文档文本内容
培优点12 利用导数解决双变量问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：构造单调性............................................................................................................................4
题型二：任意存在型............................................................................................................................8
题型三：比较双变量..........................................................................................................................13
题型四：变量换元类..........................................................................................................................20
题型五：韦达定理类..........................................................................................................................26
题型六：引参换元类（比值代换与差值代换）..............................................................................31
题型七：双变量放缩类......................................................................................................................39
04 课时精练........................................................................................................................................45
在高考数学中，利用导数解决双变量问题是重点与难点。这类问题通常涉及两个变量，需通过导数将
其转化为单变量问题求解。解题关键在于找到变量间的关系，如极值点满足的方程，通过消元或整体代换
简化问题。常用方法包括：变更主元，指定主变量，将双变量转化为值域或最值问题；利用函数单调性，
构造新函数求解；通过韦达定理、对数平均不等式等工具处理极值点偏移问题。解题时需灵活运用导数性
质，结合函数图像分析，合理构造函数，利用单调性、极值等性质证明不等式或求解参数范围。掌握这些
方法，能有效提升解决双变量问题的能力。
在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法：
1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问
题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构
造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。
2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性
或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。
3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系
对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。
题型一：构造单调性
【典例1-1】（2025·山东聊城·一模）已知函数
，曲线
在
处的切线交
轴于点
．
（1）求
的值；
（2）若对于
内的任意两个数
，
，当
时，
恒成立，求实数
的取
值范围．
【解析】（1）由
，得
，
，
，
∴曲线
在
处的切线方程为
，
则
，解得
；
（2）
，
不妨设
，对于
内的任意两个数
，
，
，
即有
，
设
，则
在
上为减函数．
则
对
恒成立．
可得
在
上恒成立．
令
，
，
则
在
上单调递减，
∴
．
∴
，即
．
∴实数
的取值范围是
．
【典例1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数
（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）依题意，令
，
，
则
，
令
，解得
或
.
当
时，即
时，
恒成立且
不恒为零，
所以，函数
的增区间为
；
当
时，即
时，由
可得
或
，由
可得
，
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
；
当
时，即
时，由
可得
或
，由
可得
.
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
.
综上所述，当
时，函数
的增区间为
；
当
时，函数
的增区间为
、
，减区间为
；
当
时，函数
的增区间为
、
，减区间为
.
（2）当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，且
.
因为
，所以
，
则不等式
可化为
，
即
.
令
，则问题等价于函数
在
上单调递增，
即
在
上恒成立，
即
，
.
令
，
，
则
.
令
，解得
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增；
所以当
时，函数
取得最小值，且
，
所以当
时，
，所以
.
【变式1-1】已知函数
，其中
（1）当
时，若
在区间
，
上的最小值为
，求
的取值范围；
（2）若对于任意
，
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
当
时，
令
，解得
或
；
①当
，即
时，
在
上单调递增；
在
上的最小值是
，符合题意；
②当
，即
时，
在
上的最小值是
，不合题意；
③当
，即
时，
在
上单调递减；
在
上的最小值是
不合题意；
综上所述，
的取值范围是
；
（2）令
，则
只需
在
上单调递增即可，
，
当
时，
，此时
在
上单调递增；
当
时，只需
在
上恒成立；
，
只需
；
；
对于函数
，过定点（0，1），对称轴为
，只需
，解得
，
综上所述，
的取值范围是
【变式1-2】已知函数
，对于任意
，
，不等式
恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】
，
设
，
，则有
且
，即
恒成立，
即
，令
，则
在
上单调递增，即
恒成立，
即
，
，得
，下证
成立：
，易证当
时，
，
考查函数：
，则
，故函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调
造增，当
时，函数的最小值为
，据此可得：
，
当
时，
，故
成立．
故选B．
【变式1-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数
，其中
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
时，证明：不等式
恒成立（其中
，
）.
【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为证明
恒成立．设
，则上式等价
于
，要证明
对任意
，
恒成立，要证明g
（x1+x2）＞g（x1-x2）对任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即证明
在
上单调递
增，根据函数的单调性证明即可．
（1）由于
.
1）当
时，
，当
时，
，
递增，
当
时，
，
递减；
2）当
时，由
得
或
.
当
时，
，当
时，
，
递增，
当
时，
，
递减，
当
时，
，
递增；
当
时，
，
递增；
③当
时，
.
当
时，
，
递增，
当
时，
，
递减，
当
时，
，
递增.
综上，当
时，
在
上是减函数，在
上是增函数；
当
时，
在
，
上是增函数，在
上是减函数；
当
时，
在
上是增函数；
当
时，
在
，
上是增函数，在
上是减函数.
（2）依题意
恒成
立.
设
，则上式等价于
，
要证明
对任意
，
恒成立，
即证明
在
上单调递增，又
，
只需证明
即可.令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
∴
，即
，
，那么，当
时，
，所以
；当
时，
，
，
∴
恒成立.从而原不等式成立.
题型二：任意存在型
【典例2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知
，
，其中是自然对数的底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
．存在
，
，使得
成立，试求实数
的取值范围．
【解析】（1）由题
，
.
当
，则
，则此时
在
上单调递减；
当
，则
.
若
，即
时，令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，即
时，此时
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
时，由（1）可得
；
又
，则
，得
在
上单调递增，
则
.
又注意到存在
，
，使得
，
等价于
时，
，
则
，又
，
则
.
【典例2-2】已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
（
为自然对数的底数），当
时，对任意
，存在
，
使
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题意可知：函数
的定义域为
，
且
，
，
①当
时，令
得
；令
得
；
可知
在
内单调递增；在
内单调递减；
②当
时，令
得
；令
得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减；
综上所述：当
时，
在
内单调递增；在
内单调递减；
当
时，
在
内单调递增，在
内单调递减.
（2）当
时，由（1）可知：函数
在
上递增，在
上递减，
即当
时，函数取得极小值，同时也是最小值
.
若对任意
，存在
，使
，
等价于为
，即
，整理可得
，
构建
，则
，
由
，得
，或
（舍），
当
时，
；当
时，
；
可知函数
在
内单调递增，函数
在
内单调递减，
则当
时，
取得极大值同时也是最大值，
且
，
，
可知
，则函数
的最小值为
，
可得
，所以实数
的取值范围为
.
【变式2-1】已知函数
，
，
．
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)若方程
在
上恰有两个不同的实数根，求
的取值范围；
(3)若对任意
，总存在唯一的
，使得
，求
的取值范围．
【解析】（1）
，即曲线
在点
处的切线斜率为，
曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
；
（2）若方程
在
上恰有两个不同的实数根，
即
在
上恰有两个不同的实数根，
当
时，等式不成立，
故
在
上有
个实数根，
令
，则
恒成立，
故
在
和
上均为增函数；
当
时，
；
当
时，
，
综上可得：
（3）由（1）中
得：
当
时，
，函数为减函数；
当
时，
，函数为增函数；
故当
时，函数
取最小值
，
当
时，函数
，
，
当
时，函数
；
当
时，由
得：
，
由对任意
，总存在唯一的
，使得
得：
，解得：
；
当
时，由
得：
，
满足对任意
，总存在唯一的
，使得
当
时，由
得：
，
由对任意
，总存在唯一的
，使得
得：
，解得：
；
综上可得：
【变式2-2】已知函数
，若对于任意的
，
不等式
恒成立，求实数
的取值范围
【答案】
【解析】由题意可得：
，分类讨论a>0,a=0,a<0，结合导数求得最大、小值，解不等式即
可得到所求范围.
恒成立
只需
由
得：
，令
解得：
在
单调递减，在
单调递增
，
恒成立
即只需
当
时，令
则
，与
矛盾
当
时，
解得
在
单调递增，在
单调递减
综上所述：
题型三：比较双变量
【典例3-1】已知函数
(1)求
的单调区间；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，其中
，证明：
．
【解析】（1）函数
的定义域为
．
又
，
当
时，
；当
时
；当
时，
．
故
在区间
内为增函数，在区间
内为减函数，
即
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）因为
对
恒成立，
即
对
恒成立，
即
对
恒成立，
即
对
恒成立，
令
，
，注意到
，
又
，
当
时
，所以
在
上单调递增，则当
时
，
即对
，
恒成立，不符合题意；
当
时，则当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
在
上单调递减，则当
时
，符合题意；
当
，即
时，
在
上单调递增，则当
时
，不符合题
意；
综上可得实数
的取值范围为
；
（3）因为
，其中
，
则
，即
．
由
，得
．
由（1）不妨设
，则
，从而
，得
，
令
，
则
，
当
时，
，
在区间
内为减函数，
，
从而
，所以
，
由（1）得
即
．①
令
，则
，
当
时，
，
在区间
内为增函数，
，
从而
，所以
．
又由
，可得
，
所以
．②
由①②得
．
【典例3-2】已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程
(2)若
恒成立，求
的范围
(3)若
在
内有两个不同零点
，
，求证：
．
【解析】（1）由于
，所以
，
，
则
，
，
故切线方程为
，即
，
（2）因为
，
，
进而
，即
，
令
，
，
当
，
，
单调递增，
当
，
，
单调递减，
当
时，
，
所以
，因此
，
，故
；
（3）
在
内有两个不同零点
，
，
则
，
有两个根
，
，即
，
由（2）知，当
，
在
单调递增，
单调递减．
故
，
欲证
，即证
，
由于
，
在
单调递减，
所以只需证明
，即证
，
欲证
，即证
，即
，
即证
，即证
，而该式显然成立，
所以
，
欲证
，即证
，
，即证
，
即证
，即证
，即证
，
令
，
只需证
，
，
令
，
，
在
单调递增，
，得证．
【变式3-1】已知函数
的导函数为
，我们称函数
的导函数
为函数
的二阶导函
数，若一个连续函数
在区间I 上的二阶导函数
，则称
为I 上的凹函数，若二阶导函数
，则称
为I 上的凸函数．
(1)证明：函数
是凸函数．
(2)已知函数
，
．
①若
是
上的凹函数，求实数a 的取值范围；
②
在
内有两个不同的零点
，
，证明：
．
【解析】（1）因为
，
所以
，
所以
是
上的凸函数．
（2）①因为
，
所以
．
因为
是
上的凹函数，所以
在
上恒成立，即
．
令
，则
．
当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减．
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
②由①知，因为
在
内有两个不同的零点
，
所以方程
在
内有两个根
，即
．
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
．
欲证
，即证
因为
且
在
上单调递减，
所以只需证明
，即证
．
欲证
，即证
，即
，
只需证
，即证
，而该式显然成立．
欲证
，即证
．因为
，所以只需证
，
即证
即需证
．
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
则原不等式得证．
故
．
【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）设函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
存在小于零的极小值时，若
，且
，证明：
．
【解析】（1）由
①当
时，
在
上单调递增.
在
上单调递减.
②当
时，令
（i）当
时，
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
当
时，
恒成立，故
在
上单调递增
（ii）当
时，
或
，
，故
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
(iii) 当
时，
或
，
，故
在
上单调递减，在
和
上单调递增.
综上所述：当
时，
在
上单调递增.在
上单调递减.
当
时，若
，
在
上单调递增；
若
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
若
，
在
上单调递减，在
和
上单调递增.
（2）当
存在小于零的极小值时，
满足题意，此时
在
上单调递增；
当
时，极小值为
，
令
，则
，
再令
，该函数在
上单调递增，在
单调递减，
所以
，所以
，
单调递减，
又
，所以
，
，
在
上单调递增；
所以当
存在小于零的极小值时，
在
上单调递增，
令
令
在
上单调递增，而
在
上单调递增
从而
在
上单调递减
题型四：变量换元类
【典例4-1】（2025·陕西安康·一模）设向量
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
，若
存在两个极值点
，证明：
.
【解析】（1）根据已知得
，定义域为
，
则
，
若
，当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，由
，得
或
，由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
，则
恒成立，所以
在
上单调递增；
若
，由
，得
或
；由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上：
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）证明：由已知得
，定义域为
，
从而
.
当
，即
时，
恒成立，函数
不可能有两个极值点；
当
时，
有两个根
，因为
，与
都是正数相矛盾，不合题意；
当
时，
有两个根
，因为
，且
，
所以两根
均为正数，故
有两个极值点，
因为
，由
知
，
因为
，
所以
等价于
，
即
，
令
，
所以
在
上单调递减，又
，所以当
时，
，
故
成立.
【典例4-2】已知函数
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
存在两个极值点
，
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
则
，当且仅当
时取等号.
故此时
在R 上单调递增；
（2）（i）因
存在两个极值点
，
则
.
令
，则方程
有两个相异正根
.
注意到
，因其有两个相异正根，
则
；
（ii）证明：由（i）可得
，
设
，结合
，则
.
则
，
则要证
，.即证
，其中
.
令
，则
.
令
，则
，
则
在
上单调递增，得
.
则
，得
在
上单调递增，
则当
时，即
.
【变式4-1】已知函数
的定义域是
，导函数
，设是曲线
在点
处的切线．
(1)求
的最大值；
(2)当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线的上方；
(3)设过点A 的直线
与直线垂直，，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的
取值范围．
【解析】（1）设
，
，
由
可得
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
的最大值为
.
（2）因为
，所以直线的方程为
，即
，
设
，
，
由（1）可知，
在
上单调递增，而
，
所以，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，且
，
而当
时，
，所以总有
，
单调递增
故
，从而命题得证；
（3）解法一：由题意，直线
，直线
，
所以
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
由（1）可得当
时，
，
所以
，
所以
.
解法二：由
可设
，又
，所以
，即
，
因为直线的方程为
，易知
，
所以直线
的方程为
,
，
.
所以
,由（1）知,当
时，
，所以
,
所以
.
【变式4-2】（2025·江苏·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若
，判断
的单调性；
(2)设
有且只有两个不同的极值点
.
（i）求
的取值范围；
（ii）当
时，设
，证明：
.
【解析】（1）
.
当
时，
.
令
，则
，
令
，解得：
；令
，解得：
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
令
，解得：
；令
，解得：
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）若
有且只有两个不同的极值点
，则
有且只有两个不同的零点.
（i）
只有一个实数根，且不为
，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
则
.
由（1）知，当
时，
只有一个极值点2，舍去.
当
时，
为
上的减函数.
又因为
，
所以存在
，使得
.
综上，
.
（ii）证明：当
，即
时，
在
上单调递减，
又
，
所以
.
又
，所以
.
令
，则
，
在
上单调递减，又
，
所以
.
【变式4-3】（2025·河南安阳·一模）已知函数
与
的图象在点
处有相同的切
线．
（Ⅰ）若函数
与
的图象有两个交点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若函数
有两个极值点
，
，且
，证明：
．
【解析】（Ⅰ）因为
，
，根据题意，得
解得
所以
．
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
又因为
→
时，
→
；当
→
时，
→
，
故欲使两图象有两个交点，只需
，
，
所以实数
的取值范围为
.
（Ⅱ）由题意，函数
，其定义域为
，
，
令
，得
，其判别式
，
函数
有两个极值点
，
，等价于方程
在
内有两不等实根，又
，故
．
所以
，且
，
，
，
令
，
，
则
，
由于
，∴
，故
在
上单调递减．
故
．
所以
，
所以
．
题型五：韦达定理类
【典例5-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调递减区间；
(2)若
有两个极值点
，
（
）.
①求实数b 的取值范围；
②证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
的定义域为
.
.
令
，得
.所以
的单调递减区间为
.
（2）①
，
.
因为
有两个极值点
，
，所以方程
有两个不等正根
，
，
所以
，解得
.则实数b 的取值范围为
.
②证明：
.
所以
.
令
，下面证明
，
求导得
，显然
在
上单调递增.
因为
，
，且
在
上连续，
所以，函数
存在唯一零点
，即
.
并且
时，
，
时，
，
所以
.
因为
，根据对勾函数的性质得
在
上单调递增，
则
，
所以
，所以
.命题得证.
【典例5-2】（2025·高三·云南昆明·开学考试）已知函数
，
，过
原点的直线与曲线
相切，也与曲线
相切.
(1)求a；
(2)设
有两个极值点
，
.
（ⅰ）求实数m 的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
【解析】（1）设过原点的直线l 与曲线
切于点
，
，
则l 的方程为
，
由l 过原点知
，解得
，
故
.
由
，得
，
又l 与
相切，故
，
从而解得
.
（2）（ⅰ）
，
，
由函数
有两个极值点
，
知：
，
是方程
的两个不等正实根，
则
，解得
.
（ⅱ）
，
，
，
，
，
设
，
由
，
在
上单减
.
所以
，
综上，
.
【变式5-1】已知函数
，
．
(1)若直线
( 为自然对数的底数)与函数
，
的图象均相切，求实数
的值．
(2)设函数
．
（i）证明：函数
有两个极值点
，
；
（ii）对（i）中的两个极值点
，
，若
恒成立，求实数
的取值范围
【解析】（1）由
可得
，令
，可得
，所以
，
所以直线
与函数
的图象相切于点
.
将点
代入
，可得
即切线方程为
.
将切线方程
代入
中，
可得
.，
令判别式
即得
.
所以实数
的值为
.
（2）（i）
，
则
，
考虑到
的判别式
，以及
，
所以
有两个不等实根
，
，
设
，且
，
，
所以当
，
；当
时，
；
当
时，
，
即函数
有两个极值点
，
.
（ii）
=
，
若
恒成立，则
恒成立，
记
则
，
所以
在
上递增，因为
，所以由
可得
，
所以实数
的取值范围为
.
【变式5-2】已知函数
，定义域为
．
(1)讨论
的单调性．
(2)若函数
在定义域内有两个极值点
①求实数
的取值范围．
②
时，
，求
的值．
【解析】（1）因为
，
所以
，
设
，
，
(i)
时，
则
，
所以
在
上递增；
(ii)
或
，
，
当
时，
，
，
方程
的两根
都为正，
令
可得：
，令
可得：
，
所以
在
上递增，在
上递减；
当
时，
，
，
方程
的两根
都为负，
令
可得：
，所以
在
上递增，
综上：当
时，
在
上递增；
当
时，
在
上递增，在
上递减；
（2）①由（1）知：当
时，
在
上递增，在
上递减，
则函数
在定义域内有两个极值点
，
所以实数
的取值范围应为
.
②
满足
，方程
的两根就是两极值点
，
由韦达定理有：
，
,
将韦达定理代入可得：
，又因为
，
得：
，
设
，
令
，
在
递增，在
递减，因为
，
由
，可得
或
，满足
.
故
或
.
题型六：引参换元类（比值代换与差值代换）
【典例6-1】（2025·高三·重庆·期末）已知函数
．
(1)求
的最值；
(2)若函数
有两个不同的零点
，证明：
．
【解析】（1）由
得
，
由
得
；由
得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
有最大值
，无最小值；
（2）由题知
，
两式相减得
即
，
故要证
，只需证
，
即证
，
即证
，
不妨设
，令
，则需证
，
设
，
，
则
，
设
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
∴
，即
，∴
在
上单调递减，
∴
，故原不等式得证．
【典例6-2】已知函数
，
.
(1)设函数
，试讨论
的单调性；
(2)若
，
的图象存在公切线（与
，
的图象均相切的直线），求实数
的取值范围；
(3)若存在不相等的
，
，使
，
，证明：
.
【解析】（1）
．
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）设
的图象与它们公切线的切点坐标分别为
．
由
，知
，
则
的图象在点
处的切线方程为
，
的图象在点
处的切线方程为
．
这条直线相同，∴它们具有相同的斜率和纵截距，
，
结合①②，有
且
．
设
，
则
．
令
，得
；令
，得
．
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
．
作出
的大致图象，如图1 所示．
的图象与直线
有交点，
，解得
或
，
实数m 的取值范围为
．
（3）证明：不妨设
．
（方法一）
存在
，使
，
①，
②，
．
设
，则
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
的大致图象如图2 所示．
记
，
则
，
在
上单调递增，
，
．
又
在
上单调递减，
，即
．
（方法二）
存在
，使
，
①，
②，
两式相减得
，即
③，
两式相加得
④．
将③代入④，得
．
记
，则
．
要证
，只需证
，
即证
，即证
，
即证
，即证
．
设
，
在
上单调递增，
，
，即
．
（方法三）
存在
，使
，
①，
②，
，
则
，
．
记
，则
．
要证
，只需证
，
即证
，即证
，
即证
，即证
．
设
，
在
上单调递增，
，
，即
．
【变式6-1】定义：若函数
与
在公共定义域内存在
，使得
，则称
与
为“契合函数”，
为“契合点”．
(1)若函数
和
为“契合函数”，求
的取值范围．
(2)已知函数
和
为“契合函数”且有两个“契合点”
．
①求
的取值范围；
②若
，证明：
．
【解析】（1）由题意知：
与
的公共定义域为
，
令
，即
，
，
令
，若
与
为“契合函数”，则
与
有交点.
，
当
时，
，
，即
；当
时，
；
当
时，
，
，即
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，又当
时，
；当
时，
；
大致图象如下图所示，
由图象可知：当
时，
与
有交点，
即当
与
为“契合函数”时，
的取值范围为
.
（2）①由题意知：
与
的公共定义域为
，
令
，则
，即
；
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，又当
时，
；当
时，
；
大致图象如下图所示：
令
，则
，
由
得：
，
在
上单调递增，又
与
为“契合函数”，
与
至少有一个交
点，
与
有两个不同交点
，
，
，
，解得：
，即实数
的取值范围为
.
②由①得：
与
的两个不同交点为
，且
，
，即
，
，
，
令
，则由
知：
，
，
，整理可得：
，
，
，
令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
，
在
上单调递增，
，即
，
在
上单调递增，
，即
.
【变式6-2】已知
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
，
是两个不相等的正数，证明：
【解析】（1）由
，
，得
，
设
，
，
则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
，
所以
的单调递增区间为
，无递减区间.
（2）证明：不妨设
，因为
，
又
，
所以
，
设
，则
.
设
，
，
因为
，
设
，
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
.
题型七：双变量放缩类
【典例7-1】已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)当
时，证明：
；
(3)若
且
，
，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
；
（2）当
时，
，
要证
，只需证
，
令
，
则
，
令
，则
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增；
，即
，
，
当
时，
，
在
单调递增；
当
时
，
在
单调递减；
，即
，
，证毕．
（3）由
，可得
，
两边取以为底的对数并整理得，
，即
，
因为
，不妨设
，
由（1）知，当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
即
，
而
，且当
时，
恒成立，得到
，
记
，
，
则
，
函数
在
上单调递增，
，即
，于是
，
又
在
上单调递减，
，
，得证．
【典例7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知函数
，且曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值.
(2)当
时，证明：当
时，
.
(3)当
时，若存在
，使得
成立，证明：
.
【解析】（1）
.
曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）
当
时，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
当
时，
.
（3）
当
时，
，
当
时，存在
成立，
，
得
.
由（2）可知，当
时，
单调递增，
，即
，
，
设
，
则
，
当
时，
，则
，
，
，
.
【变式7-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数
，当
时，
的切线斜率
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
，若
，求证：若
，则
．
【解析】（1）
，则
．
所以
，
，则
．
令
．则
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，所以
恒成立，即
恒成立，
故
在
上单调递增，无单调递减区间．
（2）证明：要证
，则
，
只需证明
，
，即证明
，
．
，由
得
．
则
，可得
．
又
，若
，则
；若
，令
，
则
，
，所以
在
上单调递增．
因
，又
，则
，从而
.
综上可得
．
先证明
，即
，因
在
上单调递增．
只需证
，
.
即
，
．
令
，
，则
，
所以
，故
;
再证明
，即
．
同理，只需证明
，即
．
令
，
．则
．
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增．
又因为
，
，
则存在
，使得
，
所以
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
，
，
，
所以
，故
．
综上所述，对任意的
，
．
【变式7-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数a 的值；
(3)设不同正数m，n 满足
，证明：
．
【解析】（1）先确定
定义域为
，
对
求导，则
.
令
，即
，解得
.
当
时，在
上，
，即
，所以
在
上单调递增；
在
上，
，即
，所以
在
上单调递减.
当
时，在
上，
，即
，所以
在
上单调递减；
在
上，
，即
，所以
在
上单调递增.
综上所得，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
.
因为
恒成立，即
恒成立，等价于
恒成立.
令
，
.
对
求导得
.
因为
恒成立且
，所以
是
的最大值点，则
.
，解得
.
当
时，
，再令
，对
求导得
，所以
在
上单调递减.
当
时，
，即
，
单调递增；
当
时，
，即
，
单调递减.所以
，满足条件，故
.
（3）由
得
，两边取对数整理得
，
令
.则
.
，
在
递增，
递减，则
又
，当
，
不妨设
，则
.
记
，
，则
，
在
递增，则
，即
.
又
因为
在
递减，所以
，则
.
原命题得证.
1．（2025·安徽·三模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线平行于直线
，求的值以及函数
的最小值；
(2)证明：对一切的
，都有
；
(3)当
时，若曲线
与曲线
存在两交点
，记直线
的斜率为
，证明：
．
【解析】（1）由题意，
，所以
，
所以
，
法1：
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
．
法2：
，
当且仅当
，即
时，取等号，所以函数
的最小值为4；
（2）证明：先证
，则
．
设
，则
，
因为
，所以
，即
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，
当
，则
，所以
；
同理，当
，则
也成立；
所以
，则
．
（3）设
，其中
，由（2）知
，则
，
取
，得
，
，所以
①，
将
和
相减，得
，
，所以
代
入①，
所以
，即
．
2．已知函数
．
(1)判断函数
的单调性；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，求证：
．
【解析】（1）
，
，
故
，
因为
，所以当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，当
，函数
单调递增，
当
，函数
单调递减.
（2）
对任意
，不等式对任意的
，不等式
恒成立，
在
上恒成立，进一步转化为
，
设
，当
时，
；
当
时，
，
当
时，
．
设
，当
时，
，
当
时，
，所以
时，
，
即
，所以实数
的取值范围为
；
（3）当
时，
等价于
．
令
，设
，则
，
当
时，
，
，
，
在
上单调递增，
（1）
，
．
3．已知函数
为偶函数，
(1)求实数k 的值；
(2)若
，
，使得
恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）
的定义域为
，因为
为偶函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
又因为
不恒为
，
所以
，即
.
（2）因为
，
令
，当
时，
，且
在
上单调递增，
由对勾函数性质可知
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又因为
为偶函数，所以
在
上单调递减，
所以
；
又因为
，
，使得
恒成立，
且
，
所以
对
恒成立，
令
，
所以
对
恒成立，所以
，
又因为
在
上单调递减，
所以
，即
.
4．（2025·全国·二模）已知函数
，(
)，其中是自然对数的底数.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，对于任意的
，
，当
时，不等式
恒成立，求
实数
的取值范围.
【解析】（1）
①若
，
，由
，得
，则当
时，
当
时，
，故
在
单调递减，在
单调递增
②若
，由
，得
或
当
时，
，则当
时，
，故
在
单调递增
当
时，
，则当
时，
当
时，
，故
在
，
单调递增，在
单调递减
3°当
时，
，则当
时，
当
时，
，故
在
，
单调递增，在
单调递减
（2）当
时，
不等式
可变形为
即
因为上式对于任意的
，
，且
时恒成立
所以函数
在
上单调递增
令
，
则
在
上恒成立
即
在
上恒成立
设
，则
因为
时，
所以函数
在
上单调递减，所以
所以
即实数
的取值范围是
5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知
.
(1)若存在实数
，使得不等式
对任意
恒成立，求
的值；
(2)若
，设
，证明：
①存在
，使得
成立；
②
.
【解析】（1）构造
，则
，
令
，则
，所以
在
递增，
又
，所以存在
，使得
，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
对任意
恒成立，此时
.
（2）①令
，显然
，则
.
令
，则
，
因为
在
递增，
趋向于0 时，
趋向于
，
趋向于正无穷大时，
趋向于正
无穷大，所以存在
，使得
，即
.
于是
在
递减，在
递增.因为
，所以
.
②要证
，
即证
，
因为
，
所以只要证
，
即证
，
即证
，
令
，即证
，
即证
，
令
，则
.
构造
，
则
，
，
因为
，
所以
，所以
，
所以
成立，原命题成立.
6．已知函数
，
.
（Ⅰ）讨论函数
的单调区间与极值；
（Ⅱ）若
，对任意
，总存在
，使得不等式
成立，试求实数
的取
值范围.
【解析】（Ⅰ）
.
①当
时，
，
在
上单调递增，无极值.
②当
时，令
，得
.
令
，则
；令
，则
.
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
此时
，无极小值.
综上，当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间，无极值；
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
极大值为
，无极小值.
（Ⅱ）对任意
，总存在
，使得
成立，
等价于
在
上的最小值
与
在
上的最小值
的差恒小于1，
，当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
又
，
，
.
由（Ⅰ）知：
①当
时，
，
由
得
，所以
.
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
，又
，
∴当
时，
，
由
得
，所以
；
当
时，
，
由
，得
，所以
.
综上所述，
的取值范围是
.
7．（2025·陕西安康·三模）设函数
.
（1）求函数
的递增区间；
（2）若对任意
，总存在
，使得
，求实数k 的取值范围.
【解析】（1）
，
令
，得
，
的递增区间为
.
（2）当
在
上递减，
，
当
时，
，
在
上递减，
∴
，
由题意可得，
，
又
.
当
时，
在
上递增，
.
当
时， 当
时，
；当
时，
，
，
综上，
.
8．已知函数
，其中为自然对数的底数.
（1）证明：
在
上单调递减，
上单调递增；
（2）设
，函数
，如果总存在
，对任意
，
都成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）证明：
令
，解得
，∴
在
上单调递增
令
，解得
，∴
在
上单调递减
（2）总存在
，
，对任意
都有
，
即函数
在
，
上的最大值不小于
，
的最大值
令
，∴
，对称轴
∴
∴
，
，
令
，∴
，∴
∴
，∴
9．（2025·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
，使得
.证明：
.
【解析】（1）当
时，
，所以
.
又因为
，所以切线方程为
.
（2）设
，只需
在
时恒成立即可，
又
，且
，所以
，即
.
下面证明
的充分性：
①当
时，由
，
令
，所以
，
记
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
在
上单调递增，则
，所以
恒成立.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）由函数
.可得
，
设
，由
，可得
，则
，
由（2）知，当
时，
，则
时，
，
所以
，则
，所以
，
代入可得：
，
则
，所以
.
10．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点
，求
的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：当
时，
.
【解析】（1）当
时，
，所以
，
所以
，所以曲线
在点
处的切线斜率
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
因为
有两个极值点
，
意味着
有两个不同的变号正根.
设
，
，则
.
若
，
，
在
上单调递增，
不会有两个正根；
当
，令
，得
，
所以当
时
，所以
在
上单调递增；
当
时
，所以
在
上单调递减.
又当
时
，当
时
，
要使
有两个正根，需
，即
，解得
.
所以当
时，
有两个极值点
.
（3）
的定义域为
，
因为
有两个极值点
，意味着
是
有两个不同正根.
所以
，且
，
所以
，所以
，
所以，当
时，
，
令
，即证当
时，
对
恒成立.
令
，则
.
因为
，所以
，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
，
所以当
时，
恒成立.
11．已知
，
.证明：
(1)函数
在
上单调递减，且存在唯一
，使得
；
(2)存在唯一
，使得
，且对（1）中的
有：
.
【解析】（1）当
时，
，
函数
在
上为减函数，
又
，
所以存在唯一
，使
.
（2）考虑函数
，
令
，则
时，
，
记
，
则
，
有（1）得，当
时，
，
当
时，
.
在
上
是增函数，
又
，从而当
时，
，
所以
在
上无零点.
在
上
是减函数，
又
，
所以存在唯一的
，使
.
所以存在唯一的
使
.
因此存在唯一的
，使
.
因为当
时，
，
故
与
有相同的零点，
所以存在唯一的
，使
.
因
，所以
.
12．（2025·河南濮阳·二模）已知函数
.
（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）当
，
时，
，其中
，证明：
.
【解析】（Ⅰ）依题意，
，
.
当
时，
.
所以当
时，
，当
时，
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，令
，解得
或
.
若
，则
，所以函数
在
上单调递增；
若
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
若
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（Ⅱ）依题意，得
，所以
.
要证
，即证
，即证
，即证
,
即证
，所以只需证
时，
成立即可.
令
，则
.
令
，则
.
所以
在
上单调递增.
所以
，即
，所以
.
所以
在
上单调递增.所以
，
所以
，即
.
13．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，且
有两个极值点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
.
【解析】（1）已知
有两个极值点，易得
有两个零点，
令
，则
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
在
处取得最小值.
若
有两个零点，一定有
，解得
，
又易知
时，
，
取
，易知
，当且仅当
时取等号，
所以由
可知，
，
根据零点存在定理可知，函数
在
，
上各存在一个零点，
故
的取值范围为
.
（2）由（1）知：
，且
，
故
，
故
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
故
，原式得证.
14．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数
，
为函数
的导函数
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
，若
，
，且
，证明：
.
【解析】（1）因为
定义域为
，
则
，即
，
所以
，
当
时
恒成立，所以
在
上单调递增，
当
时，令
解得
，令
解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上可得，当
时
在
上单调递增，
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）证明：当
时
，
所以
，
，
所以
，
令
，则
，所以当
时
，当
时
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，所以
在
上单调递增，
不妨设
，因为
，所以有①
或②
两种情况，
当①
时，因为
在
上单调递增，
所以
，所以
，
当②
时，由
，得
，所以
，
则
，
由
，所以
，
令
，
，
则
，
所以
，即
在
上单调递减，且当
趋向于1 时
趋向于0，则
，
所以
，则
，即
，
综上可得当
，
，且
时，
.
15．（2025·高三·广东深圳·期末）已知函数
有两个极值点
，
，其中
.
（Ⅰ）求实数
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，求
的最小值.
【解析】（Ⅰ）依题意得
的定义域为
，
，
因为函数
有两个极值点
，
，
，
所以方程
有两个不相等的正根
，
，
，
所以
，
解得
，
此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以实数
的取值范围是
.
（Ⅱ）因为
，
是方程
的两个根，
所以
，
，
因为
，
，
所以
，
，
所以
.
令
，
，则
，
即
在
上单调递减.
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，
，
所以
.
因为
在
上单调递减，
所以
的最小值为
，
即
的最小值为
.
16．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数
有两个极值点
，
（
）．
(1)求实数
的取值范围；
(2)设
，若函数
的两个极值点恰为函数
的两个零点，当
时，求
的最小值．
【解析】（1）由题设
的定义域为
，且
，
令
，即
，要使
在
上有两个极值点，
则方程
有两个不相等的正根，则
，解得
，
即
．
（2）由题设
，
由于
，
为
的两个零点，即
，
，
两式相减得
，则
，
又
，
所以
，
故
，
设
，且
，
为
的两根，
所以
，故
，则
，
又
，即
，解得
或
，
因此
，此时
，
，
即函数
在
单调递减，
当
时，
取得最小值为
，即所求最小值为
.
17．已知函数
.
（1）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若
有两个极值点
，
，求证：
.
【解析】（1）令
，
，
，
令
，
当
时，
，且对称轴
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，
所以
恒成立，
当
时，
，可知必存在区间
，使得
，
当
时，有
，即
在
上单调递减，由于
，此时不合题意，综上
；
（2）
，令
在
有两个不同的零点，
，若
，则
，不合题意；
若
，设两个零点分别为
，则
，
可得
，
要证
，即证
，
即证
，即证
，
即证
，即证
，
令
，即证
由（1）可得
时，
，
只需证
，即证
，
故原不等式得证.
18．（2025·江苏南通·三模）已知函数
，
，其中
为自然对数的底数.
（1）求不等式
的解集；
（2）若函数
有两个极值点
，
(
)(若
是函数
的极大值或极小值，则m
为函数
的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点).
①求a 的取值范围；
②证明：
.
【解析】（1）由
得
令
，∴
，令
当
时，
，
递减；当
时，
，
递增
∴
注意到
，结合单调性知不等式的解集为
（2）
，由题意知
有
上有两个不等的实根
令
，令
当
时，
，
递减；当
时，
，
递增，
∴
要使
有两个零点，则
，此时注意到
，∴
在
和
上各有一个零点，满足题意，
故
的取值范围为
②由
为
的2 个极值点，且
∴
满足
且由①知
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增
则
是
的极大值点，
是极小值点
∴
设
，则
为偶函数
，
∴
在
上单调递增
由
时，
，∴
在
上单调递增
∴
，
又
为偶函数，∴
，
，∴
从而
．
19．（2025·高三·福建福州·期末）已知函数
.
(1)当
时，判断函数
的零点个数；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，若函数
有两个极值点
、
，求证：
.
【解析】（1）当
时，
，该函数的定义域为
，
，
所以，函数
在
上为增函数，
因为
，
，则
，
由零点存在定理可知，函数
在区间
内存在唯一零点，
所以，函数
在定义域内存在唯一零点.
（2）因为
，
当
时，则
，由
可得
，
令
，其中
，则
，令
可得
，列表如下：
增
极大
减
值
所以，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以，
，则
；
当
时，则
，由
可得
，
令
，其中
，则
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上为增函数，且当
时，
，此时，
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）因为
，其中
，
则
，
因为函数
有两个极值点，则函数
在
上有两个不等的实根，
则
，解得
，
所以，
，
令
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，则
，故
.
20．（2025·高三·浙江·期中）已知函数
，
的导函数为
.
(1)记
，讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
（i）求证：
；
（ii）若
，求a 的取值范围.
【解析】（1）由题意知：
，
，
当
时，
恒成立，故
在R 上单调递增；
当
时，令
，得
，
故
在
上递减，在
上递增；
（2）（i）依题意知：
有两个零点
，
由（1）知应有：
，所以
，
因
，则
令
，
，则
故
即
，又
则
，
综上有：
，
从而：
（ii）又
，即
， 同理
两式相除有：
，令
，则
，
即
，从而有：
，故
，
因
，即
，故
，
令
（
）
则
（根据常见不等式
可知）
故
在
上递减，所以
，
，即
，
而
，令
，则
，
从而
在
上递减，所以
，
即
的取值范围为：
．
21．（2025·高三·江苏南通·期末）已知函数
(a∈R)．
(1)若
是单调增函数，求a 的取值范围；
(2)若
，
是函数
的两个不同的零点，求证：
．
【解析】（1）函数
定义域为
，当
时，
，
因
是单调增函数，则
时，
，令
，
，即有
在
上单调递增，
，
，则
，
所以a 的取值范围是
.
（2）因
，
是函数
的两个不同的零点，则
，显然
，有
，
，
，不妨令
，设
，于是得
，
要证
，只需证
，
令
，
，则
在
上单调递增，
则有
，于是得
，
又
，要证
，只需证
，
而
，即证
，
令
，
，
，
从而得
在
上单调递减，
，即有
，
综上得：
.
22．已知
，函数
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若曲线
和
有公共点，
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
【解析】（1）
，故
，而
，
曲线
在点
处的切线方程为
即
.
（2）（i）当
时，
因为曲线
和
有公共点，故
有解，
设
，故
，故
在
上有解，
设
，故
在
上有零点，
而
，
若
，则
恒成立，此时
在
上无零点，
若
，则
在
上恒成立，故
在
上为增函数，
而
，
，故
在
上无零点，
故
，
设
，则
，
故
在
上为增函数，
而
，
，
故
在
上存在唯一零点
，
且
时，
；
时，
；
故
时，
；
时，
；
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，
因为
在
上有零点，故
，故
，
而
，故
即
，
设
，则
，
故
在
上为增函数，
而
，故
.
（ii）因为曲线
和
有公共点，
所以
有解
，其中
，
若
，则
，该式不成立，故
.
故
，考虑直线
，
表示原点与直线
上的动点
之间的距离，
故
，所以
，
下证：对任意
，总有
，
证明：当
时，有
，故
成立.
当
时，即证
，
设
，则
（不恒为零），
故
在
上为减函数，故
即
成立.
综上，
成立.
下证：当
时，
恒成立，
，则
，
故
在
上为增函数，故
即
恒成立.
下证：
在
上恒成立，即证：
，
即证：
，即证：
，
而
，故
成立.
故
，即
成立.
23．（2025·天津河北·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)证明：
；
(3)若
，且
，求证：
【解析】（1）
，
，令
，则
，
故当
时，
，
单调递增，当
，
，
单调递减；
故
，故
在
单调递减，其单调减区间为
，无增区间.
（2）要证
，只要证
.
，令
，
，
故当
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减；
故
，则当
时，
.
令
，
，当
时，
恒成立，故
在
上单调递增，
而
，
当
时，
，
.
（3）已知
，且
，
；
由（1）可知，函数
在
上单调递减，
；
由（2）可知，当
时，
，即
，即
；
，
.
24．已知函数
，
.
(1)若
，讨论
的零点个数；
(2)若函数
有零点，证明：
.
【解析】（1）由已知
，其中
，
令
可得
，若
，则
，矛盾，所以
，
所以
， 设
，其中
，则函数
的零点个数与函数
的图象与函数
的图象的交点个数相等，
因为
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
且
，作函数
的图象如下：
所以当
时，直线
与函数
的图象没有交点，
当
时，直线
与函数
的图象有一个交点，
当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
所以当
时，函数
没有零点，当
时，函数
有一个零点，当
时，函数
有两个零点；
（2）因为函数
有零点，又
，所以存在
使得
，
即
，设
，
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以当
时，
，所以当
时，
，
所以
，所以
，即
，
所以
，由(1)
，所以
，
所以
.
