文档文本内容
培优点09 活用三次函数的性质
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................5
题型一：三次函数的图象问题............................................................................................................5
题型二：三次函数的单调性问题........................................................................................................6
题型三：三次函数的对称性问题........................................................................................................7
题型四：切线数量问题........................................................................................................................8
题型五：三次函数的零点问题............................................................................................................8
题型六：三次函数的极最值问题........................................................................................................9
题型七：等高线问题..........................................................................................................................10
题型八：三次函数的综合应用.......................................................................................................... 11
04 课时精练........................................................................................................................................14
三次函数是高考数学中的高频考点，常以中等难度题型出现，涉及导数综合应用与函数性质分析。其
核心考点包括单调性、极值、零点分布及图像特征。
1、三次函数的图象
对于三次函数
的判别式为
，则
的定义域为
，值域为
，图象如下：
参数范
围
图象
2、三次函数的零点
对于三次函数
（
、
、
、
且
），其导数为
当
，其导数
有两个解
，
，原函数有两个极值
，
．
①当
时，原方程有且只有一个实根
②当
时，原方程有两个实数根
③当
时，原方程三个实数根．
3、三次函数的对称性
对于三次函数
，
（1）若
，则
；
（2）
的对称中心是
．
4、三次函数的切线问题
对于任意三次函数
，过
图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数
的图
象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域II、区域III 内的点以及对称中心作
的切线，有且仅有
条；
（2）过切线或函数
图象（除去对称中心）上的点作
的切线，有且仅有2 条．
（3）过区域I、区域IV 内的点作（x）的切线，有且仅有3 条．
5、三次函数的切割线性质
（1）如图所示，点
是函数
图象上任意一点（非对称中心），过
作函数
图象的切线
和割线
，其中
是切点，
是交点，则
成等差数列，即
；
（2）如图所示，点
是函数
的两个极值点，且方程
为
图象的对称中心的横坐标，则
成等差数列．
6、其它性质
设三次函数
的对称中心横坐标为
，若
存在两个极值点
，则
．
题型一：三次函数的图象问题
【例1】在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序
号是（ ）
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
【变式1-1】设f(x)=x3+bx2+cx+d,又k 是一个常数,已知当k<0 或k>4 时,f(x)－k=0 只有一个实根;当0<k<4 时,
f(x)－k=0 有三个相异实根,现给出下列命题:
①f(x)－4=0 和
=0 有一个相同的实根
②f(x)=0 和
=0 有一个相同的实根
③f(x)+3=0 的任一实根大于f(x)－1=0 的任一实根
④f(x)+5=0 的任一实根小于f(x)－2=0 的任一实根.
其中错误的命题的个数是
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式1-2】函数
的图象如图所示，且
在
与
处取得极值，给出下列判
断：①
；②
；③函数
在区间
上是增函数.其中正确的判断是（ ）
A．①
B．②
C．②③
D．①②
【变式1-3】设三次函数
的导函数为
，函数
的图象的一部分如图所示，则下列说法正
确的是（ ）
A．
的极大值为
，极小值为
B．
的极大值为
，极小值为
C．
的极大值为
，极小值为
D．
的极大值为
，极小值为
题型二：三次函数的单调性问题
【例2】三次函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知函数
的单调递增区间是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图像如图，则函数y＝ax2＋
的单调递增区间是（ ）
A．(－∞，－2]
B．
C．
D．
【变式2-3】函数
的图象如图，则
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】已知三次函数
在R 上单调递增，则
的最小值为 ．
题型三：三次函数的对称性问题
【例3】设函数
是
的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
的图像都有对称中心
，其中
满足
.已知三次函数
，若
，则
；若
，
分别满足方程
，则
.
【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”，经研究发
现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的
对称中心，若函数
，则
.
【变式3-2】设函数
是
的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
的图像都有对称中心
，其中
满足
.已知三次函数
，若
，则
.
【变式3-3】对于三次函数
给出定义: 设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．某同学经过
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
给定函数
，请你根据上面探究结果，计算
（ ）
A．1010
B．2020
C．2023
D．2024
题型四：切线数量问题
【例4】（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，则
的取值范围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数
，其中实数
，则下列
结论错误的是（ ）
A．
必有两个极值点
B．
有且仅有3 个零点时，
的范围是
C．当
时，点
是曲线
的对称中心
D．当
时，过点
可以作曲线
的3 条切线
【变式4-2】过点
可作3 条直线与函数
的图象相切，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2025·江西九江·一模）已知函数
（
），点
位于曲线
的下方，且过点
可以作3 条直线与曲线
相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：三次函数的零点问题
【例5】若三次函数
有三个相异且成等差的零点，则a 的取值范围为 .
【变式5-1】已知函数
，设曲线
在点
处切线的斜率
为
，若
，
，
均不相等，且
，则
.
【变式5-2】（2025·广东深圳·一模）已知函数
，设曲线
在
点
处切线的斜率为
，若
均不相等，且
，则
的最小值为 ．
【变式5-3】（多选题）已知三次函数
有三个不同的零点
，函
数
也有三个零点
，则（ ）
A．
B．若
成等差数列，则
C．
D．
题型六：三次函数的极最值问题
【例6】（多选题）已知三次函数
在区间
上的值域也为
，那么下列说法正确的
是（ ）
A．
且
B．当
时，满足要求的
不存在
C．当
时，有
D．当
时，有
【变式6-1】（多选题）定义：设
是
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数
，则下列说法中正确的有
（ ）
A．
的对称中心为
B．若关于x 的方程
有三解，则
C．若
在
上有极小值，则
D．若
在
上的最大值、最小值分别为
，则
【变式6-2】已知函数
存在两个极值点
，且
，
．设
的零点个数为
，方程
的实根个数为
，则
的取值不可
能为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式6-3】（2025·高三·云南曲靖·期末）已知函数
在
处取得极小
值，则
的最大值为（ ）
A．27
B．9
C．4
D．1
题型七：等高线问题
【例7】（2025·高三·湖南·开学考试）设函数
，
，其中a，
.
（1）求
的单调区间；
（2）若
存在极值点
，且
，其中
，求证：
；
（3）设
，函数
，求证：
在区间
上的最大值不小于
.
【变式7-1】（多选题）（2025·江苏泰州·二模）已知函数
，则下列结论正
确的是（）
A．当
时，若
有三个零点，则
的取值范围是（0，1）
B．当
且
时，
C．
，
D．若
存在极值点
，且
，其中
，则
【变式7-2】（多选题）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，若
有三个零点，则
的取值范围是
B．当
且
时，
C．对于任意
满足
D．若
存在极值点
，且
，其中
，则
【变式7-3】（多选题）（2025·高三·贵州铜仁·期末）已知函数
.则（ ）
A．当
时，若
有两个零点，则
的值是
或
B．若
，
，且
，则
的最小值是
C．对任意
恒有
D．若
存在极值点
，且
，其中
，则
题型八：三次函数的综合应用
【例8】（2025·高三·北京·期中）已知三次函数
.
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
在区间
上具有单调性，求
的取值范围；
（3）当
时，若
，求
的取值范围.
【变式8-1】三次函数
的图象如图所示，直线
，且直线
与函数图象切于
点
，交于点
，直线
与函数图象切于点
，交于点
（1）若函数
为奇函数且过点
，当
时，求
的最大值；
（2）若函数在
处取得极值
，试用表示
和
，并求
的单调递减区间；
（3）设点
的横坐标分别为
，求证：
【变式8-2】对于三次函数
．
定义：①设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”；
定义：②设
为常数，若定义在
上的函数
对于定义域内的一切实数
，都有
成立，则函数
的图象关于点
对称．
已知
，请回答下列问题：
（1）求函数
的“拐点”
的坐标
（2）检验函数
的图象是否关于“拐点”
对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
（不必证明）
（3）写出一个三次函数
，使得它的“拐点”是
（不要过程）
【变式8-3】（2025·高三·上海·开学考试）对三次函数
，如果其存在三个实根
，则有
.称为三次方程根与系数关系.
(1)试讨论函数
的单调性.
(2)对三次函数
，设
，存在
，满足
.证
明：存在
，使得
；
(3)称
是
上的广义正弦函数当且仅当
存在极值点
，使得
.在平面直角坐标系
中，
是第一象限上一点，设
.已知
在
上有两根
.
（i）证明：
在
上存在两个极值点的充要条件是
；
（ii）求点
组成的点集，满足
是
上的广义正弦函数.
1．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx 在x＝
处有极值，则ac＋2b 的值为（ ）
A．－3
B．0
C．1
D．3
2．（2025·高三·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数
在
处取得极小值，
则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．9
D．10
3．已知函数
的一个极值点为，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若过点
可作3 条直线与曲线
相切，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
.若过点
存在3 条直线与曲线
相切，则的取值范围为
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）（2025·广东东莞·模拟预测）三次函数
叙述正确的是（ ）
A．函数
可能只有一个极值点
B．当
时，函数
的图象关于点
中心对称
C．当
时，过点
的切线有一条
D．当
时，在点
处的切线与函数
的图象有且仅有两个交点
7．（多选题）三次函数
叙述正确的是（ ）
A．当
时，函数
无极值点
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．过点
的切线有两条
D．当
时，函数
有3 个零点
8．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，
若方程f″(x)＝0 有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三
次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若
，则函数f(x)的对称中心为 ，
.
9．如图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图象，
为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0 的解集为
．
10．已知函数
的图象与
轴切于点
，则
的极大值为 , 极小值为 .
11．已知三次函数
，若
，则
.
12．已知三次函数
有三个零点
，
，
，且在点
处切线的斜率为
，则
.
13．已知三次函数
无极值，且满足
，则
.
14．（2025·江西景德镇·一模）设三次函数
(b，c 为实数)的导数为
，设
，若
在R 上是增函数，则
的最大值为 .
15．已知三次函数
在
上是增函数，则
的取值范围
为 ．
16．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 在x=1 处取极小值，x=3 处取极大值，且函数图象在(2，f(2))处的切线与直
线x-5y=0 平行.
（1）求实数a､b､c 的值;
（2）设函数f(x)=0 有三个不相等的实数根，求d 的取值范围.
17．给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实
数解
，则称(
)为函数
的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称中心，已知函
数
(1)求出
的对称中心；
(2)求
的值．
18．三次函数
的三个零点为
，两个极值点为
．作直线
，在
上分别取
使得
是正三角形．
(1)计算：
．
(2)证明：
均与
的内切圆相切．
19．设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为曲线
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐
点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
的图象的对称中心为
.
(1)求实数
的值；
(2)求
的零点个数.
20．已知三次函数
．
（1）若函数
在点
处的切线方程是
，求函数
的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间
上任意两个自变量的值
，
，都有
，求出
实数
的取值范围．
21．已知三次函数
过点
，且函数
在点
处的切线恰好是
直线
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求
的极值；
(3)设函数
，若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围.
22．设函数
，其中
为实常数．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
存在极值点
，且
其中
．求证：
；
