
的图像关于
对称，且
为奇函数，
，则下列说法正确的个数为（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为
为奇函数，所以
，则
，
所以
对称中心为
，
又因为
的图像关于
对称，则
，
所以
，则
，
所以
的周期
，
①
，所以①正确；
②因为
，
，
对称中心为
，
所以
，所以
，所以②正确；
③因为
，所以
，
因为
，所以
，
则
，所以
，所以③错误；
④因为
且
周期
，
所以
，则
的周期为
，
因为
，
，
，
，
所以
，
所以
，所以④正确.
故选：C.
12．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，且
为偶函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
为奇函数，
，
令
，则
，即：
①；
令
，得到
；
因为
为偶函数，
，
②；结合①②得到：
，
，
，
所以
，所以函数的周期为8，
.
故选：A.
13．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）设函数
，
及其导函数
，
的定义域均为
，已知
，
，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．点
为曲线
的对称中心D．
【答案】ACD
【解析】A.在
中，令
，得
，所以
，故
是奇函数，A
正确；
B.由
定义域为
，且
为奇函数，知
，
在
中，令
，得
，B 错误；
C.因为
，所以
，故
，
又因为
，所以
，即
，
所以点
为曲线
的对称中心，C 正确；
D. 因为
是奇函数，所以
，故
，即
是偶函数，
由
得
，
，故
，即
的
周期为4，
因为
，所以
，即
，
在
中，令
，得
，
所以
，D 正确.
故选：ACD.
14．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知函数
定义域为
，函数
是
的导函数，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的一个周期为2
C．
的图象关于
对称
D．
【答案】ACD
【解析】
，
关于
对称，
，故A 正确；
对
求导可得
，
即
，
关于
对称，
又
，
关于
对称，
的一个周期为4，
关于
对称，故B 错误，故C 正确；
将
代入
，可得
，
将
代入
，可得
，
，
，
，故D 正确.
故选：ACD．
15．（多选题）（2025·河北秦皇岛·二模）记定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
是周期函数，且其中一个周期为8
D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数
与
的定义域均为
.
由
求导可得
，即
，
所以
的图象关于直线
对称，故B 正确；
由
求导可得
，
，
，则
（为常数），
令
，则有
，所以
，即
，
所以
，即函数
的图象关于直线
对称.
又由
可得
，
则有
，
，
，即
，
所以函数
的图象关于点
对称.
所以函数
是周期函数，周期
.证明如下：
由
可得
，
由上述结论可知
，所以
.
则
，即
，
又由
可得
，所以
.
所以
是周期函数，且其中一个周期为8，故C 正确；
对于A，因为
，
，
若
，则
，与
矛盾.
故A 错误；
对于D，由
求导可得
，
则有
，因为
，所以
则
（是常数），令
，可得
，
所以
，即函数
的图象关于直线
对称.
所以，函数
也是周期函数，周期
.
，令
，可得
，
根据对称性可知，
，
所以
.
所以
，
不确定是否为0，故D 错误.
故选：BC.
16．（多选题）设定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，若
，且
为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
为奇函数，所以
，
取
可得
，A 正确．
对于B，因为
，所以
，
所以
．又
，
故
，所以函数
的图象关于点
对称，B 错误．
对于D，因为
，所以
，
所以
为常数．因为
，
所以
，
所以
，取
可得
，所以
．
又
，所以
，所以
，
所以
，故函数
为周期为4 的函数．
因为
，所以
，
所以
，
所以
，D 正确．
对于C，因为
，所以
，所以
，
故函数
为周期为4 的函数，
，
所以函数
为周期为4 的函数，
又
，
所以
，
所以
，
C 正确．
故选：ACD
17．（多选题）已知函数
的定义域为
为
的导函数，且
，
，若
为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由
是偶函数，则
，两边求导得
，
所以
是奇函数，故
，
由
，得
，
所以
，代入
，
得
，
即
，又因为
是奇函数，
所以
，
，即
，
所以
是周期函数，且周期为4，
，故A 正确；
对选项B，在
中，令
得，
，
在
中，令
得，
，故
，故B 正确；
对于C：
，令
，得
，
因为
是周期函数，且周期为
，
，
所以
，
因为
，所以
，故C 错误；
对于D：由
得
，
，
由A 选项知
，令
得
，故
，
因为
是周期函数与奇函数，且周期为
，
所以
，即
，
因为
，所以
所以
，故D 错误．
故选：AB
18．（多选题）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点（2，1）对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，根据题意由
可得
；
又
为奇函数，联立
，两式相加可得
，
因此
的图象关于点
对称，即A 正确；
对于B，由
，
，又
为偶函数，所以
，
可得
，即
，
所以
，即
是以8 为周期的周期函数，
可
知B 正确；
对于C，易知
，
，即C 不正确；
对于D：由
可得
，又
，所以
；
所以
，即D 正确；
故选：ABD．
19．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数
，对任意
，均有
，且
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】ABD
【解析】令
，得
，解得
，故A 正确；
令
，得
，所以
，即
为奇函数，故B 正确；
令
，得
.
因为
，所以
，
所以
，
所以
的周期是4，所以
，
所以
，故C 错误；
对
两边求导，得
，所以
的周期为4.
对
两边求导，
，所以
.对于
中关于
求导，
可得
，
令
，可得
，
令
，可得
.又因为
，
所以
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
20．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
【答案】AC
【解析】由题意得任意
，
，且
，
令
，则
，则
．
令
，则
，故A 正确．
令
，则
，所以
的图象关于直线
对称，故
C 正确．
令
，则
，结合C 选项，得
，所
以有
，则
为奇函数．
又因为
的图象关于直线
对称，所以
是以2 为周期的函数，所以
，故B 错误．
令
，则
，
，故D
错误．
故选：AC．
21．（多选题）（2025·贵州·三模）已知函数
满足对任意的
，都有
，且
.下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．若
，则
D．若
，则4 是
的一个周期
【答案】ABD
【解析】令
，则
，
因为
，所以
，故A 正确；
令
，则
恒成立，
所以函数
为偶函数，故B 正确；
，令
，则
，故C 错误；
，令
，则
，
所以
，
则
为周期函数且
为其一个周期，故D 正确.
故选：ABD.
22．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数
、
定义域为
，其中
为偶函数，
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为
为偶函数，则
，即函数
的图象关于直线
对称，
因为
，则函数
的图象关于点
对称，
因为
，则
，所以，
，
则
，即
，
所以，
，
所以，函数
的图象关于点
对称，C 对；
因为函数
的图象关于直线
对称，则
，
由
可得
，则
，
故
，所以，函数
是以
为周期的周期函数，
因为
，则
，
且
，所以，
，A 对；
因为
，故函数
是周期为
的周期函数，
若函数
为奇函数，且
，则
，
从而有
，则
，
又因为
的图象关于直线
对称，则
，这与
矛盾，
故函数
不是奇函数，B 错；
因为
，且
，则
，
则
，且
，
所以，
，D 错.
故选：AC.
23．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数
的定义域为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
，
C．
的图象关于点
对称
D．
为偶函数
【答案】ACD
【解析】A 选项，
中，令
得
，
又
，故
，解得
，
中，令
得
，故
，A 正确；
D 选项，
中，令
得
，即
，
，
中，令
得
，即
，
因为
，所以
，故
，
故
的一个周期为1，
故
，所以
，故
为偶函数，D 正确；
B 选项，
中，令
得
，
由于
，
，故
，
由于
的一个周期为1，故
，
所以
，解得
，
中，令
得
，
又
，故
，
，
所以
，故
，
故不存在
，
，B 错误；
由上可知
，
，故
的图象关于点
对称，C 正确.
故选：ACD
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为R，
，
，则
，
．
【答案】 0
【解析】令
，
，得
，∵
，∴
．
令
，得
，
∴
（*），
，
∴
，
∴
，
∴
是一个周期为6 的周期函数，
由（*），可得
，
，
，
，
∴
，
故答案为：0；
25．（2025·重庆·二模）已知函数
满足
，且
，则
.
【答案】-10
【解析】由
，得
，
两式相加得
，则
，
所以函数
的周期为
，
设
，则
，
，
，又
，则
，即
，
所以
，
，
，
，
所以
，
，
故答案为：-10
26．（2025·浙江·二模）若定义在
上的函数
满足
，则
的最
大值是 ．
【答案】
/
【解析】由
，
，得
，所以
，
平方得
①，
②，
-
②①得
，
所以
，即
又
，则
，
所以
所以
，即
，
故2 为函数
的一个周期，因此
.
考虑到
，
设
，
则
，
故
最大值为
.
故答案为：
.
27．（2025·高三·浙江·开学考试）已知定义在
上的函数
，满足
是偶函数，
是
奇函数，则
.
【答案】1
【解析】因为函数
是偶函数，
所以
，
因为函数
是奇函数，
所以
，即
，
取
可得
，
令
可得
，
令
可得，
，
所以
，
，
所以
，
所以函数
为周期函数，
是该函数的一个周期，
所以
.
故答案为：.
28．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
设
，则
.
【答案】0
【解析】由题知，
是奇函数且是周期为4 的周期函数，
又当
时，
则
，
故
.
故答案为：0
