文档文本内容
培优点06 极值点偏移
题型方法
题型一 对称化构造函数
题型二 比值代换
知识点01 极值点偏移的概念
已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x0，f(x1)＝f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点
左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有x0≠，这种情况称为极值点偏移．
知识点02 极值点偏移问题的一般题设形式
(1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f′(x0)>0；
(4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0.
【题型一】对称化构造函数
【例1】（2024·云南·二模）已知常数
，函数
.
题型梳理
知识清单
题型方法
(1)若
，求
的取值范围;
(2)若
、
是
的零点，且
，证明:
.
解题技巧
对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．
(2)对结论x1x2>x 型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是
两边取对数，转化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可
【举一反三】【变式1】（2023·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性：
(2)若
是方程
的两不等实根，求证：
；
【变式2】（2022·四川南充·一模）已知函数
有两个不同的零点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
.
【变式3】（2024·山东日照·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若方程
有三个不相等的实数根
，且
，证明：
．
【题型二】比值代换
【例2】（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
，求实数a 的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.
(3)已知
有两个零点
，
，求实数a 的取值范围并证明
.
解题技巧
比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明
【举一反三】【变式1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知
．
(1)当
时，讨论函数
的极值点个数；
(2)若存在
，
，使
，求证：
．
【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在区间
上单调递减，求实数
的取值范围；
(2)若方程
有两个实根
，
，且
，求证：
.
参考数据：
，
.
【变式3】（2023·江西南昌·二模）已知函数
，
．
(1)当
时，
恒成立，求a 的取值范围．
(2)若
的两个相异零点为
，
，求证：
．
一、解答题
1．（2022·河南平顶山·模拟预测）已知函数
有两个零点．
(1)求a 的取值范围；
(2)设
是
的两个零点，证明：
．
2．（2023·江西·模拟预测）已知函数
．
好题必刷
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且
，证明：
，且
．
3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
为其极小值点．
(1)求实数
的值；
(2)若存在
，使得
，求证：
．
4．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，判断
在区间
内的单调性；
(2)若
有三个零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
6．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性．
(2)假设存在正实数
，满足
．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
．
7．（2023·山西·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
（
），求证：
.
8．（2023·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当
时，若
，求证：
9．（2024·四川眉山·三模）已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求
的取值范围；
②当
时，证明：
.
