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培优点12
利用导数解决双变量问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：构造单调性............................................................................................................................4
题型二：任意存在型............................................................................................................................8
题型三：比较双变量..........................................................................................................................13
题型四：变量换元类..........................................................................................................................20
题型五：韦达定理类..........................................................................................................................26
题型六：引参换元类（比值代换与差值代换）..............................................................................31
题型七：双变量放缩类......................................................................................................................39
04 课时精练........................................................................................................................................45
在高考数学中，利用导数解决双变量问题是重点与难点。这类问题通常涉及两个变量，需通过导数将
其转化为单变量问题求解。解题关键在于找到变量间的关系，如极值点满足的方程，通过消元或整体代换
简化问题。常用方法包括：变更主元，指定主变量，将双变量转化为值域或最值问题；利用函数单调性，
构造新函数求解；通过韦达定理、对数平均不等式等工具处理极值点偏移问题。解题时需灵活运用导数性
质，结合函数图像分析，合理构造函数，利用单调性、极值等性质证明不等式或求解参数范围。掌握这些
方法，能有效提升解决双变量问题的能力。
在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法：
1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问
题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构
造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。
2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性
或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。
3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系
对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。
题型一：构造单调性
【典例1-1】（2025·山东聊城·一模）已知函数
，曲线
在
处的切线交
轴于点
．
（1）求
的值；
（2）若对于
内的任意两个数
，
，当
时，
恒成立，求实数
的取
值范围．
【典例1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数
（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【变式1-1】已知函数
，其中
（1）当
时，若
在区间
，
上的最小值为
，求
的取值范围；
（2）若对于任意
，
恒成立，求
的取值范围．
【变式1-2】已知函数
，对于任意
，
，不等式
恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数
，其中
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
时，证明：不等式
恒成立（其中
，
）.
题型二：任意存在型
【典例2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知
，
，其中是自然对数的底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
．存在
，
，使得
成立，试求实数
的取值范围．
【典例2-2】已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
（
为自然对数的底数），当
时，对任意
，存在
，
使
，求实数
的取值范围.
【变式2-1】已知函数
，
，
．
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)若方程
在
上恰有两个不同的实数根，求
的取值范围；
(3)若对任意
，总存在唯一的
，使得
，求
的取值范围．
【变式2-2】已知函数
，若对于任意的
，
不等式
恒成立，求实数
的取值范围
题型三：比较双变量
【典例3-1】已知函数
(1)求
的单调区间；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，其中
，证明：
．
【典例3-2】已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程
(2)若
恒成立，求
的范围
(3)若
在
内有两个不同零点
，
，求证：
．
【变式3-1】已知函数
的导函数为
，我们称函数
的导函数
为函数
的二阶导函
数，若一个连续函数
在区间I 上的二阶导函数
，则称
为I 上的凹函数，若二阶导函数
，则称
为I 上的凸函数．
(1)证明：函数
是凸函数．
(2)已知函数
，
．
①若
是
上的凹函数，求实数a 的取值范围；
②
在
内有两个不同的零点
，
，证明：
．
【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）设函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
存在小于零的极小值时，若
，且
，证明：
．
题型四：变量换元类
【典例4-1】（2025·陕西安康·一模）设向量
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
，若
存在两个极值点
，证明：
.
【典例4-2】已知函数
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
存在两个极值点
，
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【变式4-1】已知函数
的定义域是
，导函数
，设是曲线
在点
处的切线．
(1)求
的最大值；
(2)当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线的上方；
(3)设过点A 的直线
与直线垂直，，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的
取值范围．
【变式4-2】（2025·江苏·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若
，判断
的单调性；
(2)设
有且只有两个不同的极值点
.
（i）求
的取值范围；
（ii）当
时，设
，证明：
.
【变式4-3】（2025·河南安阳·一模）已知函数
与
的图象在点
处有相同的切
线．
（Ⅰ）若函数
与
的图象有两个交点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若函数
有两个极值点
，
，且
，证明：
．
题型五：韦达定理类
【典例5-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调递减区间；
(2)若
有两个极值点
，
（
）.
①求实数b 的取值范围；
②证明：
.
【典例5-2】（2025·高三·云南昆明·开学考试）已知函数
，
，过
原点的直线与曲线
相切，也与曲线
相切.
(1)求a；
(2)设
有两个极值点
，
.
（ⅰ）求实数m 的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
【变式5-1】已知函数
，
．
(1)若直线
( 为自然对数的底数)与函数
，
的图象均相切，求实数
的值．
(2)设函数
．
（i）证明：函数
有两个极值点
，
；
（ii）对（i）中的两个极值点
，
，若
恒成立，求实数
的取值范围
【变式5-2】已知函数
，定义域为
．
(1)讨论
的单调性．
(2)若函数
在定义域内有两个极值点
①求实数
的取值范围．
②
时，
，求
的值．
题型六：引参换元类（比值代换与差值代换）
【典例6-1】（2025·高三·重庆·期末）已知函数
．
(1)求
的最值；
(2)若函数
有两个不同的零点
，证明：
．
【典例6-2】已知函数
，
.
(1)设函数
，试讨论
的单调性；
(2)若
，
的图象存在公切线（与
，
的图象均相切的直线），求实数
的取值范围；
(3)若存在不相等的
，
，使
，
，证明：
.
【变式6-1】定义：若函数
与
在公共定义域内存在
，使得
，则称
与
为“契合函数”，
为“契合点”．
(1)若函数
和
为“契合函数”，求
的取值范围．
(2)已知函数
和
为“契合函数”且有两个“契合点”
．
①求
的取值范围；
②若
，证明：
．
【变式6-2】已知
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
，
是两个不相等的正数，证明：
题型七：双变量放缩类
【典例7-1】已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)当
时，证明：
；
(3)若
且
，
，证明：
．
【典例7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知函数
，且曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值.
(2)当
时，证明：当
时，
.
(3)当
时，若存在
，使得
成立，证明：
.
【变式7-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数
，当
时，
的切线斜率
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
，若
，求证：若
，则
．
【变式7-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数a 的值；
(3)设不同正数m，n 满足
，证明：
．
1．（2025·安徽·三模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线平行于直线
，求的值以及函数
的最小值；
(2)证明：对一切的
，都有
；
(3)当
时，若曲线
与曲线
存在两交点
，记直线
的斜率为
，证明：
．
2．已知函数
．
(1)判断函数
的单调性；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，求证：
．
3．已知函数
为偶函数，
(1)求实数k 的值；
(2)若
，
，使得
恒成立，求实数m 的取值范围．
4．（2025·全国·二模）已知函数
，(
)，其中是自然对数的底数.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，对于任意的
，
，当
时，不等式
恒成立，求
实数
的取值范围.
5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知
.
(1)若存在实数
，使得不等式
对任意
恒成立，求
的值；
(2)若
，设
，证明：
①存在
，使得
成立；
②
.
6．已知函数
，
.
（Ⅰ）讨论函数
的单调区间与极值；
（Ⅱ）若
，对任意
，总存在
，使得不等式
成立，试求实数
的取
值范围.
7．（2025·陕西安康·三模）设函数
.
（1）求函数
的递增区间；
（2）若对任意
，总存在
，使得
，求实数k 的取值范围.
8．已知函数
，其中为自然对数的底数.
（1）证明：
在
上单调递减，
上单调递增；
（2）设
，函数
，如果总存在
，对任意
，
都成立，求实数
的取值范围.
9．（2025·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
，使得
.证明：
.
10．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点
，求
的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：当
时，
.
11．已知
，
.证明：
(1)函数
在
上单调递减，且存在唯一
，使得
；
(2)存在唯一
，使得
，且对（1）中的
有：
.
12．（2025·河南濮阳·二模）已知函数
.
（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）当
，
时，
，其中
，证明：
.
13．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，且
有两个极值点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
.
14．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数
，
为函数
的导函数
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
，若
，
，且
，证明：
.
15．（2025·高三·广东深圳·期末）已知函数
有两个极值点
，
，其中
.
（Ⅰ）求实数
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，求
的最小值.
16．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数
有两个极值点
，
（
）．
(1)求实数
的取值范围；
(2)设
，若函数
的两个极值点恰为函数
的两个零点，当
时，求
的最小值．
17．已知函数
.
（1）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若
有两个极值点
，
，求证：
.
18．（2025·江苏南通·三模）已知函数
，
，其中
为自然对数的底数.
（1）求不等式
的解集；
（2）若函数
有两个极值点
，
(
)(若
是函数
的极大值或极小值，则m
为函数
的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点).
①求a 的取值范围；
②证明：
.
19．（2025·高三·福建福州·期末）已知函数
.
(1)当
时，判断函数
的零点个数；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，若函数
有两个极值点
、
，求证：
.
20．（2025·高三·浙江·期中）已知函数
，
的导函数为
.
(1)记
，讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
（i）求证：
；
（ii）若
，求a 的取值范围.
21．（2025·高三·江苏南通·期末）已知函数
(a∈R)．
(1)若
是单调增函数，求a 的取值范围；
(2)若
，
是函数
的两个不同的零点，求证：
．
22．已知
，函数
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若曲线
和
有公共点，
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
23．（2025·天津河北·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)证明：
；
(3)若
，且
，求证：
24．已知函数
，
.
(1)若
，讨论
的零点个数；
(2)若函数
有零点，证明：
.
