文档文本内容
培优点08 指、对、幂的大小比较
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................5
题型一：利用函数的性质直接比较大小............................................................................................5
题型二：找中间值................................................................................................................................6
题型三：特殊值法................................................................................................................................7
题型四：作差法、作商法、乘方法..................................................................................................10
题型五：条件含有变量问题..............................................................................................................12
题型六：同构变形，构造函数法......................................................................................................16
题型七：数形结合法、反函数..........................................................................................................20
题型八：放缩比大小..........................................................................................................................23
题型九：对数分母化..........................................................................................................................25
题型十：均值不等式..........................................................................................................................27
题型十一：泰勒、帕德逼近法..........................................................................................................29
04 课时精练.........................................................................................................................................32
函数“比大小”是经典题型，其难度不定、解法灵活，备受高考命题者青睐，几乎每年高考都会涉及，
且难度呈逐年上升趋势。在高考命题里，此类题目多以选择题形式出现，常把幂函数、指数函数、对数函
数、三角函数等不同类型函数混杂在一起，要求考生对它们进行大小排序。解决这类问题，可从代数和几
何两个角度入手。代数方面，可充分利用各类函数的性质，如单调性、奇偶性等来比较大小；几何方面，
借助函数的图象，通过观察函数图象的高低位置关系，直观地判断函数值的大小。掌握这两种方法，有助
于考生在高考中更从容地应对此类函数比大小问题。
1、利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“
”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简
化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计
2、求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数
的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
3、泰勒公式
泰勒公式：
．
泰勒公式在
时的特殊形式：
．
由带有皮亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）可得如下高考常用函数的展开式：
①
②
(等比数列求和，首项为1，公比为)
③
(等比数列求和，首项为1，公比为
)
④
⑤
⑥
⑦
⑧
4、常用导数放缩
①
(切点横坐标是
，
)
②
③
(切点横坐标是
，
)
④
⑤
⑥
题型一：利用函数的性质直接比较大小
【例1】（2023 年天津高考数学真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
在R 上递增，则
，
由
在
上递增，则
.
所以
.
故选：D
【变式1-1】（2022 年新高考天津数学高考真题）设
，
，
，则
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，故
.
故选：D.
【变式1-2】（2025·天津南开·模拟预测）若
，
，则实数
、
、的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
，可得
，
，
因为对数函数
为
上的增函数，则
，
幂函数
在
上为增函数，则
，
故
.
故选：D.
【变式1-3】已知
，
，
，则
、
、的大小顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上是增函数，且
，所以
.
故选：D.
题型二：找中间值
【例2】（2024 年天津高考数学真题）设
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上递增，且
，
所以
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
所以
，
故选：D
【变式2-1】（2021 年天津高考数学试题）设
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，
，
，
.
故选：D.
【变式2-2】（2025·陕西宝鸡·二模）若
，
，则实数
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
，可得
，
，
因为对数函数
为
上的增函数，则
，
幂函数
在
上为增函数，则
，故
.
故选：B.
【变式2-3】已知
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，因为
，所以
，
因为
，所以
，
，
所以
.
故选：A
【变式2-4】有三个数：
大小顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
,
所以
.
故选：D.
题型三：特殊值法
【例3】（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
【变式3-1】已知
，
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，故A 错误；
令
，
，
则
，
，故B 错误；
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
，
，故C 错误；
，
因为
，
单调递减，
所以
，故D 正确．
故选
【变式3-2】（多选题）已知
，下列选项中正确的为（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】
A 错，例如
，
满足
，而
B 正确，
，
，又
，所以
，而
，所以
C 正确，设
，
，
，则
，
，
所以
，即
D 错误，
，
，
，所以
，
不一定成立．
【变式3-3】（多选题）已知
，
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
对于A，
，则
，当且仅当
时取“=”号，A 正确；
B．
，故
，由
，即
，B 正
确；
对于C，取
，
，则
，故
，C 错误；
对于D，
，则
，故
，D 正确．
故选
题型四：作差法、作商法、乘方法
【例4】已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
令
，求导得
，令
，
求导得
，函数
在
上单调递减，
，
即
，函数
在
上单调递减，则
，
即
，
，因此
；
令
，求导得
，当
时，
，
即
，函数
在
上单调递减，则
，
即
，
，因此
，
所以
.
故选：C
【变式4-1】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
，则下列比较大小正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可得函数
的定义域为
，
由题意知
，
令函数
，且
，
则
，即
在
单调递增，所以
，
故
在区间
上恒成立，则
在
上单调递减，
所以
，由函数的单调性可知
.
故选：B
【变式4-2】（2025·四川·一模）已知正实数
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，故
，即
，
因为
，所以
；
又
，结合
，可得
，
而
，
即得
，即
，则必有
，
则
，即选项A 中不等式成立，
故选：A
【变式4-3】设
，
，
，则
，
，的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以
，
，
因为函数
为增函数，
，
所以
，
故
.
故选：A.
【变式4-4】已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题知
、
均在
和之间，
，于是
，
当
时，令
，则
，
所以
在
上为减函数，
故
，故
，
所以
，
，于是
.
所以
.
故选：C
题型五：条件含有变量问题
【例5】（2005 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））
，下列不等式一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
因为
，所以
，
，且
，所以
，
又函数
在
上单调递增，则
，故
，
所以
，当且仅当
时等号成立，所以最小值
取不到，则
，故A 正确；
因为
，所以
，则
，故B 不正确；
因为
，所以
，则
，故C 不正确；
因为
，所以
，则
，所以
，故D 不正确.
故选：A．
【变式5-1】已知函数
的定义域为
，对任意
、
，有
，且当
时，
．当
时，设
，
，则（ ）
A．
、
大小无法确定
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，得
，所以
．
令
得
，所以
．
令
，得
，则
，所以，
是偶函数，
所以
．
令
，则
．
设
，则
，且
，所以
，
则
，所以
在
上单调递增．
当
时，
，所以
，即
，
即
，即
，
故选：B．
【变式5-2】已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
，所以
所以
，故A 错误，
同理可得
，故C 错误
令
，则
所以
因为
，
，所以
，
，
所以
，即
，故B 正确
同理可得
，故D 错误
故选：B
【变式5-3】已知正数
，满足
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
对于A，
，所以A 正确，
对于B，因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
即
，所以
，所以B 正确，
对于C，因为
，
所以
，所以C 错误，
对于D，
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以D 正确，
故选：C
【变式5-4】已知
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，可得
；
则
，即
，
又
，即
，
易知指数函数
单调递减，可得
，
又幂函数
单调递增，可知
，
即可得
；
因此可得
.
故选：D
题型六：同构变形，构造函数法
【例6】（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以
；
下面比较与
的大小关系.
记
，则
，
，
由于
所以当0<x<2 时，
，即
，
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，即
；
令
，则
，
，
由于
，在x>0 时，
，
所以
，即函数
在[0，+∞)上单调递减，所以
，即
，即
b<c；
综上，
，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数
在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数
在（1，3)上单调递增
综上，
，
故选：B.
【变式6-1】（2025·辽宁·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
设
，
则
，
设
，则
，
令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，又
，
所以当
时，
，则
，
此时函数
在
上单调递增，又
，
所以
，则
，即
；
又
，
，则
，
所以
.
故选：D.
【变式6-2】（2022 年新高考全国I 卷数学真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
【变式6-3】已知实数
满足
且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得
，
由
得
，
因此
，
又
，所以
，
又
，所以
，
利用
得
，
又
，所以
，即
，
所以
，即
，
故选：A
【变式6-4】若函数
，且
，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小不能确定
【答案】A
【解析】由题意可得
，
设
，则
因为
，
所以
恒成立，故
在
上单调递减，
所以
，
所以当
时，
，
为减函数，
所以
，即
，
故选：A
题型七：数形结合法、反函数
【例7】（2025 年高考全国一卷数学真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，
z 的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
【变式7-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知
、
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
、
的大小
【答案】A
【解析】令
，则
，
当
时，
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，
，
由零点存在定理得
，
令
，则
，
由上面的求解可知
在
上单调递增，
且存在
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
故
的零点
，
，所以
.
故选：A.
【变式7-2】已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的零点转化为
与
的图
象的交点的横坐标，
因为零点分别为
，
在坐标系中画出
与
的图象如图：
可知
，满足
，
故选：A
【变式7-3】定义
的实数根
叫函数
的“躺平点”．若函数
，
，
的“躺平点”分别为
，则
大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
令
可得
，所以
，
所以是函数
的“躺平点”，故
，
因为
，所以
，
令
可得
，所以
，
所以
是函数
的“躺平点”，故
，
因为
，所以
，
令
可得
，
设函数
，
因为函数
为增函数，
在
上单调递减，
所以函数
在
上为单调递增，
又
，
，
所以函数
在
上有且只有一个零点，
设其零点为
，则
，
所以方程
的解集为
，
所以
是函数
的“躺平点”，
即
，
，
，且
，
所以
，
故选：C.
题型八：放缩比大小
【例8】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
有两个零点
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
无法比较大小
【答案】C
【解析】函数
有两个零点，即方程
有两个不同的根．
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增．
又因为当
时，
，当
时，
，所以
．
因为
可以趋近于无穷小，所以猜测
，下面给出证明．
先证当
时，
．
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增．
由
知，当
时，
，即
，所以
．
再证当
时，
．
令
，则
．
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
在
上单调递增．
因为
，所以当
时，
，即
，
所以
．
所以
，所以
．
故选：C．
【变式8-1】已知
，比较三个数的大小，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，
所以
在
上单调递增，故
时，
恒成立，即
，
所以有
，故
；
设
，则
，
所以
在
上单调递减，故
时，
恒成立，即
，所以有
，
，得
，
综上：
，
故选：A．
【变式8-2】（2025·甘肃白银·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
；
又
，且
，
∴
，∴
，
∴
.
故选：C
【变式8-3】设实数a，b，c 满足
且
，则a，b，c 之间的大小
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不能比较大小
【答案】B
【解析】解法一 题中等式可以变形为
，
而
，所以只能有
，
解得
．
解法二 令
，
则有
且题中条件变为：
，
而
，
，
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
.
故选：B
题型九：对数分母化
【例9】（2025·高三·湖北武汉·期末）已知实数a，b 满足
，
，则下列判断正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
；
由
且
，所以
，所以
，
令
，
，
令
，则
，
则
，
等价于
，
；
又
，
所以当
时，
，
故
，所以
．
故选：C．
【变式9-1】若实数a，b 满足
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
,
即
，故
，即
，故
，
令
，则
，
故
，
即有
，所以
，
即
，即
，故
，
故
，
故选：C.
【变式9-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）已知实数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，
，
因为
，所以
，
令
，则
，
所以
，又因为
，所以
，可得
，
所以
，
对于A，因为
，所以
，由
得
，
所以
，可得
，故A 错误；
对于B，即证
，因为
，所以
，由
得
，所以
，故B 错误；
对于C，即证
，因为
，所以
，由
得
，所以
，故C 错误；
对于D，
，因为
，所以
，由
得
，所以
，
即
，故D 正确.
故选：D.
【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知实数a，b 满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
故
,
即
，故
，即
，故
，
令
，则
，
故
，
即有
，所以
，
即
，即
，故
，
故
，
故选：A.
题型十：均值不等式
【例10】（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
【变式10-1】（2025·广西南宁·一模）设
，
，
，则a，b，c 的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，
所以
，
所以
，
故选：A.
【变式10-2】已知
，
，
，则a，b，c 的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
因为
，
故选：B.
【变式10-3】若
，
，
，则
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，即
，
，即
，因此，
.
故选：A.
题型十一：泰勒、帕德逼近法
【例11】（2025·福建福州·模拟预测）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的
公式.其中
，
.
通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保
显示值的精确性，已知
，
，
.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
，
，
又
，则
.
故选：C
【变式11-1】英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，其
中
.已知
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断二者大小
【答案】A
【解析】由题意可知
，
，所以
.
故选：A.
【变式11-2】英国数学家泰勒给出如下公式：
；
；
，其中
．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多
的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若
，
，
，
则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，则
，
因此
.
故选：C.
【变式11-3】（多选题）帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给
定两个正整数
，
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满
足：
，
，
，
，
，注：
，
，
，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．若函数
在
处的
阶帕德近似为
，则
，
，
B．函数
在
处的
阶帕德近似
C．
D．函数
在
处的
阶帕德近似为
，当
时，
【答案】ACD
【解析】根据题意，
，
，
则
，
，
，A 正确；
∵
，则
，
，
设
，则
，
，
，
由题意得：
，
∴
，解得：
，
所以
，B 错误；
由B 可知，函数
在
处的
阶帕德近似
，
令
，则
，
所以
，C 正确；
令
，
则
，
所以
在
内为增函数，又
，
时，
；
所以
时，
，D 正确.
故选：ACD
1．已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，根据函数图象可知
，
同理
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，根据函数图象可知
，
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，可得
，
因此
，
故选：D.
2．（2025·江西新余·一模）故
，
，
，则a，b，c 的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
所以
，
故选：D
3．已知
，则实数
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
单调递增，
则
，
由
单调递增，
则
，
由
单调递减，
则
，即
，
所以
.
故选：B.
4．（2025·山东泰安·模拟预测）
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由幂函数
为增函数，得
；
由指数函数
为减函数，得
；
由对数函数
为减函数，得
.
所以
.
故选：A.
5．（2025·河南许昌·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知
，
，
又函数
在
上单调递增，而3.4
，即
，
又
在
上单调递增，所以
，即
.
故选:D.
6．英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，其中
.已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断二者大小
【答案】A
【解析】由题意可知
，
，
所以
，
故选：A
7．（2025·北京·三模）已知
则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，
，
所以
.
故选：C
8．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
即
故选：B
9．（2025·天津南开·二模）已知
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
，
所以满足
，
故选：C.
10．（2025·天津北辰·三模）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，
，
，即
，
，
接下来比较
和
的大小关系，因为
，而
，
则
，根据幂函数
在
上单调递增得
，
即
.
故
.
故选：D.
11．（2025·天津河西·模拟预测）设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，故
，所以
，
，所以
.
故选：D
12．（2025·天津·二模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
是增函数，
，
在
是增函数，
，故
，
在
是增函数，
，
即
，
故选：D.
13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据换地公式
,
,则
,
由基本不等式可知
即
，
因为
，即
，
则
，可知
，
，可知
，所以
.
综上可知
.
故选：D.
14．（2025·云南·模拟预测）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为
是减函数，且
，所以
，故A 错误；
对于B，取
，则
，故B 错误；
对于C，因为
是增函数，且
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
是增函数，且
，所以
，故D 错误.
故选：C.
15．（2025·江西·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，且
因为
是单调递减函数，且
，即
能成立，所以A，B 都不正确；
因为
，又当
时，
，则
，当
时，
，则
，
当
时，
，
综上，
，所以C 错误，D 正确.
故选：D.
16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上单调递增，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
，
，所以
.
故选：D.
17．（2025·湖北·模拟预测）已知正数
满足
，则
与
的关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，即
，
当
时，
在
上为减函数，而函数
在
上为增函数，
则
，即
，故AB 可能成立；
当
时，则
，即
；
当
时，
在
上为增函数，
则
，即
，故C 可能成立，D 不可能成立.
故选：D.
18．（2025·天津滨海新·三模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意
.
故选：A.
19．（2025·天津·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
所以
，
故选：A
20．（2025·天津·二模）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
再结合
的单调性可知：
，
即
，
所以
，
故选：D
21．（2025·河北石家庄·三模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
单调递增，所以
，
因为
单调递增，所以
，
因为
单调递减，所以
，且
所以
，
故选：D.
22．已知函数
，
.若
，
，
.则下列关系式正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，
∴
，又
在
上为增函数，
∴
，即
.
又
，
故
.
故选：A.
23．（2025·辽宁·三模）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，
，
，所以
，
对于A，
在
单调递增，
，故A 错误；
对于B，
在
上单调递减，
，故B 错误；
对于C，
在
单调递减，
，故C 错误；
对于D，
在
单调递增，
,
又
在
单调递减，
,
，故D 正确.
故选：D
24．（2025·甘肃白银·三模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
等号成立，
.
故选：D.
25．（2025·河南·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知
，
，
所以
，
因为
，
，所以
，
因为
在
上单调递减，且
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
故
．
故选：A
26．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数
均不为1，则下列不等式中与“
”等价的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，当
时，函数
单调递减，由
可得
，故A 错误；
对于B，当
时，函数
在
单调递减，由
可得
，故B 错误；
对于C，因
，
，函数
在
上单调递增，由
，可得
，由
，
也可得
，故C 正确；
对于D，若取
，显然满足正数
均不为1，且
，
但
，即
与
不等价，故D 错误.
故选：C.
27．（2025·福建漳州·模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】易知
，
，
，
所以
，
故选：C
28．（2025·江西赣州·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设，
在R 上单调递减，则
，
在定义域上单调递增，则
，
所以
，则
，即
，A，B 错；
由
在
上单调递增，则
，故
，
对于
且
，则
，
所以
在
上单调递减，则
，
所以
，C 对；
当
，此时
，D 错.
故选：C
29．（2025·北京昌平·二模）已知
，
，
，其中e 为自然对数的底数，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
为单调递增函数，
因为
，可得
，即
，可得
；
又由
，可得
，
由函数
为单调递减函数，可得
，即
，
所以
.
故选：A.
30．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，在单位圆O 中，
，不妨设
，
作
于C 点，则弧
的长度
，
由图易得，
，即
，
所以
，
设
，
，
所以
，
再令
，
，
，
当
时，
，
，
，
所以
，
则
，
在
单调递减，
，所以
，即
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，
所以当
，
，即
，
因为
，
所以
即
，
所以
，
故选：D.
31．（2025·四川自贡·二模）已知
，
，
，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，则
，
又
，
，
.
故选：C.
32．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
构造函数
，
令
，则
在
上单调递减，
，
故
，所以
在
上单调递减，
，
，
构造函数
，
令
，则
在
上单调递减，
，
故
，所以
在
上单调递减，
，
故
．
故选：C.
33．（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A．
B．
（精确到小数点后两位）
C．
D．当
时，
【答案】BD
【解析】由
，
，则有
，故A 选项错误．
由
，则
，
又
（精确到小数点后两位），故B 选项正确．
，
，则有
，故C 选项错误．
当
时，令
，则
，
，
所以
在
上为增函数，则
，
所以
在
上为增函数，则
，
故当
时，
恒成立，即
．故D 选项正确．
故选：BD.
34．（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定成
立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意可得
，对于函数
，
则
在R 上单调递增，结合
，可得
.
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
不能判断
与1 的大小，故B 错误；
对于C，取
，此时C 不成立，故C 错误；
对于D，因为
，由指数函数的单调性易得
，故D 正确.
故选：AD.
35．（多选题）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由
，
，得
，
又函数
在
上单调递增，且
，所以
，A 错误；
对于B，
，
且
，所以
，则
，B 正确；
对于C，由指数函数
在
上单调递增，所以
，C 正确；
对于D，由指数函数
在
上单调递减，且
，
即
，所以
，D 正确.
故选：BCD.
36．（多选题）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由题意可得
，
令函数
，易知
在
上单调递增，
由
可得
，即可得
；
对于A，由
，可得
，故
，故A 正确；
对于B，分别取
，
，则
故B 错误；
对于D，分别取
，
，
，故D 错误；
对于C，因为
，
，则
，故C 正确.
故选：AC．
37．（多选题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
，
设
，
所以
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，
所以
时，
，
所以
，即
，
所以
，所以
,A 正确；
令
，
则
，
当
时，
，函数
在
单调递增，
所以
，
即
，
,B 错误；
令
，
则
,
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以
单调递减,
,
即
，
,C 正确；
令
，
则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
即
，
,D 正确.
故选：ACD.
