文档文本内容
培优点10 整数解问题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................4
题型一：直接法....................................................................................................................................4
题型二：分离参数法............................................................................................................................4
题型三：分离函数法............................................................................................................................5
题型四：隐零点法................................................................................................................................6
题型五：必要性探路法........................................................................................................................7
04 课时精练...........................................................................................................................................8
利用导数解决整数问题是高考数学中的一类特色题型，常出现在导数综合应用题中。这类问题通常结
合函数单调性、极值以及整数取值范围进行考察。
解题时，首先通过求导分析函数的单调性和极值点，确定函数在不同区间的变化趋势。接着，根据题
目条件，结合函数图像或性质，找出满足整数条件的自变量取值范围。这往往需要利用导数判断函数在关
键点（如整数点）的取值情况，或通过放缩法、不等式估计等方法确定整数解的边界。
高考中，这类问题注重考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力。备考时，应加强对导数性质的理解，
熟练掌握利用导数分析函数单调性和极值的方法，同时注重整数问题的解题技巧训练，如合理放缩、利用
函数单调性缩小范围等。
利用导数解决整数问题，关键在于结合函数单调性与整数取值范围进行推理，以下是具体方法总结：
（1）求导分析单调性：对目标函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，确定函数的增减区间和
极值点。
（2）确定关键点取值：计算函数在整数点或关键点（如极值点、边界点）的函数值，明确函数在这
些点的取值范围。
（3）结合整数条件推理：根据题目要求的整数条件，结合函数单调性和关键点取值，推理出自变量
的整数取值范围。例如，若函数在某区间单调递增，且已知某整数点的函数值，则可推断出该点附近满足
条件的整数解。
（4）验证与调整：对推理出的整数解进行验证，确保其满足题目条件。必要时，通过调整参数或进
一步分析函数性质，缩小或扩大整数解的范围。
题型一：直接法
【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若不等式
恒成立，求整数
的最大值.
【变式1-1】已知函数
，若有且只有两个整数
使得
，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知函数
．
(1)试讨论函数
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
题型二：分离参数法
【例2】已知函数
与函数
的图象相交于不同的两点
，若存在唯一
的整数
，则实数
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【变式2-1】（2025·安徽淮北·二模）若关于
的方程
有3 个不同实根，则满足条件的
整数
的个数是（ ）
A．24
B．26
C．29
D．31
【变式2-2】已知
是函数
的导函数，且对任意的实数
都有
（是自然对数的底
数），
，若不等式
的解集中恰有三个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】已知函数
，若存在唯一的整数
，使得
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】当
时，
恒成立，则整数
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
题型三：分离函数法
【例3】定义在
上的函数
满足
，
（
为
的导函数），若存在唯
一的整数
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】若当
时，关于x 的不等式
恒成立，则满足条件的a
的最小整数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3-2】已知函数
，若不等式
的解集中有且仅有一个整数，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
，若不等式
的解集中有且
仅有一个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：隐零点法
【例4】已知函数
（
）.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)当a 为整数时，若
恒成立，求a 的最小值.
【变式4-1】设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，t 为整数，且当
时，不等式
恒成立，求t 的最大值．
【变式4-2】已知函数
．
(1)判断函数
在区间
上的单调性，并说明理由；
(2)若函数
在
上的最大值在区间
内，求整数m 的值．
【变式4-3】（2025·安徽安庆·二模）对任意
，使得不等式
成立的最大整数
为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：必要性探路法
【例5】已知函数
（其中e 为自然对数的底数）．若对定义域内的一切实数
，
都有
，求整数
的最小值．（参考数据：
）
【变式5-1】已知函数
，对
，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
【变式5-2】
对一切的
恒成立，试求出整数
的最大值．
1．若不等式
（其中
）的解集中恰有一个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是函数
的导函数，且对任意实数
都有
，
，若不等式
（其中
）的解集中恰有三个整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若当
时，关于x 的不等式
恒成立，
则满足条件的a 的最小整数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若关于
的不等式
的解集中恰有
个整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，若
的解集为
，且
中恰有一个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
存在零点，则整数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
7．（2025·江苏南京·模拟预测）已知对任意实数
都有
，
，若不等式
（其中
）的解集中恰有两个整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设函数
，若
的整数
有且仅有两个，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
，若存在唯一的整数
，使
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设函数
，若存在唯一的整数
使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
，若关于x 的不等式
的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取
值范围是 ．
12．已知函数
，直线
，若有且仅有一个整数
，使得点
在直线上方，则
实数
的取值范围是 ．
13．已知函数
，设
，若
只有一个零点，则实数
的取值范围是 ；
若不等式
的解集中有且只有四个整数，则实数
的取值范围是 ．
14．不等式
解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．
15．已知函数
有两个零点a、b，且存在唯一的整数
，则实数m 的取值范
围是 .
16．已知定义域为R 的函数
，若不等式
（其中
）的解集中恰有两个
整数，则
的取值范围是 ．
17．已知函数
，
的图象在
处的切线为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)设
，比较
与
大小关系，并说明理由；
(3)若对任意的
，
对任意的
恒成立，求满足条件的最大整数
的
值．
18．已知函数
，若
在
处取得极值-6.
(1)求
的值；
(2)若
都为整数，当
时关于
的方程
有两个不同的解，求实数
的范围.
19．已知函数
在
和
处取得极值.
(1)求
；
(2)
，求整数的最大值.
20．（2025·高三·河南·开学考试）已知函数
（
）在
处取得极值．
(1)求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求整数
的最小值．参考数据：
，
．
21．（2025·高三·重庆·开学考试）已知函数
在
时取得极值，且满足
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若存在实数
，使得
成立，求整数
的最小值．
22．是否存在整数，使得关于
的不等式
有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请
说明理由．
23．（2025·福建·三模）函数
，其中
为整数.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求
的最大值.
24．已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)若
，
为整数，且当
时，
，求
的最大值．
