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培优点11 利用导数解决直线与曲线间的距离问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：曲线上一点到定点的距离最短............................................................................................4
题型二：曲线上一点到直线的距离最短............................................................................................4
题型三：曲线上一点与抛物线上一点的距离最短............................................................................5
题型四：曲线上一点与圆上一点的距离最短....................................................................................5
题型五：互为反函数的两曲线上两点距离最短................................................................................6
题型六：非反函数的两曲线上两点距离最短....................................................................................6
题型七：水平方向距离最短................................................................................................................7
题型八：竖直方向距离最短................................................................................................................8
题型九：平移切线法............................................................................................................................8
04 课时精练........................................................................................................................................10
高考中导数中的距离问题常结合函数与几何，考查化归转化与数形结合能力。核心思路为将距离问
“
”
题转化为函数最值问题，常见题型包括曲线与直线距离、两曲线间距离等。例如，求曲线上的点到直线的
最小距离时，可通过导数求曲线的切线，使切线与给定直线平行，进而确定切点，再利用点到直线距离公
式计算最小距离。此外，还可通过构造函数，利用导数研究函数单调性，进而求解距离的最值。此类问题
需考生熟练掌握导数的几何意义、函数单调性与极值，以及距离公式等知识点，通过综合运用这些知识，
灵活解决高考中的距离问题。
“
”
在导数涉及的距离问题求解中，化归转化与数形结合思想是重要工具，可将问题转化为点到直线距
“
”
离或两点间距离问题，再借助导数法求距离最值。
方法一是转化化归。当处理动点间距离问题时，可将其转化为点到直线的距离问题。这里的点通常
“
”
通过导数求得切点。例如，已知曲线和直线，要求曲线上一点到直线的最小距离，可先对曲线求导，找到
与直线平行的切线，进而确定切点，再计算切点到直线的距离，此距离即为所求最小距离。
方法二是构造函数。根据距离问题的条件，构造合适的函数，然后求该函数的导数，通过分析导数的
正负性，确定函数的单调性，进而找到函数的极值点，该极值点对应的函数值就是距离的最值。这两种方
法巧妙结合导数知识，为解决导数中的距离问题提供了有效途径。
“
”
题型一：曲线上一点到定点的距离最短
【例1】（2025·广东广州·一模）若点
与曲线
上点
的距离的最小值为
，则实数的值为
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）设点
，P 为曲线
上动点，若点A，P 间距离的最小
值为
，则实数t 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025·高三·安徽芜湖·期末）若点
与曲线
上点
距离最小值为
，则实数为
A．
B．
C．
D．
题型二：曲线上一点到直线的距离最短
【例2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点
为曲线
上的动点，则点
到直线
的距离
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．9
【变式2-1】函数
图象上的点到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】动直线分别交直线
和曲线
于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式2-3】已知
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
题型三：曲线上一点与抛物线上一点的距离最短
【例3】（2025·安徽·三模）已知
且
，若定义
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式3-1】（2025·湖南衡阳·二模）设
.
，则
的最小值为
A．
B．1
C．
D．2
【变式3-2】（2025·湖北·一模）设
，其中
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2025·湖北·模拟预测）设
，其中
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：曲线上一点与圆上一点的距离最短
【例4】（2025·辽宁·模拟预测）已知点
，点
，则
的最小值为
．
【变式4-1】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，则
的最小值为 ．
【变式4-2】（2025·广东佛山·一模）若
分别是曲线
与圆
上的点，则
的最小值
为 .
【变式4-3】已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线段
长度的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式4-4】已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线
段
长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：互为反函数的两曲线上两点距离最短
【例5】已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线对称，若
，
分别为它们图象
上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2025·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点
分别是曲线
和曲线
上的
任意一点，则线段
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】设点
在曲线
上，点
在曲线
上，若
的最小值为
，则
.
题型六：非反函数的两曲线上两点距离最短
【例6】设
是曲线
上的动点，
是曲线
上的动点，则
的最小值为_______．
【变式6-1】已知
是曲线
：
上任意一点，点
是曲线
：
上任意一点，则
的最小值
是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式6-2】（2025·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q 分别在函数
，
上
运动，则
的最小值为 ．
题型七：水平方向距离最短
【例7】已知直线
分别与直线
、曲线
交于点
、
，则线段
长度的最小值为 .
（其中常数
，是自然对数的底数）
【变式7-1】（2025·陕西安康·三模）已知直线
分别与直线
、曲线
交于点A，B，则
线段AB 长度的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【变式7-2】已知函数
，
的图象与直线
分别交于
，
两点，则下列说法错误
的是（ ）
A．
B．
，曲线
在点
处的切线总与曲线
在点
处的切线相交
C．
的最小值为1
D．
，使得曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线
【变式7-3】直线
分别与曲线
，与
交于点
，则
的最小值为
A．
B．1
C．
D．2
题型八：竖直方向距离最短
【例8】直线
分别与曲线
和曲线
交于
，
两点，则
的最小值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【变式8-1】动直线
与函数，
，
的图象分别交于点A，B，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】动直线
（
）与函数
，
的图象分别交于点A，B，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】设动直线
与函数
，
的图象分别交于点
，已知
，
则
的最小值与最大值之积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：平移切线法
【例9】已知点
，点
在曲线
（
）上，点
在直线
上，
为
线段
的中点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】已知实数
，
，，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．16
【变式9-2】已知直线
分别与直线
：
及曲线
：
交于
两点，则
两点间距离的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【变式9-3】已知直线
与曲线
，
分别交于点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
1．（2025·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系
中，点
，
，向量
，
且
，若
为抛物线
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点
是曲线
上的一动点，则点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知点
在曲线
上，点
在
直线上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·高三·辽宁鞍山·期末）已知
，若实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．8
5．已知A 是函数
图象上的一点，点B 在直线
上，则
的最小值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
6．已知实数
，
，，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2025·高三·天津河东·期中）设动直线
与函数
，
的图象分别交于点
，
，
则
能取最小值时，以下符合条件的
的区间为( ).
A．
B．
C．
D．
8．（2025·甘肃·模拟预测）已知
，
分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值
为 .
9．若
，
分别是函数
与圆
上的点，则
的最小值为 ．
10．设
，当a，b 变化时，
的最小值为 .
11．点
是曲线
上任意一点则点
到直线
的最短距离为 ．
12．已知点M，N 为圆
上两点，且
，点P 在直线
上，点Q
为线段
中点，则
的最小值为
13．已知直线
，分别与直线
和曲线
交于点M，N 两点，则线段MN 长度的最小值
是 ．
14．若直线
分别与曲线
，
交于
，
两点，则线段
长度的最小值为 ．
15．已知直线
与函数
，若直线
与直线、曲线
分别交于
点
，则当
取最小值时，
．
16．已知直线y = a 分别与曲线y = 3x + 2，y = 2x + ln x 交于A，B 两点，则∣AB∣的最小值为 ．
17．（2025·湖北·一模）已知直线
与曲线
分别交于
两点，则
的最小值为
．
18．设动直线
与函数
，
的图象分别交于点
，
，则线段
长度的最小值为
．
19．（2025·高三·辽宁锦州·期末）实数
，
满足
，
，则
的最小值是 ．
20．（2025·高三·上海闵行·期中）已知
，
，则
的最小值为 ．
21．已知实数
，且函数
，则函数
的最小值为 ．
22．设
，
，则
的最小值为 ．
